第三章 3.1.3 空间向量的数量积运算
3.1.3空间向量的数量积运算课件人教新课标5
1 ·
所以 cos<1 , >=
|1 |||
=
1
2× 2
1
2
= .
因为<1 , >∈[0°,180°],
所以<1 , >=60°,所以向量1 与 的夹角为 60°.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
课前预习导学
且|cos<a,b>|≤1,所以 D 正确.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
2.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=4,E 为侧面
AB1 的中心,F 为 A1D1 的中点.
2.有关数量积的运算应注意的问题:
(1)与数乘运算区分开,数乘运算的结果仍是向量,数量积的结果为
数量;
(2)书写规范:不能写成 a×b,也不能写成 ab.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
=|c|2-|a|2=0.
3.1.3
问题导学
空间向量的数量积运算
当堂检测
(3) ·1 =
1
1
(-) +
2
2
1
+
2
1
2
1
1
=- |a|2+ |b|2=2.
2
3.1.3空间向量的数量积运算 课件
＝12＋1×1×cos 60° －2×1×1×cos 60° ＋1×1×cos 60° ＋12－2×1×1×cos 60° ＝1. → → → (3)|OA＋OB＋OC|＝ → → → OA＋OB＋OC2
＝ 12＋12＋12＋2×1×1×cos 60° ×3＝ 6.
研一研· 问题探究、课堂更高效
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3.1.3 例 1 已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝ 2，AD
＝ 4， E 为侧面 AB1 的中心， F 为 A1D1 的中点．试计算： → → → → → → (1)BC· ED1；(2)BF· AB1； (3)EF· FC1. → → → 解 如图，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
跟踪训练 2
如图所示，已知平行六面体
ABCD— A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形， 且∠ C1CB＝∠ C1CD＝∠ BCD＝ 60° .求证： CC1⊥ BD. → → → 证明 设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则|a|＝|b|.
→ → → → → ∵BD＝CD－CB＝b－a， ∴BD· CC1＝(b－a)· c＝b· c－a· c ＝|b||c|cos 60° －|a||c|cos 60° ＝0， → → ∴C1C⊥BD，即 C1C⊥BD.
研一研· 问题探究、课堂更高效
小结
3.1.3 求向量的模，可以转化为求向量的数量积，求两点
间的距离或某条线段的长度，可以转化为求对应向量的模， 其中的关键是将线段长度用向量的模表示出来．
跟踪训练 3 如图所示，已知线段 AB 在平面 α 内，线段 AC⊥α，线段 BD⊥AB，线段 DD′⊥α 于 D′， 如果∠ DBD′＝30° ，AB ＝ a， AC＝ BD＝b，求 CD 的长． → → 解 易知 AC⊥AB.，<CA，BD>＝60° ， → → → → → → ∵|CD|2＝CD· CD＝(CA＋AB＋BD)2 →2 →2 → 2 → → → → → → ＝|CA| ＋|AB| ＋|BD| ＋2(CA· AB＋CA· BD＋AB· BD)＝
高中数学A版3.1.3空间向量的数量积运算优秀课件
高考链接
1.（2006年四川卷）如图，已知正六边
形P1P2P3P4P5P6 ，下列向量的数量积中最
大的是___A___. A. P1P2 ·P1P3
B. P1P2·P1P4
C. P1P2·P1P5 D. P1P2·P1P6
方法三:数形结合法，发现形的特殊性.
（2）已知 a 2 2 , b 2 , a b 2
2
则a，b所成的夹角为__1_3_5___.
分析:根据两向量夹角公式
a·b = a b cosa ,b （0 a,b π）
可得到所求结果.
2.选择
设a，b，c是任意的非零空间向量，且
a b = a b cosθ
向量的夹角： 0 θO a
A
B
2.平面向量的数量积的主要性质
设a，b是两个非零向量
（1）a⊥b a×b=0数量积为零是判
定两非零向量垂直的充要条件;
（2）当a与b同向时, a·b=|a|·|b|;当a与b 反向时, a·b=-|a|·|b|;特别地，a a = a 2 或 a = a a 用于计算向量的模;
2
2
AB' = AB + AA' = 2FG
FG / /AB'
由①知 EG∥AC
∴平面EFG//平面AB’C.
