一种新型灰色Gom pertz模型
用灰色模型进行数学建模-数学建模中的灰色方法
数学建模中的灰色方法在数学建模的过程中，常常遇到一些诸如：人在数学建模的过程中，常常遇到些诸如：人口模型、全国的物资调运、运输、生产销售等问题，其中有许多信息都无法确定，要建立这样的模型很困难。
量化分析方法大都是现有的系统分析方法—量化分析方法，大都是数理统计方法但这种方法多用于少因素的、线性的情形。
对于多因素的、非线性的则难以处理。
的情形对于多因素的非线性的则难以处理针对这些不足，邓聚龙教授创立了一种就数找数的方法，即灰色系统生成法。
创立灰色系统的数的方法即灰色系统生成法创立学科体系和灰色系统“概念与公理体系”，提出理论灰建模理论并创灰生成空间、灰关联空间理论、灰建模理论并创立灰预测理论及方法体系。
一、灰色系统.定义：系统作为一个包含若干相互关联、相互制约的任意种类元素组成的具有某种特定功能的整体系任意种类元素组成的具有某种特定功能的整体。
系统内部存在有物质流、信息流、能量流。
系统（根据信息明确程度）黑色系统（信息毫无所知或知之甚少）灰色系统（既含有已知信息又有未知信息）白色系统（信息完全明确）（）灰色系统公理：（一）灰色系统公理：1.信息不完全、不确定的解是非唯一的；（解的非唯一性原理）22.信息是认识的根据；（认识根据原理）3.灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最小信息”；最小信息原（最小信息原理）4.新信息对认识的作用大于老信息；（新信息优先原理）（二）灰色系统的描述：灰色系统用灰色参数、灰色方程、灰色矩阵、灰色度等综灰色系统用灰色参数灰色方程灰色矩阵灰色度等综合描述，其中灰数是灰色系统的基本单元。
1.灰色参数（灰数）灰数是那些只知道大概范围而不知其确切值的数（只知道部分数学特征而不知道具体数值的参数）（只知道部分数学特征，而不知道具体数值的参数）。
例如：“某人的身高约为170cm 、体重大致为60kg”，这里的“（约为））”“60”都是灰数这里的（约为）170（cm ）、60都是灰数，分别记为、。
灰色-马尔可夫的改进模型及在陶瓷工业产值预测
果 。其主要步骤如下 ：
． １ 灰色模 型 建立 与预 测 在多年来的实践过程中 ， 研究者发现 ， 当样本数 １ 由数据的原始序列 ｘ （ ｏ ） ＝ （ ｘ （ １ ） ， ｘ （ ２ ） ， …， ｘ （ ｎ ） ） 据具有强波动性或者有随机扰 动因素时 ，单纯的灰 如下所示 色 预测模 型对数 据拟 合性 能 较差 ， 预 测精 度不 理 构建灰色模型 ，
具， 是政府制定经济计划 ， 以及预见计划执行情况 ，
指导计划执行的重要依据之一 。经济预测一般采用 统计分析与数学模型两大类 细分方法有 自适应过滤 法、 时间序列平 滑预测法 、 趋势 曲线预测模型 、 回归
预测方法 、 灰色预测模型以及马尔可夫预测法等［ １ 。 与
１ 灰 色 一马 尔可 夫模 型
灰色 一马尔可夫模型基本思路是先利用灰色模
其它预测方法相比， 灰色预测模型针对序列时间短 、
得到有规律的序列 ， 采用 波动性不大以及数量偏少的样本数据进行预测 ， 能 型对历史数据进行初预测 ， 获得更高的预测精度。因此研 究者将灰色模型应用 马尔可夫链对灰色预测序列状态划分 ，优化预测结
《 陶瓷学报） ） ２ ０ １ ３年第 ２期
成 ’ （ ｍ ） 。
对公 式 （ １ ） 累减 ， 计 算 原 始 预 测序 列 所 对 应 的预 测值 ， 即灰色模 型的预 测值 。
１ ． ２ 状态划分
（ １ ） 令 ｆ ｎ Ｆ ｘ （ １ ） 一ｕ ， ｆ ＝ ｌ （ １ 一 ｅ ａ ） （ ｘ （ １ ） 一ｕ） ＝ ｆ ｍ
中图 分 类 号 ： Ｔ Ｑ１ ７ ４ 文 献标 识 码 ： Ａ
增高会带来新的误差。 本文在已有的灰色模型 一马尔
灰色模型GM1-N及其应用ppt课件
dX
(1) 1
dt
aX
(1) 1
b1
X
(1) 2
b2
X
(1) 3
bN
1
X
(1) N
这个微分方程模型记为 GM（1,N）。
（1）
方程（1）的参数列记为 (a,b1,b2 ,bN1)T ，
再设 YN
，将方程（1）
(
X
( 1
0)
(2),
X
(0) 1
(3),,
X
(0 1
)
(n)) T
按差分法离散，可得到线性方程组，形如
YN Bˆ
按照最小二乘法，有
（2）
ˆ (BT B)1 BT YN
（3）
其中，利用两点滑动平均的思想，最终 可得矩阵
B
1 2
(
X
(1) 1
(1)
X (1) 1
(2))
1 2
