用线段成比例法解几何问题的三种常见类型
九年级数学上册23.1成比例线段学好比例线段要注意的问题素材华东师大版(new)
学好比例线段要注意的问题比例线段这主要内容有比例线段、比例性质及平行线分线段成比例定理。
前者是学习相似形的基础，后者是研究相似形的中心问题之一，要学好这部分内容，需注意下列“一二三四"个问题．一、注意理解一个概念首先理解线段比的概念，即若选用同一长度单位得两条线段a 、b 懂得长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比是a ∶b=m ∶n,或写成a mb n=,在掌握了这个概念后，就可以理解比例线段的概念了比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫成比例线段，简称为比例线段。
如有四条线段a 、b 、c 、d ，若a ∶b=c ∶d 或a c b d=，则a 、b 、c 、d 叫比例线段. （1）式子a ∶b=c ∶d 或a cb d=，叫比例式，a 、b 、c 、d 叫比例的项,a 、d 叫比例的外项，b 、c 叫比例的内项,d 叫a 、b 、c 的第四比例项;（2）如果两个内项相等，即a ∶b=b ∶c ，b 叫a 、c 的比例中项，c 叫a 、b 的第三比例项。
二、注意比例的两个性质 （1）比例的基本性质a cb d =，特别地a b =2b ac = (2）等比性质 如果(0)a cmb d n b dn===+++≠，那么a c m ab d n b+++=+++当然,在学习时，还要注意合比性质，即如果a c b d =，那么a b c db d±±=，这个性质在做题时也经常用到。
三、注意三种基本图形如果DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC ， 就有AD AE DEAB AC BC==(如图1) 这两种基本图形被称为：C ABD E AD EB C图1图2“A ”型图和“X ”型图． 图2，被称为日型图，这三种图形是线段成比例的三个基本图形，认识与构造三个基本图形,可以解决一些线段成比例问题，对同学们解决几何问题有很大的作用四、典型例题剖析例1．下列四条线段中，不能成比例的是( )（A ）a=3，b=6，c=2，d=4 （B)a=1，（C ）a=4,b=6，c=5,d=10 （D)a=2，解：由比例线段的定义，易知选（C ） 例2．已知x ∶y ∶z=3∶4∶5，求 （1）x y zz++;(2）x y y z ++;（3）432x y z x y z +--+的值解：由x ∶y ∶z=3∶4∶5，可设345x y zk ===，则3,4,5x k y k z k ===， 故（1）x y z z ++=3451212555k k k k k k ++==； （2)x y y z ++=34774599k k k k k k +==+； (3)432x y z x y z +--+=433425345k k k k k k⨯+⨯-⨯-+=72例3．如果c a bk a b b c c a===+++，那么k = 解:（1)当a+b+c ≠0时,由条件利用等比性质，得12()2a b c k a b c ++===+；（2）当a+b+c=0时，则a=b=－c,b ＋c ＝－a ，c ＋a ＝－b ，由条件得，k =－1故应填12或－1例4．如图,AB ∥FG,AC ∥EH ，BG=HC ，求证：EF ∥BC 证明：∵AB ∥FG ，∴AF BGAC BC=，∵AC ∥EH ， ∴AE HC AB BC =，∵BG=HC,∴AF AEAC AB=，∴EF ∥BC ． 尊敬的读者：BA CEFGH图3本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
线段的比与比例线段
线段比与比例线段的联系
定义关联
线段比描述了两条线段长 度的相对大小，而比例线 段则是基于线段比构建的 一种特殊线段关系。
性质相通
在比例线段中，若两条线 段成比例，则它们的比值 是相等的，这与线段比的 性质是一致的。
应用互补
在解决几何问题时，线段 比和比例线段经常相互补 充，共同构建解题思路。
线段比与比例线段的区别
线段的比与比例 线段
目录
• 线段比的基本概念 • 比例线段的基本概念 • 线段比与比例线段的关系 • 线段比与比例线段的应用 • 典型例题解析
01
线段比的基本概念
定义与性质
定义：对于两条线段a和b（b≠0），线段 a与b的比定义为a/b，记作a:b。
线段比具有对称性，即若a:b=c:d，则 b:a=d:c。
利用平行线分线段成比例定理，可以求解未知线段的长度或证明线段的比例关系。
在复杂图形中，可以通过作平行线构造相似三角形，进而利用相似三角形的性质求 解问题。
在其他几何问题中的应用
在几何变换（如平移、旋转、缩放等） 中，线段之间的比例关系保持不变。
在解析几何中，线段的比和比例关系 可以用于求解方程、证明定理等。
定义与性质
定义
两组线段，若它们的 比值相等，则称这两 组线段为比例线段。
反比性质
若a/b = c/d，则b/a = d/c。
更比性质
若a/b = c/d，则 a+b/b = c+d/d。
合比性质
若a/b = c/d，则 (a+b)/b = (c+d)/d。
等比性质
若a/b = c/d = ... = m/n，则 (a+c+...+m)/(b+d+ ...+n) = a/b。
初中几何题思考方式和解题思路总结