习题答案
1. B
2. 解:因为 AC = AB + AD + AA，
所以 | AC |2= ( AB + AD + AA )2
=| AB |2 + | AD |2 + | AA |2 + 2( AB·AD + AB·AA+ AD·AA )
3.1.3空间向量的数量积运算课件人教新课标2
法一:发现 | a b |2 | a b |2 2(| a |2 | b |2)代入求得.
法二:由 | a b |2 | a |2 2ab | b |2 代入求得 ab =-2. ∴| a b |2| a |2 2ab | b |2 得| a b | 1.
法三:数形结合法,发现形的特殊性.
g xm yn , l g xl m yl n , l
l m 0, l m 0 , l g 0,即l g.
gl
m
m n ng
l g,即l垂直于平面内任一直线.l .
通过学习，体会到我们可以利用向量数量积解 决立体几何中的以下问题：
1.证明两直线垂直； 2.求两点之间的距离或线段长度； 3.证明线面垂直； 4.求两直线所成角的余弦值等等.
a = c .( 或 b = c ) 对 于 向 量
b
a
a , b ,若 a•b k 能否写成
a k (或 b k )？也就是说
b
a
向量有除法吗？
不能，向量没有除法.
对于三个均不为 0 的
数,a,b,c,若(ab)c=a(bc),.对
于
向
量
a , b , c , a•bc ab•c 成立
吗？也就是说，向量的数量
另外，空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系，证两直 线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零.
例 2 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
已知:如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、斜线，
AO 是 PA在平面 内的射影， l ，且 l OA ，
对于三个均不为 0 的 数,a,b,c,若 ab=ac,则 b=c. 对于向量 a , b , c ,由 a•ba•c 能得到 bc 吗？ 如果不能，请举出反例.
3.1.3 空间向量的数量积运算
数乘向量与向量数量积的结合律
交换律
λ( a · b) (λa)· b＝______
b· a a· b＝____
a· b＋a· c a· (b＋c)＝________
分配律
知识点2：空间向量数量积的性质 a· b＝0 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔______ |a|· |b| ；若反向，则a· －|a|· |b| . ②若 a 与 b 同向，则 a · b ＝ b ＝ 两个向量 2 | a | 特别地，a· a＝ 或|a|＝ a· a 数量积的 a· b 性质 |a||b| ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_____
(1)空间向量的夹角
→ → ①定义：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝ b，则 ∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉. π ②范围：〈a，b〉∈ [0，π] .特别地：当〈a，b〉＝ 2 时，a⊥b.
知识点1：空间向量数量积的概念 (2)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积， 记作a· b. (3)数量积的运算律
＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，
→ ∴|EF|＝ 2，∴EF 的长为 2.
1
2
3
4
5
课堂小结
空间向量数量积的性质可以看成定义的引申和拓展，空间向量数量积与向
量的模和夹角有关，更多的是以它为工具，解决立体几何中与夹角和距离
相关的问题：
①求空间两点间的距离或线段的长度的问题可以转化为求相应向量的模的
问题；
②求空间两条直线所成的角的问题可以转化为求两条直线对应向量的夹角
的问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围；
【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.3空间向量的数量积运算课件 新人教A版选修2-1
3.1.3 空 间 向 量 的 数 积 运 算
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1．已知平面 α 内有两个非零向量 a，b，在平面 α 内 ． ， ， → → 任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫做两个 ， ， ， 夹角 ，记作________． 〈 ， 〉 向量 a，b 的______，记作 a，b〉 ． ， 2．已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量 |a||b|cos 〈a，b〉 ， 〉 数量积 或内积 ________________叫做 a 与 b 的_________(或内积 ， 或内积)， 叫做 ，它满足的运算律 记作 a·b，即 a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉 它满足的运算律 ， ＝ 〈 ， 〉 ， ＋ ＝ 交换律： 分配律： 有：(1)交换律：_________；(2)分配律：_________ 交换律 a·b＝b·a ； 分配律 a·(b＋c) λ(a·b) ＝______． ＝a·b＋a·c ； ＋ ___________；(3)(λa)·b＝______＝a·(λb) ． ＝
长都等于 a，如图所示，点 E，F 分别是 AB，AD ，如图所示， ， ， 的中点， 的中点，求： → → (1)AB·AC； → → (2)EF·BC. (2)EF·BC.