(
X
(1) 1
(2)
X (1) 1
(3))
X
(1) 2
(2)
X
(1) N
(2)
X
(1) 2
(3)
X
(1) N
(3)
§3 灰色模型 GM(1,N)及其应用
客观系统无论本征非灰，还是本征灰，一般 都存在能量吸收、储存、释放等过程，加之生成 数列一般都有较强的指数变化趋势，所以灰色系 统理论指出用离散的随机数，经过生成变为随机 性被显著削减的较有规律的生成数，这样便可以 对变化过程做较长时间的描述，进而建立微分方 程形式的模型。建模的实质是建立微分方程的系 数。
来发展趋势减弱的子因素加以较大的权，对
有发展潜力的子因素加以较小的权，这样做
灰色预测模型
灰色系统模型（Grey Model,GM）一：解决的关键问题 （所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的）灰色系统模型作为一种预测方法广泛应用于工程控制，经济管理，社会系统等众多领域。
二：ＧＭ（１，１）模型（一）：对原始序列累加处理一次累加生产序列②(即1－AGO序列)，表示为其中，一次累加序列(1)X 的第k 项由原序列的前k 项和产生，即： 由(1)X 的相邻项平均得到(1)X 的紧邻均值生成序列(1)z ，表示为:根据上述序列，有灰色系统模型GM(1，1)的基本形式:(二)构造GM(1，1)模型方程组的矩阵形式，并求解参数 GM(1，1)模型的微分方程基本形式:(三)求的时间响应序列，累减得到原序列的预测值(四)模型检验残差的均值、方差分别为:21S C S 称为均方差比值，对于给定的00C ，当0C C 时，称模型为均方差比合格模型;1(()0.6745)p p k S 称为小误差概率，对于给定的00P ，当0P P 时，称模型为小误差概率合格模型。
一般均方差比值C 越小越好(因为C 小说明S 小，1S 大，即残差方差小，原始数据方差大，说明残差比较集中，摆动幅度小，原始数据比较分散，摆动幅度大，所以模拟效果好，要求2S 与1S 相比尽可能小)，以及小误差概率p 越大越好，给定000,,,C p 的一组取值，就确定了检验模型模拟精度的一个等级，常用的精度等级见表1。
软件DPS 的分析结果也提供了C 、p 的检验结果。
(五)残差修正模型(六)建立新陈代谢GM(1，1)进行动态预测在实际建模过程中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。
我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。
一般说来，取不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1，1)模型，选择不同的数据，参数a，b的值也不一样。
灰色预测模型GM(1_1)及其应用
灰色预测模型GM(1,1)的应用一、问题背景：蠕变是材料在高温下的一个重要性能。
处于高温状态下的材料长期受到载荷作用时，即使其载荷较低，并且在短时间的高温拉伸试验中材料不发生变形，但在此情况下仍会有微小的蠕变，极端的情况下，甚至会使材料发生破坏。
高温材料多应用于各种车辆的发动机及冶金厂中各种设备上，如果因蠕变引起破坏，可能造成很大的事故。
为了保证设备的安全可靠，在某一使用温度下，预先知道该材料对不同载荷应力下断裂的时间是很重要的。
过去，人们都是通过蠕变试验测量断裂时间。
而做蠕变试验时，需要很长时间才能得到结果，即使通过试验得出的数据，也只是对某几个具体试样而言，存在很大的偶然性，不能代表普遍的规律。
如果将实测的数据用灰色系统理论来处理，可以预测在某一温度下的任何载荷应力的断裂时间。
二、低合金钢铸件蠕变性能的灰色预测下面是对Cr-mo-0.25V 低合金钢铸件高温蠕变情况利用灰色系统理论进行研究。
在500℃的高温下，已测得此铸件在载荷分别为37，36，35，34，33（kg/mm 2）情况下的蠕变断裂时间见下表。
数 列 序 数 K1 2 3 4 5载荷应力（kg/mm 2） 37 36 35 34 33 断裂时间（)(100)0(K X ⨯小时）2.38 2.80 4.25 6.85 11.30 一次累加数列)()1(K X 2.38 5.18 9.43 16.28 27.581、建立GM （1,1）模型（1）数据处理：将同一数据列的前k 项元素累加后生成新数据列的第k 项元素。
即根据断裂时间数列)()0(k X 由∑==kn n X k X 1)0()1()()(得到 )()1(k X 。
