文克勒地基上梁的计算 ppt课件
合集下载
文克尔地基上的龙门吊轨道基础梁计算
0． 90
三桩
3 218
27 899
3 218
2 930
0． 91
四桩
4 208
33 324
4 208
4 022
0． 96
六桩
6 072
43 885
6 072
5 296
0． 87
注：Nk 为荷载效应标准组轴心竖向力作用下，基桩或复合基桩的平均竖向力
2． 2 筏板设计
本工程上部结构的荷载由旋喷桩承担，筏板通过将相邻柱下 的承台连成整体，主要起到以下作用： 筏板与其上覆土的自重提供
M/kN·m
300 200 100
0 -100
-5 -3 -1 1 3 5 7 9 11 13 14 X/m
图 6 地基梁弯矩分布示意图
5 结语
运用文克尔地基上的无限长梁模型，可以计算如龙门吊轨道 基础梁等类似构件的内力、变形及基底反力。计算方法具有计算 过程简便，计算结 果 精 确 等 优 点。对 于 半 无 限 长 梁、有 限 长 梁 亦 可运用文克尔地基上的半无限长梁、文克尔地基上的有限长梁理
（ 2K） ，最终有：
θ=
－
P0 λ2 K
Bx
，M
=
P0 4λ
C
x
，Q
=
－
P0 2
Dx
（ 8）
其中， Ax = e － λx （ cosλx + sinλx） ； Bx = e － λx sinλx （ 9）
Cx = e － λx （ cosλx － sinλx） ； Dx = e － λx cosλx
建筑工业出版社，1993．
2 000，翼缘厚度 hf = 300，梁截面示意图见图 3。梁混凝土强度等 ［2］ GB 50007-2002，建筑地基基础设计规范［S］．
3.4文克勒地基上梁的计算[研究材料]
![3.4文克勒地基上梁的计算[研究材料]](https://img.taocdn.com/s3/m/a30d3497ccbff121dc36835a.png)
➢ 基底反力图形与竖向位移相似，如刚度大（基 础）受荷后基础底面仍保持平面，基底反力图 形按直线规律变化。
（a）
反力图 （b）
反力图 （c）
图3-8 文克勒地基模型
（a）侧面无摩阻力的土柱体系；（b）弹簧调模研型学；习（c）文克勒地基上的刚性基础
5
适用范围：
1）地基主要受力层为软土； 2）厚度不超过基础底面宽度之半的薄压缩层
dw
dx
dM
d 3w
V dx EI dx3
M
EI
d 2w dx2
p kw
调研学习
22
w ex C1 cos x C2 sin x ex C3 cos x C4 sin x
2 .集中荷载作用下的解答 (1)竖向集中力作用下
F0 x
边界条件：当x→∞时，w→0。将
O
此边界条件代入上式，得C１=C２=0。 梁的右半部，上式成为：
M
将上式连续对坐标x取两次导数，便得：
EI
d 4w dx4
d 2M dx2
dV dx
bp q
对于没有分布荷载作用（q = 0）的梁段，上式成为：
EI
d 4w dx4
bp
上式是基础梁的挠曲微分方程，对哪一种地基模型都适用。
调研学习
18
采用文克勒地基模型时
EI
d 4w dx 4
bp
p ks
sw
1）布辛奈斯科解，作用P时距r表面沉降s为
S p(1 2 ) / E0r
2）均荷作用下，矩形中心点沉降，可对上式 积分得
调研学习
7
按叠加法，网格i中点的沉降为所有n个网格上的基底 压力分别引起的沉降之和，即
调研学习
（a）
反力图 （b）
反力图 （c）
图3-8 文克勒地基模型
（a）侧面无摩阻力的土柱体系；（b）弹簧调模研型学；习（c）文克勒地基上的刚性基础
5
适用范围：
1）地基主要受力层为软土； 2）厚度不超过基础底面宽度之半的薄压缩层
dw
dx
dM
d 3w
V dx EI dx3
M
EI
d 2w dx2
p kw
调研学习
22
w ex C1 cos x C2 sin x ex C3 cos x C4 sin x
