初中数学专题一 数字与图形
初中数学——数学规律
数学规律本专题是这样安排的，首先前两个课时安排的是一些普通的和数字有关的规律题，目的在于让学生对数列这一概念有个初步的认识，即一些用一些代数式去表示一些有规律的数字。
第一个课时是先是数字的规律题，第二个课时是图形规律题，事实上也就是同过把图形转化为数字，同样是数字规律题，这里边也就涉及到一个数学转化思想！在这一过程会涉及到斐波那契数列和巴尔末公式，对于这个并不要求学生掌握，只是当作一个课外知识来了解。
第一个课时：数字规律题引入：报数游戏；找一组同学站成一排，老师给第一个数字，学生按要求来报数，比如老师给的第一个数字为2，要求是第二个学生报的数字必须是第一个学生的一半多一，越到后来游戏难度会越高，这个时候引入用公式来直接算出自己位置是什么数字，而不用等到前一位同学报了数后自己再计算。
题目探索：例一：观察下列各式：22151(11)1005225=⨯+⨯+=22252(21)1005625=⨯+⨯+=22353(31)10051225=⨯+⨯+=……依此规律，第n 个等式（n 为正整数）为 ．22(105)(1)1005n n n +=+⨯+例二：试观察下列各式的规律，然后填空：1)1)(1(2-=+-x x x1)1)(1(32-=++-x x x x1)1)(1(423-=+++-x x x x x ……则=++++-)1)(1(910x x x x _______________。
111-x 。
例三：观察下列等式： 第一行 3=4－1第二行 5=9－4第三行 7=16－9第四行 9=25－16… …按照上述规律，第n 行的等式为____________ （答案：2n+1=(n+1)2-n 2）===请你将发现的规律用含自然数n(n ≥1)的等式表示出来 ．(n +例五：有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 ．50例六；把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：12，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，… … … …按此规律，可知第n 行有 个正整数．2n-1 例七：一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据59，1216，2125，3236，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n （n ≥1）个数据是___________． 解：)4()2(2++n n n 或4)2()2(22-++n n 插入：巴尔末的故事例八；观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果n a （n 为正整数）表示这个数列的第n 项，那么18a = ，n a = ；2 218 2n在这里可以涉及地提下等比数列，为以后的课时铺垫。
九年级数学一单元知识点
九年级数学一单元知识点数学是一门智力与逻辑的盛宴，它的奥妙常常深藏在简单的数字和方程之中。
九年级的数学，作为初中数学学习的最后一章，是为了让学生们更好地掌握基础知识，为高中数学的学习打下坚实的基础。
一、代数表达式和式子代数作为数学的重要分支，是研究数量关系和变化规律的一种数学工具。
在九年级数学的第一单元，我们将学习代数表达式和式子的概念。
代数表达式是由数、字母以及这些数和字母的各种运算符号组成的式子。
它可以用来表示实际问题中的一些未知量或者一些变化的关系。
在代数表达式中，字母通常表示未知数或者变量，而数则用来具体表示数值。
式子是由等号连接的两个代数表达式构成的，它是代数方程的抽象形式。
式子可以有很多种形式，例如线性方程、二次方程等等。
学习式子的重要性在于通过分析和解方程，我们可以了解数与数之间的关系。
二、方程与不等式方程是数学中重要的概念，我们将在这一单元中学习如何解线性方程和二次方程。
线性方程是一种最简单也是最常见的方程形式。
它的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解线性方程就是找到能满足方程式的未知数的值。
解线性方程的方法有很多，包括平移法、消元法等。
二次方程是一种次之复杂的方程形式。
它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0。
解二次方程的方法主要包括配方法和公式法。
配方法是通过变形将二次方程转化为完全平方形式，从而便于求解。
公式法则是利用求根公式计算二次方程的根。
在不等式的学习中，我们将了解不等式的概念和性质。
不等式是代数中常见的表示两个数或者量之间大小关系的符号。
在解不等式的过程中，我们需要注意区间的划分和绘制，以便更好地理解不等式的解集。
三、实数与实数运算实数是数学中的基本概念之一，它是包括有理数和无理数在内的所有数的集合。
在这一单元中，我们将学习实数的概念、性质以及实数的四则运算。
实数可以用数轴表示，它们之间的大小关系可以通过数轴上的位置来判断。
实数可以进行加法、减法、乘法和除法运算，运算规则与有理数相同。
初中复习方略数学微专题一 规律探索问题
【变式】(2021·济宁中考)按规律排列的一组数据：12 ，35 ，□，177 ，296 ，3117 ，…，
其中□内应填的数是( D )
A．23
B．151
C．95
D．21
类型二：算式规律类
1．算式规律类试题一般有以下两种类型 (1)由给定的一些等式找出规律． (2)给出计算公式，通过具体的计算猜想规律． 2．解决此类题目的一般思路 (1)仔细观察题目提供的算式，发现结果和式子序列号之间的关系． (2)将这个关系式表示出来，继而再运用其关系式解决问题．
微专题一 规律探索问题
类型一：数字规律类
1．数字规律类试题一般有以下四种类型 (1)“等差数列”类．即相邻数字的差值相等，整个数字序列依次递增或递减的一类 数．(2)“等比数列”类．即相邻数字的比值相等．(3)加、减、乘、除、平方规律 类．(4)个位数字规律类．
2．解决此类题目的一般思路 (1)仔细观察题目给出的几个特殊情形．(2)分析、比较，寻找这些数字之间的内 在联系．(3)发现其内在规律并利用规律解决问题．
