考研微分方程知识归纳
6考研数学大纲知识点解析(第六章微分方程和差分方程(数学一))
满足初始条件
的特
【解析】令
，则
，原方程化为
，即
，
于是 因
，得
，故
，由
，
知，应取
.
即
，解得
，又由
，得
，故
．
（3）型如： 间变量，即
.方程的特点是不显含自变量 ．令 ，由复合函数求导的链式法，则有
，视 为中
将之代入方程，得 这是函数 关于变量 的一阶微分方程．若能求出其通解
则可再由方程
或
两边积分后求得方程的通解
【解析】 将
代入方程
（D）
．
，得
由题设可知 从而有
类似地，将
代入方程
解得
，故选（A）．
．
，得
，
【例题】（89 年，数学一/数学二/数学三）设线性无关的函数
都是二阶非齐次线性
方程 ．
的解，
是任意常数，则该非齐次方程的通解是
（A）
．
（B）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
．
（C）
． （D）
．
【答案】（D）．
【解析】根据解的性质，
均为齐次方程的解，且线性无关，因此
；
（2） 求出特征根 和 ；
（3） 根据特征根的不同情形按下表写出方程（1）的通解：
表 二阶常系数线性齐次微分方程的通解
特征根情形
通解形式
相异实根 相同实根 共轭复根
【例题】求微分方程 【解析】特征方程为 故齐次微分方程的通解为
的通解．
，解特征根为
．
．其中
为任意常数．
【例题】求微分方程 【解析】特征方程为 故齐次方程的通解为
．
设非齐次方程
2023考研数学高数重要知识点：微分方程初值问题的解法
2023考研数学高数重要知识点：微分方程初值问题的解法2023年考研数学高数重要知识点：微分方程初值问题的解法随着时代的不断发展，考研成为了越来越多大学生的选择，其中数学高数更是需要用心去学习的一门学科，而微分方程初值问题的解法则是数学高数中需要掌握的重要知识点之一，下面我们来详细讲解一下。
一、微分方程初值问题的定义微分方程，即含有导数和自变量的方程。
初值问题就是给出一个微分方程和一个初始条件，求出函数的解在给定的初始条件下的值。
通常的情况下可以用解析解和数值解进行求解，其中解析解是指能够通过代数方法得到的解，而数值解则是通过近似计算得到的解。
二、常微分方程的初值问题求解（一）常微分方程常微分方程是指解只涉及一个自变量的微分方程，在求解时通常采用变量分离、两边乘以同一函数或变量代换的方法来化简。
（二）初值问题有关微分方程的初值问题指的是对于一个微分方程，给定一个初始值，通常情况下，我们需要根据这个初始值来求得微分方程的解。
（三）求解方法在求解微分方程初值问题中，常见方法为分离变量法、常数变易法和等比级数法。
具体的求解方法可以参考《数学分析》等教材进行学习。
三、偏微分方程的初值问题求解（一）偏微分方程偏微分方程则不同于常微分方程，其解不仅涉及一个自变量，还会涉及到多个自变量，难度也会相应提高。
（二）初值问题偏微分方程的初值问题则是针对偏微分方程的解在某个自变量处的初始值进行求解。
（三）求解方法在偏微分方程的初值问题中，求解方法常用的有分离变量法、特征线法和变换法等。
四、数值解的求解方法当我们无法通过解析方法求解微分方程的初值问题时，通常可以使用数值解法进行求解。
数值解法的主要思路是将解分段逐步求解，并将解的估计值存储在计算机内进行计算。
常用的数值解法有欧拉法、龙格-库塔法和变步长欧拉法等。
总体来说，微分方程初值问题的解法是数学高数中需要掌握的重要知识点之一，对于考研的学生来说，掌握这一知识点不仅能够提高其数学水平和解题能力，也能够帮助他们更好地完成考研的各项任务。
考研数学高数公式：微分方程
考研数学高数公式：微分方程考研数学高数公式：微分方程第七章：微分方程考研要求1.了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。
2.掌握可分离变量的微分方程，会用简单变量代换，解某些微分方程3.会解奇次微分方程，会用简单变量代换解某些微分方程4.掌握一阶线性微分方程的解法，会解伯努利方程5.会用降阶法解下列微分方程 y"=f(x,y')6.y"=f(y,y')7.掌握二阶常系数齐次微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次微分方程8.会解自由项为多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数，以及他们和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。
9.会解欧拉方程。
