第7章、ARCH模型和GARCH模型教学内容
GARCH模型
二、ARCH过程
Engle(1982)提出的ARCH模型，正是在不使用特定变量 xt 或数据转 换的情况下，同时对序列的均值和方差进行建模。要理解Engle的方 法，首先我们要估计平稳ARCH模型 yt a0 a1 yt 1 t 并预测 yt 1 ， 则 yt 1 的条件均值为 Et yt 1 a0 a1 yt ，若我们用这个条件均值去预 测 yt 1 ，则预测误差方差为 Et [( yt 1 a0 a1 yt )2 ] Ett21 2。 ˆt 表示模型 yt a0 a1 yt 1 t 的残差估计值，那么 yt 1的条件方 若用 差为： var( y y ) E [( y a a y )2 ] E ( )2
GRACH模型
三、GRACH模型
Bollerslev广义自回归条件异方差(Generalized ARCH,GARCH)模型。 GARCH类模型最早是Engle提出的ARCH模型，即自回归条件异方差 模型。设标的资产时间序列为{ yt } , Engle年建立了回归模型ARCH(q)，
y t 是因变量，x t 是解释变量的向量， 其中， 是未知参数的向量, 假设 t 的在给定 (t 1) 时间内的信息 t 1 满足正态分布， t | t 1 ~ N ( 0, ht ) ， 但其条件方差为：
ARCH模型
一、金融时间序列的异方差性特征
现实金融市场上，许多金融时间序列并没有恒定的均值，大多数 序列在呈现出阶段性的相对平稳的同时，往往伴随着出现剧烈的 波动性。 金融市场中，波动率（volatility）是金融时间序列最重要的特征 之一，因而模拟和预测股票市场的波动性已经成为众多理论和实 证研究的重要领域。然而，金融市场时间序列存在非平稳性，样 本均值并不恒定，有明显的异方差性特征。因此，传统线性结构 模型（以及时间序列模型）并不能很好地解释金融数据的重要特 征。
ARCH模型介绍
ARCH模型介绍σ_t^2=α_0+α_1*ε_(t-1)^2+α_2*ε_(t-2)^2+...+α_p*ε_(t-p)^2其中，σ_t^2表示在t时刻的波动性，α_0表示常数项，α_1,α_2,...,α_p是ARCH模型的参数，ε_t-1,ε_t-2,...,ε_t-p是t时刻的残差。
ARCH模型最重要的特点是它能够捕捉到波动性的聚集，即高波动性的时期往往会持续一段时间，而低波动性的时期也会持续一段时间。
这是因为ARCH模型中的参数可以控制波动性的趋势和持续性。
当参数值较大时，波动性的变化会更加剧烈；当参数值较小时，波动性的变化会更加平缓。
ARCH模型在金融领域特别受到关注，因为金融市场的波动性非常重要。
通过使用ARCH模型，我们可以对金融市场的波动性进行建模和预测。
例如，可以利用ARCH模型来估计股票价格的波动性，进而对股票的风险进行评估。
此外，ARCH模型还可以用于进行对冲策略的设计，以便在市场波动性较高时降低风险。
除了ARCH模型，还有一种更广义的模型叫做GARCH模型，即广义自回归条件异方差模型。
GARCH模型在ARCH模型的基础上增加了过去时刻波动性的指数加权平均项。
这允许GARCH模型能够更好地捕捉到波动性的长期记忆特性。
GARCH模型的一般形式可以表示为：σ_t^2=α_0+α_1*ε_(t-1)^2+α_2*ε_(t-2)^2+...+α_p*ε_(t-p)^2+β_1*σ_(t-1)^2+β_2*σ_(t-2)^2+...+β_q*σ_(t-q)^2其中，σ_t^2表示在t时刻的波动性，α_0表示常数项，α_1,α_2,...,α_p是ARCH模型的参数，β_1,β_2,...,β_q是GARCH 模型的参数，ε_t-1,ε_t-2,...,ε_t-p是t时刻的残差，σ_t-1,σ_t-2,...,σ_t-q是t时刻的波动性。
GARCH模型在金融领域的应用更为广泛，因为它可以更准确地描述金融市场中的波动性。
ARCH模型与GARCH类模型实验报告
第八周作业ARCH和GARCH模型的估计实验内容及要求实验内容：以上证A股指数为研究对象，以所给数据为样本，对其收益率的波动性进行研究实验步骤：1、描述性统计(1) 建立工作文件，并导入数据。
（2）生成收益率的数据列在Eviews窗口主菜单栏下的命令窗口中键入如下命令：genr pr=log(p/p(-1)) ，回车后即形成收益率的数据序列，或者键入如下命令：genr pr= p/p(-1)-1 ，回车后即形成收益率的数据序列pr。
（3）观察收益率的描述性统计量给出描述统计量的图形，并进行相应分析。
观察其时序图，可以看到波动集群现象，大的波动后波动大，小的波动后波动小，成团出现。
观察其直方图与描述性统计量，其分布异于正态分布。
进行Jarque-Bera检验，其伴随概率为0，拒绝该分布是正态分布的原假设，因此待检验序列不符合正态分布。
2、对收益率序列进行平稳性检验给出平稳性检验的结果，并给出相应结论。
对收益率序列进行单位根检验，模型3与模型2的伴随概率为0，拒绝有单位根的原假设，说明序列是平稳的。
但模型3的时间趋势项的伴随概率为0.1895，常数项的伴随概率0.7314，在显著性水平0.05情况下不显著，故不选用。