【变式】(2021·云南中考)按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，
第 ＋1
B．n2an－1
C．nnan＋1 D．(n＋1)2an
类型三：图形规律类
1．图形规律类试题一般有以下三种类型 (1)图形数量方面的规律． (2)图形形状方面的规律． (3)图形各组成部分的相对位置的规律．
2．解决此类题目的一般思路 (1)根据图形的变化规律分别求出第1个点，第2个点，第3个点的坐标，找出点的 坐标与序号之间的关系，归纳得出第n个点的坐标与变换次数之间的关系． (2)若坐标是循环变换，应先确定循环一周的变换次数，然后用总次数除以变换 次数来确定点的坐标．
专题1.2 以数字及图形规律探究问题为背景的选择填空题(解析版)
【考查知识点】探索规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
这种类题型的题目主要考查了学生分析问题解决问题的能力，也考察了初中数学中的各种数学思想。
【解题思路】掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的规律；恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题。
解决规律探究性问题常常利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括,从特殊到一般,从而得出规律(符合一定的经验与事实的数学结论),然后验证或应用这一规律解题即可.解答时对分析问题、解决问题能力具有很高的要求.【典型例题】【例1】（2016湖北荆州卷）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为（）A．671 B．672 C．673 D．674【答案】B考点：图形的变化问题【名师点睛】图形变化规律型:图形变化型问题涉及图形排列规律和变化蕴含的规律.主要是观察图形变化过程中的特点,分析其联系和区别,用相应的算式由特殊到一般描述其中的规律.这需要有敏锐的观察能力和计算能力.【例2】（2016山东滨州卷）观察下列式子： 1×3+1=22； 7×9+1=82； 25×27+1=262； 79×81+1=802； …可猜想第2016个式子为 ． 【答案】（32016﹣2）×32016+1=（32016﹣1）2．考点：规律探究题.【名师点睛】数式规律涉及数的变化规律和式的变化规律,式变化规律往往包含数的变化规律.数的变化规律问题是按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题,主要是通过观察、分析、归纳、验证,然后得出一般性的结论,以列代数式为主要内容;式的变化规律通常给定一些代数式,等式或者不等式,猜想其中蕴含的规律,一般解法是先写出代数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中的不同数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系),找出各部分的特征,写出符合条件的格式. 对于数式规律型问题,关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律,然后再利用这个变化规律回到问题中去解决问题.【例3】（2016湖北鄂州卷）如图，直线l ：y=－34x ，点A 1坐标为（－3，0）．过点A 1作x 轴的垂线交直线l 于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交x 轴负半轴于点A 2，再过点A 2作x 轴的垂线交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交x 轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A 2016的坐标为 ．【答案】（− 3520142015，0）考点：一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【名师点睛】坐标变化规律型:此类题型主要考查了点的坐标规律,培养学生观察和归纳能力,从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本类问题的关键.【例4】（2016福建泉州卷）找出下列各图形中数的规律，依此，a 的值为 ．【答案】226．考点：规律探究题.【名师点睛】数形结合规律型:这类问题主要考查学生综合运用代数知识和几何知识的能力,解决这类问题要求学生不仅要有很好的“数感”,还要有很强的“图形”意识.【方法归纳】1.图形循环类问题,只要找到所求值在第几个循环,便可找出答案,一般难度不大;图形的变化规律计算问题,关键是根据题目中给出的图形,通过观察思考,归纳总结出规律,再利用规律解决问题,难度一般偏大,属于难题.2.对于数式规律型问题,关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律,然后再利用这个变化规律回到问题中去解决问题.3.对于坐标变化规律问题,解决此类问题的关键是从点的变化中发现横坐标、纵坐标的变化规律.4. 对于数形结合规律型问题，解决此类问题的关键是利用数形结合的思想发现运动的规律.综合其用勾股定理等知识点解出相应的问题.【针对练习】1. （2016甘肃威武卷）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，…第n个三角形数记为x n，则x n+x n+1= ．【答案】（n+1）2【解析】试题分析：x1=1，x2=3=1+2，x3=6=1+2+3，x4=10=1+2+3+4，···，∴x n=1+2+3+···+n=()12n n+.∴x n+1+x n=()()122n n+++()12n n+=（n+1）2.考点：探索规律.2．（2016贵州铜仁卷）如图是小强用铜币摆放的4个图案，根据摆放图案的规律，试猜想第n个图案需要个铜币．