利用旋转法解几何最值问题应用举例 教师版

利用旋转法解几何最值问题应用举例解析一、利用旋转转化为点到直线的距离垂线段最短求最值例1、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC 的最小值为．MN解析：如图，将△ABO绕点A逆时针旋转60°得△AACM，并延长MC交x轴于点N．则点C在直线MN 上运动，当OC⊥MN时，OC最小，∴OC＝AM＝2，则OC的最小值为2．例2、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．解析：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，连接HG，过点H作HM⊥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝120°，∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，∴EF＝EG＝4，AE＝EH，∠AEH＝∠FEG＝120°，∴∠DEH＝60°，∠AEF＝∠HEG，且EF＝EG，AE＝EH，∴△AEF≌△HEG（SAS）∴∠A＝∠EHG＝120°＝∠AEH，∴AD∥HG，∴点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线，∴当DG⊥HG时，线段GD长度有最小值，∵∠HEM＝60°，EH＝4，HM⊥AD，∴EM＝2，MH＝EM＝2，∴线段GD长度的最小值为2，例3、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．解析：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝，故答案为．二、利用旋转转化为三点共线求最值例4、如图，PA＝2，PB＝4，将线段PA绕P点旋转一周，以AB为边作正方形ABCD，则PD的最大值为．解析：将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，∴PA＝PA'，∠PAP'＝90°∴PP'＝PA＝2∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝PA＝2，PB＝4，且P、D两点落在直线AB的两侧，∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，此时P'B＝PP'+PB＝2+4，即P'B的最大值为2+4．例5、如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD的长的最大值为．解析：将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AK，连接BK、DK．则AK＝AB＝BK＝6，∠KAB＝60°，∴∠DAC＝∠KAB，∴∠DAK＝∠CAB，在△DAK和△CAB中，，∴△DAK≌△CAB（SAS）∴DK＝BC＝4，∵DK+KB≥BD，DK＝4，KB＝AB＝6∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB＝10．A B M NP例6、如图，菱形ABCD 的边长为4，∠A ＝60°，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点将线段EF绕着点E 逆时针旋转60°得到EG ，连接BG 、CG ，则BG +CG 的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．2+2解析：如图，取AB 的中点N ．连接EN ，EC ，GN ，作EH ⊥CD 交CD 的延长线于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝BD ，∵AE ＝ED ，AN ＝NB ，∴AE ＝AN ，∵∠A ＝60°，∴△AEN 是等边三角形，∴∠AEN ＝∠FEG ＝60°，∴∠AEF ＝∠NEG ，∵EA ＝EN ，EF ＝EG ，∴△AEF ≌△NEG （SAS ），∴∠ENG ＝∠A ＝60°，∵∠ANE ＝60°，∴∠GNB ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G 的运动轨迹是射线NG ，易知B ，E 关于射线NG 对称， ∴GB ＝GE ，∴GB +GC ＝GE +GC ≥EC ，在Rt △DEH 中，∵∠H ＝90°，DE ＝2，∠EDH ＝60°，∴DH ＝DE ＝1，EH ＝，在Rt △ECH 中，EC ＝＝2，∴GB +GC ≥2，∴GB +GC 的最小值为2．故选：B ． 例7、如图，AB ＝6，点M 为线段AB 外一个动点，且AM ＝2，MB ＝MN ，∠BMN ＝90°，则线段AN 的最大值为 ．解析：如图，连接BN ，∵将△AMN 绕着点M 顺时针旋转90°得到△PBM ，连接AP ，则△APM 是等腰直角三角形，∴MA ＝MP ＝2，BP ＝AN ，∴PA ＝2，∵AB ＝6，∴线段AN 长的最大值＝线段BP 长的最大值，∴当P 在线段BA 的延长线时，线段BP 取得最大值最大值＝AB +AP ＝6+2． 三、利用旋转转化为四点共线求最值例8、如图，△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝4，BC ＝5，P 是△ABC内部的任意一点，连接PA ，PB ，PC ，则PA +PB +PC 的最小值为 ．解析：如图，将△ABP绕着点B逆时针旋转60°，得到△DBE，连接EP，CD，∴△ABP≌△DBE∴∠ABP＝∠DBE，BD＝AB＝4，∠PBE＝60°，BE＝PE，AP＝DE，∴△BPE是等边三角形∴EP＝BP∴AP+BP+PC＝PC+EP+DE,∴当点D，点E，点P，点C共线时，PA+PB+PC有最小值CD∵∠ABC＝30°＝∠ABP+∠PBC,∴∠DBE+∠PBC＝30°,∴∠DBC＝90°,∴CD＝＝，例9、如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC 的最小值是（）A．4+3B．2C．2+6D．4解：由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC＝PF，∵PB＝EF，∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝4，∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∴AE＝＝2，故选：B．