而模型2的常数项的伴随概率为0.1121，也不显著，不选用。
因此模型1是最合适的模型，不含有常数项和时间趋势项。
3、均值方程的确定（1）观察收益率的自相关函数图，确定其均值方程的形式。
自相关图数值较小，比较难判断阶数，因此从AR（1）模型开始分析。
（2）对收益率做自回归给均值方程回归的结果AR（1）：该模型各项显著，故对其进行残差项白噪声检验，观察Q检验及其伴随概率，在显著性水平为0.05时，接受没有自相关性的原假设，是白噪声序列，可以选用。
4.ARCH效应的检验（1）用Ljung-Box Q 统计量对均值方程拟和后的残差及残差平方做自相关检验：给出检验结果，并作相应结论。
观察残差平方的自相关性，从伴随概率可见，其有很强的自相关性，说明存在ARCH效应。
金融计量学,唐勇,课件
原假设：序列不存在p阶自相关；备择假设：序列存在p阶自相关。 如果各阶Q统计量都没有超过设定的显著水平的临界值，则接受原假设。 超过临界值，就说明序列存在自相关。
yt xt ut , ut ~ N (0, t2 )
（7.3） （7.4）
t2 Var( yt It 1 ) 0 1ut 12 2ut 22 put p 2
这里要求
0 0, j 0
( j 1, , p) ，
• 注意：在ARCH（p）模型中，我们仍然假设扰动项不存在序列相关性， 还假设扰动项的无条件期望和条件期望都为0， 下面证明ARCH模型的性 质会用到。
u
2 序列指定的滞后阶数的自相关系 t
数（AC）和偏相关系数（PAC）（如本章第一节表7-3和表7-5所示）并且 计算出了相应阶数的Ljung-Box Q统计量：
QL, B T (T 2)
j 1
p
rj2 Tj
(7.20)
其中, 阶数。
r j 是残差系类的j 阶自相关系数，T为样本容量，p是设定的滞后
max( p , q )
i 1
(i i )ut2i vt j vt j
j 1
q
（7.10）
p， i 0 ，对 i q
，i 0 ，可以得到： （7.11）
ut2 0 [ ( L) ( L)]ut2 [1 ( L)]vt
s 1
（7.17）
1.ARCH-LM检验
LM 定的显著性水平 下 ，
2 R 其中，T表示样本的容量， 表示回归方程（7.17）的可决系数，在给
2
2 ( p ) LM ，接受原假设， ( p) ，拒绝 原假设。或者可以用 p值来判断，p 则拒绝原假设，否则接受原假设。
GARCH模型族
种说法是错误的。正确的说法是“分布的尾部越厚，峰度
值越大”。
K 1 T ( yt y )4
T
s
t 1
300
Series: SER01
250
Sample 1 10000 Observations 1105
200
Mean
0.410999
Median
4.080890
150
Maximum
63.56283
Skewness
0.650826
100
Kurtosis
42.38336
50 Jarque-Bera 646976.3
Probability 0.000000
0
-40 -20
0
20
40
60
高峰厚尾分布
-40 -20
0
20
40
60
低峰厚尾分布
Series: SER01 Sample 1 10000 Observations 1105
9.1 问题的提出
这种序列的特征是 （1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。 （2）按时间观察，表现出“波动集群”（volatility clustering）特征，即方差在一 定时段中比较小，而在另一时段中比较大。 （3）从取值的分布看表现的则是“高峰厚尾”（leptokurtosis and fat-tail）特征， 即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。
6 4 D(JPY) (1995-2000)
高峰厚尾分布曲线
2
0
-2
正态分布曲线 -4
-6
-8 200 400 600 800 1000 1200 1400
第7章、ARCH模型和GARCH模型
精品文档第7章、ARCH模型和GARCH模型研究内容：研究随时间而变化的风险。
（回忆：Markowitz均值－方差投资组合选择模型怎样度量资产的风险）随意编辑精品文档本章模型与以前所学的异方差的不同之处：随机扰动项的无条件方差虽然是常数，但是条件方差是按规律变动的量。
波动率的聚类性（volatility clustering）：一段时间内，随机扰动项的波动的幅度较大，而另外一定时间内，波动的幅度较小。
如图，随意编辑精品文档0.80.60.40.20.0-0.2500100015002000随意编辑精品文档随意编辑精品文档随意编辑§1、ARCH 模型1、条件方差多元线性回归模型：t t t y X βε=+条件方差或者波动率（Condition variance ，volatility ）定义为精品文档随意编辑211var ()var(|)t t t t t σεεψ--≡=其中1t ψ-是信息集。