【答案】12n（n+1）+1．考点：规律型：图形的变化类．3．（2016山西卷）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．【答案】4n+1【解析】试题分析：由图可知，涂有阴影的正方形有5+4（n-1）=4n+1个考点：找规律4．（2016云南曲靖卷）等腰三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（﹣6，0），点B在原点，CA=CB=5，把等腰三角形ABC沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②…依此规律，第15次翻转后点C 的横坐标是 ．【答案】77．考点：坐标与图形变化-旋转；等腰三角形的性质．5．（2016四川广安卷）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了()na b +（n=1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a 的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出20162()x x-展开式中含2014x 项的系数是 ．【答案】﹣4032． 【解析】试题分析：20162()x x-展开式中含2014x 项的系数，根据杨辉三角，就是展开式中第二项的系数，即﹣2016×2=﹣4032．故答案为：﹣4032．考点：整式的混合运算；阅读型；规律型．6．（2016辽宁抚顺卷）如图，△A 1A 2A 3，△A 4A 5A 5，△A 7A 8A 9，…，△A 3n ﹣2A 3n ﹣1A 3n （n 为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n ，顶点A 3，A 6，A 9，…，A 3n 均在y 轴上，点O 是所有等边三角形的中心，则点A 2016的坐标为 ．【答案】（0，4483）．考点：等边三角形的性质；规律型：点的坐标．7．（2016四川资阳卷）设一列数中相邻的三个数依次为m 、n 、p ，且满足p=m 2﹣n ，若这列数为﹣1，3，﹣2，a ，﹣7，b…，则b= ． 【答案】128． 【解析】试题分析：根据题意得：a=23﹣（﹣2）=11，则b=211﹣（﹣7）=128．故答案为：128． 考点：规律型：数字的变化类．8．（2016福建三明卷）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点1P （0，1），2P （1，1），3P （1，0），4P （1，－1），5P （2，－1），6P （2，0），…，则点60P 的坐标是 .【答案】（20,0）. 【解析】试题分析：观察图形可得，点60P 在x 轴上，它的横坐标为60÷3=20，所以点60P 的坐标是（20,0）. 考点：规律探究题.9．（2016福建龙岩卷）如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S 1，S 2，S 3，…，S 10，则S 1+S 2+S 3+…+S 10= ．【答案】.考点：1探索规律；2圆；3勾股定理. 10．（2016湖北黄石卷）观察下列等式：第1个等式：122111-=+=a ，第2个等式233212-=+=a ，第3个等式：322313-=+=a ，第4个等式：255214-=+=a ， 按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n 个等式：=n a ___________________； （2）=++++n a a a a 321__________________. 【答案】（1）n n n n -+=++111；（2）11-+n .考点：规律探究题.11．（2016河北卷）如图，已知∠AOB=7°，一条光线从点A 出发后射向OB 边.若光线与OB 边垂直，则光线沿原路返回到点A ，此时∠A=90°-7°=83°.当∠A ＜83°时，光线射到OB 边上的点A 1后，经OB 反射到线段AO 上的点A 2，易知∠1=∠2.若A 1A 2⊥AO ，光线又会沿A 2→A 1→A 原路返回到点A ，此时∠A=_____°. ……若光线从点A 发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A ，则锐角∠A 的最小值=_______°. 【答案】76°，6°. 【解析】试题分析：先求∠2=83°，∠AA1A2=180°-83°×2=14°，，进而求∠A=76°；根据题意可得原路返回，那么最后的线垂直于BO ，中间的角，从里往外，是7°的2倍，4倍，8倍......，2∠1=180°-14°×n ，在利用外角性质，∠A=∠1-7°=83°-7°×n ，当n=11时，∠A=6°。
初中数学：七年级(上册)《走进图形世界》知识点归纳
初中数学：七年级（上册）《走进图形世界》知识点归纳一、知识结构1、组成几何图形最基本的元素是点线面．2、线线相交得到点，面面相交得到线，点动成线，线动成面，面动成体．3、简单几何体的分类：4、n棱柱：2个底面是可以重合的多边形，n个侧面是长方形，(n＋2)个面，n条侧棱，2n个顶点，3n条棱．5、n棱锥：1个底面是多边形，n个侧面是三角形，(n＋1)个面，n条侧棱，1个顶点，2n条棱．特例：三棱锥，四个面都可以看作底面，可看成4个顶点．6、圆柱：2个底面，都是圆，1个侧面；圆锥：1个底面，1个侧面．7、欧拉公式：顶点数＋面数－棱数＝2．8、翻折(轴对称)，旋转，平移是图形变换的三种基本方式，这三种变换只改变原图形的位置，不改变原图形的形状和大小．9、圆柱的侧面展开图是长方形，圆锥的侧面展开图是扇形，正方体的表面展开图有11种，展开时6个面有5条棱相连，故剪开了7条棱．相对面关系的快速判断方法：(1)、如果几个面是连成一串的，那么隔一个面便是相对面的关系．(2)、如果几个面没有连成一串，那么成“Z”字型的两头即为相对面的关系．10、从不同的方向看同一物体时，从正面看到的图叫主视图，从左面看到的图叫左视图，从上面看到的图叫俯视图，即物体的三视图．