解析几何之“隐形的翅膀”
【高考数学二轮复习压轴题微专题】第50讲 以解析几何为背景的探索性与新颖性问题-解析版
第50讲 以解析几何为背景的探索性和新颖性的问题本讲中的许多问题牵涉到直线与圆锥曲线的关系问题, 这是解析几何综合题求解过 程中经常碰到的重大知识点汇集得最多最为紧密的地方, 在数学上任何一个知识点都有 其生成与发展以至应用的过程,它们绝对不是独立的概念,必然与其他知识点有着密切的 联系,构成一串串的知识链, 所以许多数学知识要联系起来看, 直线与曲线的位置关系以 及由此引出的探索性与新颖性问题正是需要集合众多的知识与方法才能攻克的题型.以解析几何为背景的探索性与新颖性问题研究的核心仍然是直线与圆锥曲线的关系 问题,在题目的设计上布置了一个新的场景,探索性问题大部分是存在判断型. 新颖性问题则在研究型上做文章,所以攻克这类高考热点题型, 主要应㧓住以下几点.（1）直线与圆锥曲线的相对位置关系,如交点个数问题, 仅通过方程组解的状况来判 断是不够的,如椭圆是一条光滑的封闭曲线, 可以类似于直线与圆的位置关系加以研究 (用判别式), 双曲线与抛物线都不是封闭曲线, 当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线 的对称轴平行时, 直线与曲线仅有一个公共点,并不仅是方程组求解时 0∆= 的情景, 圆锥 曲线与圆锥曲线的关系问题更要结合图形及相关性质加以分析.(2) 研究直线被圆锥曲线所截弦的问题, 消元后若求弦长,则常用韦达定理和弦长公 式 12L x =- 或12L y =-. 若运用直线的参数方程,则利用参数 方程中参数 t 的几何意义: 12L t t =-, 求弦上某点的坐标,则常用韦达定理和定比分点 公式、中点坐标公式, 可见韦达定理在解析几何中的应用非常重要,若牵涉到参变量,则参 变量的取值范围不容忽视.（3）关于直线与圆锥曲线关系中点的对称问题,如曲线上两点关于已知直线对称, 求 某参变量的取值范围,必须紧紧㧓住垂直、平分两个方面并结合两个对称点的存在性.解析几何探索性与新颖性问题的解答常常是代数的方法与几何图形的分析结合在一 起,有时还要与函数、导数,不等式、三角函数、数列、向量等知识相交汇, 此类题型的解法 “奇伟”“瑰丽", 从中时时会显露出数学之美. 解题时应当好好揣摩题意, 并想方设法作进 一步探讨,若不敢越雷池一步,势必会束缚人的才智, 也不利于创新思维的开发与创新精 神的培养.下面介绍的就是近几年中出现的各类好题,仔细研读它们,你会发现以解析几何为背 景的探索性、新颖性与研究性问题粗一看总是“山穷水复疑无路",一旦领悟,找到了攻克 的方向,就会出现“柳暗花明又一村”了.典型例题【例1】(1) 已知椭圆 2222:1(0)x y C a b b a +=>> 的离心率e =, 且椭圆 C 上的点到点 (3,0)T 的最大距离为 4 , 若 ()00,P x y 在椭圆 C 上, 则 00,x y Q b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 称为点 P的一个 “和谐点”, 直线 l 与椭圆交于 ,A B 两点, A B 、 两点的“和谐点”分别为 ,M N , 已知以 M 、N 为直径的圆经过坐标原点. (1) 求椭圆 C 的方程;（2） AOB ∆ 的面积是否为定值? 若为定值,试求出该定值;若不是定值, 请说明理由. 【分析 】本题给出了“和谐点”的新情景,所谓“和谐点”的本质是点(坐标轴)的伸缩变换, 解决的方法是相关点法. OMN ∆ 是直角边长为 1 的等腰直角三角形. 若其面积 为定值, 能否具有运动变化中的不变性? 而 AOB ∆ 与 OMN ∆ 等高,问题就转化为只需探求底边的关系, 应借助平面几何知识推证. 另外,涉及坐标的三角形面积公式为 : 在 ABC ∆ 中,(,),(,)AB x y AC u v ==, 程 ABC ∆ 的面积为1||2S xv yu =-, 此结论与 2015 年高考数学上海卷理科第21 题类同, 读者可以参阅下面的例 2第(1)问,利用离心率建立a,b 的关系, 消元后根据有界性利用最大距离为 4 得到 b , 再确定 ,a 从而求得椭圆C 的方程. 第(2)问,建构M 、N 与△AOB 的面积关系为解题的关键,在用坐标法研究几何问题时,应充分利用几何图形的性质简化运算过程,【解析 】(1) 由题意得c e a ==, 故 2a b =.椭圆 C 的方程可设为 22244(0)x y b b +=>.设 (,)R x y 是椭圆 C 上的任意一点, 其到 T 点距离的平方为222222222222||(3)69694436943(1)124,[,]RT x y x x y x x b x x x b x b x b b =-+=-++=-++-=--++=-+++∈-若 01b <<, 当 x b =- 时, 2||RT 取得最大值 2(3)b +, 即2(3)16b +=. 解得 1(b = 舍去);若 1b , 当 1x =- 时, 2||RT 取得最大值 2124b +, 即 212416b +=.解得 1,2b a ==.故椭圆 C 的方程为 2214y x +=.(2) 设 ()()1122,,,A x y B x y , 则1212,,,22y y M x N x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1) 当直线 AB 的斜率不存在时, 即 1212,x x y y ==-, 由以 MN 为直径的圆经过坐标原点可得 OM ON ⊥, 即221211210224y y y x x x +⋅=-=, 即 22114x y =又点 ()11,A x y 在椭圆上, ∴2211414x x +=, 解得11x y ==. ∴112112AOB S x y y ∆=⋅-=2. 当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y kx m =+.由224y kx m y x =+⎧⎪⎨+⎪⎩消去y 得()2224240k x kmx m +++-=由根与系数的关系可得212122224,44km m x x x x k k --+==++. 由以 MN 为直径的圆经过坐标原点可得 OM ON ⊥,从而有121204y y x x +=, 即 121240x x y y +=.故 ()()()()2212121212440x x kx m kx m k x x km x x m +++=++++=. 将 1212,x x x x + 之值代人,整理得 2222240,42m k k m --=∴+=.而()()()22221212122216444k m x x x x x x k +--=+-=+故||AB =而点 O 到直线 AB 的距离d =22111||22242414122ADBS AB d m m m∆∴=⋅==+-=⨯=综合 1、2 可知, AOB ∆ 的面积为定值 1 .【例2】已知椭圆 2221x y +=, 过原点的两条直线 1l 和 2l 分别与椭圆交于 ,A B 和C D 、, 记得到的平行四边形 ABCD 的面积为 S .(1) 设 ()()1122,,,A x y C x y , 用 A C 、 的坐标表示点 C 到直线 1l 的距离, 请证明:12212S x y x y =-(2) 设 1l 与 2l 的斜率之积为12-, 求面积 S 的值.【分析 】本题以直线与椭圆的位置关系为考查对象,涉及证明与求值.第(1)问的证明实质是推导用坐标表示的平行四边形的面积公式。
高考数学 专题16 解析几何解题技巧—设而不求,金蝉脱壳(解析版)
专题16解析几何解题技巧—设而不求，金蝉脱壳一．【学习目标】1.掌握圆锥曲线的定义；2．掌握焦点三角形的应用和几何意义； 3.掌握圆锥曲线方程的求法；4.掌握直线与圆锥曲线的位置关系；5.熟练掌握定点、定值、最值和范围问题。
二．【知识点总结】1.椭圆定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数(大于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) 22221,(0)x y a b a b +=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c =(2) 22221,(0)x y a b b a+=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c =3．椭圆的几何性质以22221,(0)x y a b a b+=>>为例(1)范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O(3)顶点：长轴端点：12(,0),(,0)A a A a -，短轴端点：12(0,),(0,)B b B b -；长轴长12||2A A a =，短轴长12||2B B b =，焦距12||2F F c =.(4)离心率,01,ce e e a=<<越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆．(5) ,,a b c 的关系：222c a b =-. 4．双曲线的定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12,F F 之间的距离)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点12,F F 叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 5．双曲线的标准方程(1) 22221,(0,0)x y a b a b -=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c(2) 22221,(0,0)x y a b b a-=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c 6．双曲线的几何性质以22221,(0,0)x y a b a b-=>>为例(1)范围：,x a x a ≥≤-．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：(0,0)O(3)顶点：实轴端点：12(,0),(,0)A a A a -，虚轴端点：12(0,),(0,)B b B b -；实轴长12||2A A a =，虚轴长12||2B B b =，焦距12||2F F c =.(4)离心率,1ce e a=>(5) 渐近线方程by x a=±.7．抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫抛物线的准线.8．抛物线的标准方程(1) 22222,2,2,2,(0)y px y px x py x py p ==-==->．对应的焦点分别为：(,0),(,0),(0,),(0,)2222p p p p F F F F --. (2)离心率1e =.三．【题型归纳】（一）斜率的积和商中的韦达定理 （二）面积问题中的设而不求 （三）与向量综合的设而不求 （四）定值与设而不求（五）圆锥曲线与圆综合中的设而不求 （六）定点与设而不求 四．【题型方法】（一）斜率的积和商中的韦达定理例1. 给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O C 的“伴椭圆”，若椭圆C 右焦点坐标为F ，且过点. （1）求椭圆C 的“伴椭圆”方程；（2）在椭圆C 的“伴椭圆”上取一点P ，过该点作椭圆的两条切线1l 、2l ，证明：两线垂直；（3）在双曲线2213x y -=上找一点Q 作椭圆C 的两条切线，分别交于切点M 、N 使得0QM QN ⋅=uuu r uuu r ，求满足条件的所有点Q 的坐标.【答案】（1）224x y +=；（2）证明见解析；（3）1)2Q 或1)2Q -或1()2Q 或1()2Q -.【解析】(1)依题意可得,c =所以2222a b c -==,①又椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点,所以22161,9a b += ②由①②可得223,1a b ==,椭圆C 的“伴椭圆”方程为:224x y +=.(2)由(1)可得椭圆22:13x C y +=,设切线方程为:(1)y k x -=-,将其代入椭圆22:13x C y +=,消去y 并整理得:222(13)6))30k x k k x k +++--=,由222[6)]4(13)3]0k k k k --+-=,得210k +-=, 设1l ,2l 的斜率为12,k k ,则121k k ?-,所以两条切线垂直.(3)当两条切线,QM QN 的斜率存在时,设经过点00(,)Q x y 与椭圆相切的直线为:00()y k x x y =-+,则0022()13y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得,2220000(13)6()3()30k x k y kx x y kx ++-+--=, 所以2220000[6()]4(13)[3()3]0k y kx k y kx --+--=,经过化简得到:2220000(3)210x k x y k y -++-=,设两条切线,QM QN 的斜率分别为12,k k ,则2012213y k k x -⋅=-, 因为0QM QN ⋅=uuu r uuu r,所以QM QN ⊥,所以121k k ?-,所以202113y x -=--,所以22004x y +=, 当两条切线,QM QN 的斜率不存在时,(1)Q ±也满足22004x y +=,所以Q 的轨迹为椭圆的”伴随圆”,其方程为:224x y +=,联立2222134x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩,解得2215414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 所以满足条件的所有点Q 的坐标为: 1)2Q或1)2Q -或1()2Q或1()2Q -. 