【思路点拨】 思路点拨】
→ → → → → → 【解】 (1)AB·AC＝|AB||AC|cos〈AB，AC〉 〈 1 a2 ＝a×a× ＝ . × × 2 2 (2)∵E，F 分别为 AB，AD 的中点， 的中点， ∵ ， ， → 1→ ∴EF＝ BD. 2 → → 1→ → ∴EF·BC＝ BD·BC 2 1 1 ＝ ×a×a× × × 2 2 a2 ＝ . 4
§3.1.3空间向量的数量积运算教学设计
§3.1.3 空间向量的数量积运算一．教学目标1.知识与技能(幻灯片2)(1)通过类比平面向量数量积的运算，掌握空间向量数量积的概念、性质和运算律； (2)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体 几何问题转化为向量问题；(3)通过向量的运算，研究空间中点、线、面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题。
2.过程与方法引导学生注重知识间的联系，不断地与平面向量和立体几何知识进行类比，做到温故而知新，并且经历向量及其运算由平面到空间的推广过程，使学生的思维过程螺旋上升。
3.情感态度与价值观通过本节课的学习，使学生对于以往的知识有一个全新的认识，培养学生积极探索数学的本质，提高学生的数学素养。
二．教学重点空间向量数量积的概念以及实际应用。
三．教学难点建立空间向量与空间图形的内在联系； 四．教学过程 教学环节教学过程设计意图新 课 引入同学们,你们还记得平面向量数量积的定义吗？你能类比平面向量所成夹角说一说什么是空间中两条向量夹角及范围吗?注重了与旧知识的联系，使学生对知识的理解更为透彻。
学生容易对向量夹角和两直线夹角产生混淆，这里要对范围进行明确。
（幻灯片4） 讲 授 新 课零向量与任何向量的数量积为0。
性质1：这个性质是证明两向量垂直的依据；性质2： 这个性质是求向量模的依据。
思考：类比平面向量，你能说出空间向量数量积的几何意义吗？（幻灯片9）空间向量数量积和平面向量数量积相似，在教学中可采用类比的方法，并且还要向学生再次强调数量积的结果为常数，而不是向量。
空间向量数量积的几何意义同平面向量数量积是一样的。
只要让同学们理解空间中任意两个向量都是共面向量，此时就可以把空间向量的数量积转化为平面向量上来了。
（幻灯片5--8）（幻灯片10）=空间向量数量积的概念:已知两个非零向量a,,则a cos a,叫做a,的数量积.记作,即a cos a,.b b b b a b a b b b 22cos ,a a a a a a a a === cos 的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积。
§3.1.3空间向量的数量积运算
§3.1.3空间向量的数量积运算班级：_____姓名：__________ 编号：_____【预习·基础知识】学习目标1、掌握空间向量的数量积概念、有关简单性质以及数量积运算的运算律。
2、能运用向量的数量积，判断向量的共线与垂直，并用于证明两直线平行与垂直。
自主预习（预习课本自主掌握以下概念和原理） 1、空间向量的夹角（1）文字叙述：已知两个非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作==,则______叫做向量,a b 的夹角，记作______ ①范围:______________.,a b 〈〉 =0时,a b与________;,a b 〈〉 =π时,a b与_________.②,,a b b a 〈〉〈〉＝，那么_________.（2 ）如果2,π=〉〈b a ,则称a 与b _______,记作：___________；2、两个向量的数量积(1)定义：已知空间两个非零向量、a b,则______叫做、a b的数量积。
(2)记法：a b ∙. 即__________a b ∙= .3、空间两个向量的数量积性质（1）a e ⋅=____________（2）______a b ⊥⇔（3）2a a a =⋅4、空间向量的数量积满足的运算律思考1.⑵是显然成立的,你能证明(1)和(3)吗？思考2.对于三个均不为0的数,a,b,c,若ab=ac,则b=c.对于向量 a , b , c ,由∙=∙a b a c 能得到=b c 吗？如果不能，请举出反例.思考3.对于三个均不为0的数,a,b,c,若ab=c,则c a =b .(或cb =a )对于向量 a ,b ,若∙= a b k 能否写成= k a b ( 或=k b a )？也就是说向量有除法吗？思考 4.对于三个均不为0的数,a,b,c,若(ab)c=a(bc)对于向量 a , b , c ,()()=a b c a b c成立吗？也就是说，向量的数量积满足结合律吗？⑴()()a b a b λλ⋅=⋅ ⑵a b b a ⋅=⋅(交换律) ⑶()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅(分配律)【突破·核心知识】典型例题（合作.