四、利用旋转转化为圆外一定点与圆上的动点的关系求最值例10、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长的最大值为．BCDAEF解析：如图，以BC为边作等边三角形BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，∵AB＝BD，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，∴△ABC≌△DBE，∴DE＝AC，∵在等边三角形BCE中，EF⊥BC，∴BF＝BC＝2，∴EF＝BF＝×2＝2，以BC为直径作⊙F，则点D在⊙F上，连接DF，∴DF＝BC＝×4＝2，∴AC＝DE≤DF+EF＝2+2，即AC的最大值为2+2．练习1、已知x轴上一点A（1，0），B为y轴上的一动点，连接AB，以AB为边作等边△ABC如图所示，已知点C随着点B的运动形成的图形是一条直线，连接OC，则AC+OC的最小值是．解析：将△ABO绕点A逆时针旋转60°得△ACD，并作直线CD，延长AD交y轴于点A'．∵等边△ABC、等边△AOD，∴AB＝AC，AO＝AD，∠BAC＝∠OAD＝60°∴∠BAC﹣∠OAC＝∠OAD﹣∠OAC，∴∠BAO＝∠CAD在△BAO 和△CAD 中，∴△BAO ≌△CAD （SAS ），∴∠AOB ＝∠ADC ∵∠AOB ＝90° ∴∠ADC ＝90°，∴CD ⊥AD ，∴点C 随着点B 的运动形成的图形是直线CD∵∠AOA '＝90°，∠OAD ＝60°∴∠AA 'O ＝30°∴OA ＝AA ' ∴AD ＝OA ＝AA '∴点D 是AA '的中点，∵CD ⊥AD ，∴CD 是AA '的中垂线 ∴AC ＝A 'C ，∴AC +OC ＝A 'C +OC又∵点C 在直线CD 上运动，所以点O 、C 、A '三点共线时，A 'C +OC 的值最小，最小值为OA '的长． 在R △AOA '中，∠AOA '＝90°，∠OAD ＝60°，OA ＝1，O A '＝OA ＝，∴AC +OC 的最小值为．2、已知：AD ＝2，BD ＝4，以AB 为一边作等边三角形ABC ．使C 、D 两点落在直线AB 的两侧．当∠ADB 变化时，则CD的最大值 ．解析：把△ADC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AEB ，则AE ＝AD ，BE ＝DC ，∠EAD ＝60°，∴△ADE 为等边三角形，∴DE ＝DA ＝2，∠ADE ＝60°，当E 点在直线BD 上时，BE 最大，最大值为2+4＝6，∴CD 的最大值为6．3、如图，在等腰直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是△ABC 所在平面上一点，且满足DB ＝6，DA ＝10，则CD 的最小值为E解析：将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ．则CD ＝BE ，△ADE 是等腰直角三角形，ED ＝10．∵AE 、AD 、BD 都是定值，∴当E 、B 、D 三点共线时，BE 最小，即CD 最小．此时BE 最小值为DE ﹣BD ＝10﹣5．故选：A ． 4、如图，平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°，BC ＝6，AB ＝5，点E 在AD 上，且AE ＝2，点F 是AB 上一点，连接EF ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ，连接GD ，则线段GD 长度的最小值为 ．解析：将线段AE 绕点E 逆时针旋转120°得到EH ，连接HG ，过点H 作HM ⊥AD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A +∠B ＝180°，∴∠A ＝120°，∵将线段AE 绕点E 逆时针旋转120°得到EH ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ，∴EF ＝EG ，AE ＝EH ，∠AEH ＝∠FEG ＝120°，∴∠DEH ＝60°，∠AEF ＝∠HEG ，且EF ＝EG ，AE ＝EH ，∴△AEF ≌△HEG （SAS ）∴∠A ＝∠EHG ＝120°＝∠AEH ，∴AD ∥HG ，∴点G 的轨迹是过点H 且平行于AD 的直线，∴当DG ⊥HG 时，线段GD 长度有最小值，∵∠HEM ＝60°，EH ＝2，HM ⊥AD ，∴EM ＝1，MH ＝，∴线段GD 长度的最小值为，5、如图，长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E 为 BC 上一点，且 BE ＝2，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF ，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45˚到 EG 的位置，连接 FG 和 CG ，则 CG 的最小值为 ．C G HFM N解析：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动,将△EFB 绕点E 旋转45°，使EF 与EG 重合，得到△EFB ≌△EHG ，从而可知△EBH 为等腰直角三角形，点G 在垂直于HE 的直线HG 上，作CM ⊥HG ，则CM 即为CG 的最小值，作EN ⊥CM ，可知四边形HENM 为矩形，则CM ＝MN +CN ＝HE 2EC ＝3212 6、如图，菱形ABCD 的边长是6，∠A ＝60°，E 是AD 的中点，F 是AB 边上一个动点，EG ＝EF 且∠GEF ＝60°，则GB +GC 的最小值是A B GFA B G F H解析：取AB的中点H，连接HG、HE、HG、BE、CE，则△AEF≌△HEG，∴∠GHE＝∠A＝60°，∴HG∥AD，可知△BHG≌△EHG，∴BG=GE，∴CE的长就是GB+GC的最小值；在Rt△EBC中，EB＝3，BC＝6，∴EC＝3，∴GB+GC的最小值3.7、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，AB＝5，点E在AD上，且AE＝2，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD 长度的最小值为．