11、画三视图时，应注意：主俯长相等，主左高相等，俯左宽相等．二、典型例题例1：解析：例2：如图是一个正方体纸盒的表面展开图，其中的六个正方形内分别标有字“0”“1”“2”“5”和汉字“数”“学”，将其围成一个正方体后，则与“5”相对的是______．解析：根据如果几个面是连成一串的，隔一个面便是相对面的关系．成“Z”字型的两头即为相对面的关系，可知“1”与“数”是相对面，“2”与“学”是相对面，“5”与“0”是相对面．故填0．例3：一个几何体由大小相同的小方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从正面看到几何体的形状图是（）．解析：根据所给出的图形和数字可得，主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3，故选D．三、思维拓展例1：如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图形中，是该几何体的表面展开图的是( )．。
北师大版初中七年级上册数学：探索数字与图形规律(1)
发
猜
验
表运
现
想
证
达用规Biblioteka 规规规规律
律
律
律律
P98，随堂练习， P99，第1题
2016年11月
日一二三四五六
12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
a-8 a-7 a-6 a-1 a a+1 a+6 a+7 a+8
将连续的奇数1，3，5，7，9…，排成如图的数表，
（1）十字框中的五个数的和与15有什么关系？ （2）设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ （3）若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数 还有上述规律吗？ （4）若将十字框中五个数之和这五个数的和能等于2016吗？能等 于2015吗？
在日历中，圈出横排相邻三个数，求出它们的和， 把答案告诉老师。老师就能知道你圈的是哪三个数。
横排相邻的三个数有什么关系？ 竖排相邻的三个数有什么关系？
日历图矩形框中9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关 系吗？用代数式表示，并验证。
a-8 a-7 a-6 a-1 a a+1 a+6 a+7 a+8
如果将方框改成十字形框，你能发现 哪些规律？如果改成H框呢？
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？
十道初中数学找规律的题型及解题思路
十道初中数学找规律的题型及解题思路这里有10道初中数学找规律的题目，涵盖了常见的数列、图形等多种类型，希望能帮助学生更好地掌握找规律的技巧：数列找规律1.等差数列：1.1, 4, 7, 10, ... 下一个数是多少？2.100, 97, 94, ... 第10个数是多少？2.等比数列：1.2, 4, 8, 16, ... 第8个数是多少？2.81, 27, 9, ... 第6个数是多少？3.混合数列：1.1, 4, 9, 16, 25, ... 下一个数是多少？（提示：考虑每个数的平方）2.2, 5, 10, 17, ... 下一个数是多少？（提示：观察相邻两数的差）4.周期数列：1.1, 2, 3, 1, 2, 3, ... 第20个数是多少？2.A, B, C, A, B, C, ... 第100个数是多少？图形找规律图形的变化：1.一组图形，每个图形由小方块组成，观察图形的变化规律，画出下一个图形。
图形的旋转：1.一个图形不断旋转，观察旋转的规律，画出旋转后的图形。
图形的翻转：1.一个图形不断翻转，观察翻转的规律，画出翻转后的图形。
数字与图形结合数字与图形对应：1.一组图形，每个图形对应一个数字，找出数字与图形之间的对应关系。
图形中的数字规律：1.一个图形中包含多个数字，找出数字之间的规律。
综合题型1.数字和图形的综合：1.一组图形和数字交替出现，找出数字和图形之间的关系。
解题技巧：•观察：仔细观察数列或图形的变化规律，找出其中的共同点和差异点。
•比较：比较相邻的数或图形，找出它们的递增、递减或其他变化关系。
•联想：将题目与以前学过的知识联系起来，寻找解题思路。
•归纳：根据观察和比较的结果，归纳出一般性的规律。
•验证：将得到的规律代入后面的数或图形中进行验证，确保规律的正确性。
注意事项：•找规律题的答案可能不唯一，只要找到一种合理的规律即可。
•遇到困难时，可以尝试从不同的角度去观察和分析。
数字的几何形状
数字的几何形状数字在我们日常生活中无处不在，它们承载着数学的奥秘和几何的美。
每个数字都有着独特的几何形状，让我们一起来探索数字与几何之间的奇妙关联。
1. 数字0的几何形状数字0是最简单的数字，它代表着“空”，也代表着“无限”。
几何上，数字0可以被视为一个圆形或者一个球体。
圆形是无边无角的，它在几何中具有无限的对称性和圆周率的特性。
球体则是三维空间中的完美几何体，它在所有方向上都具有均匀的曲率。
2. 数字1的几何形状数字1是最简单也是最基本的数字，它由直线组成。
它的几何形状是一条垂直的直线，如同一个立柱。
数字1代表着独特性、创造力和原创性，它的几何形状也呈现出直接、直观和直线性的特点。
3. 数字2的几何形状数字2由曲线和直线组成，它的几何形状可以被视为两个连续的圆弧。
数字2代表着对称性和平衡性，它的几何形状呈现出柔和的曲线和稳定的直线，体现了数字的优雅和和谐。
4. 数字3的几何形状数字3由曲线和直线组成，它的几何形状可以被视为两个连续的圆弧和一个直线。
数字3代表着活力和创意，它的几何形状呈现出优美的曲线和动感的直线，展现了数字的灵动和动人之处。
5. 数字4的几何形状数字4由直线和曲线组成，它的几何形状可以被视为一个竖直的直线和一个弯曲的曲线。
数字4代表着稳定性和实用性，它的几何形状呈现出直线的坚实和曲线的温暖，展示了数字的可靠和实际之处。
6. 数字5的几何形状数字5由直线和曲线组成，它的几何形状可以被视为两个连续的直线和一个弯曲的曲线。
数字5代表着活力和多样性，它的几何形状呈现出直线的力量和曲线的柔和，体现了数字的活跃和多变之处。