精品文档随意编辑2、ARCH 模型的定义Engle （1982）提出ARCH 模型（autoregressive conditional heteroskedasticity ，自回归条件异方差）。
ARCH(q)模型：t t t y βε=+x （1）t ε的无条件方差是常数，但是其条件分布为21|(0,)t t t N εψσ-:精品文档随意编辑22211t t q t q σωαεαε--=+++L （2） 其中1t ψ-是信息集。
方程（1）是均值方程（mean equation ）✓ 2t σ：条件方差，含义是基于过去信息的一期预测方差方程（2）是条件方差方程（conditional variance equation ），由二项组成精品文档随意编辑✓ 常数ω✓ ARCH 项2t i ε-：滞后的残差平方习题： 方程（2）给出了t ε的条件方差，请计算t ε的无条件方差。
精品文档随意编辑证明：利用方差分解公式：Var(X) = Var Y [E(X|Y)] + E Y [Var(X|Y)]由于21|(0,)t t t N εψσ-:，所以条件均值为0，条件方差为2t σ。
《ARCH和GARCH估计》课件
解释如何对ARCH和GARCH模型进行诊断分析，以及优化模型的方法。
模型实证分析
数据分析
利用金融数据进行ARCH和 GARCH模型的实证分析，展示不 同模型的效果。
模型验证
介绍如何验证ARCH和GARCH模 型的准确性和可靠性，并对比实 证结果。
时间序列预测
探讨ARCH和GARCH模型在金融 时间序列预测中的应用，展示其 预测能力。
介绍GARCH模型的基本原理，并分析其在金融领域中的优势和局限性。
3 条件异方差性
解释条件异方差性的概念，为后续模型引入提供理论基础。
估计ARCH和GARCH模型的方法
1
最大似然估计法(MLE)
详细介绍最大似然估计法在ARCH和
广义矩法(GMM)
2
GARCH模型中的应用，并讨论其优缺点。
讲解广义矩法在ARCH和GARCH模型中的
展望未来，分析ARCH和GARCH模型的发展趋势，探讨可能的改进方向和研 究方向。
风险敞口计算
讲解如何使用ARCH和 GARCH模型计算个体资产或 投资组合的风险敞口。
ARCH和GARCH模型优劣势比较
1 ARCH模型的局限性和改进方法
探讨ARCH模型在应用上的局限性，并介绍改进方法和相关研究。
2 GARCH模型的局限性和改进方法
分析GARCH模型的局限性，并介绍改进方法以提高模型的准确性。
《ARCH和GARCH估计》 PPT课件
本课件将深入介绍ARCH和GARCH模型的估计方法和应用场景，帮助您更好 地分析金融资产价格波动，并在市场风险管理和投资组合风险管理方面提供 实用工具。
ARCH和GARCH模型简介
1 ARCH模型
ARCH模型和GARCH模型
ARCH模型和GARCH模型研究内容：研究随时间而变化的风险。
（回忆：Markowitz均值－方差投资组合选择模型怎样度量资产的风险）本章模型与以前所学的异方差的不同之处：随机扰动项的无条件方差虽然是常数，但是条件方差是按规律变动的量。
波动率的聚类性（volatility clustering）：一段时间内，随机扰动项的波动的幅度较大，而另外一定时间内，波动的幅度较小。
如图，0.80.60.40.20.0-0.2500100015002000§1、ARCH 模型1、条件方差多元线性回归模型：t t t y X βε=+条件方差或者波动率（Condition variance ，volatility ）定义为211var ()var(|)t t t t t σεεψ--≡=其中1t ψ-是信息集。
2、ARCH 模型的定义Engle （1982）提出ARCH 模型（autoregressive conditional heteroskedasticity ，自回归条件异方差）。
ARCH(q)模型：t t t y βε=+x （1）t ε的无条件方差是常数，但是其条件分布为21|(0,)t t t N εψσ-22211t t q t q σωαεαε--=+++ （2）其中1t ψ-是信息集。
方程（1）是均值方程（mean equation ）✓ 2t σ：条件方差，含义是基于过去信息的一期预测方差方程（2）是条件方差方程（conditional variance equation ），由二项组成 ✓ 常数ω✓ ARCH 项2t i ε-：滞后的残差平方习题： 方程（2）给出了t ε的条件方差，请计算t ε的无条件方差。
证明：利用方差分解公式：Var(X) = Var Y [E(X|Y)] + E Y [Var(X|Y)]由于21|(0,)t t t N εψσ-，所以条件均值为0，条件方差为2t σ。
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第7章、ARCH模型和GARCH模型研究内容：研究随时间而变化的风险。
（回忆：Markowitz均值－方差投资组合选择模型怎样度量资产的风险）本章模型与以前所学的异方差的不同之处：随机扰动项的无条件方差虽然是常数，但是条件方差是按规律变动的量。
波动率的聚类性（volatility clustering）：一段时间内，随机扰动项的波动的幅度较大，而另外一定时间内，波动的幅度较小。