练习1.已知直线12:l y x =，2:2=-l y x ，过点()20，-M 的直线l 分别与直线1l ，2l 交于,A B ，其中点A 在第三象限，点B 在第二象限，点()10，N ； （1）若NAB ∆的面积为16，求直线l 的方程；（2）直线AN 交于2l 点P ，直线BN 交1l 于点Q ，若l PQ 、直线的斜率均存在，分别设为12k k ，，判断12k k 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．【答案】（1）480x y ±+=（2）12k k 为定值15-，详见解析 【解析】（1）设直线方程为()2y k x =+，与直线1222l y x l y x ==-：，：，分别联立， 可得A B ，的纵坐标分别为44,22k k k k -+，∵NAB ∆的面积为16，∴()1216B A MN y y ⋅-= 即144316222kk k k ⎛⎫⨯⨯-= ⎪-+⎝⎭，解得4k =±，∴直线l 的方程为480x y ±+=； （2）由（1）可得111111112424,,,2222k k k k A B k k k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭，又10N （，），设()()22，，，-P a a Q b b ， 由A N P ，，共线，可得1142132k a a k =--，解得11252k a k =-，即有111124,5252k k P k k ⎛⎫- ⎪--⎝⎭， 由B N Q ，，共线，可得1142132k b b k =---，解得11252k b k =+，即有111124,5252k Q k k k ++⎛⎫⎪⎝⎭， 则11111112114452522225552k k k k k k k k k k --+--+=--=，即有12k k 为定值15-． （二）面积问题中的设而不求例2．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:1C mx ny +=的焦点在x，虚轴长为2；（1）求实数mn 、的值: （2）设椭圆222:41C x y +=，若M N 、分别为12C C 、上的动点，且OM ON ⊥，求证：点O 到直线MN 的距离为定值【答案】（1）2,1m n ==-（2）证明见解析【解析】（1）由于双曲线焦点在x 轴上，故0,0m n ><，且222222c b c a b ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得1,a b c ===所以双曲线方程为22112x y -=，即2221x y -=，所以2,1m n ==-.（2）设点O 到直线MN 的距离为d .当直线ON x ⊥轴时，1,22ON OM MN ===，根据等面积法得1122OMN S OM ON MN d ∆=⋅⋅=⋅⋅，解得3d =. 当直线ON 与x 轴不垂直时，设直线ON 的方程为y kx =（显然0k ≠），则直线OM 的方程为1=-y x k，由2241y kx x y =⎧⎨+=⎩，得222221,44N N k x y k k ==++，所以22214k ON k +=+①.同理，由22121y x k x y ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩可求得222121k OM k +=-②.根据等面积法得1122OMN S OM ON MN d ∆=⋅⋅=⋅⋅，即2222OM ON MN d ⋅=⋅，即 22222222OM ON OM ONd MNOM ON ⋅⋅==+，即222111d OM ON =+③.将①②代入③得213,3d d ==. 综上所述，点O 到直线MN 的距离为定值.练习1. 已知椭圆2214y x +=的左、右两个顶点分别为A 、B ，曲线C 是以A 、B 两点为顶点，焦距为的双曲线，设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T . （1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，求证12x x ⋅为一定值；（3）设△TAB 与△POB （其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且15PA PB ⋅≤u u u r u u u r，求2212S S -的取值范围.【答案】（1）2214y x -=；（2）证明见解析，121x x ⋅=；（3）2212[0,1]S S -∈. 【解析】（1）由椭圆方程可得：()1,0A -，()1,0B ，即双曲线C 中，1a =又双曲线焦距为c ∴=2b ∴==∴曲线C 的方程为：2214yx -=（2）由题意可知，直线AP 斜率存在，则可设():1AP y k x =+联立()22114y k x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩得：()()22224240k x k x k ---+=211244A k x x x k +∴⋅=-=- 21244k x k +∴=-，椭圆与直线联立得：()()22224+240kxk x k+--=可得：22244k x k-=+ 22122244144k k x x k k+-∴=⋅=-+，即12x x ⋅为定值1 （3）由（2）可设()11,P x y ，211,T y x ⎛⎫⎪⎝⎭则()111,PA x y =---u u u r ，()111,PB x y =--u u u r 2211115PA PB x y ∴⋅=-+≤u u u r u u u r 221116x y ∴+≤ 又点P 在双曲线2214y x -=上 221114y x ∴-= 22114416x x ∴+-≤，解得：214x ≤ 又P 位于第一象限 112x ∴<≤12212S AB y y =⋅=Q ，2111122S OB y y =⋅= ()222222212211121111144444544S S y y x x x x ⎛⎫∴-=-=---=-- ⎪⎝⎭ 令(]211,4t x =∈ 221245S S t t∴-=--4t t+Q 在(]1,2上单调递减，在[]2,4上单调递增()2212max 5221S S ∴-=--=，()2212min5410SS -=--=2212S S ∴-的取值范围为[]0,1（三）与向量综合的设而不求例3. 设抛物线2:4C y x =的焦点为F（1）若抛物线C 与直线:1l y kx =-有且只有一个公共点.求实数k 的值:（2）若点A P 、满足2AP FA =-u u u r u u u r，当点A 在抛物线C 上运动时，求动点P 的轨迹方程；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上？如果存在，求所有满足条件的点Q 的坐标:如果不存在。
江西省九江市修水一中2012届高三第二轮复习教案《解析几何》
修水一中2012届高三第二轮复习教案一、考情分析综合近几年各省市新课标高考分析，《解析几何》高考命题具有以下特点：1．直线与方程是解析几何的基础知识，在每年的高考中均有涉及，它是解析几何综合题的纽带．直接命题时通常考查基本概念(倾斜角、斜率、平行与垂直、截距的变化范围等)的有关问题．2．圆是解析几何的重要内容，曲线模型相对独立，命题形式多样，常以选择题或填空题的形式考查圆的基本构成要素、圆的方程以及直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，难度中等偏易，对通性通法和基础知识的熟练掌握是解题的关键．3．圆锥曲线是高考中每年必考内容，是高考的重点和热点，选择题、填空题和解答题均有涉及．主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质及直线与曲线的关系等．4．由于新课标对此部分的考查增加了“理解数形结合思想”的要求，所以考查数形结合、等价转化、分类讨论、函数与方程等数学思想方法的问题有所加强．5．以向量为载体的解析几何问题已成为高考的热点之一，联系方程、不等式以及圆锥曲线的转化，题型灵活多样．二、复习建议1．以纲为纲，以本为本，充分发挥教材的核心作用高考试题源于课本，这是高考命题的一个基本原则．大多数同学在高考总复习时忽略课本，将教材扔到一边，每天围绕教材“埋头”做题．而许多高考题在课本都有原型．课本是标准，在求活、求新、求变的命题思想指导下，虽不考查单纯概念、也不会考查原题，但不少高考题就是课本原题的变形、改造、综合．故此要抓纲悟本，选择一些针对性较强的题目进行强化训练，使学生能很好地理解概念、掌握方法．如江西卷理科21题就是平时题的改编，所考查的知识点并没有太大的改动．2．强化三基很多同学在平时复习中经常出现忽视基础，爱钻难题、怪题，好高鹜远，而一考试则分数偏低．究其根源是基础不过关，才出现审题不清以及会而不对、对而不全等情况．而三基的落实不能只停留在口头上，要体现在教学时选取的每个问题、每个练习、每次试卷及错题的分析上．．3.注重求轨迹方程，定点、定值、最值及探索性问题等知识点的总结与复习，掌握其求解策略。
微专题16 解析几何中的“隐形圆”问题共38页
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
2021年于新华中考数学16讲第6讲 让圆不再有隐形的翅膀
第6讲让圆不再有隐形的翅膀方法一：利用“圆的定义”→“找定点、寻定长”→现“圆”形.圆的定义：到定点的距离等于定长的集合叫做圆1.单边定长引例如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动。
点Q从点A出发，沿A→B→C→D→A方向滑动到点A为止；同时点F从点B出发，沿B→C→D→A→B方向滑动到点B为止.那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为______________.D【引例答案】4π-变式1：在矩形ABCD中，已知AB=2cm，BC=3cm，现有一根长为2cm的木棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），接逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的围形的面积为_____________cm2.变式1答案：6π-变式2：如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E，F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，G为EF的中点，P为BC边上一动点，则P A+PG的最小值为____________.GEFPDCBA变式2答案：4B变式3：在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（3，0），B 为y 轴正半轴上的点，C 为第一象限内的点，且AC =2.设tan ∠B 0C =m ，则m 的取值范围为__________ 变式3答案：32m变式4：如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =6，E 为AB 边的中点，F 是BC 边上的动点.将△EFB 沿EF 所在的直线折叠得到△'EB F ，连接'B D ，则'B D 的最小值为____________B'A BCDE变式4答案：2102变式5：如图，在Rt △ABC 中∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在AC 边上，并且CF =2．E 为BC 边上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到AB 边距离的最小值是1.2．PAF BC变式5答案：1.2【解答】：如图所示：当PE ∥AB ．由翻折的性质可知：PF=FC=2，∠FPE=∠C=90°．∵PE ∥AB ，∴∠PDB=90°． 由垂线段最短可知此时FD 有最小值．又∵FP 为定值，∴PD 有最小值． 又∵∠A=∠A ，∠ACB=∠ADF ，∴△AFD ∽△ABC ． ∴，即=，解得：DF=3.2．∴PD=DF ﹣FP=3.2﹣2=1.2．变式6：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B ’CP ，连接B ’A ，则B ’A 长度的最小值是__1__．B'变式7：如图，在□ABCD 中，∠BCD ＝30°，BC ＝4，CD ＝，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ’MN ，连接A ’C ，则A ’C 长度的最小值是_5__．AC2．共端点两条线段为定长引例 在△ABC 中，AC ＝4， AB ＝5．则△ABC 面积的最大值为_________． 【引例】答案10 提示：当AC ⊥AB 时，ABC S ∆有最大值.BC归纳 若共端点两条线段为定长，可让一定边两个端点固定，另一定边的端点在以公共点为圆心，定长为半径的圆周上运动．变式1：已知在四边形ABCD 中，AD ＋DB ＋BC ＝16，则四边形ABCD 面积的最大值为_________变式1答案:32 提示：=ABD BCD ABCD S S S ∆∆+四边形,那么当∠ADB=∠DBC=90°时，ABD S ∆,BCD S ∆有最大值，也就是四边形ABCD 的面积有最大值；再结合AD+DB+BC=16,可求得21=82ABCD S BD BD -四边形，再利用二次函数求最值的方法，即可求四边形ABCD 的面积.