7. 数字6的几何形状数字6由曲线和直线组成，它的几何形状可以被视为一个弯曲的曲线和一个竖直的直线。
数字6代表着和谐和亲和力，它的几何形状呈现出柔和的曲线和直线的均衡，展示了数字的柔情和亲近之处。
8. 数字7的几何形状数字7由直线组成，它的几何形状可以被视为一个竖直的直线和一个斜线的交汇。
浅谈“数形结合”在初中数学中的应用
浅谈“数形结合”在初中数学中的应用作者：李侠来源：《新校园·学习（中旬刊）》2012年第05期数学是一门逻辑性很强的学科，很多数学符号、数学模型、数学概念都比较抽象，学习起来并不容易。
在初中数学中，如何有效解决教师“难教”，学生“难学”的数学问题，早已被广大师生所关注。
而“数形结合法”则是一个行之有效的方法。
早在19世纪，我国著名数学家华罗庚先生就提出“数缺形时少直觉，形少数时难入微”的数形结合思想。
所谓“数形结合法”，就是指将数学中抽象的数字、符号与形象的图片、形状结合起来，将数字转化为图形，用图形表达数字，通过数字与形状之间的相互转换和对应来分析数学问题的解决思路。
数形结合法的中心思想，就是将抽象的概念具体化、直观化，让繁化简，从而加强学生对问题的深入理解。
一、“数形结合”在数学知识点中的体现数形结合的思想早已渗透在初中数学课本之中，无论是代数还是几何知识，都有所体现。
如初一课本中“数轴”这一概念就体现了数形结合的思想。
因为数轴本身就是一个特定的几何图形，即“直线”；而构成数轴的三要素分别是：原点、正（负）方向、单位长度。
第一，数轴上的任意一点都有相反数，在原点两侧且距离相等的两个数为相反数。
第二，数轴上的任何一点都代表了一个有理数，且越往右边（正方向）数值越大。
第三，数轴上任意点至原点的距离被称为这个数的“绝对值”，正数的绝对值是它本身，而负数的绝对值是它相反数，0的绝对值是0。
如此一来，便可以很容易地理解数轴、相反数、有理数、绝对值这些抽象的数学概念了。
再如，学习“二次函数”时，也可以充分利用数形结合的思想进行理解。
二次函数中：f(x)=ax2+bx+c，其中a不等于0，△=b2-4ac，假设f(x)=0，x=-b±(√(b2-4ac))/2a。
由此可见，当△＞0时，x将有两个值，那么f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴就有两个交点；当△＜0时，根号无意义，x的值不存在，那么f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴没有交点；当△=0时，x仅有一个值，即-b/2a，那么f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴只有一个交点。
初中数学专题复习(数字变化规律)
初中数学专题复习（数字变化规律）一．数字表示事件1．（2020•达州）中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（）A ．10B ．89C ．165D ．294解：2×53+1×52+3×51+4×50＝294，故选：D ．2．（2020•江西）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10．在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位．根据符号记数的方法，如图符号表示一个两位数，则这个两位数是25．解：由题意可得，表示25．故答案为：25．3．（2020•湘潭）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字形式123456789纵式|||||||||||||||横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，则表示的数是9167．解：根据算筹计数法，表示的数是：9167故答案为：9167．二．通项公式类数字变化4．（2020•安徽模拟）已知对于任意正整数n，都有a1+a2+a3+…+a n＝n3，则＝（）A．B．C．D．解：∵a1+a2+…+a n﹣1+a n＝n3，a1+a2+…+a n﹣1＝（n﹣1）3，两式相减，得a n＝3n2﹣3n+1，∴，∴＝＝，＝．故选：C．5．（2020•酒泉一模）我们规定：S1＝1，S2＝1+，S3＝1﹣S2，S4＝1+，S5＝1﹣S4．…（即当n为大于1的奇数时，S n＝1﹣S n﹣1，当n为大于1的偶数时．S n＝1+，按此规律．S2020＝0．解：由题意可得，S1＝1，S2＝1+＝1+＝2，S3＝1﹣S2＝1﹣2＝﹣1，S4＝1+＝1+＝0，S5＝1﹣S4＝1﹣0＝1，…，故这列数依次以1，2，﹣1，0循环出现，∵2020÷4＝505，∴S2020＝0，故答案为：0．6．（2020•芝罘区一模）对于实数x＞0，规定f（x）＝，例如f（2）＝＝，f（）＝＝，那么计算f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）的结果是2019．解：∵f（x）＝，∴f （1）＝，f （2）＝，f （）＝，f （3）＝＝，f （）＝＝，…，f （2020）＝＝，f （）＝＝，∴f （2）+f （）＝＝1，f （3）+f （）＝＝1，…，f （2020）+f （）＝+＝1，∴f （）+f （）+f （）+…+f （）+f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2020）＝+2020﹣1＝2019．故答案为：2019．7．（2020•宜宾）定义：分数（m ，n 为正整数且互为质数）的连分数（其中a 1，a 2，a 3，…，为整数，且等式右边的每个分数的分子都为1），记作+++…，例如：＝＝＝＝＝＝，的连分数为，记作+++，则++．解：++＝＝＝＝．故答案为：．8．（2020•泰安）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，第三个数记为a 3，…，第n 个数记为a n ，则a 4+a 200＝20110．解：观察“杨辉三角”可知第n个数记为a n＝（1+2+…+n）＝n（n+1），则a4+a200＝×4×（4+1）+×200×（200+1）＝20110．