2016年5月北京市怀柔区高三数学查漏补缺试题(解答题)

2016年5月北京市怀柔区高三数学查漏补缺试题一、三角1． 已知函数f (x )=32sin x cos x －2cos 2x +1. (Ⅰ) 求f (π125)； (Ⅱ) 求函数f (x )图象的对称轴方程. 解： (Ⅰ)因为f (x ) ＝3sin2x －cos2x＝ 2sin(2x －6π) , 所以f (π125) ＝ 2sin 32π＝3. ……………………(7分)(Ⅱ) 令2x －6π= k π＋2π(k ∈Z ), 得x=32ππ+k , 所以函数f (x )图象的对称轴方程是x=32ππ+k (k ∈Z ). ……………(14分)2．已知函数(Ⅰ)求2()3f π的值; (Ⅱ)求使 1()4f x <成立的x 的取值集合解: (1) 41)212cos 232(sin 21)3sin sin 3cos(cos cos )(+⋅+⋅=⋅+⋅⋅=x x x x x x f ππ41)32(.414123sin 21)32(41)62sin(21-==-=+=⇒++=ππππf f x 所以. (2)由(1)知,)2,2()62(0)62sin(4141)62sin(21)(f ππππππk k x x x x -∈+⇒<+⇒<++=.),12,127(.),12,127(Z k k k Z k k k x ∈--∈--∈⇒ππππππππ所以不等式的解集是：3．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 设π3A =，sin 3sin B C =.（Ⅰ）若a =b 的值；（Ⅱ）求tan C 的值.（Ⅰ）解：因为 sin 3sin B C =，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 得 3b c =. ………………3分由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-及π3A =，a = ………………5分 得 227b c bc =+-，所以 222()733b b b +-=，解得 3b =. ………………7分 （Ⅱ）解：由π3A =，得2π3B C =-. 所以 2πsin()3sin 3C C -=. ………………8分1sin 3sin 2C C C +=， ………………11分5sin 2C C =，所以tan C =. ………………13分4．已知函数1sin 2()cos xf x x-=.(1)求()f x 的定义域；(2)设α是第二象限的角，且tan α=34-，求()f α的值.二、数列1.在等比数列{}n a 中，已知126a a +=，2312a a +=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是等差数列，且22b a =，44b a =，求数列{}n b 的公差，并计算1234100b b b b b -+-+- 的值.解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知116a a q +=，21112a q a q +=， …………………2分 两式相除，得2q =. …………………4分 所以12a =， …………………6分 所以数列{}n a 的通项公式2n n a =. …………………7分 （Ⅱ）设等差数列{}n b 的公差为d ，则14b d +=，1316b d +=， …………………9分 解得12b =-，6d =， …………………11分1234100123499100()()()b b b b b b b b b b b -+-+-=-+-++- ………………12分50300d =-=-. …………………13分2．数列{}n a 对任意*N n ∈ ，满足11n n a a +=+， 32a =. （Ⅰ）求数列{}n a 通项公式；（Ⅱ）若1()3n an b n =+，求{}n b 的通项公式及前n 项和．解：（Ⅰ）由已知得11n n a a +-= 数列{}n a 是等差数列，且公差1d =又32a =，得10a =，所以 1n a n =----------------------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，11()3n n b n -=+，所以111(11)(2)()33n n S n -=++++⋅⋅⋅++211111(123)333n n -=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+111()(1)33(1)3.22213nn n n n n n S --+-+=+=+---------------------14分三、概率统计1．育新中学的高二、一班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．（Ⅰ）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（Ⅱ）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（Ⅲ）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.解：（Ⅰ）416015n P m ===∴某同学被抽到的概率为115………………2分 设有x 名男同学，则45604x=，3x ∴=∴男、女同学的人数分别为3,1…………4分 （Ⅱ）把3名男同学和1名女同学记为123,,,a a a b ，则选取两名同学的基本事件有12131212323132(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a b a a a a a b a a a a a b 123(,),(,),(,)b a a b a 共12种，其中有一名女同学的有6种∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为61122P ==………………………8分 （Ⅲ）16870717274715x ++++==，26970707274715x ++++== 2221(6871)(7471)45s -+-== ，2222(6971)(7471) 3.25s -+-==∴第二同学的实验更稳定………………………12分2． 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列．(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因． 解：(1)X 可能的取值为10，20，100，－200.