（2）建立矩阵B,y:根据⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-=1)]()1([5.01)]3()2([5.01)]2()1([5.0)1()1()1()1()1()1(N X N X X X X X B 得到 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=19.2118.12130.7178.3B根据 T N N X X X Y )](,),3(),2([)0()0()0( =，得到 T N Y ]3.11,85.6,25.4,80.2[=（3）求出逆矩阵1()T BB - （4）作最小二乘估计，求参数u a ,N T T Y B B B u a 1)(ˆ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=α 可得，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=97.05.0ˆα a = -0.5, u=0.97(5)建立时间响应函数，计算拟合值把a 和u 分别代入au e a u X t X at +-=+-))1(()1(ˆ)0()1(可得到解为2.24.4)1(ˆ5.0)1(-=+t e t X， 取t 为应力序数k 时，即得到时间响应方程为：2.24.4)1(ˆ5.0)1(-=+k e k X即可得到生成累加数列),2,1()1(ˆ)1( =+k k X 。
灰色GM(1,1)模型在综合医院业务收支预测中应用
灰色GM(1,1)模型在综合医院业务收支预测中的应用摘要：基于灰色gm(1,1)模型，对综合医院的业务收入和业务支出进行预测，从而为推进公立医院改革，理顺医院补偿机制等提供有效的参考依据。
分析结果表明，灰色gm(1,1)模型能较好地预测医院业务收支的发展趋势，具有较强的实用性。
关键词：灰色gm(1,1)模型；综合医院；业务收支；预测中图分类号：r197.3 文献标识码：a 文章编号：1001-828x（2011）09-0115-02准确预测综合医院的业务收入和业务支出水平，对于推进公立医院改革，理顺医院补偿机制等具有重要的现实意义。
影响医院业务收支水平变动的因素很多，由于客观条件的限制，一般难以得知其全面影响因素及其数量特征。
灰色动态模型(grey dynamics model,简称gm)是在系统信息不完全或不确知的情况下建立的，对数据及其分布的限制要求小。
它由华中科技大学的邓聚龙教授首先(1982年)提出，是以时间序列进行研究分析，用数列建立方程，将无规律的原始数列经过转换，使之成为较有规律的生成数列后再建模的一种预测方法。
其中较为简单的一种模型——采用一个变量的一阶微分方程gm(1,1)模型已经广泛应用于社会经济、管理决策、医学研究等众多领域，故用其对综合医院的业务收入和业务支出进行预测具有可行性和一定的现实意义。
一、灰色gm(1,1)模型的建立1.设，则为将无规律的原始数据累加生成所形成的较有规律的生成数列，其中为初始时刻的原始数据，。
2.对累加生成数据按(1,1)作移动平均数生成。
(1.1)3.建立灰色gm(1,1)模型：求解一阶微分方程，得：(1.2)根据最小二乘法，求待定系数和，得：4.因灰色gm(1,1)模型实际上是生成数列模型，对累加生成数据必须经过逆生成—累减还原后才能使用，即gm(1,1)模型计算所得结果是预测值的累加和。
设为t时刻的预测值，为预测值累加生成所形成的较有规律的生成数列，，，，则预测值。
GM(1,1)模型的适用范围
GM(1,1)模型的适用范围摘要GM(1,1)模型是一种常用的灰色系统数学模型，在许多领域得到了广泛的应用。
本文将介绍GM(1,1)模型的基本原理及其适用范围，并针对不同领域中GM(1,1)模型的具体应用进行详细讨论。
简介灰色系统理论是一种将统计学、数学和信息科学相结合的新兴跨学科领域，其研究的对象是具有不确定性、非完备信息的系统。
GM(1,1)模型是灰色系统理论中最常用的一种数学模型，用于预测和分析时间序列数据。
GM(1,1)模型的原理是基于灰色系统理论的灰色模型建模方法，该方法根据数据序列的变化规律，建立数据的动态变化模型，并通过建立灰色微分方程来进行预测。
GM(1,1)模型主要适用于简单的时间序列数据的预测和分析，具有简单、快速和高效等特点。
GM(1,1)模型的适用范围GM(1,1)模型适用于许多领域，主要包括以下几个方面：经济领域GM(1,1)模型在经济领域中的应用非常广泛，用于进行经济增长预测、市场趋势分析和投资策略制定等。