变式2：在△ABC 中，AB ＝3，AC ∠B 最大时，BC 的长是____________ ．变式2 提示：当∠B 最大时，BC 与⊙A相切，即AC ⊥AB 时，B变式3：问题背景 如图①，在△ABC 中，BC ＝4，AB ＝2A C ．问题初探 请写出任意—对满足条件AB 与AC 的值：AB ＝_____．AC ＝________． 变式3：问题初探 设AC=x ，则AB=2x.根据“三角形三边关系”得2424x x x x +>⎧⎨-<⎩，∴443x <<，即443AC <<.当AC=2时，AB=4.问题再探 如图②，在AC 右侧作∠CAD ＝∠B ．交BC 的延长线于点D ，求CD 的长．问题再探 作图略，△DAC ∽△DBA ，且相似比为1:2.设CD=m ，则AD=2m.由“母子型”相似可以得到2DA DC DB =⨯,∴()()224m m m =+，解得：10m =（舍），243m =. ∴43CD =. 问题解决 求△ABC 的面积的最大值．B CBD问题解决 ∵△DAC ∽△DBA,且相似比为1:2，∴4DAB DAC S S ∆∆=，从而3ABC DAC S S ∆∆=，当AD ⊥BD 时，DAC S ∆有最大值169，故△ABC 的最大值为163. 3．共端点三条线段为定长引例 如图，已知AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝44°，则∠CAD 的度数为_______．A【引例】答案88°D变式1：如图，在四边形 ABCD 中，DC ∥AB ，BC ＝1，AB ＝AC ＝AD ＝2，则 BD ＝_______ 变式1图① 图② 引例图 变式1图 变式2图 变式3图变式2：如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，∠C＝70 °，点P在△ABC的外部，且与点C均在AB的同侧．如果PC＝BC，那么∠APB＝________．变式2答案:35°.（若将P,C在AB同侧这个条件去掉，此答案为35°或145°）变式3：如图，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝15°．在△OCD中，OC＝OD，∠COD＝45°，且点C在OA边上．连接CB，将线段OB绕着点O逆时针旋转一定角度得到线段OE，使得DE＝CB，则∠BOE的度数为_________．变式3答案: 15°或45°提示：以O为圆心，OA长为半径⊙O，以D为圆心，BC长为半径作⊙D，两圆交于点E，E’.①当OE在∠BOD内部时，∠DOE=∠COB=15°，则由OD=OC,∠DOE=∠COB,OB=OE可得△ODE≌△OCB，故DE=CB,此时∠BOE=45°-15°-15°=15°；②当OE在∠BOD外部时，如图中OE’所示，则由OD=OC,∠DOE’=∠COB,OB=OE’可得△ODE’≌△OC B，故DE’=CB，此时∠BOE’=45°-15°+15°=45°.综上所述，∠BOE=15°或45°.知识架构如图，点A(2，0)，B(6，0)，CB丄x轴于点B，连结A C．在y轴正半轴上求作点P，使∠APB＝∠AC B．(尺规作图，保留作图痕迹）归纳 当某条边与该边所对的角是定值时．．．．．．．．．．．．．．．，该角的顶点的轨迹是圆弧 【知识架构】略. 方法二：见．直角→找．斜边(定长)→想．直径→定．外心→现．“圆”形 方法二： 【引例】略. 引例已知A ，B 两点在直线l 的异侧，在l 上求作点P ，使△P AB 为直角三角形．(尺规作图，保留作图痕迹）变式1：如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，D 为线段AC 上一动点，连接BD ，过点C 作CH ⊥BD 于点H ，连接AH ，则AH 的最小值为_________．CBD变式1答案：2变式2：如图，在正方形ABCD 中，AB ＝2，动点E 从点A 出发向点D 运动，同时动点F 从点D 出发向点C 运动，点E ，F 运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF ，BE 相交于点P ，则线段DP 的最小值为_________．F变式21 提示：∵动点F ，E 的速度相同，∴DF=AE ，∴△ABE ≌△DAF ，∴∠APB=90°. ∵点P 在运动中保持∠APB =90°， ∴点P 的路径是一段以AB 为直径的弧.设AB 的中点为G ，连接DG 交弧于点P ，此时DP 的长度最小.F变式2图 变式3图变式3：直线y ＝x ＋4分别与x 轴，y 轴相交于点M ，N ，边长为2的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交于点P ．若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点（0，2)长度的最小值是__________ ．变式3答案：2 提示：∴△MOC ≌△NOA,∴∠CMO=∠ANO,∴∠MPN=90°，∴P 在以MN 为直径的圆上.∵M （-4,0），N （0,4）∴圆心G 为（-2,2），半径为G ，点P ，C （0,2）三点共线时，PC 最小.方法三：见．定角→找．对边（定长）→想．周角→转．心角→现．“圆”形．AB方法三：自主探索1：(0,2或(02，-自主探索2：0,1⎛+ ⎝⎭或01⎛- ⎝⎭，自主探索3：0,1⎛- ⎝⎭或01⎛-⎝⎭， 自主探索4：(0,2或(02-+，问题提出：如图，已知线段AB ，试在平面内找到符合所有条件的点C ，使∠ACB ＝30°．(利用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）尝试解决：先作出等边△AOB ，然后以点O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，则优弧AB 上的点即为所要求作的点（点A ，B 除外），根据对称性，在AB 的另一侧符合条件的点C 易得． 请根据提示，完成作图．自主探索1：在平面直角坐标系中，已知点A (3，0)，B (－1，0)，C 是y 轴上一动点．当∠BCA ＝45°时，点C 的坐标为__________．自主探索1图 自主探索2图 自主探索3图 自主探索4图自主探索2：在平面直角坐标系中，已知点A (3，0)，B(－1，0)，C 是y 轴上一动点，当∠BCA ＝60°时，点C 的坐标为__________． 【答案】(0，1)或(0，－1)．自主探索3：在平面直角坐标系中，已知点A (3，0)，B (－1，0)，C 是y 轴上一动点，当∠BCA ＝120°时，点C 的坐标为__________．【答案】(0，1)或(0，－1)．自主探索4：在平面直角坐标系中，已知点A (3，0)，B (－1，0)，C 是y 轴上一动点，当∠BCA ＝135°时，点C 的坐标为__________．【答案】(0，2或(0，－2．变式1：如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成60°角，在直线l 上取一点P ，使∠APB ＝30°，则满足条件的点P 的个数是__________．【答案】2P变式2图A BCD E变式1图变式2：如图，在边长为的等边△ABC 中，动点D ，E 分别在BC ，AC 边上，且保持AE ＝CD ，连接BE ，AD ，相交于点P ，则CP 的最小值为__________．【答案】2变式3：如图，点A 与点B 的坐标分别是A (1，0)，B (5，0)，P 是该平面直角坐标系内的一个动点．（1）使∠APB ＝30°的点P 有__________个；（2）若点P 在y 轴上，且∠APB ＝30°，求满足条件的点P 的坐标； （3）当点P 在y 轴上移动时，∠APB 是否存在最大值？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）无数．（2）(0，或(0，－．（3）存在，P (0)．变式4：（1）请利用以上操作所获得的经验，在图①的矩形ABCD 内部用直尺与圆规作出一点P ，使点P 满足：∠BPC ＝∠BEC ，且PB ＝PC ．（要求：用直尺与圆规作出点P ，保留作图痕迹）（2）如图②，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B ，坐标为(2，m )．过点B 作AB ⊥y 轴，BC ⊥x轴，垂足分别为A ，C ．若点P 在线段AB 上滑动(点P 可以与点A ，B 重合)，发现使得∠OPC ＝45°的位置有两个，则m 的取值范围为__________．图②图①ED CBA【答案】（1）略．（2）2≤m ＜1变式5：如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A (1，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C (0，2)，连接AC ，BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）若BC 的垂直平分线交抛物线于D ，E 两点，求直线DE 的解析式；（3）若点P 在抛物线的对称轴上，且∠CPB ＝∠CAB ，求出所有满足条件的点P 的坐标．【答案】（1）y ＝12x 2－52x ＋2．（2）y ＝2x －3．（3）(52，12-)或(52)．。
2019江苏高考压轴题(中篇)专题01.07 解析几何中的探索性问题
题型01.07--解析几何中的探索性问题一、问题概述探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学能知识和方法论解决问题．解析几何中的探索性问题，主要有存在性问题（例1，例3）、定点定值问题（例2）等．解决问题的策略往往是承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性或不合理性．探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不用忽略任何可能的因素．解答时，不但需要熟练掌握圆锥曲线的概念和性质、方程和不等式、判别式等各项知识，还要具备较强的审题能力、逻辑思维能力和运算能力以及善于运用数形结合的思想方法分析问题、解决问题不够的的能力． 二、释疑拓展1．【苏北四市2018届高三第一学期期末调研.18题】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点312(，).F 为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点．（1）求椭圆的标准方程； （2）若AF FC =，求BFFD的值； （3）设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实数m ，使得21k mk =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．2．【苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研（一）.18题】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>，且过点，过椭圆的左顶点A 作直线l x ⊥轴，点M 为直线l 上的动点，点B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于P ． （1）求椭圆C 的方程； （2）求证：AP OM ⊥；（3）试问OP OM ⋅是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．3．【盐城市2018届高三第三次调研.18题】如图，已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴． （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆222:()(0)M x m y r r -+=>．①设圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，若2MA MB MP MF +=+，且2AB =，求r 的值；②设2m =-，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于,G H 两点（异于点P ）．试问：是否存在这样的正数r ，使得,G H 两点恰好关于坐标原点O 对称？若存在，求出r三、专题反思（你学到了什么？还想继续研究什么？）四、巩固训练1．【徐州市、宿迁市2014届高三第三次教学情况检测.18题】如图，已知1A ，2A ，1B ，2B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点，△112A B B 是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M ．（1）求椭圆C 及圆M 的方程；（2）若点D 是圆M 劣弧12A B 上一动点（点D 异于端点1A ，2B ），直线1B D 分别交线段12A B ，椭圆C 于点E ，G ，直线2B G 与11A B 交于点F ． （i ）求11GB EB 的最大值； （ii ）试问：E ，F 两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．2．【镇江市2018届高三第一学期期末调研.18题】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为22，左焦点 F (-2,0) ，直线 l : y = t 与椭圆交于A , B 两点，M 为椭圆上异于 A , B 的点．（1）求椭圆 E 的方程；（2）若()1,6--M ，以 AB 为直径的圆 P 过 M 点，求圆 P 的标准方程； （3）设直线MA ，MB 与y 轴分别交于C ，D ，证明： OC ⋅OD 为定值．