故答案为：20110．三．数列类数字变化9．（2020•娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（）A．135B．153C．170D．189解：根据规律可得，2b＝18，∴b＝9，∴a＝b﹣1＝8，∴x＝2b2+a＝162+8＝170，故选：C．10．（2020•昆明）观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是（﹣1）n．．解：观察下列一组数：﹣＝﹣，＝，﹣＝﹣，＝，﹣＝﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是：（﹣1）n．故答案为：（﹣1）n．11．（2020•西藏）观察下列两行数：1，3，5，7，9，11，13，15，17，…1，4，7，10，13，16，19，22，25，…探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（）A．18B．19C．20D．21解：第1个相同的数是1＝0×6+1，第2个相同的数是7＝1×6+1，第3个相同的数是13＝2×6+1，第4个相同的数是19＝3×6+1，…，第n个相同的数是6（n﹣1）+1＝6n﹣5，所以6n﹣5＝103，解得n＝18．答：第n个相同的数是103，则n等于18．故选：A．12．（2020•广西）观察下列一行数：4，1，﹣8，1，16，1，﹣32，1，64，1，﹣128，1，…，则第19个数与第20个数的和为﹣2047．解：∵一行数：4，1，﹣8，1，16，1，﹣32，1，64，1，﹣128，1，…，∴这列数的第偶数个数都是1，奇数个数是，∴当n＝19时，这个数为＝﹣2048，当n＝20时，这个数为1，∴第19个数与第20个数的和为：﹣2048+1＝﹣2047，故答案为：﹣2047．13．（2020•新野县二模）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，F（n）＝（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n＝24，则：若n＝13，则第2020次“F”运算的结果是（）A．1B．4C．2020D．42020解：若n＝13，第1次结果为：3n+1＝40，第2次结果是：＝5，第3次结果为：3n+1＝16，第4次结果为＝1，第5次结果为：4，第6次结果为：1，…可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，而2020次是偶数，因此最后结果是1．故选：A．14．（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2解：∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．故选：A．15．（2020•武汉模拟）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是．如果a1＝﹣3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…依此类推，那么a1﹣a2+a3﹣a4…+a401﹣a402+a403﹣a404的值是（）A．B．﹣3C．D．解：∵a1＝﹣3，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣3，……∴这个数列以﹣3，，依次循环，∵404÷3＝134…2，∴a403的值是﹣3，a404的值是，那么a1﹣a2+a3﹣a4…+a401﹣a402+a403﹣a404＝﹣3﹣++3+﹣﹣3﹣++3+﹣﹣ (3)＝﹣3﹣＝﹣．故选：A．16．（2020•硚口区二模）观察下列算式：a1＝＝5，a2＝＝11，a3＝＝19，…，它有一定的规律性，把第n个算式的结果记为a n，则+++…+的值是（）A．B．C．D．解：观察算式：a1＝＝5，a2＝＝11，a3＝＝19，…，发现11﹣5＝6，19﹣11＝8，猜测下一个数比19大10，即29，验证：a4＝＝29，故依次猜测a5＝41，a6＝55，a7＝71，且验证正确；∴+++…+＝++++++＝++++++＝（1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣）＝（1++﹣﹣﹣）＝×＝．故选：C．17．（2020•德阳）将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝65．解：∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，∴第m组有m个连续的偶数，∵2020＝2×1010，∴2020是第1010个偶数，∵1+2+3+…+44＝＝990，1+2+3+…+45＝＝1035，∴2020是第45组第1010﹣990＝20个数，∴m＝45，n＝20，∴m+n＝65，故答案为：65．四．实际问题类数字变化18．（2020•呼和浩特）“书法艺术课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数超过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为112，并可推断出5月30日应该是星期几五、六、日．解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期，∴5月1日～5月28日写的张数为：4×＝112，若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1＝120，若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120，若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120，若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120，若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120，若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120，若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120，故5月30日可能为星期五、六、日．