如图，0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2§1、ARCH 模型1、条件方差多元线性回归模型：t t t y X βε=+条件方差或者波动率（Condition variance ，volatility ）定义为211var ()var(|)t t t t t σεεψ--≡=其中1t ψ-是信息集。
2、ARCH 模型的定义Engle （1982）提出ARCH 模型（autoregressive conditional heteroskedasticity ，自回归条件异方差）。
ARCH(q)模型：t t t y βε=+x （1）t ε的无条件方差是常数，但是其条件分布为21|(0,)t t t N εψσ-:22211t t q t q σωαεαε--=+++L （2）其中1t ψ-是信息集。
方程（1）是均值方程（mean equation ）✓ 2t σ：条件方差，含义是基于过去信息的一期预测方差方程（2）是条件方差方程（conditional variance equation ），由二项组成 ✓ 常数ω✓ ARCH 项2t i ε-：滞后的残差平方习题： 方程（2）给出了t ε的条件方差，请计算t ε的无条件方差。
证明：利用方差分解公式：Var(X) = Var Y [E(X|Y)] + E Y [Var(X|Y)]由于21|(0,)t t t N εψσ-:，所以条件均值为0，条件方差为2t σ。
那么，21var ()t t t σε-=2122112211var()[var ()] () t t t t t q t q t q t qE E E E E εεσωαεαεωαεαε-----===+++=+++L L 推出1var()1t qωεαα=---L ，说明1(0,)1t qN ωεαα---:L3、ARCH 模型的平稳性条件在ARCH(1)模型中，观察参数α的含义： 当1α→时，var()t ε→∞当0α→时，退化为传统情形，(0,)t N εω:ARCH 模型的平稳性条件：1i α∑<（这样才得到有限的方差）4、ARCH 效应检验ARCH LM Test ：拉格朗日乘数检验 建立辅助回归方程222011t t q t q t e e e v ααα--=++++L此处e 是回归残差。
原假设：H0：序列不存在ARCH 效应即H0：120q ααα====L可以证明：若H 0为真，则22LM ()mR q χ=:此处，m 为辅助回归方程的样本个数。
R 2为辅助回归方程的确定系数。
Eviews操作：①先实施多元线性回归②view/residual/Tests/ARCH LM Test§2、GARCH模型的实证分析从收盘价，得到收益率数据序列。
series r=log(p)-log(p(-1))点击序列p，然后view/line graph2000150010005005001000150020000.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.21、检验是否有ARCH现象。
首先回归。
取2000到2254的样本。
输入ls r c，得到0.080.040.00-0.04-0.08-0.12200020502100215022002250Dependent Variable: RMethod: Least SquaresDate: 10/21/04 Time: 21:26Sample: 2000 2254Included observations: 255Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 0.000432 0.001087 0.397130 0.6916Adjusted R-squared 0.000000 S.D. dependent var 0.017364 S.E. of regression 0.017364 Akaike info criterion -5.264978 Sum squared resid 0.076579 Schwarz criterion -5.251091 Log likelihood 672.2847 Durbin-Watson stat 2.049819 问题：这样进行回归的含义是什么？