3．【常州市2016届高三第一学期期末调研.19题】在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是e ，定义直线y ＝±ba 为椭圆的“类准线”．已知椭圆C 的“类准线”方程为y ＝±23，长轴长为4. （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 在椭圆C 的“类准线”上(但不在y 轴上)，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝3的切线l ，过点O 且垂直于OP 的直线与l 交于点A ，问点A 是否在椭圆C 上？证明你的结论．参考答案二、释疑拓展1．【解】（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知：22121914c a ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解之得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩22143x y +=（2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2A ，所以3(1,)2 B --，此时直线BF 方程为3430x y --=，由223430,1,43x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），故1(1)713317BF FD --==-．（3）设00,)A x y （，则00(,)B x y --，直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得 2220000(156)815240x x y x x ---+=， 因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x -=-，又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00003(1)152C c y y y x x x -=-=--， 同理，D 点坐标为0085(52x x ++，3)52y x +， 所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =．2．【解】：（1）∵椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>，∴222a c =，则222a b =，又椭圆C过点，∴221312a b+=．∴24a =，22b =，则椭圆C 的方程22142x y +=．（2）设直线BM 的斜率为k ，则直线BM 的方程为(2)y k x =-，设11(,)P x y ， 将(2)y k x =-代入椭圆C 的方程22142x y +=中并化简得：2222(21)4840k x k x k +-+-=，解之得2124221k x k -=+，22x =，∴1124(2)21ky k x k -=-=+，从而222424(,)2121k k P k k --++．令2x =-，得4y k =-，∴(2,4)M k --，(2,4)OM k =--． 又222424(2,)2121k k AP k k --=+++＝22284(,)2121k kk k -++，∴2222161602121k k AP OM k k -⋅=+=++，∴AP OM ⊥．（3）222424(,)(2,4)2121k k OP OM k k k --⋅=⋅--++ =2222284168442121k k k k k -+++==++．∴OP OM ⋅为定值4．3．【解】：（1）因点(2,3)P -是椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴，所以椭圆的半焦距2c =，由22221c y a b +=，得2b y a =±，所以2243b a a a-==， 化简得2340a a --=，解得4a =，所以212b =，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=． （2）①因2MA MB MP MF +=+，所以2MA MP MF MB -=-，即2PA BF =，所以线段2PF 与线段AB 的中点重合（记为点Q ），由（1）知3(0,)2Q ，因圆M 与线段2PF 交于两点,A B ，所以21MQ AB MQ PF k k k k ⋅=⋅=-，所以30302122m --⋅=---，解得98m =-，所以158MQ ==，故178r ==② 由,G H 两点恰好关于原点对称，设00(,)G x y ，则00(,)H x y --，不妨设00x <，因(2,3)P -，2m =-，所以两条切线的斜率均存在，设过点P 与圆M 相切的直线斜率为k ，则切线方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，由该直线与圆M相切，得r =，即k = 所以两条切线的斜率互为相反数，即PG PH k k =-，所以00003322y y x x ---=-+-+，化简得006x y =-，即006y x -=，代入220011612x y +=， 化简得420016480x x -+=，解得02x =-（舍），0x =-所以0y =所以(G -，H，所以PG k ==所以r ==. 故存在满足条件的r，且r =四、巩固训练1、【解】：（1）由题意知，2(0,1)B，1(A ，所以1b =，a =，所以椭圆C 的方程为2213x y +=，易得圆心(M，1A M =，所以圆M的方程为224(3x y +=．（2）证明：设直线1B D的方程为1(y kx k =-<，与直线12A B 的方程1y x =+联立，解得点E ， 联立22113y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得，22(1+3)60k x kx -=，解得点222631(,)3131k k G k k-++，（i）1111121)2G E x GBEB x====-=+-+++1+≤3k =时，取“=”，所以11GB EB ．（ii ）直线2B G 的方程为222311131116331k k y xx k k k --+=+=-++， 与直线11A B 的方程1y =-联立，解得点F ， 所以E 、F=- 故E 、F 两点的横坐标之和为定值，该定值为-． 2、【解】：（1）因为e ＝c a ＝22且c ＝2，所以a ＝22，b ＝2所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1（2）设A(s ，t)，则B(－s ，t)，且s 2＋2t 2＝8.①因为以AB 为直径的圆P 过M 点，所以MA ⊥MB ，所以MA →·MB →＝0，因为MA →＝(s ＋6，t ＋1)，MB →＝(－s ＋6，t ＋1)， 所以6－s 2＋(t ＋1)2＝0. ② 由①②解得t ＝13或t ＝－1(舍)，所以s 2＝709因为圆P 的圆心为AB 的中点(0，t)，半径为AB2＝|s|，所以圆P 的标准方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －132＝709（3）设M(x 0，y 0)，则l AM 的方程为y －y 0＝t －y 0s －x 0·(x －x 0)，若k 不存在，显然不符合条件． 令x ＝0得y C ＝－tx 0＋sy 0s －x 0；同理y D ＝－tx 0－sy 0－s －x 0，所以OC·OD ＝|y C ·y D |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－tx 0＋sy 0s －x 0·－tx 0－sy 0－s －x 0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2x 20－s 2y 20x 20－s2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2x 20－s 2y 20x 20－s 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2（8－2y 20）－（8－2t 2）y 208－2y 20－（8－2t 2）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8t 2－8y 202t 2－2y 20＝4为定值． 3、【解】：（1）由题意⎩⎪⎨⎪⎧ab c ＝23，a ＝2又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝3，c ＝1所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1（2）点A 在椭圆C 上．证明如下：设切点为Q(x 0，y 0)，x 0≠0，则x 20＋y 20＝3，切线l 的方程为x 0x ＋y 0y －3＝0.当y P ＝23时，x P ＝3－23y 0x 0，即P ⎝⎛⎭⎪⎫3－23y 0x 0，23，则k OP ＝233－23y 0x 0 ＝2x 03－2y 0，所以k OA ＝2y 0－32x 0，直线OA 的方程为y ＝2y 0－32x 0x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y 0－32x 0x ，x 0x ＋y 0y －3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6x 06－3y 0，y ＝3（2y 0－3）6－3y 0即A ⎝⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 0，3（2y 0－3）6－3y 0，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 024＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3（2y 0－3）6－3y 023＝9（3－y 20）＋3（4y 20－43y 0＋3）3y 20－123y 0＋36＝3y 20－123y 0＋363y 20－123y 0＋36＝1， 所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程．当y P ＝－23时，同理可得点A 的坐标满足椭圆C 的方程，所以点A 在椭圆C 上．。
高考解析几何的万能套路
一、解析几何解析几何是法国数学家笛卡儿（1596 年～1650 年）创立的。
笛卡儿在总结前人经验的基础上，创造性地提出了一个划时代的设想——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。
正是在这一设想的指引下，笛卡儿创建了解析几何的演绎体系。
以高考解析几何为例：1、很多高考问题都是以平面上的点、直线、曲线（如圆、椭圆、抛物线、双曲线）这三大类几何元素为基础构成的图形的问题；2、演绎规则就是代数的演绎规则，或者说就是列方程、解方程的规则。
有了以上两点认识，我们可以毫不犹豫地下这么一个结论，那就是解决高考解析几何问题无外乎做两项工作：1、几何问题代数化。
2、用代数规则对代数化后的问题进行处理。
至此，整理了近几年来贵州省高考解析几何试题后总结出一套统一的解题套路：二、高考解析几何解题套路及各步骤操作规则步骤一：（一化）把题目中的点、直线、曲线这三大类基础几何元素用代数形式表示出来；口诀：见点化点、见直线化直线、见曲线化曲线。
1、见点化点：“点”用平面坐标系上的坐标表示，只要是题目中提到的点都要加以坐标化；2、见直线化直线：“直线”用二元一次方程表示，只要是题目中提到的直线都要加以方程化；3、见曲线化曲线：“曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）”用二元二次方程表示，只要是题目中提到的曲线都要加以方程化；步骤二：（二代）把题目中的点与直线、曲线从属关系用代数形式表示出来；如果某个点在某条直线或曲线上，那么这个点的坐标就可代入这条直线或曲线的方程。
口诀：点代入直线、点代入曲线。
1、点代入直线：如果某个点在某条直线上，将点的坐标代入这条直线的方程；2、点代入曲线：如果某个点在某条曲线上，将点的坐标代入这条曲线的方程；这样，每代入一次就会得到一个新的方程，方程逐一列出后，这些方程都是获得最后答案的基础，最后就是解方程组的问题了。
在方程组的求解中，我们发现一个特殊情况，即如果题目中有两个点在同一条曲线上，将它们的坐标代入曲线方程后能够直接求解的可以直接求解，如果不能直接求解的，则采用下面这套等效规则来处理可以达到同样的处理效果，并让方程组的求解更简单，具体过程：1、点代入这两个点共同所在的直线：把这两个点共同所在直线用点斜式方程（如）表示出来，将这两个点的坐标分别代入这条直线的方程；2、将这条直线的方程代入这条曲线的方程，获得一个一元二次方程；3、把这个一元二次方程的二次项系数不等于零的条件列出来；4、把这个一元二次方程的判别式列出来；5、把这个一元二次方程的根用韦达定理来表示（这里表示出来的实际上就是这两个点的坐标之间的相互关系式）。
解析几何之“隐形的翅膀”
（2010青岛一模理科22（2））点 ，设 是椭圆 ： 上的一点，过 、 两点的直线 交 轴于点 ,若 ,求直线 的方程.
（2008青岛一模理科21题（2））设 是椭圆 ： 上的一点，过点 的直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，若 ，求直线 的斜率．
（2009青岛一模理科21题（2））设 是椭圆 ： 上的任一点， 为圆 的任一条直径，求 的最大值.