例如，可以将GM(1,1)模型应用于GDP季度数据的预测和分析，对经济增长趋势进行精确预测，为决策者提供科学依据。
工程领域GM(1,1)模型在工程领域中主要应用于生产和管理技术的改进、质量控制和生产计划制定等。
例如，可以将GM(1,1)模型应用于生产过程中某个指标的预测和分析，帮助工程师优化生产过程，提高生产效率。
自然科学领域GM(1,1)模型在自然科学领域中主要应用于气象、环境、水资源和地震等领域的数据分析和预测。
例如，可以将GM(1,1)模型应用于气象领域的气温预测和降雨量预测，为决策者提供准确的气象数据，为灾害防治提供科学依据。
社会科学领域GM(1,1)模型在社会科学领域中主要应用于人口、教育、医疗和农业等领域的数据分析和预测。
例如，可以将GM(1,1)模型应用于人口结构和教育发展趋势的预测和分析，帮助政府制定科学的人口和教育政策。
GM(1,1)模型的优缺点GM(1,1)模型具有以下优点：1.GM(1,1)模型具有简单、快速和高效等特点；2.GM(1,1)模型可以使用少量的数据进行分析和预测；3.GM(1,1)模型对数据的数量级和分布形态要求不高。
一种基于灰色马尔可夫模型的信誉评测模型及其安全路由协议
高查 询路 由协议 的安全性 。实验表 明 ， 该 信誉评 测模 型的节 点信ห้องสมุดไป่ตู้ 分布情 况符合 节点类 型 ， 且 误判 率较 低 ； 该 查
询路 由协 议 的路 由安 全性较 高 ， 能耗性较 低 ， 因此 无线传 感 器网络安全路 由协议 的整 体性 能都 得到 了提 高。
关键 词 ：信誉评 测 ；历 史信 誉 ；灰 色马 尔可夫模 型 ； 安 全路 由协议
中图分类 号 ：Ｔ Ｐ ３ ９ ３
文献标 志码 ：Ａ
文章 编号 ：１ ０ ０ １ — ３ ６ ９ ５ （ ２ ０ １ ３ ） １ ２ — ３ ７ ５ ８ — ０ ４
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １ — ３ ６ ９ ５ ． ２ ０ １ ３ ． １ ２ ． ０ ６ ２
Ｚ Ｅ ＮＧ Ｍｅ ｉ — ｍｅ ｉ ，Ｊ Ｉ ＡＮ Ｇ Ｈｕ ａ ，Ｗ ＡＮＧ Ｘｉ ｎ ，Ｌ Ｉ Ｕ Ｗｅ ｉ — ｑ ｉ ａ ｎ ｇ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆＣ ｏ ｍ ｐ ｕ ｔ ｅ ｒ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ＆Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ， Ｇ ｕ ｉ ｌ ｉ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆＥ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎ ｉ ｃ￣ ｅ ＇ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ，Ｇ ｕ ｉ ｌ ｉ ｎ Ｇ ｕ ａ ｎ ｇ ｘ ｉ ５ ４ １ ０ ０ ４，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
一
曾梅梅 ， 蒋
摘
华， 王
鑫， 刘伟强
（ 桂林 电子科技 大学 计算机 科 学与工程 学院 ， 广西 桂林 ５ ４ １ ０ ０ ４ ）
要 ：针 对无 线传感 器 网络 信誉评 测机制 不全 面 ， 可能造 成误 判 节点 信誉 值 的行 为 ， 设计 一 种基 于灰 色马 尔
灰色模型原理
灰色系统理论是由我国学者邓聚龙教授于1982年创立的一门横断面大、渗透性强、应用面极广的边缘学科。
它以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行规律的正确认识和有效控制。
如人口系统涉及因素太多，具有明显的灰色性，适宜采用灰色模型去发掘和认识其原始时间序列综合灰色量所包涵的内在规律。
下面以灰色模型中应用广泛的GM(l ，l)模型为例，介绍灰色建模方法设)0(X = [)0(x (1), )0(x (2), …, )0(x (n)]为系统输出的非负原始数据序列，对序列)0(X 进行一阶累加生成，得生成序列)1(X ，即)()1(k x =)(1)0(i x ki ∑= (k = 1, 2, …, n)GM(1, 1)预测模型是一阶单变量的灰色微分方程动态模型)()0(k x + )()1(k az = b (k = 1, 2, …, n) (1)其中)()1(k z 为)()1(k x 的紧邻均值生成，即)()1(k z = 0.5[)()1(k x +)1()1(-k x ]，式(1)白化方程形式为:b ax dtdx =+)1()1( 其中a ,b 为待定系数，分别称之为发展系数和灰色作用量,a 的有效区间是(-2, 2)。