探究.展示） 题型一：空间向量的数量积的基本运算 例1.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，求下列数量积： （1）_________11=∙C B （2）_________1=∙BA （3）_________11=∙B A （4）_________1=∙BC【典例训练】判断真假:1)若0,a b ⋅= 则0,0a b ==( )222222)()()()3)()()4)()a b c a b c p q p q p q p q p q ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+⋅-=- 题型二：利用向量的数量积证明垂直问题例 2. 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.【典例训练】在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.成立吗？例3．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理．（写出已知求证）题型三：利用数量积求距离（即线段长度）例4、如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，BD =3CD =，30ABD ∠= ，60ABC ∠= ，求AB 与CD 的夹角的余弦值【归纳∙知识方法】【知识梳理】lm nm ng gl【随堂∙自我测评】1、下列式子中，正确的是（）A、2B、222)(∙=∙C、)()(∙∙=∙∙ D2、已知向量,,两两夹角都是060，其模都是1，+-（）A、5B、5C、6D、63、空间四边形OABC中，OB=OC,,3π=∠=∠AOCAOB则=〉〈BCOA,cosA、21B、22C、21- D、04、在正三棱柱111CBAABC-中，若,21BBAB=则BCAB11与所成角的大小为（）A、060 B、090 C、0105 D、0755、已知,1=++，则_________=∙+∙+∙6、在平行六面体1111DCBAABCD-中，,90,5,3,401=∠===BADAAADAB1160=∠=∠DAABAA,求1AC的长。
3.1.3 空间向量的数量积运算
AB1 . BC1 (BB1 BA).(BB1 BC)
A
C
2
BB1 BA. BC 1
2
2.COS 60。
B
AB1 C1B
4、如图，在平行六面体ABCD A' B'C' D'中，AB 4,
AD 3, AA' 5,BAD 90，BAA' DAA' 60，
求AC '的 长.
D'
当a b 0 a，b夹角为钝角( )
四.空间向量数量积在立体几何中的应用:
【例1】已知：PO, PA分别是平面的垂线、斜线，
OA是PA在平面内的射影，l , 且l OA.
求证：l PA
证明：取直线l的方向向量a
P
l OA,a OA 0
PO ,且l ,
PO l PO a 0
三、课堂练习
1、已知| a | 2 2 , | b | 2 , a b 2，则a , b所夹的 2
角 为__1_3_5_0___.
2、判断真假：
(1)若a b 0,则a 0,b 0 ( )
(2) (a b) c a (b c)
()
(3)
2
p
2
q
(
p q)2
()
(4) 当a b 0 a，b 夹角为锐角，
2
2)空间向量的数量积
已知两个非零向量a、b，则 | a || b | cos a, b 叫做
向量a, b的数量积, 记作：a b，即 a b | a || b | cos a, b
注: ①两个向量的数量积是数量,可以正,负或0，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积为0.
思考: 类比平面向量，你能说出a b的几何意义吗？
数学：3.1.3《空间向量及其运算--数量积》课件(新人教a版-选修2-1)
A
证明：因为 M N 所以
AB M N AB (M A AD DN ) AB M A AB AD AB DN
M
D B N C
1 2
a
2
1 4
a
2
1 4
a
2
0
MN AB
同理，M N
CD
3.已知空间四边形 O A B C
OA ，求证：
设 OA a , 则有向线段 已知空间两个向量 记作：a b , 即 a b a b cos a , b OA 的长度叫做向量 a的长度或模 , 记作： a
a , b，则 a b cos a , b 叫做向量
a , b的数量积，
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
4 3 5 2 ( 0 1 0 7 .5 ) 85
2
2
2
A
B
| A C |
85
BD 1.已知线段 A B 、B D 在平面 内，
A B ，线段 A C
，如果
C
AB a , BD b , AC c
，求 C 、D 之间的距离.