根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为：(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1，2，3)，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)由(1)知，X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这表明，获得分数X 的均值为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．四、立体几何1．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，2AB =，60BAD ∠=，M 是PD 的中点． (Ⅰ)求证： OM ∥平面PAB ； (Ⅱ)平面PBD ⊥平面PAC ；(Ⅲ)当三棱锥C PBD -的体积等于2时，求PA 的长． 证明：（Ⅰ）因为在△PBD 中，O ，M 分别是BD ，PD 的中点，所以OM ∥PB ．又OM ⊄平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以OM ∥平面PAB ． ……………………5分 (Ⅱ)因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥．又AC PA A = ， 所以BD ⊥平面PAC ．又BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAC ． ……………………10分 （Ⅲ）因为底面ABCD 是菱形，且2AB =，60BAD ∠=，所以BCD S ∆=又C PBD P BCD V V --=，三棱锥P BCD -的高为PA ，所以13PA = 解得32PA =． ……………………14分 2. 已知在△ABC 中，∠B =90o ，D ，E 分别为边BC ，AC 的中点，将△CDE 沿DE 翻折后，使之成为四棱锥'C ABDE -（如图）.（Ⅰ）求证：DE ⊥平面'BC D ；（Ⅱ）设平面'C DE 平面'ABC l =，求证：AB ∥l ； （Ⅲ）若'C D BD ⊥，2AB =，3BD =，F 为棱'BC 上一点，设'BFFC λ=，当λ为何值时，三棱锥'C ADF -的体积是1？证明：（Ⅰ）∵∠B =90o，D ，E 分别为BC ，AC 的中点∴DE ∥AB ……………1分 ∴'C D DE ⊥，BD DE ⊥ ……………3分 又∵'C D BD D = ……………4分 ∴DE ⊥平面'BC D ……………5分ABEDCC'DEFBA（Ⅱ）∵DE ∥AB ，DE ⊂面'C DE ， AB ⊄面'C DE ，∴AB ∥面'C DE ， ……………7分 又∵AB ⊂面'ABC ，面'ABC 面'C DE l = ……………9分 ∴ AB ∥l ……………10分（Ⅲ）∵'C D BD ⊥，'C D DE ⊥，ED BD D = ，∴'C D ⊥平面BDE ． ∵''1C DF BDF S C F S FB λ∆∆==∴''11C DF BC D S S λ∆∆=+ ……………11分 又因为BD =3，AB =2，'1C ADF V -=， ∴''''1111'1113C ADF A C DF A C DB C ADB ADB V V V V C DS λλλ----∆====+++ 311λ==+ ……………13分 解得2λ=． ……………14分3．如图，三角形ABC 和梯形ACEF 所在的平面互相垂直，AB BC ⊥，//,2AF AC AF CE ⊥，G 是线段BF 上一点，2AB AF BC ===.（Ⅰ）当GB GF =时，求证：//EG 平面ABC ； （Ⅱ）求二面角E BF A --的余弦值；（Ⅲ）是否存在点G 满足BF ⊥平面AEG ？并说明理由. 解：（Ⅰ）取AB 中点D ，连接,GD CD ，又GB GF =，所以//2AF GD .因为//2AF CE ，所以//GD CE ,四边形GDCE 是平行四边形，所以//CD EG因为EG ⊄平面ABC ，CD ⊂平面ABC 所以//EG 平面ABC .（Ⅱ）因为平面ABC ⊥平面ACEF ，平面ABC 平面ACEF =AC ，且AF AC ⊥，所以AF ⊥平面ABC ， 所以AF AB ⊥，AF BC ⊥因为BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABF .ABEDCC'DEFBA如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -. 则(0,0,2),(2,0,0),(2,2,0),(2,2,1)F B C E ，(0,2,0)BC =是平面ABF 的一个法向量. 设平面BEF 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0.BE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20,220.y z x z +=⎧⎨-+=⎩ 令1y =，则2,2z x =-=-，所以(2,1,2)=--n , 所以1cos ,3||||BC BC BC ⋅<>==n n n， 由题知二面角E BF A --为钝角，所以二面角E BF A --的余弦值为13-.（Ⅲ）因为(2,0,2)(2,2,1)20BF AE ⋅=-=-≠，所以BF 与AE 不垂直,所以不存在点G 满足BF ⊥平面AEG .4．正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A —DC —B （如图（2））在图形（2）中：（Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）求二面角E —DF —C 的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？证明你的结论. 解： 法一：（I ）如图：在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 中点，得EF //AB ， 又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF . ∴AB ∥平面DEF .……………………………………………………………………3分 （II ） ∵AD ⊥CD ，BD ⊥CD ∴∠ADB 是二面角A —CD —B 的平面角……………………4分 ∴AD ⊥BD ∴AD ⊥平面BCD取CD 的中点M ，这时EM ∥AD ∴EM ⊥平面BCD 过M 作MN ⊥DF 于点N ，连结EN ，则EN ⊥DF∴∠MNE 是二面角E —DF —C 的平面角……………………6分 在Rt △EMN 中，EM =1，MN =23 ∴tan ∠MNE =23，cos ∠MNE =721………………………………8分 （Ⅲ）在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE ……………………………………9分证明如下：在线段BC 上取点P 。