2 .集中荷载作用下的解答 (1)竖向集中力作用下
F0 x
边界条件：当x→∞时，w→0。将
O
此边界条件代入上式，得C１=C２=0。 梁的右半部，上式成为：
M
将上式连续对坐标x取两次导数，便得：
EI
d 4w dx4
d 2M dx2
dV dx
bp q
对于没有分布荷载作用（q = 0）的梁段，上式成为：
EI
d 4w dx4
bp
上式是基础梁的挠曲微分方程，对哪一种地基模型都适用。
调研学习
18
采用文克勒地基模型时
EI
d 4w dx 4
bp
p ks
sw
1）布辛奈斯科解，作用P时距r表面沉降s为
S p(1 2 ) / E0r
2）均荷作用下，矩形中心点沉降，可对上式 积分得
调研学习
7
按叠加法，网格i中点的沉降为所有n个网格上的基底 压力分别引起的沉降之和，即
调研学习
文克尔地基上的有限长梁计算
基础梁计算方法：
基础梁承受着整个建筑物的重量和外来荷载，所 以它的安全度关系着整个建筑物能否正常用。因 此建筑物的设计者对基础梁的研究十分重视，使 基础梁的计算内力尽可能与实际受力相接近, 从而 合理设计、合理配筋。
目前基础梁的实用工程分析法多采用两种方法: 完 全不考虑上部结构-基础-地基的共同作用或只考 虑基础-地基的共同作用。
w
M 02
K
Bx
M 03
K
Cx
其中
M
M0 2
Dx
Ax ex (cosx sin x)
V
M 0
2
Ax
Bx ex sin x
Cx ex (cosx sin x)
Dx ex cosx
Ax、Bx、Cx、Dx的数值可以查表确定
3、有限长梁的判定
实际工程中的梁是属于无限长梁还是有限长梁并非
以梁的绝对尺寸划分，而是通过荷载在梁端引起
文克尔地基上的有限 长梁计算
研究背景
土质地基上受多个集中力作用的有限长梁, 是工程实践中时常遇到的 一种力学模型。
基础梁： 工程中，结构物与地基的连接方式主要取决于地基的条件和荷载的大
小这两个方面。如果地基的条件比较好，荷载比较小，可以直接通过 墙柱的作用，将荷载传至地基，但是如果地基的条件比较差，荷载比 较大，就需要通过设置基础梁，基础梁的作用是把上部结构的重量、 荷载等外力比较均匀地传给地基，可以在一定程度上调节建筑物沉降， 使其均匀化，以减小地基所受压力的强度，使地基满足承载力的要求。 因此，基础梁被广泛应用在工业与民用建筑上。 常用的基础梁包括：柱下条形基础、柱下交叉条形基础、筏形基础和 箱型基础等。
1.建立文克尔地基上梁的挠曲微分方程：
地基基础讲义ppt课件(共139张PPT)
faE= afa ex、 Mx=（ Fk+ Gk）.
二、内力计算
1、简化计算方法
（1〕静定分析法
（2〕倒梁法
2、弹性地基梁法
（1〕对基础宽度不小于可压缩层厚度二倍的薄压 缩层地基，地基的压缩性比较均匀，可按文克勒地 基上梁的解析解。
（2） 对基础宽度不小于可压缩层厚度二倍的薄 压缩层地基，地基的压缩性不均匀，可按文克勒 地基上梁的数值分析法。
由式3-34节点i的竖向位移：
bx，by—分别为x，y方向基础的底面宽度
Sx，Sy —分别为x，y方向基础梁的特征长度
x， y—分别为x，y方向基础梁的柔度特征值 Ix，Iy—分别为x，y方向基础梁的截面惯性矩
根据变形协调条件
将静力平衡条件代入可解得：
对一端外伸的角柱节点
y=0，Zy=4
对无外伸的角柱节点
（2〕工程实测： （3〕物理模拟：根据相似理论推导相似准则
设计模型试验 （4〕数值模拟：将构件离散成有限个单元
数值模拟 （1〕有限元：ANSYS、ADINS、SAP、I-DIASD 等
（2〕有限差分法：FLAC
（3〕边界元： （4〕离散元：
ANSYS简介：
b、相邻柱荷载及柱距变化较大 Fk——作用于筏基上的竖向荷载总和
例题3-1
例题3-2
第六节、柱下条形基础
适用范围： （1〕地基较软弱，承载力低，地基压缩性