EADB CFGEADB CF GH NM解：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，连接HG，过点H作HM⊥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝120°，∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，∴EF＝EG＝4，AE＝EH，∠AEH＝∠FEG＝120°，∴∠DEH＝60°，∠AEF＝∠HEG，且EF＝EG，AE＝EH，∴△AEF≌△HEG（SAS）∴∠A＝∠EHG＝120°＝∠AEH，∴AD∥HG，∴点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线，∴当DG⊥HG时，线段GD长度有最小值，∵∠HEM＝60°，EH＝2，HM⊥AD，∴EM＝1，MH＝，∴线段GD长度的最小值为，8、如图，AB＝8，点M为线段AB外一个动点，且AM＝4，MB＝MN，∠BMN＝90°，则线段AN的最大值为．解析：如图，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝4，BP＝AN，∴PA＝4，∵AB＝8，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝8+4．9、如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＜AC，点P是△ABC内一点，AB＝6，BC＝8，则PA+PB+PC的最小值是 ．解析：如图，将△PBF 绕点B 逆时针旋转60°得到△BFE ，作EH ⊥CB 交CB 的延长线于H ．∵∠ABC ＝60°，∠PBF ＝60°，∵∠ABP ＝∠EBF ，∴∠EBF +∠BC ＝60°，∴∠EBC ＝120°，∵PB ＝BF ，∠PBF ＝60°，∴△PBF 是等边三角形，∴PB ＝PF ，∵PA ＝EF ，∴PA +PB +PC ＝CP +PF +EF ，根据两点之间线段最短可知，当E ，F ，P ，C 共线时，PA +PB +PC 的值最小，最小值＝EC 的长， 在Rt △EBH 中，∵∠EBH ＝60°，EB ＝6，∴BH ＝BE •cos60°＝3，EH ＝EB •sin60°＝3，∴CH ＝BH +CB ＝3+8＝11， ∴EC ＝＝＝2．10、如图，菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝60°，在菱形ABCD 内部有一点P ，当PA+PB+PC 值最小时PB 的长为 ．B C A D P解析：将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，得到△DEC ，连接PE 、DE ，则当B 、P 、E 、D 四点共线时，PA +PB +PC 值最小，最小值为BD ．∵将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，得到△DEC ，∴△APC ≌△DEC ，∴CP ＝CE ，∠PCE ＝60°， ∴△PCE 是等边三角形，∴PE ＝CE ＝CP ，∠EPC ＝∠CEP ＝60°．∵菱形ABCD 中，∠ABP ＝∠CBP ＝∠ABC ＝30°，∴∠PCB ＝∠EPC ﹣∠CBP ＝30°，∴∠PCB ＝∠CBP ＝30°，∴BP ＝CP ，同理，DE ＝CE ，∴BP ＝PE ＝ED ．连接AC ，交BD 于点O ，则AC ⊥BD ．在Rt △BOC 中，∵∠BOC ＝90°，∠OBC ＝30°，BC ＝4， ∴BO ＝BC •cos ∠OBC ＝4×＝2，∴BD ＝2BO ＝4，∴BP ＝BD ＝． 即当PA +PB +PC 值最小时PB 的长为． 11、如图，四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°，则对角线BD 长的最大值为（ ）A ．5B ．2C ．2D ．1解析：如图，在AB的左侧作等边三角形△ABK，连接DK．则AK＝AB＝BK＝3，∠KAB＝60°，∴∠DAC＝∠KAB，∴∠DAK＝∠CAB，在△DAK和△CAB中，，∴△DAK≌△CAB（SAS），∴DK＝BC＝2，∵DK+KB≥BD，DK＝2，KB＝AB＝3，∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB＝5．故选：A．12、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若对角线BD⊥CD于点D，则对角线AC的最大值为．解：如图，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得△DBM，∵∠ABD＝∠CBM＝60°，∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，∴△ABC≌△DBM，∴AC＝MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝2+2，∴AC的最大值为2+2．13、如图在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝90°．若AB＝4cm，AD＝3cm，则对角线AC的最大值为cm．解析：如图，在直线AB的右侧作等腰直角三角形△ABE，使得，EB＝EA，∠AEB＝90°．∵AB＝4cm，∴AE＝BE＝2，∵∠ABE＝∠DBC＝45°，∴∠ABD＝∠EBC ，∵＝＝，∴△ABD∽△EBC ，∴＝，∵AD＝3cm，∴EC ＝cm，∵AC≤AE+EC，∴AC ≤．∴AC 的最大值为cm.14、如图，已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．若∠ABC＝30°，∠ACD＝45°，AC＝2，则B、D之间距离的最大值为．解：如图，在△ACD的外部作等边三角形△ACO，以O为圆心OA为半径作⊙O．∵∠ABC＝∠AOC＝30°，∴点B在⊙O上运动，作OE⊥DA交DA的延长线于E．在Rt△AOE中，OA＝AC＝2，∠EAO ＝30°，∴OE＝OA＝1，AE＝，在Rt△ODE中，DE ＝AE +AD ＝2+，∴DO＝＝＝+，当B 、O、D共线时，BD的值最大，最大值为OB+OD＝2++．第11页（共11页）。