微分方程的基本公式和定理1、多元函数极限存在的条件极限存在是指P(x，y)以任何方式趋于P0(x0，y0)时，函数都无限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0，y0)时，即使函数无限接近某一确定值，我们还不能由此断定函数极限存在。
反过来，如果当P(x，y)以不同方式趋于P0(x0，y0)时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。
例如函数：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠02、多元函数的连续性定义设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)则称f(x，y)在点P0(x0，y0)连续。
性质(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。
性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。
山东省考研数学复习资料常微分方程与动力系统重点知识点
山东省考研数学复习资料常微分方程与动力系统重点知识点山东省考研数学复习资料：常微分方程与动力系统重点知识点一、引言在山东省考研数学复习中，常微分方程与动力系统是一个重要的知识点。
本文将介绍该知识点的重点内容，帮助考生更好地理解和掌握相关知识，提高复习效果。
二、常微分方程基础1. 常微分方程的定义常微分方程是指由未知函数及其导数组成的方程，其中未知函数是一个自变量的函数。
一阶常微分方程示例：dy/dx = f(x, y)2. 常微分方程的解常微分方程的解是能够使得方程等号成立的函数。
初值问题是一种常见的求解常微分方程解的方法，即通过给定初始条件来确定特定解。
3. 常见常微分方程类型- 分离变量型：dy/dx = g(x)h(y)- 线性型：dy/dx + p(x)y = q(x)- 齐次型：dy/dx = f(y/x)- 高阶常微分方程：d^n y/dx^n = f(x)三、动力系统的概念1. 动力系统的定义动力系统是指由一组与时间有关的变量和它们之间的关系构成的系统。
常微分方程可以用来描述动力系统的演化过程。
2. 动力学的稳定性稳定性是衡量动力系统行为的重要指标。
常见的稳定性类型包括：- 渐近稳定：系统状态随时间趋近于某个确定的值。
- 指数稳定：系统状态随时间指数级趋近于某个确定的值。
- 混沌稳定：系统状态表现出复杂无序的行为。
四、重点知识点1. 相图（Phase plane）相图是描述动力系统解集合的图形表示。
通过相图可以直观地观察和分析解的行为特征。
2. 平衡点与平衡解平衡点是指在某些情况下，系统状态不再变化的特殊点。
当系统的状态与平衡点相等时，称之为平衡解。
平衡点的稳定性决定了系统的行为。
3. 线性稳定性分析通过线性化动力系统可以进行稳定性分析。
线性稳定性分析的核心是计算雅可比矩阵的特征值，通过特征值判断系统的稳定性。
4. 动力系统的分岔理论分岔理论研究了参数改变时系统解的性质的变化。
分岔的发生可以导致系统从一个稳定状态变为另一个稳定状态，甚至出现混沌行为。
考研微分方程知识点浓缩
考研微分方程知识点浓缩微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理学、经济学和工程学等领域。
在考研数学中，微分方程是必备的知识点之一。
本文将从常微分方程、偏微分方程和常见的解法等方面进行总结和浓缩。
一、常微分方程常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是只涉及一元函数的微分方程。
常微分方程的求解涉及到初值问题和边值问题两种情况。
1.1 一阶常微分方程常见的一阶常微分方程形式包括：可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和一阶齐次线性方程等。
其求解方法如下：1）可分离变量方程：将变量分离后进行积分求解。
2）齐次方程：使用变量代换后，将方程转化为可分离变量方程求解。
3）线性方程：使用积分因子法求解线性方程。
4）伯努利方程：通过变量代换，将方程转化为线性方程求解。
1.2 二阶常微分方程二阶常微分方程是一阶常微分方程的推广。
常见的二阶常微分方程形式包括：线性常系数齐次方程、线性常系数非齐次方程和二阶常系数非线性齐次方程等。
其求解方法如下：1）线性常系数齐次方程：设解的形式，代入方程后解得常数。