不均匀 （2〕荷载分布不均匀，不均匀沉降较大 （3〕上部结构对基础沉降较敏感
一、构造要求
1、为了使 与基础底面形心重合， 基底压力均匀分布， 基础梁的两端应外伸
2、肋梁的高h由计算定，以为柱距的〔1/4~1/8〕l1
3、翼板的高hf由计算定，当200mm<hf<250mm采用等 厚度，当hf>250mm采用宜采用变厚度翼板，i<1:3
二、内力计算
1、简化计算方法
（1〕静定分析法
（2〕倒梁法
2、弹性地基梁法
（1〕对基础宽度不小于可压缩层厚度二倍的薄压 缩层地基，地基的压缩性比较均匀，可按文克勒地 基上梁的解析解。
（2） 对基础宽度不小于可压缩层厚度二倍的薄 压缩层地基，地基的压缩性不均匀，可按文克勒 地基上梁的数值分析法。
由式3-34节点i的竖向位移：
bx，by—分别为x，y方向基础的底面宽度
Sx，Sy —分别为x，y方向基础梁的特征长度
x， y—分别为x，y方向基础梁的柔度特征值 Ix，Iy—分别为x，y方向基础梁的截面惯性矩
根据变形协调条件
将静力平衡条件代入可解得：
对一端外伸的角柱节点
y=0，Zy=4
对无外伸的角柱节点
（2〕工程实测： （3〕物理模拟：根据相似理论推导相似准则
设计模型试验 （4〕数值模拟：将构件离散成有限个单元
数值模拟 （1〕有限元：ANSYS、ADINS、SAP、I-DIASD 等
（2〕有限差分法：FLAC
（3〕边界元： （4〕离散元：
ANSYS简介：
b、相邻柱荷载及柱距变化较大 Fk——作用于筏基上的竖向荷载总和
例题3-1
例题3-2
第六节、柱下条形基础
适用范围： （1〕地基较软弱，承载力低，地基压缩性
不均匀 （2〕荷载分布不均匀，不均匀沉降较大 （3〕上部结构对基础沉降较敏感
一、构造要求
1、为了使 与基础底面形心重合， 基底压力均匀分布， 基础梁的两端应外伸
2、肋梁的高h由计算定，以为柱距的〔1/4~1/8〕l1
3、翼板的高hf由计算定，当200mm<hf<250mm采用等 厚度，当hf>250mm采用宜采用变厚度翼板，i<1:3
3.4文克勒地基上梁的计算解析
基 础 工 程
青岛理工大学 土木工程学院 地基教研室
3.3 地基计算模型
土的应力应变特性：非线性、弹塑性、土的各向异性、结构 性、流变性、剪胀性。 影响土应力应变关系的应力条件：应力水平、应力路径、 应力历史。
进行地基上梁和板分析时，必须解决基底压 力分布和沉降计算问题，它涉及土应力应变 关系，表达这种关系模式称为地基模型。
M0 M
q
M+dM V+dV
+q
x w bp
挠曲曲线
V bp x
+V
+M
w
(a)
(b)
(c)
图3-11 文克勒地基上基础梁的计算图式
（a）梁上荷载和挠曲；（b）梁的微单元；（c）符号规定
根据材料力学，梁挠度w的微分方程式为：
d2w EI 2 M dx
由梁的微单元的静力平衡条件∑M =0、∑V =0得到：
Wi Si
挠度=沉降量
解析解：指能以函数的形式解析地表达出 来地解答。如文克勒地基上梁的解答。 数值解：把梁或板微分方程离散化，最终 得到一组线性代数方程，从而求得近似地 数值解。
有限单元法 有限差分法
3.4 文克勒地基上梁计算
3.4.1 无限长梁的解答 一、微分方程
x F o
dx q
一、 文克勒地基模型 1867年捷克工程师文克勒提出如下假设： 地基上任一点所受的压力强度p与该点的地基 沉降量s成正比。
p=kS
K为基床反力系数，单位kN/m3
把地基划分许多竖直土柱，每条土柱可由一根 弹簧代替。压力与变形成正比。 基底反力图形与竖向位移相似，如刚度大（基 础）受荷后基础底面仍保持平面，基底反力图 形按直线规律变化。
青岛理工大学 土木工程学院 地基教研室
3.3 地基计算模型
土的应力应变特性：非线性、弹塑性、土的各向异性、结构 性、流变性、剪胀性。 影响土应力应变关系的应力条件：应力水平、应力路径、 应力历史。