初中几何题思考方式和解题思路总结，先思后解超简单很多几何证明题的思路往往是填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明。
证明题要掌握三种思考方式● 正向思维对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。
●逆向思维顾名思义，就是从相反的方向思考问题。
在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显。
同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。
例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去。
这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。
●正逆结合对于从结论很难分析出思路的题目，可以结合结论和已知条件认真的分析。
初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。
给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。
正逆结合，战无不胜。
要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。
下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。
证明题要用到哪些原理●证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
北师版初三数学上册第四章相似图形知识点讲解
九年级（上）第四章图形的相像(1)形态一样的图形叫相像图形，在相像多边形中，最简洁的是相像三角形.(2) 相像多边形：假如两个边数一样的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相像多 边形．相像多边形对应边长度的比叫做相像比．一．成比例线段（1）线段的比假如选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）成比例线段在四条线段d c b a ,,,中，假如b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有依次的，假如说a ,d c b ,,成比例，那么应得比例式为：b a =dc ． ②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,假如b=c ，即 a b bd =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
③推断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小依次排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（留意性质立的条件：分母不能为0） 根本性质：① a:b=c:d 则有 ad=bc （两外项之积等于两内向之积）；② ②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）合、分比性质：a c abcd b d b d ±±=⇔=． （4）等比性质：假如)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以削减未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③ 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． （4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k 法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 留意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不行能 有AD,BE,CF 的比例关系（2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即12AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
几何中的线段比例
几何中的线段比例线段比例是几何学中的一个重要概念，它描述了两个线段在长度上的相对关系。
在几何问题中，线段比例常常被用来解决关于图形形状和大小的推理和计算。
本文将详细探讨线段比例的定义、性质以及一些应用实例。
一、线段比例的定义与性质线段比例是指在一条直线上，将该直线分割成若干个部分时，各个部分的长度之间的比例关系。
设直线上有三个点A、B、C，分别对应线段AB、BC，如果满足线段AB与线段BC的长度比等于一个常数k，即AB/BC=k，则称线段AB与线段BC成比例。
线段比例具有以下性质:1. 反身性：线段的长度比与其倒数之间的关系是相互的。
即若AB/BC=k，则BC/AB=1/k。
2. 传递性：若AB/BC=k，BC/DE=m，则必有AB/DE=km。
3. 分点式定理：对于分割线段的一个点D，AD/DB=k，那么BD所对应的其他点E与线段AB的比例与AD/DB相同，即BE/EC=AD/DB=k。