解析几高考数学22题（1）问的探究：
P Q :
先讨论 ……（1）
P： ……（2）Q： ……（3）
（2）+（3）—（1）
同理 时可证明结论同样成立！
没有通过韦达定理，避开复杂运算！可是，思维量不小。如果平时对于“方程思想”没有足够的高度与深度是很难分析出来的！
我们先回顾一个问题：在解析几何中遇到中点问题我们一般怎样做合适？有人叫“点差”、“设而不求”等，其实联立韦达定理的方法也是“设而不求”！我们对于非联立韦达定理的方法无论是理解还是运用都存在很大欠缺，我们先看下面一个问题：
个人总结：对比这两种方法，我们不难发现：大部分解析几何题目都可以用这两种方法来处理；“联立韦达定理”不一定运算量小，只是我们比较熟悉而已；“直接用方程”不一定运算量大，只是往往他的运算更体现“运算能力”而非纯算数！注意：从这个对比特点来看，尽管山东高考数学解析几何的解答题6年来全部都能够用“联立未达定理”的方法来处理，但是由于“直接用方程”更能够体现运算能力，因此不排除山东高考调整的可能性，运算能力是山东高考数学要求的第一能力！2008青岛一模理科22题(2)、2009青岛一模理科21题（2）问、2010青岛一模理科22题(2)问、2011青岛一模文理科22题（2）问均重点对“直接用方程”进行了考察且都不方便用“联立韦达定理”；2005山东高考文理科22题、2006山东高考理科21题、2009山东高考理科22题第（3）、2011山东理科22题（1）问均可以不通过韦达定理处理；
2023年新高考数学创新题型微专题09 解析几何专题(数学文化)(解析版)
专题09 解析几何专题（数学文化）一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为128的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD 的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为()222210x y a b a b +=>>，下列选项中满足题意的方程为（ ） A ．2216416x y +=B ．2211664x y +=C ．22125616x y +=D ．2216432x y +=【答案】A【分析】由题得32ab =，再判断选项得解.【详解】解：矩形ABCD 的四边与椭圆相切，则矩形的面积为22128a b ⋅=，所以32ab =. 只有选项A 符合. 故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为12345,,,,O O O O O ，若双曲线C 以13,O O 为焦点、以直线24O O 为一条渐近线，则C 的离心率为（ ）A B C ．1311D ．125【答案】B【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出双曲线渐近线的方程，结合离心率的意义计算作答.【详解】依题意，以点2O 为原点，直线13O O 为x 轴建立平面直角坐标系，如图，点4(13,11)O −−，设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b −=>>，其渐近线为b y x a=±，因直线24O O 为一条渐近线，则有1113b a =，双曲线C 的离心率为e ===故选：B3．（2022春·云南曲靖·高二校考开学考试）加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙），则椭圆22:1169x y C +=的蒙日圆的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径．【详解】解：由蒙日圆的定义，可知椭圆22:1169x y C +=的两条切线4x =、3y =的交点()4,3在圆上，所以蒙日圆的半径5R ==. 故选：C ．4．（2022·全国·的椭圆称为“最美椭圆”．已知椭圆C 为“最美椭圆”，且以椭圆C 上一点P 和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为4，则椭圆C 的方程为（ ）．A ．2212x y +=B ．22142x y +=C ．22163x y +=D ．22184x y +=【答案】D【分析】先由e =2c a =与2b a =，再由12PF F S 的最大值得4bc =，进而求得28a =，24b =，故可得到椭圆C 的方程.【详解】解：由已知c e a ==c =，故b ，∵121211222PF F P P S F F y c y bc ==⨯≤，即()12max4PF F S bc ==，∴422a a ⨯=，得28a =，故22142b a ==，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.故选：D ．5．（2022秋·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A 、B 是MON ∠的ON 边上的两个定点，C 是OM 边上的一个动点，当C 在何处时，ACB ∠最大问题的答案是：当且仅当ABC 的外接圆与边OM 相切于点C 时，ACB ∠最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点P ，Q 的坐标分别是(2,0)，(6,0)，R 是y 轴正半轴上的一动点，当PRQ ∠最大时，点R 的纵坐标为（ ）AB ．2C ．D ．4【答案】C【分析】由米勒定理确定PRQ △的外接圆与y 轴的位置关系，再应用垂径定理、直线与圆关系确定圆心和半径，进而写出PRQ △的外接圆的方程，即可求R 的纵坐标.【详解】因为P ，Q 分别是(2,0)，R 是y 轴正半轴上的一动点， 根据米勒定理知，当PRQ △的外接圆与y 轴相切时，PRQ ∠最大， 由垂径定理知，弦PQ 的垂直平分线必过PRQ △的外接圆圆心， 所以弦PQ 中点G 的坐标为(4,0)，故弦PQ 中点的横坐标即为PRQ △的外接圆半径的大小，即4r =，由垂径定理得圆心为，所以PRQ △的外接圆的方程为22(4)(16x y −+−=，令0x =，得R 的纵坐标为 故选：C6．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期中）德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，若轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比为28:29，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是（ ）A ．159B ．12C ．2956D ．157【答案】D【分析】根据题意可得2829a c a c −=+，进而即得. 【详解】设椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ， 由题意可得2829a c a c −=+， 所以57a c =，即157c a =， 因此地球运行轨道所在椭圆的离心率是157． 故选：D.7．（2022秋·福建·高二校联考期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点,M N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P ，使得MPN ∠最大.”如图，其结论是：点P 为过M ，N 两点且和射线QB 相切的圆与射线QB 的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点()()1,2,1,4M N −，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是（ ）A ．1B ．7−C ．1或1−D ．1或7−【答案】A【分析】利用米勒问题的结论，将问题转化为点P 为过M ，N 两点且和x 轴相切的圆与x 轴的切点，求出切点的横坐标即可.【详解】由题意知，点P 为过M ，N 两点且和x 轴相切的圆与x 轴的切点，线段MN 的中点坐标为()03，，线段MN 的垂直平分线方程为3y x −=−， 所以以线段MN 为弦的圆的圆心在线段MN 的垂直平分线3y x −=−上， 所以可设圆心坐标为(),3C a a −，又因为圆与x 轴相切，所以圆C 的半径3r a =−，又因为CN r =，所以()()()2221343a a a −+−−=−，解得1a =或7a =−，即切点分别为()1,0P 和()7,0P '−，由于圆上以线段MN （定长）为弦所对的圆周角会随着半径增大而圆周角角度减小，，且过点,,M N P '的圆的半径比过,,M N P 的圆的半径大，所以MP N MPN '∠<∠，故点()1,0P 为所求，所以当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是1. 故选：A.8．（2022秋·北京·高二北大附中校考期末）公元前 4 世纪， 古希腊数学家梅内克缪斯利用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、钝角和直角的圆锥，发现了三种圆锥曲线.之后，数学家亚理士塔欧、欧几里得、阿波罗尼斯等都对圆锥曲线进行了深 入的研究.直到 3 世纪末，帕普斯才在其《数学汇编》中首次证明：与定点和定直线的距离成定比的点的轨迹是圆锥曲线， 定比小于、大于和等于 1 分别对应椭圆、双曲线和抛物线.已知,A B 是平面内两个定点， 且 |AB | = 4，则下列关于轨迹的说法中错误的是（ ） A ．到,A B 两点距离相等的点的轨迹是直线 B ．到,A B 两点距离之比等于 2 的点的轨迹是圆 C ．到,A B 两点距离之和等于 5 的点的轨迹是椭圆 D ．到,A B 两点距离之差等于 3 的点的轨迹是双曲线 【答案】D【分析】判断到,A B 两点距离相等的点的轨迹是,A B 连线的垂直平分线，判断A;建立平面直角坐标系，求出动点的轨迹方程，可判断B;C,D .【详解】对于A ，到,A B 两点距离相等的点的轨迹是,A B 连线的垂直平分线，正确； 对于B ，以AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()()2,0,2,0A B −，设动点(,)P x y ，由题意知||2||PA PB =,2= ，化简为221064()39x y −+=， 即此时点的轨迹为圆，B 正确；对于C ，不妨设动点P 到,A B 两点距离之和等于5 ，即5PA PB +=，由于54>， 故到,A B 两点距离之和等于 5 的点的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆，C 正确； 对于D ，设动点P 到,A B 两点距离之差等于3 ，即||||3−=PA PB ,由于34<， 故到,A B 两点距离之差等于3 的点的轨迹是双曲线靠近B 侧的一支，D 错误， 故选：D9．（2021秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线．现有方程()()22221223m x y y x y +++=−+表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为（ ）A ．()0,8B ．()8,+∞C ．()0,5D ．()5,+∞【答案】A【分析】将原方程两边同时开平方，结合两点得距离公式和点到直线的距离公式，以及圆锥曲线的统一定义，可得关于m 的不等式，从而可得出答案.【详解】解：由方程()()22221223m x y y x y +++=−+，0m >，得()()2221223m x y x y ⎡⎤++=−+⎣⎦，223x y =−+，=可得动点(),x y 到定点()0,1−和定直线2230xy −+=， 1>，解得08m <<. 故选：A.10．（2022·全国·高三专题练习）如图①，用一个平面去截圆锥得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinaldandelin （17941847−）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面､截面相切，两个球分别与截面相切于,E F ，在截口曲线上任取一点A ，过A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于,C B ，由球和圆的几何性质，可以知道，AE AC =，AF AB =，于是AE AF AB AC BC +=+=.由,B C 的产生方法可知，它们之间的距离BC 是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以,E F 为焦点的椭圆.如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P ，则球在桌面上的投影是椭圆，已知12A A 是椭圆的长轴，1PA 垂直于桌面且与球相切，15PA =，则椭圆的焦距为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】C【分析】设球O 与1PA 相切与点E ，可得2tan 3OPE ∠=，利用二倍角正切公式可得12tan A PA ∠，由此可得a ，由1A F a c =−可求得焦距.【详解】设球O 与1PA 相切与点E ，作出轴截面如下图所示，由题意知：2OE OF ==，523PE =−=，2tan 3OE OPE PE ∴∠==， ()12242tan 123tan tan 241tan 519OPE A PA OPE OPE ∠∴∠=∠===−∠−， 又15PA =，1212A A ∴=，6a ∴=，又12A F a c =−=，4c ∴=，∴椭圆的焦距为28c =.故选：C.11．（2022·全国·高三专题练习）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的面积为，两个焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 的上顶点．直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，若,PA PB 的斜率之积为89−，则椭圆C 的长轴长为（ ）A ．3B ．6C ．D ．【答案】B【分析】由题意得到方程组ab =①和2289b a =②，即可解出a 、b ，求出长轴长.【详解】椭圆的面积S ab π==，即ab =. 