进行地基上梁和板分析时，必须解决基底压 力分布和沉降计算问题，它涉及土应力应变 关系，表达这种关系模式称为地基模型。
M0 M
q
M+dM V+dV
+q
x w bp
挠曲曲线
V bp x
+V
+M
w
(a)
(b)
(c)
图3-11 文克勒地基上基础梁的计算图式
（a）梁上荷载和挠曲；（b）梁的微单元；（c）符号规定
根据材料力学，梁挠度w的微分方程式为：
d2w EI 2 M dx
由梁的微单元的静力平衡条件∑M =0、∑V =0得到：
Wi Si
挠度=沉降量
解析解：指能以函数的形式解析地表达出 来地解答。如文克勒地基上梁的解答。 数值解：把梁或板微分方程离散化，最终 得到一组线性代数方程，从而求得近似地 数值解。
有限单元法 有限差分法
3.4 文克勒地基上梁计算
3.4.1 无限长梁的解答 一、微分方程
x F o
dx q
一、 文克勒地基模型 1867年捷克工程师文克勒提出如下假设： 地基上任一点所受的压力强度p与该点的地基 沉降量s成正比。
p=kS
K为基床反力系数，单位kN/m3
把地基划分许多竖直土柱，每条土柱可由一根 弹簧代替。压力与变形成正比。 基底反力图形与竖向位移相似，如刚度大（基 础）受荷后基础底面仍保持平面，基底反力图 形按直线规律变化。
文克勒地基上梁的计算 ppt课件
Fl
E l Al M
b
M
A
E l
F
l
C
l
V 2
a
E l
FlD l M
a
F l
E
l
C
l
V 2
b
Fl
E lD l M
b
F B F l E l D l V a F l E l A l M a
E l
F l D l V b
E l
Fl Al M
b
M
B
Fl
E
l
（a）梁上荷载和挠曲；（b）梁的微单元；（c）符号规定
根据材料力学，梁挠度w的微分方程式为：
EI d2w M dx2
由梁的微单元的静力平衡条件∑M =0、∑V =0得到： M V b d d p x / 2 x d q d x d / 2 x M x d 0 MdM V
dx
qd (V x d)V V bp0 dx
➢对于长梁，如柔度较大的梁，可直接按无 限长梁进行简化计算；但如梁上的集中荷 载与梁端的最小距离x<π/ 时，按有限长 梁计算。
在选择计算方法时，除了按λl值划分梁的类型外， 还需兼顾外荷载的大小和作用点位置。
在实际工程中，基础梁还存在一端为有 限梁端，另一端为无限长，称为半无限 长梁。
3.4.4基床系数的的确定
对F0左边的截面（x＜0），需用x 的绝 对值代入计算，计算结果为w和M时正
负号不变，但 和V则取相反的符号。
w e x C 1 c x o C 2 ss x i e n x C 3 c x o C 4 ss x i M0
（2）集中力偶作用下
x
当x→∞时，w→0，C１=C２=0。
基础工程第3章3 连续基础3.4-3.6
w ex C3 cosx C4 sin x
对称性：在x=0处，dw/dx=0，代 入上式得C3－C4=0。令C3=C4=C， 则上式成为
w exCcosx sin x
静力平衡条件：再在O点处紧靠F0 的左、右侧把梁切开，则作用于O 点左右两侧截面上的剪力均等于F0 之半，且指向上方。根据符号规定， 在右侧截面有V=－F0 /2，由此得 C=F0λ/2kb 。 +V F0
解上述方程组得：
FA El Fl Dl Va El Fl Al M a Fl El Dl Vb Fl El Al M b Va M A El Fl Cl El Fl Dl M a 2 V Fl El Cl b Fl El Dl M b 2 FB Fl El Dl Va Fl El Al M a El Fl Dl Vb El Fl Al M b Va M B Fl El Cl Fl El Dl M a 2 Vb El Fl Cl El Fl Dl M b 2