故答案为：112；五、六、日．19．（2020•淄博）某快递公司在甲地和乙地之间共设有29个服务驿站（包括甲站、乙站），一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要卸下前面各站发往该站的货包各1个，又要装上该站发往后面各站的货包各1个．在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是210个．解：当一辆快递货车停靠在第x个服务驿站时，快递货车上需要卸下已经通过的（x﹣1）个服务驿站发给该站的货包共（x﹣1）个，还要装上下面行程中要停靠的（n﹣x）个服务驿站的货包共（n﹣x）个．根据题意，完成下表：服务驿站序号在第x服务驿站启程时快递货车货包总数1n﹣12（n﹣1）﹣1+（n﹣2）＝2（n﹣2）32（n﹣2）﹣2+（n﹣3）＝3（n﹣3）43（n﹣3）﹣3+（n﹣4）＝4（n﹣4）54（n﹣4）﹣4+（n﹣5）＝5（n﹣5）……n0由上表可得y＝x（n﹣x）．当n＝29时，y＝x（29﹣x）＝﹣x2+29x＝﹣（x﹣14.5）2+210.25，当x＝14或15时，y取得最大值210．故答案为：210．20．（2020•南宁）如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是556个．解：因为前区一共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，所以前区最后一排座位数为：20+2（8﹣1）＝34，所以前区座位数为：（20+34）×8÷2＝216，因为前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，所以后区的座位数为：10×34＝340，所以该礼堂的座位总数是216+340＝556个．故答案为：556个．。
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（第 2 课时）斐波那契数列究竟有什么样的性质呢？ 试着把斐波那契数列中相邻两个数相除。你将发现所除的基数越大，结果越接近
1:1.618。这个比例被称为黄金比例。 宽、长之比符合黄金比例的长方形叫黄金长方形。对于一个黄金长方形，如果你切掉
拼成长方形之前
拼成长方形之后
1＋2
●●● ●●●
2×3
1＋2＋3
●●●● ●●●● ●●●●
3×4
1＋2＋3＋4
●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●●
4×5
1＋2＋3＋4＋5
●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●● ●●●●●●
5×6
从上可以看出：
1＋2＝（2×3）/2，
1＋2＋3＝（3×4）/2，
（第 3 课时）课外拓展：除了三角形数、正方形数，还有五边形数、六边形数吗？ 如果有，它们可以表示为哪些数相加的和？
三角形数表示：1＋2＋3＋4＋…… 正方形数表示：1＋3＋5＋7＋…… 五边形数表示：1＋4＋7＋10＋…… 六边形数表示：1＋5＋9＋13＋……
第 4 课：斐波那契数列和黄金比例（3 课时） 这是一种外号叫“喷嚏草”（英文名 Sneezewort）的花草。新的一枝从叶腋
两个人 三个人 四个人 五个人 六个人 七个人 八个人
→ 握1次 → 握（1＋2）次 → 握（1＋2＋3）次 → 握（1＋2＋3＋4）次 → 握（1＋2＋3＋4＋5）次 → 握（1＋2＋3＋4＋5＋6）次 → 握（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）次
所以一共得握：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝（7×8）/2＝28 次。
专题一：数字与图形
第 1 课：数字密码（数字和计数系统，3 课时） 我们习惯于使用 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 的数码来计数，似乎这一
切是理所当然的。其实是不同的文化传统形成了不同的计数系统和数字，现在我 们仍能见到其中的一些。
数字探秘：设想你们到一个荒无人烟的地方去探险。当你们爬过一块石板， 忽然发现石板上有一些奇怪的符号，看上去像是一种数字（如下图）。这可能是 帮助你们找到宝藏的唯一线索，所以必须要破解它们。
观察上图，你发现连续的奇数相加有什么规律吗？我们发现，正方形两条边长之 和比 n 大 1，因为两条边相交处有公共的一个圆点。因此，边长＝（n＋1）/2。 边长 a 和 n 的对应关系见下表。
n
3
5
7
9
11
边长数 a
2
3
4
5
？
所以 1＋3＋5＋7＋9＋…＋n＝[(n＋1)/2] 2（n 为奇数）。
课堂作业：计算 1＋3＋5＋7＋9＋…＋19，并用正方形图表示出来。
The book of nature is written in the language of mathematics.——伽利略 最后，观看视频：Nature by Numbers（大自然的数字本质）。非常棒的短片！
（第 3 课时）以小组的形式，调查校园内外的动植物，是否能发现斐波那契数列或黄金比 例的情形？做好记录，在班里汇报调查结。
例 2：一个大城市的市政府决定修建高速公路连接它管辖的五个小城市。出于对 环境的考虑，市政府决定一个城市只能通过一条道路与另一个城市连接。这样需 要修几条公路呢？
解析：先从两座城市开始，看看连接这两座城市需要修几条公路。然后画三座城 市，看需要几条路。依此类推。
城市 A、B 城市 A、B、C 城市 A、B、C、D 城市 A、B、C、D、E 城市 A、B、C、D、E、F
1→ 1
●