应用最小二乘法可经下式求得：aˆ = T b a ),(= n T T Y B B B ⋅⋅-1)( 其中 B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-111)),()1((2/1)),3()2((2/1 )),2()1((2/1)1()1()1()1()1()1( n x n x x x x x n Y = [)0(x (2), )0(x (3), …, )0(x (n)] 方程的解即时间响应函数为⎪⎩⎪⎨⎧-+=++⋅-=+-)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ))1(()1(ˆ)1()1()0()0()1(k x k x k xa b e a b x k x ak模型检验为确保所建灰色模型有较高的精度应用于预测实践，可用残差进行检验：(1) 求出)()0(k x 与)(ˆ)0(k x之残差)(k e 、相对误差k ∆和平均相对误差∆： )(ˆ)()()0()0(k x k x k e -=， %100)()()0(⨯=∆k x k e k ， ∑=∆=∆n k k n 11 (2) 求出原始数据平均值x ，残差平均值e ：x = ∑=n k x n 1)0(1(k), e = )(112)0(∑=-n k k e n (3) 求出原始数据方差21s 与残差方差22s 的均方差比值C 和小误差概率P ：21s = ∑=-n k x k x n 12)0(])([1， 22)0(22])([11e k e n s n k --=∑= C =2s /1s , p = P{e k e -)()0( < 0.67451s }通常)(k e 、k ∆、C 值越小，p 值越大，则模型精度越好。
灰色预测模型在人口增长预测中的运用
灰色预测模型在人口增长预测中的运用摘要：本文依照灰色理论建立相应灰色预测模型，对榆林市城市人口未来人口总量进行了分析和预测。
笔者首先是对初始数据榆林市近年来城市人口数量进行预处理，进行合理的假设；其次，建立GM(1,1)模型，结合数据，推算出榆林市未来人口增长趋势；然后是对模型进行合理的检验，并对此模型进行评价。
关键词：人口增长；灰色预测；GM(1,1)模型一、灰色预测模型1、灰色预测模型灰色模型理论是由我国学者邓聚龙教授在1982年创立的。
灰色模型理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行规律的正确认识和有效控制。
灰色预测模型属于全因素的非线性拟合外推类方法，在形式上是单数列预测，只运用研究对象自身的时间序列建立模型，与其相关联的因素没有参与建模，这正是灰色系统“灰”的体现。
因为任何一个系统究竟包含多少因素，难以说清。
比如人口系统的再生产是由生育、死亡、疾病、灾害、环境、社会、经济等诸多因素影响、制约的共同结果，如此众多的因素不可能通过几个指标就能表达清楚，它们对人口增长的潜在而复杂的影响更是无法精确计算。
这反映人口系统具有明显的灰色性，适宜采用灰色模型去发掘和认识其原始时间序列综合灰色量所包涵的内在规律。
灰色预测的基本思路事将已知的数据序列按照某种规则构成动态或非动态的白色模块，再按照某种变化、解法来求解未来的灰色模型。
它的主要特点是模型使用的不是原始数据序列，而是生成的数据序列。
其核心体系是灰色模型GM(1,1)，即对原始数据作累加生成得到近似的指数规律再进行建模的方法。
优点是不需要很多数据，一般只需要四个数据就够，能解决历史数据少、序列的完整性及可靠性低的问题；能利用微分方程来充分挖掘系统的本质，精度较高；能将无规律的原始数据进行生成得到规律性较强的生成数列，运算简便，易于检验，具有不考虑分布规律，不考虑变化趋势的特点。