因为点P 为椭圆C 的上项点，所以()0,P b .因为直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，不妨设(),A m n ，则(),B m n −−且22221m n a b +=，所以22222a n m a b=−. 因为,PA PB 的斜率之积为89−，所以89n b n b m m −−−⋅=−−，把22222a n m a b=−代入整理化简得：2289b a =②①②联立解得：3,a b == 所以椭圆C 的长轴长为2a =6. 故选：B12．（2022秋·北京·高二北京工业大学附属中学校考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，平面上点(),M x y 与点(),N a b 的距离.结合上述观点，可得()f x =（ ）A ．5BCD ．2【答案】C【分析】记点(),0P x 、()5,1A −、()3,2B −−，可得出()f x PA PB =+，数形结合可求得()f x 的最小值.【详解】因为()f x =记点(),0P x 、()5,1A −、()3,2B −−，则()f x PA PB AB =+≥==f x当且仅当点P为线段AB与x轴的交点时，等号成立，即()故选：C.13．（2022秋·福建福州·高二福建省福州延安中学校考阶段练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（）A．0°B．1°C．2°D．3°【答案】C【分析】根据5颗星的位置情况知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E并确定∠OO3E的大小，即可知AB所在直线的倾斜角.【详解】∵O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°知：∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E，如下图，则∠OO3E＝α≈16°，∴直线AB 的倾斜角为18°－16°＝2°. 故选：C14．（2022秋·湖北·高二宜城市第一中学校联考期中）在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为()()22111x y ++−≤，若将军从点(1,0)处出发，河岸线所在直线方程为50x y +−=，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A．B ．C ．1D ．1【答案】C【分析】先求出将军出发点M 关于河岸所在直线的对称点N ，再连接CN 交河岸所在直线于点P ，则由对称性可知1NC −为最短距离，求解即可． 【详解】解：如图，设()1,0M 关于河岸线所在直线:50l x y +−=的对称点N 为(,)a b ，根据题意，设军营所在区域为以圆心为C ，半径1r =的圆上和圆内所有点，1NC −为最短距离，先求出N 的坐标，MN 的中点为1(2a +，)2b，直线MN 的斜率为1，则(1)1115022ba ab ⎧⋅−=−⎪⎪−⎨+⎪+−=⎪⎩，解得54a b =⎧⎨=⎩，(5N ∴，4)，又(1,1)C −，所以111NC −==， 故选：C ．15．（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中学校联考期中）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于13−，则椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．23CD【答案】D【分析】设内层椭圆方程为2221x y a b+，则外层椭圆方程为()()22221x y ma mb +=（1m >），分别列出过,A C 和,B D 的切线方程，联立切线和内层椭圆，由Δ0=分别转化出2212,k k 的表达式，结合221219k k ⋅=可求a 与b 关系式，齐次化可求离心率.【详解】设内层椭圆方程为22221x y a b +=（0a b >>），因为内、外层椭圆离心率相同，所以外层椭圆方程可设成()()22221x y ma mb +=（1m >），设切线AC 方程为()1y k x ma =+，与22221x y a b+=联立得，()2222224222113120ba k x ma k x m a k ab +++−=，由()()()23222224222111Δ240ma k b a k m a k a b =−+⋅−=，化简得：()2212211b k a m =⋅−，设切线BD 方程为2y k x mb =+，同理可求得()222221b k m a=−，所以()22242221222241113191b b b k k m a m a a ⎛⎫=⋅⋅⋅−==− −⎭=⎪⎝，2222222113b ac c a a a −==−=，所以2223c a =，因此3c e a ==. 故选：D二、多选题16．（2020秋·重庆巴南·高二重庆市实验中学校考阶段练习）2020年11月24日，我国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，它将首次带月壤返回地球，我们离月球的“距离”又近一步了.已知点()10M ，，直线:2l x =−，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ） A ．点P 的轨迹曲线是一条线段 B ．26y x =+不是“最远距离直线” C ．112y x =+是“最远距离直线” D ．点P 的轨迹与直线'l ：=1x −是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点) 【答案】BCD【分析】由题意结合抛物线的定义可得点P 的轨迹，可以判断选项A ，根据抛物线的曲线性质可判断选项D ，对于选项B 和C ，结合题意可知，判断直线是否是“最远距离直线”,只需要联立抛物线与直线方程，通过判断方程是否有解即可.【详解】由题意可得：点P 到点M 的距离比等于点P 到直线l 的距离，由抛物线的定义可知，点P 的轨迹是以()10M ，为焦点的抛物线，即：24y x =， 故A 选项错误；对于选项B 和C ：判断直线是不是“最远距离直线”， 只需要判断直线与抛物线24y x =是否有交点，所以联立直线26y x =+与抛物线24y x =可得方程2590x x ++=， 易得方程2590x x ++=无实根，故选项B 正确； 同理，通过联立直线112y x =+与抛物线24y x =可得方程21240x x −+=， 易得方程2590x x ++=有实根，故选项C 正确；由于抛物线24y x =与其准线=1x −没有交点，所以选项D 正确； 故选：BCD.【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．而抛物线的定义是我们解题的关键，牢记这些对解题非常有益．17．（2022·广东·统考模拟预测）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.(),A x y与点(),B a b 之间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函数()f x =下列结论正确的是（ ）A ．()6f x =无解B ．()6f x =的解为x =C ．()f x 的最小值为D ．()f x 的最大值为【答案】BC【分析】根据两点间距离公式，结合椭圆的定义和性质分别进行判断即可．【详解】解：()f x =，设(),1P x ，()2,0A −，()2,0B ， 则()f x PA PB =+，若()6f x =，则64PA PB AB +=>=， 则P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆， 此时26a =，2c =，即3a =，2945b =−=，即椭圆方程为22195x y +=，当1y =时，得2141955x =−=，得2365x =，得5x =±，故A 错误，B 正确， B 关于1y =对称点为()2,2C ，则PA PB PA PC AC +=+≥，当,,A P C 三点共线时，()f x 最小，此时()f x AC =====，()f x 无最大值，故C 正确，D 错误， 故选：BC .18．（2022秋·广东茂名·高二统考期末）(多选)如图所示，“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ ）A ．1122a c a c +=+B ．1122a c a c −=−C ．11c a <22c a D ．1212c a a c >【答案】BD【分析】根据题意得1122a c a c PF −=−=，再结合不等式的性质即可得答案.【详解】观察图形可知1122a c a c +>+，即A 不正确；1122a c a cPF −=−=，即B 正确；由11220a c a c =−>−，120c c >> 知，112212a c a c c c −−<，即1212a a c c <，从而1212c a a c >,即：1212c c a a > ,即D 正确，C 不正确． 故选：BD【点睛】本题考查知识的迁移与应用，考查分析问题与处理问题的能力，是中档题.本题解题的关键在于由图知1122a c a c PF −=−=，进而根据不等式性质讨论求解. 19．（2022·全国·为黄金比，记为ω.定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比ω，则称该椭圆为“黄金椭圆”.以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆.若黄金椭圆”：22221(0)x y a b a b +=>>与它的焦点圆在第一象限的交点为Q ，则下列结论正确的有（ ） A ．21ωω+=B ．黄金椭圆离心率e ω=C ．设直线OQ 的倾斜角为θ，则sin θω=D ．交点Q 坐标为(b ,ωb )【答案】AC【分析】A ：由方程210ωω+−=的根可判断正误；B ：由题设b aω=，根据椭圆参数关系及离心率c e a =即可判断正误；C ：由圆的性质有12QF QF ⊥且122QF F θ∠=，122QF QF a +=，结合同角平方关系、倍角正弦公式可判断正误；D ：由C 易得Q 点纵坐标为c ω且b c ≠，即可判断正误. 【详解】A ：方程210ωω+−=的一个根为ω=B：由题意知，b a ω==，则c e a ω====≠，错误； C ：易知12QF QF ⊥，且122QF F θ∠=，则212sin ,2cos 22QF c QF c θθ=⋅=⋅，所以122sin cos 222QF QF c a θθ⎛⎫+=⋅+= ⎪⎝⎭，即sin cos 22a c θθ+==1sin 1θω+===即sin 1θω==，正确；D ：由OQ c =，结合sin θω=知：Q 点纵坐标为sin c c θω=，而b c ≠，错误. 故选：AC【点睛】关键点点睛：根据黄金椭圆、焦点圆定义及椭圆参数关系，计算离心率、夹角正弦值以及判断交点坐标.20．（2022·全国·高二假期作业）1765年，数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知ABC 的顶点()()1,0,0,2B C −，重心12,63G ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．点A 的坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．ABC 为等边三角形 C ．欧拉线方程为2430x y +−=D ．ABC 外接圆的方程为22151254864x y ⎛⎫⎛⎫−+−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ACD【分析】根据重心公式计算得到A 正确；计算5,2AB AC BC ===B 错误；计算线段BC 垂直平分线的方程得到C 正确；计算外接圆圆心为15,48M ⎛⎫⎪⎝⎭，得到圆方程，D 正确，得到答案.【详解】12,63G ⎛⎫ ⎪⎝⎭为ABC 的重心，设(),A x y ，由重心坐标公式()1016320233x y ⎧+−+=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，解得320x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，3,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，选项A 正确；5,2AB AC BC ===ABC 不是等边三角形，故选项B 错误；AB AC =，ABC 的外心､重心､垂心都位于线段BC 的垂直平分线上，ABC 的顶点()()1,0,0,2B C −，线段BC 的中点的坐标为1,12⎛⎫− ⎪⎝⎭，线段BC 所在直线的斜率()20201BC k −==−−，线段BC 垂直平分线的方程为11122y x ⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭，即2430x y +−=，ABC 的欧拉线方程为2430x y +−=，故选项C 正确；因为线段AB 的垂直平分线方程为14x =，ABC 的外心M 为线段BC 的垂直平分线与线段AB 的垂直平分线的交点，所以交点M 的坐标满足243014x y x +−=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得15,48M ⎛⎫⎪⎝⎭，外接圆半径r MB ==ABC 外接圆方程为22151254864x y ⎛⎫⎛⎫−+−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项D 正确. 故选：ACD.21．（2023秋·江苏南京·高二校考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知()4,3A −，()2,3B ，动点P 满足2PAPB=，记点P 的轨迹为圆C ，又已知动圆D ：()()22cos sin 1x y θθ−+−=.则下列说法正确的是（ ）A ．圆C 的方程是()()224316x y −+−=B ．当θ变化时，动点D 的轨迹方程为221x y +=C ．当32πθ=时，过直线AD 上一点Q 引圆C 的两条切线，切点为E ，F ，则EQF ∠的最大值为2π D ．