最小势能原理推导其自由扭转的控制方程和边界条件PDF
结构力学-虚功原理、最小势能原理解题示例【精选】
最小势能原理、虚功原理解题示例最小势能原理：在给定外载荷的作用下，对于稳定平衡系统，在满足位移边界条件的所有各组位移中，实际位移使弹性系统的总势能最小。
例2.1如图2.1所示桁架结构，各杆的横截面积均为A ，弹性模量均为E ，在节点1处作用水平集中力P，试用最小势能原理求各杆的内力。
图2.1解：令在外力作用下，节点1在x 向的位移为，在y 向的位移为。
x u y u 则有：杆号杆长杆变形1-22.5acos sin 0.60.8x y x y u u u u αα-=-1-32.236a0.4470.894x y u u -1-42.236a0.4470.894x y u u --杆应变能的表达式为：22EA U L L=∆则系统的总势能为：固树 （一）一次主题党词找标准、找差词，交流思想体会集中学习，每次确定习。
支部每季度召开于担当作为”、“坚1。
（三）开展“四个讲班子成到联系区县X X 局带头家学者给党员干部习教育实施方以下简称，做合“()()()()222220.60.80.4470.8942 2.52 2.2360.4470.8942 2.2360.1610.1920.486i xx y x y x y x x x y y xU Pu EA EAu u u u a aEAu u Pu a EA u u u u Pu a∏=-=-+-⨯⨯+---⨯=-+-∑由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有：0;0x yu u ∂∏∂∏==∂∂即：()()0.3230.19200.1920.9720x y x y EAu u P a EAu u a--=-+=解得：3.510.694x y Pa u EA Pa u EA==杆的内力可由公式：求得，故各杆的内力为：EAN L L=∆1213140.620.4250.979N PN PN P---===-例2.2如图2.2所示的梁，其上作用有均布载荷q ，试用最小势能原理求其挠度曲线。
《弹塑性力学》第十章 弹性力学的能量原理
种状态可能应变上作的虚变形功。
——虚功原理
27.06.2021
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21
§10-2 虚功方程
W e V fiu i ( k 2 ) d V S X iu i ( k 2 ) d S Vi ( k 1 j )i ( k 2 j ) d W V i
2.2虚功方程的证明：
SX i(k 1 )u i(k 2)d SSn j i(jk 1 )u i(k 2)d S
ij
W
ij
——弹性关系
如果将几何关系引入应变能, U、W 为位
移的函数。
应变余能（类似应变能）定义
Uc VWcdV
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§10-1 几个基本概念和术语
应变余能密度
Wc
i
0
jijij
dij ij
——单位体积的应变余能
Wc 与积分路径无关，只与 终止状态和初始状态有关。
P
第一状态：一对力P 作用在
直杆的垂直方向，局部效应，
b
在杆两端点伸长 ？
P
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§10-3 功的互等定理
第二状态：让一对力Q 作用同一杆两端点，很
易求得一对力Q引起杆横向缩短 。
Q
Qx
对两种状态应用功的互等定理 P = Q Q第二状态引起的 易求:
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Vfi u id V S X i u id SV i j id jV
▪虚位移原理举例
图示受均布荷载q作用
q
的等跨连续梁，EI为常数， A
x CB
中间支座为弹性支座。试用 z l
l
虚位移原理写出梁的挠曲线
结构力学虚功原理最小势能原理解题示例
虚应变能为：
由虚功原理，有： ，即：
故梁的位移为：
图2.4
【虚功原理的其它例题可参见理论力学<静力学）第四章第7节】
例2.2 若用虚功原理求解，其步骤如下：
解：令梁的挠度函数为 ，它必须满足以下几个条件：
1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；
2、由于有均布载荷q的作用，故 应为x的4次多项式。
图2.2
解：令梁的挠度函数为 ，它必须满足以下几个条件：
1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；
2、由于有均布载荷q的作用，故 应为x的4次多项式。
故，考虑到梁左侧为固支，可设：
梁右侧需满足：
且梁右侧没承受弯矩，有：
<力的边界条件）
代入边界条件，有：
等截面梁的弯曲应变能表达式为：
申明：
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又：
【 】
由于变分可取任意值，故有：
所以：