二、线段比例的应用实例1. 相似三角形的线段比例：在相似三角形中，对应边的长度比相等。
例如，若△ABC相似于△DEF，且AB/DE=BC/EF=k，那么AC/DF也等于k。
2. 面积比例的计算：线段比例可以用于计算图形的面积比。
例如，若在平行四边形ABCD中，两条对角线AC和BD相交于点O，且AO/OC=BO/OD=k，那么△AOD的面积与△BOC的面积之比为k²。
3. 带有比例关系的图形构造：线段比例可以用于构造符合特定长度比的图形。
例如，在一个圆上，若AB/BC=k，可以利用线段比例来确定点B和点C的位置。
三、线段比例的推断与计算方法1. 通过已知比例推断未知线段：若已知线段AB与线段BC的比例为k，且已知线段AB的长度为a，则通过线段比例可以推断线段BC的长度为a/k。
2. 通过已知线段推断比例：若已知线段AB的长度为a，线段BC长度为b，可以通过计算得到线段AB与线段BC的比例为a/b。
3. 通过已知线段求多个线段的比例：若已知线段AB与线段BC的比例为k，线段BC与线段CD的比例为m，可以通过传递性得到线段AB与线段CD的比例为km。
平行线分线段成比例定理 课件
证法 3：如图所示，过 D 作 DN∥BC，交 AB 于 N. ∵ND∥EB，∴DENB＝DEFF， ∵ND∥BC，∴DBNC＝ACDA，即CCAB＝DADN， ∵AD＝EB，∴DADN＝DEBN，∴FEDF＝CCAB. ∴EF∶FD＝CA∶CB. 点评：本题应用了平行线分线段成比例定理的推论：用平行于三角 形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所截得的三角形与原三 角形的三边对应成比例．解决本题时还用到了“中间量”，通过等 量代换完成了证明过程．
分析：要求 BC 的长，由于 BC 和 BD 是对应线段， 因此只需得出 AC∥DE 即可． 解析：∵∠A＝∠E，∴AC∥DE.∴BBDC＝ABBE. ∵B8C＝12，∴BC＝4. 点评：利用比例定理求线段长时，应尽可能所求 成为比例式一项．
►变式训练
3．如图所示，在△ABC中，D是BC上的点，E是AC上 的点，AD与BE交于F.若AE∶EC＝3∶4，BD∶DC＝ 2∶3，求BF∶FE的值．
2．如图所示，在△ABC 中，DF∥BC，E 是 BC 延长线上一点， CE＝BC，求证AADB＝DGGE.
证明：∵DF∥BC，∴AADB＝DBCF， 又∵BC＝CE，∴AADB＝DCEF， ∵DF∥BC，∴DCEF＝DGGE， ∴AADB＝DGGE.
题型二 求线段的长
例 3 如图所示，∠A＝∠E，ABBE＝12，BD＝8，求 BC 的长．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4．如图，已知D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC， ED交AB于G点，交BC延长线于F点，若BG∶GA＝ 3∶1，BC＝8，求AE的长．
解析：∵AE∥BC，D 为 AC 的中点， ∴AE＝CF.设 AE＝x， ∵AE∥BC，∴ABEF＝ABGG＝13.又 BC＝8， ∴x＋x 8＝13，3x＝x＋8，即 x＝4.∴AE＝4.
黄金分割及比例线段
（1）操作：请你在图2所示的黄金矩形ABCD（AB>AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；
（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；
（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）。
④ 3个“黄金三角”（如外鼻正面观三角、外鼻侧面观三角、鼻根点至两侧口角点组成的三角等）．
此外，健美的人体（如古希腊雕塑《米罗的维纳斯》看上去健美漂亮就是典型的例子，19世纪以来，世界各国的选美标准大部分都依据《米罗的维纳斯》身材各部分的尺寸．她的体形符合希腊人关于美的理想与规范，身长比例接近利西普斯所追求的人体美标准，即身与头之比为8∶1．由于8为3加5之和，这就可以分割成1∶3∶5，这就是“黄金分割律”，这个比例成为后代艺术家创造人体美的准则．）亦有多组比例符合黄金分割比．如人的脐部到头顶的距离与脐部高度之比、头顶到举手指端的距离与脐部到头顶距离之比、膝盖到肚脐同膝盖到脚底之比，都符合黄金分割．
5、美妙的黄金分割和黄金数
任取一条线段AB,在AB上找一点C,使得 ，点C就叫做线段AB的黄金分割点.每条线段都有两个黄金分割点,若点C把线段AB分成AC，BC，如果 ，则点C是线段AB的黄金分割点，同样，若点D把线段AB分成AD，BD，如果 ，则点D也是线段AB的黄金分割点.那么黄金分割点到底在什么位置呢？让我们来算一算.
在日常生活中，还存在着许多令人费解的“黄金分割”之谜.科学家们发现，当外界环境的温度约为人体体温的0.618倍时，人会感到最舒适.我们的书本和窗户，其形状大都基本符合黄金分割.黄金分割留给我们的是永远的美和未解的谜，它到底反映了一个什么样的普遍规律呢？但愿你能有所发现！
比例线段
∴AD=BD
∴
∴ （等比代换）
即EA:EC=BF:CF
证法二: 过 C作CM//FD交AB于M
∵CM//FD
∴AD=BD
∴
∴ （等比代换）
即EA:EC=BF:CF
证法二: 过 C作CM//FD交AB于M
1. 2. 3. 4.