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2002年12月系统工程理论与实践第12期 文章编号:100026788(2002)1220111205一种新型灰色Gom pertz模型同小军1,宋中民1,周 龙2(1.华中科技大学控制系,湖北武汉430074;2.武汉工业学院电气系,湖北武汉430021)摘要: 给出了背景函数为x(0)(t)=b e-a(t+1)+c的精确级差格式,基于理想状态时的绝对误差提出了一种全新的灰色模型——灰色Gompertz模型Λ该模型具有良好的抗噪性,并且计算简单Λ实例表明了该模型具有良好的效果Λ关键词: 灰色Gompertz模型;级差格式;贫信息;误差中图分类号: O159 文献标识码: A A N ew Gray Gom pertz M odelTON G X iao2jun1,SON G Zhong2m in1,ZHOU L ong2(1.D epartm en t of Con tro l Science and Engineering,H uazhong U n iversity of Science and T echno logy,W uhan430074, Ch ina;2.E lectrical and Info rm ati on Engineering D epartm en t,W uhan Po lytech inc U n iversity,W uhan430021,Ch ina)Abstract: T he p recisi on grade difference fo rm at that background functi on is x(0)(t)=b e-a(t+1)+c,inthe basis of ideal ab so lu te erro r,the gray Gompertz model,w h ich is a new gray model is ex lained anddiscu ssed.T he model has n ice an ti2in terference,and its calcu lati on is very si m p le;the examp le m an ifestthe model has good effect.Key words: the gray Gompertz model;the grade difference fo rm at;poo r info rm ati on;erro r1 引言从一个动态系统中得出的实际数据,往往带有一定的波动Λ若在建模中仅仅追求与原始数据的拟合,则在模型中势必承袭这种误差,而忽视对系统总体的拟合Λ只从数学角度得出的理论模型,常常会沿袭这种误差Λ对于G M(1,1)模型,正如文献[1]中所述,系统行为数据列往往是没有规律的Λ但是,一种模型,脱离了严密的数学论证,很难经得起实际长期的考验Λ文献[2-7]给出了G M(1,1)模型的应用Λ文献[8]给出系统的理论G M(1,1)模型的成功和失败,正说明了这一点Λ诸多改进[9-12](本文只列出了部分文献),虽在一定的范围内优于G M(1,1)模型,但也在很多方面却不及G M(1,1)模型,这主要因为只考虑了模型函数的数学关系,忽视了实际数据的波动性Λ本文以严密的数学推理为基础,考虑到了实际数据带有误差,以绝对误差为标准,得出了背景函数为x(0)(t)=b e-a(t-1)+c的灰色模型,以此为基础提出了灰色Gom p ertz模型,用文献[13]的实例,与文献[13]复杂算法求得的结果对比,本文的结果为优Λ2 灰色模型的级差格式在此只考虑单因子被研究对象,获得的少量离散数据列记为x(0)={x(0)(k) x(0)(k)Ε0,k=1,2,…,n}(1) 定义2.1[1] 称(1)式中于非负时间数据序列为原始序列,若对x(0)进行累加生成运算(A ccum lated收稿日期:2001203226资助项目:国家自然科学基金(79970025,69874018) 作者简介:同小军(1967-),男,陕西富中人,副教授,博士生,主要从事偏微分方程,模糊与灰色系统理论与应用研究Generating O p erati on,简称为A GO)得到x(1)={x(1)(k) x(1)(k)Ε0,k=1,2,…,n}(2)其中x(1)(k)=A GO x(0)(k)=6k m=1x(0)(m),则称x(1)为累加生成序列Ζ定义2.2 对(2)式中进行x(1)趋势关联分析[7],若辨明x(1)隐含指数型时序,称x(1)(k+1)-x(1)(k)≈f(x(1),a,u)(3)级差格式Ζ定义2.3 称x(1)(k+1)-x(1)(k)=f(x(1),a,u)(4)为精确级差格式;若f还与另一参数p有关,且当p→∞时,(3)式精确成立,则称(3)式为渐进精确级差格式.