1＋2→ 3
● ●●
1＋2＋3→ 6
● ●● ●●●
1＋2＋3＋4→10
● ●● ●●● ●●●●
1＋2＋3＋4＋5→15
● ●● ●●● ●●●● ●●●●●
那么，1＋2＋3＋4＋5＋…＋n 等于多少呢？上面的图形可以提供帮助。我们用 蓝色的圆点代表原来的部分，再用等量的金色圆点拼成一个长方形（如下）。
如果要你把 1 点代表 1，2 点代表 2，你能把这些奇数摆放成正方形的样子 吗？
1
●
（1×1）
4 （2×2）
●● ●●
9 （3×3）
●●● ●●● ●●●
16 （4×4）
●●●● ●●●● ●●●● ●●●●
25 （5×5）
●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●●
从上图你发现了什么？ 1＋3＝4＝22 ， 1＋3＋5＝9＝32， 1＋3＋5＋7＝16＝42， 1＋3＋5＋7＋9＝25＝52。 1＋3＋5＋7＋9＋…＋n＝？
B
B
A
A
A
B→
C→
C
两个人:1 次
B A
→
三个人：（1＋2）次
D 四个人：（1＋2＋3）次
A C
→ D
B A
C → DG
B C D
E
FE
FE
五个人： （1＋2＋3＋4）次
六个人： （1＋2＋3＋4＋5）次
七个人： （1＋2＋3＋4＋5＋6）次
AB
H
C
→
……
G
D
F
E
八个人： （1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）次
1条 （1＋2）条 （1＋2＋3）条 （1＋2＋3＋4）条 （1＋2＋3＋4＋5）条
所以一共要修：1＋2＋3＋4＋5＝（5×6）/2＝15 条
（第 3 课时）现在我们换个角度来看上面的握手问题。我们假设这八个人站成一
个八边形，然后用连线表示握手。握手多少次，怎样用图形表示出来呢？我们先
从两个人开始。
一个正方形（边长等于原短边），剩下的部分仍保持黄金比例。依次继续切割，你会得到越 来越小的黄金长方形。
古希腊人认为黄金比例是最完美的比例，因此广泛运用在建筑、美术、雕塑、音乐当 中。如古希腊巴台农神庙的高度和阔度就是按照这个比例来建造的。
随着科学的发展，科学家发现，斐波那契数列普遍存在于自然界里，像植物的叶片、 花瓣，还有螺类的生长曲线等等，都找得到它的踪迹。
斐波那契很小的时候，父亲就请来家庭教师教他比欧洲先进的“印度—阿拉伯数字记 数法”和东方的乘除法。因此斐波那契小时候就接触到了东方数学。长大后，东方数学引 起了他的注意。后来，他写了一本书来介绍东方数学。书里面有一个很出名的“兔子生兔 子”问题：
有一个人把一对兔子放在四面围着的地方，想要知道一年后有多少对兔子生出来。假 定每个月一对兔子生下另外一对。而这新的一对在两个月后就生下另外一对。
课堂作业：15 边形共有多少条对角线？20 边形呢？50 边形呢？
第 3 课：正方形数（3 课时）
前面我们学过三角形数，知道连续的自然数 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ……可以摆放 成三角形的样子。今天，我们再来学习另一种数字模型——正方形数。
首先，什么是奇数？什么是偶数？（1、3、5、7、…都是奇数，偶数是 2 的倍数，像 2、4、6、8、…）
幸运的是你们偶尔从另一块石板上知道下面这个数码是代表 28。你能反过 来把上面这些数字密码破解吗？
破解之后，你们兵分三路去寻找宝藏，并制订竞赛规则如下。每组为一个小 组，第一位小组成员首先用数字密码组成一个数字，第二位成员必须将其破译成 阿拉伯数字。之后，他也留下一个神秘数字，下一位成员接着破译。如此类推。 如果每位成员都破译成功，那就恭喜你们顺利找到了宝藏！ （第 2 课时）生活在两千多年前的玛雅人，他们的计数系统是 20 进位制的。为 了弄明白这种计数系统表示的数究竟是多少，我们需要对这个数字系统进行解 码。
我们用符号 A 表示一对正成长的兔子，符号 B 表示一对新出生的兔子。我们用下图表 示兔子繁殖的情形：
问题：以这样的规律繁殖下去，这年的 12 月 1 日会有多少对兔子？记录下每个月的兔子数 量。
1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 1日 1日 1日 1日 1日 1日 1日 1日 1日 1日 1日 1日 兔 子 数 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 量/对
如数字 57 可以写成下图这样。因为 2×20=40，再+17=57。
问：根据玛雅人的数字系统，75、173、99、200 应该怎么写？
再考查其他的计数系统，古巴比伦人的计数系统（60 进制）会令你吃惊的。你 能破解古巴比伦人的计数系统吗？
59 记作
表示 2×602+2×60+2=7322
（第 3 课时）以小组的形式，尝试编制一套属于你们自己的数字系统。
n 个人： 【1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋…＋（n－1）】次
上面的图形类似于作 n 边形的对角线。从中你可以得到什么启发？我们可以怎样 求 n 边形一共有多少条对角线呢？ 解析：对于 n 边形，图中的所有连线有【1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋…＋（n－1）】 条，这包括所有对角线和 n 条边。所以，n 边形的所有对角线有：
学生作品一
学生作品二
课后感想：让我感到困惑的是，既然 20 和 60 进制的数字系统比 10 进制的复杂， 为什么玛雅人和古巴比伦人会舍易就难呢？到底是他们生活或文化中的哪一部 分让他们做这样的选择呢？
第 2 课：三角形数（3 课时）
看看这组数字序列 1,3,6,10,15……接下来的数字你会想出是什么呢？这组 数列的图形是特殊的，我们称它们为三角形数。它们是由一些连续的数相加得到 的，如下：
1＋2＋3＋4＝（4×5）/2，
1＋2＋3＋4＋5＝（5×6）/2。
观察以上式子可以总结出：1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）/2。
用这个数列规律可以解决有趣的握手问题。