3.4 文克勒地基上梁的计算
3.4.1 无限长梁的解答
1. 微分方程式
x F o w w bp
挠曲曲线
dx q
M0 M
q
M+dM V+dV
+q
x
V bp x
+V
+M
(a)
(b)
(c)
图3-11 文克勒地基上基础梁的计算图式
（a）梁上荷载和挠曲；（b）梁的微单元；（c）符号规定
x F o
dx q
对短梁，可采用基底反力呈直线变化的简化方法计算；
文克勒地基模型
文克勒地基模型：地基上任意一点所受的压力强度p与该点的地基沉降量s成正比，即 p=ks 式中比例系数k称为基床反力系数刚性桩：当桩很短或桩周土很软弱时，桩、土的相对刚度很大，属刚性桩。
扩展基础的分类：无筋扩展基础（墙下条形基础、柱下独立基础）和钢筋混凝土扩展基础（墙下钢筋混领土条形基础、柱下钢筋混凝土独立基础）Pk =( FK+GK)/A各物理量的含义： GK=γGAd γG=20P k ：相应于荷载标准组合时，基础底面的平均压力值FK：相应于荷载标准组合时，上部结构传至基础顶面的竖向力值GK：基础自重和基础土重，若在地下水以下部分应扣去浮托力地基基床系数：1.按基础的预估沉降量确定：k=P0/Sm（p基地平均附加压力 sm基础的平均沉降量）2. 对于为h的薄压缩层地基，k=Es/h（Es土层的平均压缩模量）弹性半空间地基模型：是将地基视为均质的线性变性半空间，并用弹性力学公式求解地基中的附加应力或位移的一种模型。
S=P(1-μ2) /πEor预制桩的沉桩方式：锤击沉桩法，振动沉桩法，静压沉桩法群桩效应：在竖向荷载的作用下，由于承台、桩、土的相互作用，群桩基础中的一根桩单独受荷时的承载力合沉降性状，往往与相同地质条件和设置方法的同样独立单桩有显著差别，这种现象称之为群桩效应。
软弱下卧层：承载力显著低于持力层的高压缩性土层沉管灌注桩：是指采用锤击沉管打桩机或振动沉管打桩机，将套在预制钢筋混凝土桩尖或带有活瓣桩尖的钢管沉入土层中成孔，然后边灌注混凝土、边锤击或边振动边拔出钢管并安放钢筋笼而形成的灌注桩。
竖向荷载作用下单桩沉降构成：（1）：桩身弹性压缩引起的桩顶沉降。
（2）：桩侧阻力引起的桩周土中的附加应力一压力角向下传递，致使桩端下土体压缩而产生的桩端沉降。
（3）：桩端荷载引起桩端下土体压缩所产生的桩端沉降。
基底附加压力P0：基底压力与基础建造前土中自重应力之差P=Pk-σc d（σc d基地处土的自重应力值）振动法沉桩：是采用振动锤进行沉桩的施工方法，适合可塑状的黏性土和沙土对受振动时土德抗剪强度有较大降低的砂土地基和自重不大的钢桩，沉桩效果更好桩按性质和竖向受力情况分类：端承型桩和摩擦型桩条形基础内力计算方法分类：简化计算法和弹性地基梁法按规范承载力表确定承载力特征值时，基础宽度如何修正：当基底宽度小于3m 时按3m考虑，大于6m时按6m考虑摩擦型群桩承台脱地的情况下群桩效应受三个因素影响是：承台的刚度影响、基土性质的影响、桩距s的影响影响基础埋深的主要因素是那几个条件：与建筑物有关的条件、工程地质条件、水文地质条件、地基冻融条件、场地环境条件相邻建筑物基础影响及处理措施：靠近原有建筑物新修建的新基础时，如基坑深度超过原有的基础埋深，则可能引起原有基础下沉或倾斜。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等于F0之半，且指向上方。根据
符号规定，在右侧截面有V=－F0 /2，由此得C=F0λ/2kb 。
O
F0
wF 0excoxssin x
pkw
w e x C 1 c x o C 2 ss x i e n x C 3 c x o C 4 ss x in
2 .集中荷载作用下的解答 (1)竖向集中力作用下
F0 x
边界条件：当x→∞时，w→0。将
O
此边界条件代入上式，得C１=C２=0。 梁的右半部，上式成为：
优点：