其次，view/residual tests/ARCH LM test，得到ARCH Test:Obs*R-squared 44.68954 Probability 0.000002 Test Equation:Dependent Variable: RESID^2Method: Least SquaresDate: 10/21/04 Time: 21:27Sample(adjusted): 2010 2254Included observations: 245 after adjusting endpointsVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.RESID^2(-1) 0.141549 0.065237 2.169776 0.0310 RESID^2(-2) 0.055013 0.065823 0.835766 0.4041 RESID^2(-3) 0.337788 0.065568 5.151697 0.0000 RESID^2(-4) 0.026143 0.069180 0.377893 0.7059 RESID^2(-5) -0.041104 0.069052 -0.595260 0.5522 RESID^2(-6) -0.069388 0.069053 -1.004854 0.3160 RESID^2(-7) 0.005617 0.069178 0.081193 0.9354 RESID^2(-8) 0.102238 0.065545 1.559806 0.1202 RESID^2(-9) 0.011224 0.065785 0.170619 0.8647 RESID^2(-10) 0.064415 0.065157 0.988613 0.3239Adjusted R-squared 0.147466 S.D. dependent var 0.000679 S.E. of regression 0.000627 Akaike info criterion -11.86836 Sum squared resid 9.19E-05 Schwarz criterion -11.71116 Log likelihood 1464.875 F-statistic 5.220573 Durbin-Watson stat 2.004802 Prob(F-statistic) 0.0000012、模型定阶：如何确定q实施ARCH LM test时，取较大的q，观察滞后残差平方的t统计量的p－value即可。
此处选取q＝3。
因此，可以对残差建立ARCH(3)模型。
3、ARCH模型的参数估计参数估计采用最大似然估计。
具体方法在GARCH一节中讲解。
如何实施ARCH过程：由于存在ARCH效应，所以点击estimate，在method中选取ARCH得到如下结果Dependent Variable: RMethod: ML - ARCHDate: 10/21/04 Time: 21:48Sample: 2000 2254Included observations: 255Convergence achieved after 13 iterationsCoefficient Std. Error z-Statistic Prob.C -0.000640 0.000750 -0.852888 0.3937Variance EquationARCH(1) 0.244793 0.082640 2.962142 0.0031 ARCH(2) 0.081425 0.077428 1.051624 0.2930 ARCH(3) 0.457883 0.109698 4.174043 0.0000 Adjusted R-squared -0.019884 S.D. dependent var 0.017364 S.E. of regression 0.017535 Akaike info criterion -5.495982 Sum squared resid 0.076872 Schwarz criterion -5.426545 Log likelihood 705.7377 Durbin-Watson stat 2.042013为了比较，观察将q放大对系数估计的影响Dependent Variable: RMethod: ML - ARCHDate: 10/21/04 Time: 21:54Sample: 2000 2254Included observations: 255Convergence achieved after 16 iterationsCoefficient Std. Error z-Statistic Prob.C -0.000601 0.000751 -0.799909 0.4238Variance EquationARCH(1) 0.262009 0.090256 2.902959 0.0037ARCH(2) 0.041930 0.070518 0.594596 0.5521ARCH(3) 0.452187 0.108488 4.168076 0.0000ARCH(4) -0.021920 0.050982 -0.429956 0.6672ARCH(5) 0.037620 0.044394 0.847408 0.3968 Adjusted R-squared -0.027830 S.D. dependent var 0.017364 S.E. of regression 0.017603 Akaike info criterion -5.483292 Sum squared resid 0.076851 Schwarz criterion -5.386081Log likelihood 706.1198 Durbin-Watson stat 2.042568 观察：说明q选取为3确实比较恰当。