解：∵
| C D | (C A A B B D )
、典型例题
l
l
g
g n n m
m
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
证明：由已知
O
所以
OA B C ，OB AC
OA BC 0 , OB AC 0 OA ( OC OB ) 0
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∵异面直线所成的角为直角或锐角， 2 ∴异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值为 . 3
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[例3]
如图所示，平行六面体
ABCD－A1B1C1D1中，从同一顶点出
发的三条棱的长都等于1，且彼此的 夹角都是60°，求对角线AC1和BD1 的长． [思路点拨] 把向量 AC1 和 BD1 用已知向量 AB , AD , AA1返回返回返回[例 1]
如图所示，已知正四面体
OABC 的棱长为 1，点 E,F 分别是 OA, OC 的中点．求下列向量的数量积：
OB ； (1) OA ·
BC ； (2) EF ·
(3)( OA ＋ OB )· ( CA ＋ CB )．
[思路点拨]
根据数量积的定义进行计算，求出
每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分
表示出来，再用数量积的定义运算．
返回
[精解详析] ∵ AC1 ＝ AB ＋ AD ＋ AA1 ， ∴| AC1 | ＝ AC1 ＝( AB ＋ AD ＋ AA1 )2 ＝ AB ＋ AD ＋ AA1 ＋2( AB · AA1 ＋ AD · AA1 ) AD ＋ AB · ＝1＋1＋1＋2(cos 60° ＋cos 60° ＋cos 60° )＝6. ∴| AC1 |＝ 6，即对角线 AC1 的长为 6. 同理，| BD1 | ＝ BD1 ＝( AD ＋ AA1 － AB )2 ＝ AD ＋ AA1 ＋ AB ＋2( AD · AA1 － AB · AA1 － AD · AB ) ＝1＋1＋1＋2(cos 60° －cos 60° －cos 60° )＝2. ∴| BD1 |＝ 2，即对角线 BD1 的长为 2.
问题1：向量F1和－F2夹角为多少？
提示：120°.
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问题2：每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？
提示：每个力大小为|F0|，合力为|F|， ∴|F|2＝(F1＋F2＋F3)·(F1＋F2＋F3) ＝(F1＋F2＋F3)2 ＝6|F0|2, ∴|F|＝ 6|F0|, 5 000 6 2 500 6 25 000 6 ∴|F0|＝ ×10＝ ×10＝ (N)． 6 3 3
结合正四面体的特征．
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[精解详析]
(1)正四面体的棱长为 1，则|OA |＝| OB |
＝1.△OAB 为等边三角形，∠AOB＝60° ，于是：
OB ＝| OA || OB |cos〈 OA ， OB 〉 OA ·
1 ＝| OA || OB |cos∠AOB＝1×1×cos 60° ＝ . 2 (2)因为 E，F 分别是 OA，OC 的中点， 1 BC ＝| EF || BC |cos BC 〉 所以 EF 綊 AC， 于是 EF · 〈 EF ， 2 1 ＝ | CA |· | BC |cos〈 AC ， BC 〉 2 1 ＝ ×1×1×cos〈 CA ， CB 〉 2
答案：C
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6．在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°， 将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D 间的距离．
返回
CD ＝0， 解：∵∠ACD＝90° ，∴ AC ·
同理， AC · BA ＝0. ∵AB 与 CD 成 60° 角， ∴〈 BA ， CD 〉＝60° 或 120° . 又 BD ＝ BA ＋ AC ＋ CD ，∴ BD · BD ＝ | BA |2＋| AC |2 ＋| CD |2＋
AB 1 . (2) BF ·
解：如图所示，设 AB ＝a， AD ＝b， AA1 ＝c，则|a|＝|c|＝2， |b|＝4，a·b＝b· c＝c·a＝0. 1 (1) BC · ED1 ＝ BC · ( EA1 ＋ A1 D1 )＝b·[2(c－a)＋b] ＝|b|2＝42＝16. (2) BF · AB1 ＝( BA1 ＋ A1 F )·( AB ＋ AA1 ) 1 ＝(c－a＋2b)· (a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
则异面直线 BA1 与 AC 所成角的余弦值为
6 . 6
返回
[一点通] 利用数量积求异面直线所成角的余弦值的方法：
返回
3．已知 a，b 是异面直线，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，AC ⊥b，BD⊥b，且 AB＝2，CD＝1，则 a 与 b 所成的角是 ( A．30° C．60° B．45° D．90° )
2 2
1 1 1 1 ＝1＋ －2× ＋ ＋1－2× ＝1. 2 2 2 2
返回
[一点通]
在几何体中进行向量的数量积运算，要充
分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向 量表示后再进行运算．
返回
1.如图，已知空间四边形每条边和对角 线长都等于 a，点 E、F,G 分别是 AB, AD,DC 的中点，则下列向量的数量积 等于 a2 的是
1 2 CB ＝ BD · CB ＝－ BD · BC ＝－ a . －a 2 EF · 2
2,
答案：B
返回
2． 已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， AB＝AA1＝2， AD＝4， E 为侧面 AA1B1B 的中心，F 为 A1D1 的中点．求下列向 量的数量积： (1) BC · ED1 ；
返回
(1)可以求向量的模或夹角，进而求两点间的距离或
应用 两直线所成角 (2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线垂直
返回
1．两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向共
线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π.