➢较好地反映了地基土扩散应力和变形地能 力，反映邻近荷载的影响；
➢考虑了土层沿深度和水平方向的变化。
缺点：未能考虑土的非线性和基底反力的塑 性重分布。
四、 相互作用基本条件
两个条件
1）静力平衡
外荷载和基底反力作用下满足
F 0 M 0
2）变形协调 Wi Si
挠度=沉降量
➢ 解析解：指能以函数的形式解析地表达出 来地解答。如文克勒地基上梁的解答。
（a）
反力图 （b）
反力图 （c）
图3-8 文克勒地基模型
（a）侧面无摩阻力的土柱体系；（b）弹簧模型；（c）文克勒地基上的刚性基础
适用范围：
1）地基主要受力层为软土； 2）厚度不超过基础底面宽度之半的薄压缩层
地基；
3）塑性区较大时； 4）支承在桩上的连续基础，可以用弹簧体系
代替群桩。
优点：形式简单、参数少，应用比较广泛。
按叠加法，网格i中点的沉降为所有n个网格上的基底 压力分别引起的沉降之和，即
即对于整个基础有
[δ]称为地基柔 度矩阵
优点：能够扩散应力和变形，可以反应邻近 荷载的影响。
缺点：
➢ 模型的扩散能力往往超过地基实际情况， 沉降量和沉降范围比实测结果大。
➢ 未能考虑到地基的成层性、非均质性以及 土体应ห้องสมุดไป่ตู้应变关系的非线性等重要因素。
w e x C 3 co x C s 4 six n
对称性：在x=0处，dw/dx=0，代 入上式得C3－C4=0。令C3=C4=C， 则上式成为
w e x C co x six n
F0 x
静力平衡条件：再在O点处紧靠
F0的左、右侧把梁切开，则作用 于O点左右两侧截面上的剪力均
dV bpq dx
EI d2w M dx2
将上式连续对坐标x取两次导数，便得： Ed d I4w 4xd d2M 2xd dV x bp q
对于没有分布荷载作用（q = 0）的梁段，上式成为：
EI
d4w dx4
bp
上式是基础梁的挠曲微分方程，对哪一种地基模型都适用。
采用文克勒地基模型时
EI
d4w dx4
基础工程
青岛理工大学 土木工程学院 地基教研室
3.3 地基计算模型
土的应力应变特性：非线性、弹塑性、土的各向异性、结构 性、流变性、剪胀性。
影响土应力应变关系的应力条件：应力水平、应力路径、 应力历史。
进行地基上梁和板分析时，必须解决基底压 力分布和沉降计算问题，它涉及土应力应变 关系，表达这种关系模式称为地基模型。
三、有限压缩层地基模型
有限压缩层地基模型：把计算沉降的分层总 和法应用于地基上梁和板的分析，地基沉降 等于各计算分层在侧限条件下压缩量之和。
公式同弹性半空间地基模型，柔度矩阵：
nc
ij t 1
h tij ti Esti
σtij—第i个棱柱体中第t分层由P=1/f引起的竖向附加应力的平均值(取中点)
➢ 数值解：把梁或板微分方程离散化，最终 得到一组线性代数方程，从而求得近似地 数值解。
有限单元法 有限差分法
3.4 文克勒地基上梁计算
3.4.1 无限长梁的解答 一、微分方程
x dx
q
+q
F
q
M0
M
M+dM
o
x
V V+dV
w bp
+V
+M
bp
w
挠曲曲线
x
(a)
(b)
(c)
图3-11 文克勒地基上基础梁的计算图式
缺陷：该模型不能扩散应力和变形，不能传 递剪力。
二、 弹性半空间地基模型
弹性半空间地基模型：假定将地基视为均质的线性 变形半空间，用弹性力学求解地基附加应力或位移， 地基上任意点沉降与整个基底反力及相邻荷载分布 有关。
1）布辛奈斯科解，作用P时距r表面沉降s为
Sp(12)/E0r
2）均荷作用下，矩形中心点沉降，可对上式 积分得
（6）粘弹性模型
一、 文克勒地基模型 1867年捷克工程师文克勒提出如下假设：
地基上任一点所受的压力强度p与该点的地基 沉降量s成正比。
p=kS
K为基床反力系数，单位kN/m3
➢ 把地基划分许多竖直土柱，每条土柱可由一根 弹簧代替。压力与变形成正比。