101 align=left v:shapes="_x0000_s1034" u1:shapes="_x0000_s2063"> 知:如图,△ABC中,CD平分∠ACB,DE//BC, AD:DB=2:3,AC=10,求DE的长。
练习参考答案:
这三个基本图形的用途是:
1.由平行线产生比例式
基本图形(1): 若l或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
这四个定理主要提出由平行线可得到比例式;反之,有比例可得到平行线。首先要弄清三个基本图形。
这三个基本图形的用途是:
∵D是AB中点
∴AD=BD
∴
∴ （等比代换）
即EA:EC=BF:CF
证法二: 过 C作CM//FD交AB于M
∵CM//FD
∴AD=BD
∴
∴ （等比代换）
即EA:EC=BF:CF
证法二: 过 C作CM//FD交AB于M
3、答案（C）
解析：∵DE∥AC
∵CE：BE=AD：DB=3：4
∵EF∥AB （B）OE=OF
（C）OE=2OF
这四个定理主要提出由平行线可得到比例式;反之,有比例可得到平行线。首先要弄清三个基本图形。
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期末提分练案 ∴△COD≌△COB(SAS)．∴∠CDO＝∠CBO＝90°. 又∵点 D 在⊙O 上，∴CD 是⊙O 的切线，故①正确． ∵△COD≌△COB，∴CD＝CB. ∵CD，CB 是⊙O 的切线，∴CO 平分∠DCB. ∴CO⊥DB，故②正确． ∵CD 为⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径， ∴∠EDO＝∠ADB＝90°.
人教版 九年级下
期末提分练案
第3讲 相似图形的判定及性质
第6课时 综合训练
用线段成比例法解几何问题的三种常
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期末提分练案 1．(2019·安徽)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，
BC＝12，点 D 在边 BC 上，点 E 在线段 AD 上，EF⊥AC 于 点 F，EG⊥EF 交 AB 于点 G.若 EF＝EG，则 CD 的长为( ) A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
期末提分练案 【点拨】如图，连接 OD. ∵AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，∴∠CBO＝90°. ∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD. 又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO. ∴∠COD＝∠COB.
CO＝CO， 在△COD 和△COB 中，∠COD＝∠COB，
OD＝OB，
期末提分练案 ∴32＋OCOC＝PPBB＋ ＋323PPBB＝58. ∴OC＝52，∴AB＝5. ∵△PBC∽△PCA，∴PPBC＝BACC＝12. ∴AC＝2BC. 在 Rt△ABC 中，AC2＋BC2＝AB2， ∴(2BC)2＋BC2＝52，解得 BC＝ 5. ∴AC＝2 5. ∴S△ABC＝12AC·BC＝5.
期末提分练案 4．(2019·天门)如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，弦
AD∥OC，直线 CD 交 BA 的延长线于点 E，连接 BD，下列 结论： ①CD 是⊙O 的切线；②CO⊥DB； ③△EDA∽△EBD；④ED·BC＝BO·BE. 其中正确结论的个数有( ) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
期末提分练案 3．如图，在矩形 ABCD 中，点 P 是 BC 边上一点，连接 DP，
并延长交 AB 的延长线于点 Q. (1)若PPBC＝13，求AAQB的值；
期末提分练案 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB∥CD，BC∥AD.∴BQ∥CD，BP∥AD. ∴PPBC＝PPQD，PPQD＝BBQA. ∴PPBC＝BBQA. ∵PPBC＝13，∴BBQA＝13. ∵BQ＋BA＝AQ，∴AAQB＝34.
期末提分练案 (2)若点 P 为 BC 边上任一点，求证BBCP－BAQB＝1.
证明：∵BQ∥CD，∴PPCB＝PPDQ， ∴PCP＋BPB＝PDP＋QPQ，即BBCP＝DPQQ. ∵BP∥AD，∴DPQQ＝ABQQ.∴BBCP＝ABQQ. ∴BBCP－BAQB＝ABQQ－BAQB＝AQB－QAB＝BBQQ＝1.
期末提分练案 【点拨】如图，作 DH∥EG 交 AB 于点 H， 则△AEG∽△ADH. ∴AADE＝DEHG. ∵EF⊥AC，∠C＝90°，∴∠EFA＝∠C＝90°. ∴EF∥CD. ∴△AEF∽△ADC. ∴AADE＝CEDF.∴DEGH＝CEDF. ∵EG＝EF，∴DH＝CD. 设 DH＝x，则 CD＝x.