2）线性常系数非齐次方程：通过求齐次方程的通解和非齐次方程的特解，得到非齐次方程的通解。
3）二阶常系数非线性齐次方程：一般采用变量代换的方法将方程转化为线性方程求解。
二、偏微分方程偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是涉及多元函数的微分方程。
常见的偏微分方程包括：一维波动方程、一维热传导方程和二维拉普拉斯方程等。
2.1 一维波动方程一维波动方程是描述波的传播规律的方程。
其一般形式为：∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²，其中u(x, t)表示波函数，c为波速。
2.2 一维热传导方程一维热传导方程是描述热量传导规律的方程。
其一般形式为：∂u/∂t = α²∂²u/∂x²，其中u(x, t)表示温度分布，α为热扩散系数。
考研微分方程知识归纳
微分方程部分重点内容1、变量可分离的微分方程 （1）形式()()dyf xg y dx=或121()()()()0M x M y dx N x N y dy += （2）通解 ()()dyf x dx Cg y =+⎰⎰或1212()()()()M x N y dx dy C N x M y +=⎰⎰ 2、齐次方程 （1）形式()dy ydx xϕ=或()dx x dy y ψ= （2）通解()du dx C u u x ϕ=+-⎰⎰（令y u x =，则y xu =，dy du u x dx dx=+）或()du dx C u u x ψ=+-⎰⎰（令x u y=，则x yu =，dx duu y dy dy =+） 3、一阶线性微分方程（1）形式 )()(x q y x p y =+'（2）通解()()(())p x dx p x dxy e q x e dx C -⎰⎰=+⎰4、可降阶的高阶微分方程 （1）()()n yf x =，其中()f x 为已知函数积分n 次可得其通解（2）(,)y f x y '''=（不显含y ）令y p '=，则y p '''=。
于是，原方程可化为(,)p f x p '=（一阶）①设①的通解为1(,)p x C ϕ=，即 1(,)y x C ϕ'=（一阶）② 由②可得通解 12(,)y x C dx Cϕ=+⎰（3）(,)y f y y '''=（不显含x ）令y p '=，则dp dp dy dp y p p dx dy dx dy'''====。
于是，原方程可化为 (,)dppf y p dy=（一阶）① 设①的通解为1(,)p y C ψ=，即 1(,)y y C ψ'=（一阶）② 由②可得通解21(,)dyx C y C ψ=+⎰5、二阶线性微分方程 （1）形式非齐次 )()()(x f y x q y x p y =+'+'' （1） 齐次 0)()(=+'+''y x q y x p y （2） （2）解的结构定理1 若)()(21x 、y x y 为（2）的两个解，则)()(2211x y C x y C +为（2）的解。
总结微分方程知识点
总结微分方程知识点一、微分方程的基本概念微分方程是一个涉及未知函数及其导数的方程。
一般来说，微分方程可以分为一阶微分方程和高阶微分方程两种。
其中，一阶微分方程是指方程中最高阶导数为一阶的微分方程，高阶微分方程则是指方程中最高阶导数大于一阶的微分方程。
微分方程的一般形式可以表示为：F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0其中，x是自变量，y是未知函数，y'是y对x的一阶导数，y''是y对x的二阶导数，y^(n)是y对x的n阶导数，F是关于x、y、y'、y''、...、y^(n)的函数。
二、微分方程的分类根据微分方程的性质和形式，微分方程可以分为很多种类。
其中，常见的微分方程包括：1. 隐式微分方程：形式是F(x,y,y')=0，其中y是未知函数；2. 显式微分方程：形式是y'=f(x,y)；3. 线性微分方程：形式是y^(n)+a(n-1)y^(n-1)+...+a1y'+ay=f(x)或y'=p(x)y+q(x)；4. 非线性微分方程：形式是y'=f(x,y)或F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0，且不满足线性微分方程的条件；5. 高阶微分方程：方程中最高阶导数大于一阶的微分方程。
三、微分方程的解法解微分方程是求解微分方程的一个重要问题。
根据微分方程的类型和形式，可以采用不同的解法进行求解。