➢ 基底反力图形与竖向位移相似，如刚度大（基 础）受荷后基础底面仍保持平面，基底反力图 形按直线规律变化。
四阶常系数线性常微分方程
d4w44w0
dx4
特征方程 特征方程根
r444 0 r1,2 1i r3,4 1i
解得该方程的通解为：
wex(C1cosxC2sinx) ex(C3cosxC4sinx)
式中C１、C２、C３和C４为积分常数
dw dx
VddM xEIdd3xw3
M
EI
d2w dx2
bp
pks
sw
EI d4w bkw dx4
文克勒地基上梁 的挠曲微分方程
d4w kbw0 dx4 EI
柔度特征值： 4 kb
4 EI
λ单位为m-1,其倒数为特征长度。 λ值与地基基 床系数和梁的抗弯刚度有关， λ值越小，则基础 的相对刚度愈大。
d4w dx4
k bw EI
0
dd4xw4 44w0
（a）梁上荷载和挠曲；（b）梁的微单元；（c）符号规定
根据材料力学，梁挠度w的微分方程式为：
d2w EI dx2 M
由梁的微单元的静力平衡条件∑M =0、∑V =0得到： M V b d p d x / 2 d x q d x d / 2 x M x d 0 MdM V
dx
qd (V x d)V V bp0 d x
（1）线弹性模型 文克勒地基模型，弹性半空间地基 模型，有限压缩层地基模型
（2）刚塑性模型 用于地基承载力、边坡稳定、
土压力等计算。
（3）理想弹塑性模型
（4）非线性弹性模型 E-μ模型（邓肯-张Duncan-Chang、双曲线） K-G模型
（5）弹塑性模型 剑桥模型（Cam-Clay）——用于粘土 莱特-邓肯模型（Lade-Duncan）——用于砂土
符号规定，在右侧截面有V=－F0 /2，由此得C=F0λ/2kb 。
O
F0
wF 0excoxssin x
pkw
w e x C 1 c x o C 2 ss x i e n x C 3 c x o C 4 ss x in
2 .集中荷载作用下的解答 (1)竖向集中力作用下
F0 x
边界条件：当x→∞时，w→0。将
O
此边界条件代入上式，得C１=C２=0。 梁的右半部，上式成为：
优点：
➢较好地反映了地基土扩散应力和变形地能 力，反映邻近荷载的影响；
➢考虑了土层沿深度和水平方向的变化。
缺点：未能考虑土的非线性和基底反力的塑 性重分布。
四、 相互作用基本条件
两个条件
1）静力平衡
外荷载和基底反力作用下满足
F 0 M 0
2）变形协调 Wi Si
挠度=沉降量
➢ 解析解：指能以函数的形式解析地表达出 来地解答。如文克勒地基上梁的解答。
（a）
反力图 （b）
反力图 （c）
图3-8 文克勒地基模型
（a）侧面无摩阻力的土柱体系；（b）弹簧模型；（c）文克勒地基上的刚性基础
适用范围：
1）地基主要受力层为软土； 2）厚度不超过基础底面宽度之半的薄压缩层
地基；
3）塑性区较大时； 4）支承在桩上的连续基础，可以用弹簧体系
代替群桩。
优点：形式简单、参数少，应用比较广泛。
按叠加法，网格i中点的沉降为所有n个网格上的基底 压力分别引起的沉降之和，即
即对于整个基础有
[δ]称为地基柔 度矩阵
优点：能够扩散应力和变形，可以反应邻近 荷载的影响。
缺点：
➢ 模型的扩散能力往往超过地基实际情况， 沉降量和沉降范围比实测结果大。
➢ 未能考虑到地基的成层性、非均质性以及 土体应ห้องสมุดไป่ตู้应变关系的非线性等重要因素。
w e x C 3 co x C s 4 six n
对称性：在x=0处，dw/dx=0，代 入上式得C3－C4=0。令C3=C4=C， 则上式成为
w e x C co x six n
F0 x
静力平衡条件：再在O点处紧靠
F0的左、右侧把梁切开，则作用 于O点左右两侧截面上的剪力均
dV bpq dx
EI d2w M dx2