定义2.3 称f(x(1),a,u)=6n i=1f i(a)x(1)(i)+6n i=1g i(u)x(1)(i)(5)为线形级差格式,否则称为非线形级差格式Ζ3 灰色Gom pertz模型定理3.1 若(1)式中x(0)隐含非齐次指数型x(0)(t)=b e-at+c时序,作如下数据处理x=x(0)(2)x(0)(3)x(0)(n), <-x(1)(1)11-x(1)(2)21-x(1)(n-1)n-11, A=a1a2a3=(<T <)-1<T x其中a=-ln(1+a1),a2=a1c,a3=b+c.则微分方程x(0)(t)=b e-a(t-1)+c的精确级差格式为(称为前级差格式):x(1)(k+1)-x(1)(k)=-(1-e-a)x(1)(k)+(1-e-a)ck+b+c即x(0)(k+1)=a1x(1)(k)+a2k+a3(6) 证明x(0)(k+1)=x(1)(k+1)-x(1)(k)=e-a x(1)(k)-x(1)(k)+(1-e-a)ck+b+c=-(1-e-a)x(1)(k)+(1-e-a)ck+b+c 定理3.2 若(1)式中x(0)隐含非齐次指数型x(0)(t)=b e-at+c时序,作如下数据处理x=x(0)(2)x(0)(3)x(0)(n), <-x(1)(2)11-x(1)(3)21-x(1)(n)n-11, A=a′1a′2a′3=(<T <)-1<T x则有后级差格式:x(1)(k+1)-x(1)(k)=(1-e)a x(1)(k+1)-(1-e a)ck-b-c即x(0)(k+1)=a′1x(1)(k+1)+a′2k+a′3(7)其中a=ln(1-a′1),a′2=a′1c,a′3=-b-c.推论3.1 条件如定理3.1和定理3.2,则对任意Α∈R,则序列x(0)的精确级差格式为x(0)(k+1)=(1-Α)a1x(1)(k)+Αa′1x(1)(k+1)+((1-Α)a2+Αa′2)k+(1-Α)a3+Αa′3 =-(1-Α)(1-e-a x(1)(k) +Α(1-e a)x(1)(k+1)+c(1-e-a)(e aΑ+1-Α)k+(b+c)(1-2Α)(8) 是否可由公式(8)得到下面的更一般的背景函数为x(0)(t)=b e-a(t-1)+c的灰色模型的计算法:x(0)(k+1)=p1x(1)(k)+p2x(1)(k+1)+p3211系统工程理论与实践2002年12月利用最小二乘法可求得p1,p2,p3,然后求解方程组可得a,Α,c,u呢?可以证明此时恰好有p1=-1,p2=1,p3=0很明显,Α的选取可影响预测效果,而Α又难以根据具体情况而定,人为的选取,又无根据,对此,我们容易得出下面的结论:定理3.3 条件如定理3.1和定理3.2,则对任意a∈R,则背景函数为x(0)(t)=b e-a(t-1)+c的精确级差格式为x(0)(k)=-(1-Α)(e2a-e a)x(1)(k+1)+Α(1-e a)x(1)(k) +c(e a-1)(e a-eΑΑ+Α)k+c+b(Α-e2a(1-Α))=p1x(1)(k)+p2x(1)(k+1)+p3k+p4(9)p1=Α(1-e a)p2=-(1-Α)(e2a-e a)p3=c(e a-1)(e a-e aΑ+Α)p4=c+b(Α-e2a(1-Α))(10)或者x(0)(k+1)=(1-Α)(e-2a-e-a)x(1)(k-1)+Α(e-a-1)x(1)(k) -(e-a-1)(e-aΑ+Α-e-a)ck+Α(b+c)+(1-Α)e-a(b+c e-a)=p1x(1)(k-1)+p2x(1)(k)+p3k+p4(11)p1=-(1-Α)(e2a-e a)p2=Α(1-e-a)p3=-(e-a-1)(e-aΑ+Α-e a)cp4=Α(b+c)(1-Α)e-a(12) 定理3.3是没有考虑误差得出得的结论,对于满足指数率且带有一绝对误差或带有一相对误差非负时间数据序列,下面是考虑理想状态下的误差(拟合曲线恰好通过原始数据的中间或者相对误差对称地分布于轴的两侧,即绝对误差和相对误差是e,-e,…),以下只对式(9),(10)给出两个性质,对式(11),(12)也同样具有,略去Ζ定理3.4 对于非负时间数据序列x(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}={b+c+Ε,b e-a+c-Ε,…,b e-a(k-1)+c+(-1)k-1Ε,…,b e-(n-1)a+c+(-1)(n-1)Ε}Ε为任何非零实数,则对于数据序列x(0)利用定理3.5可以得到x(0)(k)的函数表达式为xδ(0)(k)=b′e-a(k-1) +c′Ζ证明 由式(12),(13)可知,为了求a,需求方程组x(1)(1)x(1)(2)11 x(1)(2)x(1)(3)21x(1)(n-1)x(1)(n)n-11p1p2p3p4=x(0)(1)x(0)(2)x(0)(n-1)的最小二乘解,只要取p2-p1=-2,p2=-e a,p3=c(e a-1)(e aΑ+Α),p4+(1+p2)c=b(Α-e2a(1-Α))其中Α=p2(e a-1),所以只要直接验证这样的p1,p2,p3,p4是方程组的最小二乘解即可Ζ由定理3.4我们可得到下面的灰色Gom p ertz模型. 