虚功原理：当弹性体在外载荷作用下处于平衡状态时，对任意为约束所容许的虚位移，外力虚功等于内力虚功。虚功原理又称为虚位移原理。DXDiTa9E3d
例2.3 试用虚功原理求如图2.3所示梁的位移。
图2.3
解：令在外载荷P作用下，梁的转角为 ，则各杆的变形为：
给梁施加一个虚位移：
【根据平面假设，梁在受弯曲变形后，其横截面仍保持为平面，它一方面有挠度 ，一方面横截面在梁变形过程中旋转了一个角度 ，由于该转角的存在，使得距离中性轴为y处的x方向的位移为 ，应变 ，弯曲应力为 ，因此，等截面梁的弯曲应变能为： 】p1EanqFDPw
则系统的总势能为：
由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有：
《弹性力学》试题(2003级)参考答案
《弹性力学》试题（A ）参考答案（2003级）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学方程中： 平衡微分 方程和 应力 边界条件。
2．将平面应力情况下物理方程中的E 、μ分别换成21μ-E 、μμ-1， 即得到平面应变情况下的物理方程。
3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D=⎰⎰ϕ2的物理意义是 端部边界条件 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ及yx ∂∂∂∂ϕϕ,在边界上值的物理意义分别是 面力对某一点的矩 ， 面力的主矢量（合力投影） 。
5．对无限大多连体，解析函数)(),(11z z ψϕ中常数C i B B '+',的物理意义为： 无穷远处的主应力及其方向 。
二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中圣维南原理的要点及在弹性力学分析中作用。
圣维南原理的要点：（1）静力等效；（2）一小部分边界（次要边界）；（3）近处的应力明显受影响而远处应力的影响可忽略不计。
圣维南原理在弹性力学分析中作用：（1）近似列出复杂面力的应力边界条件；（2）将一小部分位移边界条件转化为应力边界条件问题。
2．材料的泊松比为μ，试根据三向拉伸时体积膨胀，单向拉伸时产生横向收缩的性质，证明：在线弹性情况下有，210<<μ。
证明：（1）当物体处于三向等拉应力状态时，其任意方向的线应变有：σμεE21-=因为，0>σ，0>E ，0>ε ，所以有：021>-μ，即21<μ （2）当物体处于单向拉伸时，其横向线应变有：μεε-='因为，物体发生横向收缩变形，应有：0<'ε。
考虑到拉伸轴向应变0>ε，由上式可得0>μ综合以上讨论，得在弹性阶段，材料的泊松比μ，有210<<μ 3．下面给出平面应力问题（单连通域，无体力）一组应力分量和一组应变分量，试判断它们是否可能。
（1）,21y C x C x +=σ,43y C x C y -=σy C x C xy 14-=τ；（2）),(22y x C x +=ε,2Cy y =εCxy xy 2=γ。
有限单元法部分课后题答案
１.1 有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度问题的？位移有限元法的标准化程式是怎样的?(１)离散的含义即将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元,并在其上设定有限个节点;用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体,而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。
(２）给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。
因节点位移个数是有限的,故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。
(３）有限元法的标准化程式:结构或区域离散，单元分析,整体分析,数值求解。
１.3 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质?各自的物理意义是什么?两者有何区别?单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性（单元刚度矩阵的行列式为零)。
整体刚度矩阵的性质:对称性、奇异性、稀疏性。
单元Ｋiｊ物理意义Ｋij 即单元节点位移向量中第ｊ个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时,在第ｊ个自由度方向引起的节点力。
整体刚度矩阵K 中每一列元素的物理意义是:要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有个节点上需要施加的节点荷载。
2．２什么叫应变能?什么叫外力势能？试叙述势能变分原理和最小势能原理，并回答下述问题：势能变分原理代表什么控制方程和边界条件？其中附加了哪些条件？(1)在外力作用下,物体内部将产生应力σ和应变ε，外力所做的功将以变形能的形式储存起来,这种能量称为应变能。