存在θ使得圆C 与圆D 内切 【答案】ABC【分析】对于A 根据“阿波罗尼斯圆”的定义列式化简即可；对于B ，设圆心(),D x y ，而cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，消去θ即可得到圆心D 的估计方程；对于C ，因为CQE △是直角三角形，根据三角函数找出CQE ∠的最大值，再得出EQF ∠的最大值；对于D ，根据两点间的距离公式计算出CD 范围，再根据两圆内切条件判断即可. 【详解】.解：设(),P x y ，由2PAPB=2=化简整理得：()()224316x y −+−=.故A 正确；设(),D x y ，则cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩消去θ得221x y +=.故B 正确；当32πθ=时，()0,1D −，直线AD 的方程为：10x y ++=. 因为4sin CE CQE CQCQ∠==，要使EQF ∠最大，只需CQ 最小.所以min CQ ==()max sin CQE ∠=()max 4EQC π∠=.所以EQF ∠的最大值为2π，故C 正确；因为[]4,6CD =，若两圆内切有413CD =−=，故不存在θ使得3CD =，故D 错误. 故选: ABC22．（2022秋·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期末）双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布﹒伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy 中，把到定点()1,0F a −，()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线C .已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有（ ） A ．双纽线C 关于x 轴对称B ．022a a y −≤≤ C．双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个 D ．PO 【答案】ABD【解析】对A ，设动点(),C x y ，则对称点(),x y −代入轨迹方程，显然成立；对B ，根据12PF F △的面积范围证明；对C ，若12PF PF =，则()00,P x y 在y 轴上，代入轨迹方程求解；对D ，根据余弦定理分析12PF F △中的边长关系，进而利用三角形的关系证明即可.【详解】对A ，设动点(),C x y ，由题意可得C 2a =把(),x y 关于x 轴对称的点(),x y −代入轨迹方程，显然成立，故A 正确； 对B ，因为()00,P x y ，故12121212011sin 22PF F SPF PF F PF F F y =⋅⋅∠=⋅． 又212PF PF a ⋅=，所以2120sin 2a F PF a y ∠=⋅，即012sin 22a ay F PF =∠≤，故022a a y −≤≤．故B 正确；对C ，若12PF PF =，则()00,P x y 在12F F 的中垂线即y 轴上．故此时00x =2a =，可得00y =，即()0,0P ，仅有一个，故C 错误； 对D ，因为12POF POF π∠+∠=， 故12cos cos 0POF POF ∠+∠=，222222112212022OP OF PF OP OF PF OP OF OP OF +−+−+=⋅⋅，因为12OF OF a ==，212PF PF a ⋅=，故22221222OP a PF PF +=+． 即()2221212222OP a PF PF PF PF +=−+⋅，所以()22122OP PF PF =−．又12122PF PF F F a −≤=，当且仅当P ，1F ，2F 共线时取等号． 故()222122(2)OP PF PF a =−≤，即222OP a ≤，解得OP ≤，故D 正确． 故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查了动点轨迹方程的性质判定，因为轨迹方程比较复杂，故在作不出图像时，需要根据题意求出动点的方程进行对称性分析，同时结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.三、填空题23．（2022秋·内蒙古赤峰·高二校考期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史．为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示．该伞沿是一个半径为260︒时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率e =_____________．【答案】12##0.5【分析】由伞沿半径及圆心到伞柄底端的距离，得伞柄与地面夹角为60︒，阳光光线与伞柄平行，易得椭圆长半轴，短半轴的长，可求出离心率.【详解】因为伞沿是半径为2设伞柄与地面的夹角为θ，则tan θ==60θ=︒，即阳光光线与伞柄平行，所以椭圆长半轴2sin 60a ==︒，短半轴2b =，离心率12e ==.故答案为：12.24．（2022秋·河南·高二校联考期末）台球赛的一种得分战术手段叫做“斯诺克”：在白色本球与目标球之间，设置障碍，使得本球不能直接击打目标球.如图，某场比赛中，某选手被对手做成了一个“斯诺克”，本球需经过边BC ，CD 两次反弹后击打目标球N ，点M 到,CD BC 的距离分别为200cm,60cm ，点N 到,CD BC 的距离分别为80cm,120cm ，将M ，N 看成质点，本球在M 点处，若击打成功，则tan θ=___________．【答案】914【分析】以C 为原点，,DC BC 边分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，写出,M N 的坐标，求出N 关于x 轴的对称点N '的坐标，N '关于y 轴的对称点N ''的坐标，则直线MN ''方向为本球射出方向，利用斜率公式和诱导公式可求出结果.【详解】以C 为原点，,DC BC 边分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(120,80),(60,200)N M −−−−，N 关于x 轴的对称点为(120,80),N N '−'关于y 轴的对称点为(120,80)N ''， 直线MN ''方向为本球射出方向，故π8020014tan()=2120609θ+−=+,9tan 14θ=. 故答案为：914. 25．（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）大约在2000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年．已知直角坐标平面内有一点(2,0)C 和一动点P 满足||2CP =，若过点M 的直线l 将动点P 的轨迹分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k =__________．2【分析】过定点M 的直线l 将动点P 的轨迹分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，圆心到直线l 的距离最远，即为圆心到M 的距离.此时，直线l 与CM 垂直，由1l CM k k =−可得答案. 【详解】依题意可知，动点P 的轨迹是以C 为圆心，2r =为半径的圆， 即22:(2)4C x y −+=e .因为22(12)34−+=<，故点M 在C 内. 当劣弧所对的圆心角最小时，CM l ⊥.因为直线CM的斜率CM k == 所以所求直线l的斜率k =故答案为：2. 26．（2022秋·湖南·高二校联考期中）古希腊数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆221287x y +=，则该椭圆的面积为________．【答案】14π【分析】根据椭圆方程求出a 、b ，依题意椭圆的面积S ab π=，从而计算可得.【详解】解：对于椭圆221287x y +=，则a =b =，所以椭圆的面积14S ab ππ==； 故答案为：14π27．（2022·广东韶关·统考一模）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点间的直线距离，即AB d =切比雪夫距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即{}1212max ,AB d x x y y '=−−.已知P 是直线:2150l x y +−=上的动点，当P 与O （O 为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为___________. 【答案】6【分析】由条件确定P 与O 两点之间的欧几里得距离的最小值及对应的点P 的位置，再根据切比雪夫距离的定义求解即可.【详解】因为点P 是直线l ：2150x y +−=上的动点，要使OP 最小，则OP l ⊥，此时2l k =−，所以12POk =，由方程组215012x y y x +−=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得6x =，3y =， 所以，P ，O 两点之间的切比雪夫距离为6. 故答案为：6.28．（2022·全国·高二假期作业）中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷它的颈部（图2转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米，则颈部高为______厘米．。
解析几何-2024高考压轴小题(原卷版)
解析几何-2024高考压轴小题一．选择题（共14小题） 1．已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，M （2，1）为椭圆内一点，以M 为中点的弦与椭圆交于点A ，B ，与x 轴交于点P ，线段AB 的中垂线与x 轴交于点G ，当△GPM 面积最小时，椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．√22C ．√32D ．√332．已知F 双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，A 1，A 2分别是双曲线C 的左右顶点，过F 作双曲线渐近线的垂线与该渐近线在第一象限的交点为M ，直线A 1M 交C 的右支于点P ，若|MP |＝|MA 2|，且k A 2P +k A 2M =0，则C 的离心率为（ ） A ．√2 B ．√3C ．2D ．√53．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为√6．过F 2作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，若H ，G 分别为△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心，则|HG |的取值范围为（ ） A ．[2√2，4]B ．[√3，2)C ．[2，4√33)D ．[2√2，4√63)4．已知双曲线4x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 是双曲线右支上一点，满足MF 1→•MF 2→=0，点N 是线段F 1F 2上一点，满足F 1N →=λF 1F 2→．现将△MF 1F 2沿MN 折成直二面角F 1﹣MN ﹣F 2，若使折叠后点F 1，F 2距离最小，则λ＝（ ） A ．15B ．25C ．35D ．455．已知圆C 1：（x +3）2+y 2＝a 2（a ＞7）和C 2：（x ﹣3）2+y 2＝1，动圆M 与圆C 1，圆C 2均相切，P 是△MC 1C 2的内心，且S △PMC 1+S △PMC 2=3S △PC 1C 2，则a 的值为（ ） A ．9 B ．11C ．17或19D ．196．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 且斜率为k （k ≠0）的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D ．若|AB|≥√3|DF|，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A ．(1，2√33]B ．(1，√3]C ．[√3，+∞)D ．[2√33，+∞)7．点A （x 0，y 0）（x 0＞1，y 0＜0），B ，C 均在抛物线y 2＝4x 上，若直线AB ，AC 分别经过两定点（﹣1，0），M （1，4），则BC 经过定点N ．直线BC ，MN 分别交x 轴于D ，E ，O 为原点，记|OD |＝a ，|DE |＝b ，则a 2a+1+b 2b+3的最小值为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．158．已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1，其左右顶点分别为A 1，A 2，P 在双曲线右支上运动，若∠A 1P A 2的角平分线交x 轴于D 点，A 2关于PD 的对称点为A 3，若仅存在2个P 使直线A 3D 与E 仅有一个交点，则E 离心率的范围为（ ） A ．(1，√2)B ．(√2，2)C ．(√2，+∞)D ．（2，+∞）9．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在三棱锥C 1﹣BCD 的表面运动，且A 1P =√153，则点P 轨迹的长度是（ ） A ．√3+2√66π B ．2√3+√66π C ．√3+√66π D ．2√3+√63π10．已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点F 与双曲线16x 2﹣2y 2＝1的右焦点重合，斜率为k 的直线l 与C 的两个交点为A ，B ．若|AF |+|BF |＝4，则k 的取值范围是（ ） A ．(−∞，−√155)∪(√155，+∞) B ．(−√155，0)∪(0，√155) C ．(−∞，−√153)∪(√153，+∞) D ．(−√153，0)∪(0，√153) 11．