令原始数据为y(0),y(0)(i)>0,i=1,2,…,n,对于y(0)采用对数变换进行生成处理,即令x(0)(i)=ln[y(0)(i)],i=1,2,…,n对序列x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))进行如下处理:311第12期一种新型灰色Gompertz模型x(0)(k )-2x (1)(k )=p 2(x (1)(k )+x (1)(k +1))+p 3k +p 4(13)其中p 2=-e a .灰色Gom p ertz 模型的计算法为:1.令原始数据为y (0),y (0)(i )>0,i =1,2,…,n ,对于y (0)采用对数变换进行生成处理,即令x (0)(i )=ln [y (0)(i )], i =1,2,…,n 2.对于原数据序列x (0)={x (0)(1),x (0)(2),…,x (0)(n )},一般利用下述方程组的最小二乘解x (1)(2)+x (1)(3)21x(1)(3)+x (1)(4)31x (1)(n -1)+x (1)(n )n -11p 2p 3p 4=x(0)(2)x(0)(3)x (0)(n -1)-2x (1)(2)x(1)(3)x (1)(n -1)由p 2,p 3,p 4及p 2=-e a ,解得参数a ;3.利用x (0)(k )=b e -ak +c 通过线性拟合得到参数b ,c Ζ从而,得还原模型为y δ(0)(k )=ec +b e -ak 注 不难发现灰色Gom p ertz 模型有以下特点:1)是精确级差格式;2)该级差格式和两项x (1)(k ),x (1)(k +1)或者x (1)(k -1),x (1)(k )相关,从而更有利于信息的综合利用;3)类似地,x (0)(k +1)的级差格式也可以表达为关于x (1)(k -1),x (1)(k +1)的关系,只是为了求参数a 这时需要解三次方程,计算量增大;4)通过大量的实验发现,该模型具有较强的抗干扰性①Ζ3 计算实例例[13] 表1是1970-1981年我国缝纫机产量数据(如表1)Ζ表1编号123456789101112产量(万台)235.2249.9263.2293.6318.9356.7363.8424.2486.5586.87681019.8使用文献[12]所用的两个指标进行对比模型(结果如表2)ΖQ =6ni =1(x (0)(i )-xδ(0)(i ))2,R S M E =Q N -1 (N 为样本数)表2模型拟合函数Q R S M E 文献[13]中的三合法x (0)(t )=176.198×1.3521.171(t -1)4270.944719.7045文献[13]中的差分法x (0)(t )=235.2×1.352(1.171(t -1)-1)3311.644017.3510灰色Gompertz 模型x(0)(t )=204.825×e 0.148992e0.197926t1375.2211.1813由上述实例可以得出:411系统工程理论与实践2002年12月①我们是这样做的实验:随机产生一指数函数x (0)(k )=b e -a (k -1),取k =1,2,3,4,5,在一区间上随机产生5个实数加在x (0)(k )上,在a ,b 较小时,区间分别取为[-1,1],[-0.1,0.1],[-0.01,0.01],[-0.001,0.001],在a ,b 较大时,可取较长的区间;对比模型值和真值的残差及残差百分比Λ1)灰色Gom p ertz 模型的两个指标远远优于文献[13]的方法Ζ2)文献[13]的算法,计算量大;灰色Gom p ertz 模型计算简单,快速Ζ参考文献:[1] 邓聚龙.灰色预测与决策[M ].武汉:华中工学院出版社,1986.[2] 陈绵云.镗床控制系统的灰色动态[J ].华中工学院学报,1982,10(6):7-11.[3] 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