(2)外力势能就是外力功的负值。
（3）势能变分原理可叙述如下:在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值，即势能的变分为零δ∏p=δ Uε+δV=0此即变分方程。
对于线性弹性体,势能取最小值,即δ2∏Ｐ=δ2Uε+δ2Ｖ≥０此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。
最小势能原理
λ λ K = K (i)
(i)T (i) (i)
T
T
轴力单元刚度矩阵
⎡ Cx Cy 0 0 ⎢⎢− Cy Cx 0 0
0 0⎤ 0 0⎥⎥
⎢
λ( i ) T
=
⎢
⎢
0 0
0 1 0 0 0⎥ 0 0 Cx Cy 0⎥⎥
⎢0 ⎢
0
0 −Cy
Cx
0⎥ ⎥
⎢⎣ 0 0 0 0 0 1⎥⎦
轴力单元刚度矩阵
⎢⎢u2
⎥ ⎥
⎡ S1 ⎤
⎢ ⎢
S2
⎥ ⎥
u(i)
=
⎢⎢⎢uu43
⎥ ⎥ ⎥
S (i)
=
⎢ ⎢ ⎢
S3 S4
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎢u5
⎥ ⎥
⎢ ⎢
S5
⎥ ⎥
⎢⎣u6 ⎥⎦
⎢⎣S6 ⎥⎦
⎡ 1 0 0 −1 0 0⎤
⎢ ⎢
0
00
0
0 0⎥⎥
K (i)
=
AE l
⎢0 ⎢⎢−1
0 0
0 0
0 1
0 0⎥ 0 0⎥⎥
−
6EI l2
⎥ ⎥
4EI ⎥
l ⎥⎦
局部坐标系中的单元刚度矩阵
单元刚度矩阵是对称矩阵； 单元刚度矩阵是奇异矩阵； 刚度元素Kij的物理意义是，当单元仅在 第j个方向上有一个单位位移时，在第i个方 向上产生的杆端力的大小。
斜杆单元刚度矩阵
整体坐标系中的单元刚度矩阵
在整体分析时，各单元需要统一的坐 标系——整体坐标系。
0⎤ 0⎥⎥
(i)
K
=
AE
⎢ ⎢
l⎢
0 − Cx2
钢结构轴心受压构件失稳
i 1 n
（2.4）
2
式中 ai 是任意参数。将式（2.4）代入式（1.22）得
P
l EI 0
a i ix dx i 1
n
令
ln a i i 0 i 1
x dx
2
2
（2.5）
n l A 0 EI a i ix dx i 1
P ，且将 H c P / l 代入式（a） ，则上式变为 EI 2 y1 2 y1
（a） （b）
l
x
（0≤x≤l） （l≤x≤2l）
（c） （d） （e） （f）
2 y 2 2 y2
通解分别为
y1 A1cosx B1sinx x l y 2 A2 cosx B2 sinx
y2 ： B1cos l y1
由式（g）得 B1 / sin l ，代入式（h） ，则可得到以 A2、B2 和δ 为未知量联立方程组
lsin l A2 lcos l B2 lctg l 1 0 0 cos l A2 sin l B2 cos2 l A sin2 l B 0 2 2
引入边界条件，则有
x 0, y1 0 ： A1 0 x l , y1 0 ： B1sin l 0
（g） （h） （i） （j）
A2 sin l B2 cos l l y 2 0 ： A2 cos l B2 sin l 0
x 2l , y 2 ： A2 cos2 l B2 sin 2 l 0
2.1 轴心受压构件的失稳类型
由结构力学的平面问题例说最小势能原理
最小势能原理是指在平衡状态 下，一个结构的势能（即外力 势能和内部弹性势能之和）达
到最小值。
该原理是结构力学中的一个 基本原理，广泛应用于结构 的静力学和动力学分析。
通过最小势能原理，可以推导 出结构的平衡方程和本构关系 ，从而解决各种实际工程问题
。
03
最小势能原理详解
最小势能原理的数学表达
最小势能原理是指在平衡状态下，一个保守系统的总势能 达到最小。在数学表达上，它通常表示为系统势能的导数 等于零，即在平衡状态下，系统势能的一阶导数在给定约 束条件下达到最小值。
质。
这一原理在结构分析中具有极其 重要的地位，因为它为解决各种 复杂的结构问题提供了一个基本
的理论框架。
通过最小势能原理，我们可以推 导出许多重要的结构力学公式和 定理，如弹性力学的基本方程、
梁和板的弯曲公式等。
对实际工程的指导意义
最小势能原理对于实际工程具有重要的指导意 义，它可以帮助工程师们更好地理解和分析结 构的受力情况。
在设计过程中，工程师们可以根据最小势能原 理来优化设计方案，使结构的总势能达到最小 ，从而提高结构的稳定性和安全性。
在施工阶段，最小势能原理也可以帮助工程师 们预测结构的变形和应力分布，从而避免因受 力不均而导致的结构破坏。
未来研究的方向和展望
尽管最小势能原理在结构力学中已经得到了广泛的应 用，但仍然有许多问题需要进一步研究和探索。
目的和意义
通过研究最小势能原理在结构力学平面问题中的应用，可以深入理解结构的稳定 性和优化设计。
最小势能原理在工程实践中具有广泛的应用，如桥梁、建筑和机械等领域的设计 和优化。
02
结构力学基础
结构力学概述
01
结构力学是研究结构在各种力和力矩作用下的响应的学科，主 要关注结构的内力和位移。