常见的解微分方程的方法包括：1. 可分离变量法：当微分方程可以变换为u(x)dy=v(y)dx的形式时，可以使用分离变量法求解微分方程；2. 线性微分方程的解法：对于一阶线性微分方程，可以使用积分因子法或者直接积分法求解。
而对于高阶线性微分方程，可以采用常系数线性齐次微分方程的特征方程法来求解；3. 变换微分方程：通过适当的变换，可以将微分方程化为更简单的形式，从而更容易求解；4. 特殊形式的微分方程的解法：例如可降阶的微分方程、恰当微分方程、齐次微分方程等，都有其特定的解法；5. 数值解法：对于一些难以解析求解的微分方程，可以采用数值解法来进行求解，常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
常微分方程考研知识点总结
常微分方程考研知识点总结一、常微分方程的基本概念1.1 常微分方程的定义常微分方程是描述自变量是一元函数的未知函数的导数与自身、自变量及未知函数的关系的方程。
一般形式为F(x, y, y', y'', ...) = 0。
1.2 常微分方程的类型常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程只含有未知函数及其一阶导数，高阶常微分方程含有未知函数及其高阶导数。
1.3 常微分方程的解常微分方程的解是使得方程成立的函数。
解分为通解和特解。
通解是对所有满足方程的解函数的一般描述，而特解是通解的一个具体实例。
1.4 常微分方程的初值问题常微分方程的初值问题是指在给定的初值情况下求常微分方程的解。
初值问题的解是满足给定初值条件的特解。
二、常微分方程的解法2.1 可分离变量法对于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程，若f(x)和g(y)可以分离，则可通过对方程两边积分的方式求解。
2.2 线性微分方程线性微分方程是指形如y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)的形式，其中p(x)、q(x)、r(x)为已知函数，y为未知函数。
线性微分方程的求解通过研究它的齐次方程和非齐次方程来进行。
2.3 全微分方程全微分方程是指形如M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0的形式，其中M(x, y)和N(x, y)为定义在某个区域内的函数。
对于全微分方程，可以通过判断其恰当性来进行求解。
2.4 变换形式对于某些复杂的微分方程，可以通过变量代换、特征变换等方法将其化为比较简单的形式进行求解。
2.5 积分因子法对于线性微分方程，可以通过寻找合适的积分因子来将其转化为恰当微分方程，进而进行求解。
2.6 叠加原理对于非齐次线性微分方程，可以通过将其通解与特解相加得到其通解。
三、常微分方程的应用3.1 物理问题常微分方程在物理学中有着广泛的应用。
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考研微分方程知识归纳
一、微分方程的基本概念：
1. 微分方程：含有导数或微分的方程称为微分方程。
2. 一阶微分方程：只含有一阶导数的微分方程。
3. 二阶微分方程：含有二阶导数的微分方程。
4. n阶微分方程：含有n阶导数的微分方程。
二、常见的微分方程类型：
1. 可分离变量的方程：可将微分方程写成形如dy/dx = f(x)g(y)的形式，通过分离变量并积分求解。
2. 齐次方程：形如dy/dx = f(y/x)的方程，通过变量替换和分离变量求解。
3. 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)的方程，可以利用积分因子或常系数法进行求解。
4. 高阶线性常系数齐次方程：形如anyn + an-1yn-1 + ... + a1y' + a0y = 0的方程，可以通过特征方程、待定系数法或常系数法进行求解。
三、常见的解法方法：
1. 积分法：将微分方程两边同时积分，然后求解常数项。
2. 变量替换法：通过对变量进行适当的变换，将原方程化简成更简单的形式，再进行求解。
3. 积分因子法：对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的线性方程，可以乘以积分因子μ(x)后使其变为可积分的形式。
4. 常系数法：对于高阶线性常系数微分方程，根据特征方程的根的情况，可以得到方程的通解。
5. 欧拉方程：对于形如x^n(d^n/dx^n)y + x^m(d^m/dx^m)y = 0
的方程，通过变量替换可以将其转化为常系数方程进行求解。