设双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，M （0，3b ），若直线l 与E 的右支交于A ，B 两点，且F 为△MAB 的重心，则直线l 斜率的取值范围为（ ） A ．(√133，√3)∪(√3，+∞) B ．(2√139，√3)∪(√3，+∞)C ．(−∞，−√6)∪(−√6，−2√139) D ．(−∞，−√6)∪(−√6，−2√133) 12．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 22−y 26=1的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点（其中点A 在第一象限）．设点H ，G 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则|HG |的取值范围是（ ） A ．[2√2，4） B ．[2，4√63） C ．（4√33，2√2] D ．[2√2，4√63） 13．已知双曲线C ：x 24−y 212=1的左焦点为F ，左顶点为A ，T 为左准线上动点，则∠FTA的最大值为（ ） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π314．已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1P＞F2P，线段F1P的垂直平分线过F2.若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则2e1+e22的最小值为（）A．√6B．3C．6D．√3二．多选题（共5小题）（多选）15．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A，B为C上两个相异的动点，分别在点A，B处作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2交于点P，则（）A．若直线AB过焦点F，则点P一定在抛物线C的准线上B．若点P在直线x+y+4＝0上，则直线AB过定点（4，﹣2）C．若直线AB过焦点F，则△ABP面积的最小值为1D．若|AB|＝4，则△ABP面积的最大值为1（多选）16．在平面直角坐标系中，定义d（A，B）＝max{|x1﹣x2|，|y1﹣y2|}为两点A（x1，y1）、B（x2，y2）的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l），给出下列四个命题，正确的是（）A．对任意三点A、B、C，都有d（C，A）+d（C，B）≥d（A，B）B．已知点P（2，1）和直线l：x﹣2y﹣2＝0，则d(P，l)=8 3C．到定点M的距离和到M的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形．D．定点F1（﹣c，0）、F2（c，0），动点P（x，y）满足|d（P，F1）﹣d（P，F2）|＝2a （2c＞2a＞0），则点P的轨迹与直线y＝k（k为常数）有且仅有2个公共点．（多选）17．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：x22+y2=1．F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线l的方程为x+√2y−3=0，M为椭圆C的蒙日圆上一动点，MA，MB分别与椭圆相切于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（）A．椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2＝3B．记点A到直线l的距离为d，则d﹣|AF2|的最小值为4√3 3C．一矩形四条边与椭圆C相切，则此矩形面积最大值为6D ．△AOB 的面积的最小值为23，最大值为√22（多选）18．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，其准线与x 轴交于点M(−32，0)，过点F 作不垂直于x 轴的直线l 与C 交于A ，B 两点．设P 为x 轴上一动点，Q 为AB 的中点，且AB ⊥PQ ，则（ ） A ．抛物线C 的方程为y 2＝3x B ．|AB |+3|BF |的最小值为272C ．|AB |＞2|PF |D ．|BF |（|MA |+|MB |）＝2|MB ||PF |（多选）19．已知点P （1，a ）（a ＞1）在抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上，过P 作圆（x ﹣1）2+y 2＝1的两条切线，分别交C 于A ，B 两点，且直线AB 的斜率为﹣1，若F 为C 的焦点，M （x ，y ）为C 上的动点，N 是C 的准线与坐标轴的交点，则（ ） A ．p ＝1 B ．p ＝2 C ．|MN||MF|的最大值是√2D ．|MN||MF|的最大值是√32三．填空题（共5小题）20．若直线y ＝kx +m （k ≠0）与圆E ：x 2+y 2=34相切于点P ，且交椭圆M ：x 24+y 2=1于A ，B 两点，O 为坐标原点，射线OP 与椭圆M 交于点Q ，设△OAB 的面积与△QAB 的面积分别为S 1，S 2，S 1的最大值为 ；当S 1取得最大值时，S 1+S 2S 1的值为 ．21．已知点A （0，1），C （0，5），动点M 在函数y =14x 2的图像上，动点N 在以C 为圆心半径为2的圆上，则|MN|+12|NA|的最小值为 ． 22．已知平面上两定点A 、B ，则所有满足|PA||PB|=λ（λ＞0且λ≠1）的点P 的轨迹是一个圆心在直线AB 上，半径为|λ1−λ2|⋅|AB|的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1表面上动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹长度为 ．23．已知实数x ，y 满足：（x +2）2+（y ﹣1）2＝1，若|2x ﹣y +a |﹣|1﹣2x +y |的值仅与a 有关，则实数a 的取值范围是 ． 24．如图，椭圆x 2a 2+y 2b 2=1与双曲线x 2m 2−y 2n 2=1（m ＞0，n ＞0）有公共焦点F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）（c ＞0），椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，点P 为两曲线的一个公共点，且∠F 1PF 2＝60°，则1e 12+3e 22= ；I 为△F 1PF 2的内心，F 1，I ，G 三点共线，且GP →•IP →=0，轴上点A ，B 满足AI →=λIP →，BG →=μGP →，则λ2+μ2的最小值为 ．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
胶州实验中学 刘红升
先看：2011年山东高考数学22题（1）问的探究：
P Q :
先讨论 ……（1）
P： ……（2）Q： ……（3）
（2）+（3）—（1）
同理 时可证明结论同样成立！
没有通过韦达定理，避开复杂运算！可是，思维量不小。如果平时对于“方程思想”没有足够的高度与深度是很难分析出来的！
注：此处也可以通过代数方式推出：
设直线方程： 与 连理得：
相对于法一，法二运算量更大，并且需要数形结合作为辅助，同样需要分析“量”与“式”，想想此种方法似乎较法一更加“间接”！而且我们做个变化可能法二就更加“无能为力”了！
如：将“ ”改成“ ”然后改求 的取值范围。
此时，法一只是数值的变化而已；法二用形就很难处理了，还好找出定点吗？当然，法二用数依旧可以处理！
个人总结：对比这两种方法，我们不难发现：大部分解析几何题目都可以用这两种方法来处理；“联立韦达定理”不一定运算量小，只是我们比较熟悉而已；“直接用方程”不一定运算量大，只是往往他的运算更体现“运算能力”而非纯算数！注意：从这个对比特点来看，尽管山东高考数学解析几何的解答题6年来全部都能够用“联立未达定理”的方法来处理，但是由于“直接用方程”更能够体现运算能力，因此不排除山东高考调整的可能性，运算能力是山东高考数学要求的第一能力！2008青岛一模理科22题(2)、2009青岛一模理科21题（2）问、2010青岛一模理科22题(2)问、2011青岛一模文理科22题（2）问均重点对“直接用方程”进行了考察且都不方便用“联立韦达定理”；2005山东高考文理科22题、2006山东高考理科21题、2009山东高考理科22题第（3）、2011山东理科22题（1）问均可以不通过韦达定理处理；
最后请再欣赏以下几个值得品味的经典题目：
（2010青岛一模理科22（2））点 ，设 是椭圆 ： 上的一点，过 、 两点的直线 交 轴于点 ,若 , 求直线 的方程.
（2008青岛一模理科21题（2））设 是椭圆 ： 上的一点，过点 的直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，若 ，求直线 的斜率．
（2009青岛一模理科21题（2））设 是椭圆 ： 上的任一点， 为圆 的任一条直径，求 的最大值.
其实，只要我们有个命题灵感，可以想“制造”什麽，就“制造”什麽！如：
以上两题运用方程作和“易如反掌”，若运用韦达定理“苦不堪言”！
由此可见：所谓“点差”、“设而不求”等名称我个人认为都不太准确！还可以“点和”呢！还可以带入呢，等等。名字只是个代号，不过就这类方法如果我们局限于“点差”似乎有些太狭隘了，所以我觉得就是“直接用方程”法！
y1＝ x12，（3）y2＝ x22，（4）
共5个量4个式，应该可求某两个量的关系，故寻求用λ将其他量都表示出来，即用λ来解决一切问题！
如：（1）式平方得： 则 与 构成关于 的二元一次方程组，解得y1＝λ，y2＝ ，若规定 以下略！以下所有问题都变成 一个量来解决的问题了！
运算方式还有很多，关键是把握“量”与“式”，韦达定理大方式依旧是运算量较大且目标较散，在此不作对比了。
我们先回顾一个问题：在解析几何中遇到中点问题我们一般怎样做合适？有人叫“点差”、“设而不求”等，其实联立韦达定理的方法也是“设而不求”！我们对于非联立韦达定理的方法无论是理解还是运用都存在很大欠缺，我们先看下面一个问题：
解析：由题意列出以下3个式子，共有4个量，目标是下面式子：
下面开始利用方程运算！
下面回味一道经典题（2009滨州一模22题第（2）问）：
椭圆方程C为 若已知点 ，点 是椭圆 上不重合的两点，且 ，求实数 的取值范围．
解：法一（直接运用方程），不难得出以下4个式与5个量（只需找到某个量与 的关系即可。设 坐标分别为
，（1） （2）
解得： 且 .
法二（运用韦达定理）设直线MN的方程为
（Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）过点 的直线交轨迹 于 两点，交直线 于点 ，已知 ， ，求 的值；
（2006山东理科21题）双曲线C与椭圆 有相同的热点，直线y= 为C的一条渐近线.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P(0,4)的直线l，求双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当 = ，且 时，求Q点的坐标.
其实运用这4个式与4个量得方式还有很多。总之：此题充分体现了解析几何的另一只被学生甚至老师 “隐形“的翅膀！很多学生甚至老师在处理解析几何问题时一旦无法运用韦达定理就会“束手就擒”，其实，韦达定理只是方程思想的一种处理方式而非全部，我们还有一双“翅膀“---直接运用方程！这种方法是被“隐形”的。其实，这种方法需要对“量”与“式”进行把握，是对方程思想的更直接运用，也是对运算能力尤其是符号运算的深度理解，是考查学生运算能力、方程思想的很好载体。
下面再品味一道经典题目：
已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且 ＝λ （λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明 · 为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．
解析：直接用方程：由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由 ＝λ ，即得 (－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，
由 ， 得
设 坐标分别为
则 (1) (2)
＞0∴ ,
∵ ，显然 ，且
∴ ∴
代入(1) (2)，得
∵ ,得 ，即
解得 且 .
两种方法对比，应该有青岛市2011一模文理22题第（2）问相同的感受吧！
现在我们很多同学一旦遇到不能或不好运用韦达定理的题目往往就会出问题，其实解析几何很多题目不需要韦达定理，大部分题目可以“韦达定理”也可以“直接用方程”，好像我们的解析几何一双 “翅膀”被“隐形”了！当然，我们山东高考数学6年自主命题来所有解析几何解答题都可以（并非必须，如：2005文理科22题、2006理科21题、2009理科22题第（3）问）用联立韦达定理的方法，所以大家也应当平等的来看待方程思想的常见两种处理方式：直接利用方程与韦达定理运用方程。就好像立体几何中几何法与向量法一样！
（2008山东某地一模题）已知椭圆c的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y= 的焦点，离心率为
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆c的右焦点作直线l交椭圆c于A、B两点，交y轴于M点，若 , ,求 的值．
（2007福建21题）
如图，已知点 ，直线 ， 为平面上的动点，过 作直线 的垂线，垂足为点 ，且 ．
看来此法可以称之为“点和”喽。此题如果采用“韦达”定理，理论上我们可以设直线AB为: 先利用 得到 再将此关系带入 通过运算来证明，可是运算量极其巨大，就运算量本身而言学生很难承受的。
下面我们不妨通过下面例子研究一下命题思路：
分析： 应该在？处填多少呢？现设
因为我们必须证明出 即
即：
即： 得：
我们可以轻松的制造一类题：
下面品味2011年青岛一模22题（2）问：
设 是椭圆 ： 上的两个不同点,且点 在第一象限,点 在第三象限, 若 , 为坐标原点,求直线 的斜率 ；
法一：（直接用方程，4个量与4个式，量与4个式已经足够；从运算上看：消掉3个量剩1个自然解决！具体如下：
法二：利用向量加法的平行四边形法则（数形结合）推出直线恒过 ，