2．两个向量的数量积是数量，它可正、可负、可为 零． 3．数量积a· b的几何意义是：a· b等于a的长度|a|与b在 a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
C．12 D．144 解析：∵ PC ＝ PA＋ AB ＋ BC ，
BC ＋2 PA· BC ∴ PC ＝ PA ＋ AB ＋ BC ＋2 AB · AB ＋2 PA·
2
2 2
2
＝ 36 ＋ 36 ＋ 36 ＋ 2×6×6×cos 60°＋ 2×6×6×cos 90°＋ 2×6×6×cos 90° ＝144， ∴| PC |＝12.
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2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
[一点通]
求两点间的距离或某条线段的长度的方法：
先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表
示此向量，最后利用|a|2＝a· a，通过向量运算去求|a|，即得
所求距离．
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5.如图，已知 PA⊥平面 ABC，∠ABC＝120° ， PA＝AB＝BC＝6，则 PC 等于( A． 6 2 B． 6 )
解：如图，设 OA ＝a， OB ＝b， OC ＝c， 且|a|＝|b|＝|c|＝1， π 易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝ ， 3 1 则 a· b＝b· c＝c·a＝ . 2 1 因为 OE ＝ (a＋b), 2
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1 3 BF ＝2c－b，| OE |＝| BF |＝ 2 , 1 1 ∴ OE · ( c－b) BF ＝2(a＋b)· 2 1 1 1 1 2 1 ＝ a· c＋ b· c－ a· b－ |b| ＝－ . 4 4 2 2 2
CD 〉 CD ＝( AC ＋ CD ＋ DB )· CD 解析： 设 〈 AB ， ＝θ， ∵ AB · CD 1 AB · ＝| CD | ＝1，∴cos θ＝ ＝ . | AB || CD | 2
2
又 θ∈[0，π]，∴θ＝60° .
答案：C
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4．已知空间四边形 OABC 各边及对角线长相等，E,F 分别 为 AB,OC 的中点，求 OE 与 BF 所成角的余弦值．
AC A．2 BA ·
(
)
B．2 AD · BD
CA C．2 FG · CB D．2 EF ·
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AC ＝ － 2 AB · AC ＝ － 2a2cos 60° 解 析 ： 2 BA · ＝ － a2 ， CA ＝ AC · CA ＝ 2 AD · ＝a2,2 FG · BD ＝2 DA· DB ＝2a2cos 60°
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若l⊥平面α，则c⊥a，c· a＝0，c⊥b，c· b＝0；
反之，若a∥b，则c⊥a，c⊥b，并不能保证l⊥平面α.
CD ＋2 AC · CD AC ＋2 BA · 2 BA·
＝3＋2×1×1×cos〈 BA ， CD 〉 4 ＝ 2 〈 BA ， CD 〉＝60° ， 〈 BA ， CD 〉＝120° ， ∴| BD |＝2 或 2，
即 B,D 间距离为 2 或 2.
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[例4]
已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，
求证：AD⊥BC.
[思路点拨] 先将已知条件转化为 AB ·CD ＝0，AC ·BD
＝0，再证明 AD · BC ＝0.
[精解详析] ∵AB⊥CD，AC⊥BD， ∴ AB · CD ＝0， AC · BD ＝0. ∴ AD · BC ＝( AB ＋ BD )·( AC － AB )
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AC ＋ BD · AC － AB － AB · ＝ AB · BD AC － AB － AB · ＝ AB · BD
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[例 2]
如图，在直三棱柱 ABC－
A1B1C1 中，∠ABC＝90° ，AB＝BC＝1， AA1＝ 2，求异面直线 BA1 与 AC 所成 角的余弦值．
[ 思 路点 拨 ]
AC ，再由 夹角 公式 求 cos 先 求 BA1 ·
〈 BA1 ， AC 〉 ，并由此确定异面直线 BA1 与 AC 所成角的 余弦值．
分配律
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定义