将上式连续对坐标x取两次导数，便得： Ed d I4w 4xd d2M 2xd dV x bp q
对于没有分布荷载作用（q = 0）的梁段，上式成为：
EI
d4w dx4
bp
上式是基础梁的挠曲微分方程，对哪一种地基模型都适用。
采用文克勒地基模型时
EI
d4w dx4
基础工程
青岛理工大学 土木工程学院 地基教研室
3.3 地基计算模型
土的应力应变特性：非线性、弹塑性、土的各向异性、结构 性、流变性、剪胀性。
影响土应力应变关系的应力条件：应力水平、应力路径、 应力历史。
进行地基上梁和板分析时，必须解决基底压 力分布和沉降计算问题，它涉及土应力应变 关系，表达这种关系模式称为地基模型。
三、有限压缩层地基模型
有限压缩层地基模型：把计算沉降的分层总 和法应用于地基上梁和板的分析，地基沉降 等于各计算分层在侧限条件下压缩量之和。
公式同弹性半空间地基模型，柔度矩阵：
nc
ij t 1
h tij ti Esti
σtij—第i个棱柱体中第t分层由P=1/f引起的竖向附加应力的平均值(取中点)
➢ 数值解：把梁或板微分方程离散化，最终 得到一组线性代数方程，从而求得近似地 数值解。
有限单元法 有限差分法
3.4 文克勒地基上梁计算
3.4.1 无限长梁的解答 一、微分方程
x dx
q
+q
F
q
M0
M
M+dM
o
x
V V+dV
w bp
+V
+M
bp
w
挠曲曲线
x
(a)
(b)
(c)
图3-11 文克勒地基上基础梁的计算图式
缺陷：该模型不能扩散应力和变形，不能传 递剪力。
二、 弹性半空间地基模型
弹性半空间地基模型：假定将地基视为均质的线性 变形半空间，用弹性力学求解地基附加应力或位移， 地基上任意点沉降与整个基底反力及相邻荷载分布 有关。
1）布辛奈斯科解，作用P时距r表面沉降s为
Sp(12)/E0r
2）均荷作用下，矩形中心点沉降，可对上式 积分得
（6）粘弹性模型
一、 文克勒地基模型 1867年捷克工程师文克勒提出如下假设：
地基上任一点所受的压力强度p与该点的地基 沉降量s成正比。
p=kS
K为基床反力系数，单位kN/m3
➢ 把地基划分许多竖直土柱，每条土柱可由一根 弹簧代替。压力与变形成正比。
➢ 基底反力图形与竖向位移相似，如刚度大（基 础）受荷后基础底面仍保持平面，基底反力图 形按直线规律变化。
四阶常系数线性常微分方程
d4w44w0
dx4
特征方程 特征方程根
r444 0 r1,2 1i r3,4 1i
解得该方程的通解为：
wex(C1cosxC2sinx) ex(C3cosxC4sinx)
式中C１、C２、C３和C４为积分常数
dw dx
VddM xEIdd3xw3
M
EI
d2w dx2
bp
pks
sw
EI d4w bkw dx4
文克勒地基上梁 的挠曲微分方程
d4w kbw0 dx4 EI
柔度特征值： 4 kb
4 EI
λ单位为m-1,其倒数为特征长度。 λ值与地基基 床系数和梁的抗弯刚度有关， λ值越小，则基础 的相对刚度愈大。
d4w dx4
k bw EI
0
dd4xw4 44w0
（a）梁上荷载和挠曲；（b）梁的微单元；（c）符号规定
根据材料力学，梁挠度w的微分方程式为：
d2w EI dx2 M
由梁的微单元的静力平衡条件∑M =0、∑V =0得到： M V b d p d x / 2 d x q d x d / 2 x M x d 0 MdM V
dx
qd (V x d)V V bp0 d x
（1）线弹性模型 文克勒地基模型，弹性半空间地基 模型，有限压缩层地基模型
（2）刚塑性模型 用于地基承载力、边坡稳定、
土压力等计算。
（3）理想弹塑性模型
（4）非线性弹性模型 E-μ模型（邓肯-张Duncan-Chang、双曲线） K-G模型
（5）弹塑性模型 剑桥模型（Cam-Clay）——用于粘土 莱特-邓肯模型（Lade-Duncan）——用于砂土