期末提分练案 ∴∠EDA＋∠ADO＝∠BDO＋∠ADO＝90°.∴∠EDA＝∠BDO. ∵OD＝OB，∴∠BDO＝∠DBO. ∴∠EDA＝∠DBE. 又∵∠E＝∠E，∴△EDA∽△EBD，故③正确． ∵∠EDO＝∠EBC＝90°，∠E＝∠E， ∴△EOD∽△ECB.∴EBDE＝OBDC. ∵OD＝OB，∴ED·BC＝BO·BE，故④正确．
期末提分练案 ∵∠AFB＝∠DFN， ∴△ABF∽△DNF，找不出全等的条件，故②错误． ∵∠AFB＋∠ABF＋∠BAF＝180°，∠FBC＝∠CAF， ∴∠AFB＋∠ABC＋∠BAC＝180°. ∴∠AFB＝60°.∴∠MFN＝120°. ∵∠MCN＝60°，∴∠FMC＋∠FNC＝180°，故③正确． ∵CM＝CN，∠MCN＝60°，∴△MCN 是等边三角形．
【答案】A
期末提分练案 5．(中考·襄阳)如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，
AE 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 E，AE 交⊙O 于点 D， 直线 EC 交 AB 的延长线于点 P，连接 AC，BC，PB∶PC＝ 1∶2. (1)求证：AC 平分∠BAD；
期末提分练案
证明：如图，连接 OC. ∵PE 与⊙O 相切，∴OC⊥PE. ∵AE⊥PE，∴OC∥AE. ∴∠CAD＝∠OCA. ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC. ∴∠CAD＝∠OAC. ∴AC 平分∠BAD.
期末提分练案 (3)若 AD＝3，求△ABC 的面积． 解：如图，过点 O 作 OH⊥AD 于点 H， 则 AH＝12AD＝32，四边形 OCEH 是矩形． ∴OC＝HE. ∴AE＝32＋OC. ∵OC∥AE，∴△PCO∽△PEA. ∴OAEC＝PPAO. ∵AB＝3PB，AB＝2OB，∴OB＝32PB.
期末提分练案 ∴∠MNC＝60°. ∵∠DCE＝60°，∴MN∥AE.∴△MND∽△ACD. ∴MACN＝DCDN＝CDC－DCN. ∵CD＝CE，MN＝CN，∴MACN＝CEC－EMN. ∴MACN＝1－MCEN. 两边同时除以 MN，得A1C＝M1N－C1E， ∴M1N＝A1C＋C1E，故④正确． 【答案】①③④
期末提分练案 (2)探究线段 PB，AB 之间的数量关系，并说明理由； 解：PB，AB 之间的数量关系为 AB＝3PB.理由如下： ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠BAC＋∠ABC＝90°. ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC. ∵∠PCB＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠PAC. ∵∠P＝∠P，∴△PCA∽△PBC. ∴PPCB＝PPAC. ∴PC2＝PB·PA. ∵PB∶PC＝1∶2，∴PC＝2PB. ∴PA＝4PB. ∴AB＝3PB.
期末提分练案 【点拨】∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°. ∴∠ACB＋∠BCD＝∠ECD＋∠BCD，即∠ACD＝∠BCE. ∴△ACD≌△BCE(SAS)． ∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∠CAD＝∠CBE. 易证△DMC≌△ENC，∴DM＝EN，CM＝CN. ∴AD－DM＝BE－EN，即 AM＝BN，故①正确． ∵∠ABC＝60°＝∠BCD，∴AB∥CD. ∴∠BAF＝∠NDF.
期末提分练案
∵BC＝12，AC＝6，∴BD＝12－x. ∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG， ∴EG∥AC∥DH.∴△BDH∽△BCA. ∴DAHC＝BBDC，即x6＝121－2 x，解得 x＝4. ∴CD＝4.
【答案】B
期末提分练案
2．(2019·宜宾)如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且 A， C，E 在同一直线上，AD 与 BE，BC 分别交于点 F，M，BE 与 CD 交于点 N，下列结论正确的是________(写出所有正确 结论的序号)． ①AM＝BN；②△ABF≌△DNF； ③∠FMC＋∠FNC＝180°；④M1N＝A1C＋C1E.