第2讲 映射概念(知识应用)

设f:AB,g:BC，对任意的 x∈A，h(x)=g(f(x)) 为
A 到 C的映射，称 h 为 f 和 g 的复合映射或复合函数，
记为 f ◦g。
z ( f g)(x)
x
y f (x) g(y) z
由复合函数定义知，
( f g)(x) g( f (x))
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注意：要保证复合映射有意义，必须：
映射概念
❖ 映射的定义 ❖ 映射的性质 ❖ 逆映射 ❖ 复合映射
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一 映射的定义
1 映射的定义 设 A, B 是任意给定的两个集合，若存在一个对应法则f， 使得对于任意x∈A，均存在唯一的 y ∈B与它对应, 则称 f 是A到B的一个映射，记为 f:AB，且y=f(x)。
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2
注意：映射 f 本质上定义为一个对应，这种对应 有可能有解析表达式（正如我们通常见到的一 样），但也可能不存在相应的表达式，如
由此可见，复合函数g◦f是单射函数 同理可证明(2)与(3) 。
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三 逆映射
1 定义 设f:AB, 若将对应关系逆转，能够得到一个集合B
到集合A的映射，则该映射称为f的逆映射或逆函数，
常称为反函数,记为 f 1 。
2 定理 设f:AB, 则 f 的逆映射存在的充要条件是：f 是
双射。
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看下面映射是否存在逆映射？
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四 复合映射
定义
( f g)1 g 1 f 1
证明：(1) 因为 f 是 A到B的单射函数，所以当
x1，x2∈A， x1 x2时f (x1 ) f (x2,)
又因为g是B到C单射函数，所以 g( f (x1)) g( f (x2 )) ；
即当 x1 x2 时，(f◦g)( x1) ≠ (f◦g)( x)2，
3 双射
定义：f:AB, 若f既是单射又是满射，则称 f 是 A 到
B的双射，或称 f 是 A 到 B 的一一对应。
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4 变换 集合 A 到自身的映射习惯上称为 A 的一个变换。
5 置换 若 A 是有限集合，通常把 A 到 A的双射称为 A 上
的置换。
❖ 例1.建立一个Z到N的一一对应。 ❖ 例2.建立一个(0,1)到R的一一对应。 ❖ 例3. 写出A={1,2,3}上的所有置换。
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n元函数定义
在函数定义中，若A A1 A2 An，则对任意 x∈A，有 x (x1, x2 ,, xn ) ,这时
f ( x) f (( x1, x2 ,, xn )) f ( x1, x2 ,, xn )
称 f 为 A1, A2 ,, An 到 B 的n元函数。
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二 映射的性质
1 单射
定义：f:ABபைடு நூலகம் 若对任意 x1,x2 ∈A，由 f (x1) f (x2 )
可A 到推出B的x单1 射，x，2（或或称
x1 f是
x2时f (x1) f (x2 )），则称 A 到 B 的一对一映射。
f
是
2 满射
定义：f:AB, 若对任意y∈B，均存在x∈A，使得 y=f(x)，则称 f 是 A 到 B的满射，或称 f 是 A 到 B 的 映上的映射。
A={ a, b, c }, B={0, 1} 规则f: a 对应于0， b对应于1， c对应于1。 f 即为 A到B的一个映射。
又如 A 为有理数集, B为实数集
f1 : A B, x ex
特征函数
假定A是论域U上的集合，定义
其中
A
(
x)
1, 0,
x A x A
A :U {0,1}
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对映射 f:AB 而言, 必有 dom f = A, ran f ⊆B
且如前所述，把因变量 y 称为 x 在映射f下的像或函数值，记 为 y=f(x).
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定义：设 f:AB, 令 X ⊆A，用 f(X) = {f(x) | x∈X}
表示 X 在映射f下的像。 同理令Y ⊆B，用
f 1(Y ) {x | f (x) Y}
f :AB B
y1 y2
B A { fi | i 1,2,...,8}.
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定理：对于集合 A 和B，若|A|=m, |B|=n，则 | B A | nm.
注意: B上A的记号与该结论的关系.
证明：设 f:AB, 对于任意的 x∈A,显然 f(x) 可取B中n个 元素中任意一个， 而 |A|=m, 根据乘法原理，结论成立。
f (A) dom(g)
例：设 R 到 R 有两个映射 f 和 g，定义如下： f (x) x2, g(x) x 2, 试分别计算复合映射 f g和g f . 解：对任意的 x R , 分别有
( f g)(x) g( f (x)) g(x2 ) x2 2,
(g f )(x) f (g(x)) f (x 2) (x 2)2. 因此：即使 f g和g f .均有意义，也不能保证 f g g f 成立。
表示Y在映射f下的原像。 注：这里的 f 1(Y ) 是一个整体记号。
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对于集合 A 和B，用 B A(B上A)表示A到B的所有映射组
成的集合，即有 B A { f | f : A B}
【例1-5】若 A {x1, x2 , x3}, B {y1, y2}, 求 B A.
A
x1 x2 x3
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恒等映射 设A是集合，令f:AA,f(x)=x，称f为集合A上的恒
等映射，记为 I A 。
定理 若f:AB 是双射, 则有
f f 1 I A, f 1 f I B.
特别地，若f:AA是双射，则有
f f 1 f 1 f I A.
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定理 设 f:AB, g:BC, (1)若 f 和 g 是单射，则 f◦g 是单射； (2)若 f 和 g 是满射，则f◦g是满射； (3)若 f 和 g 是双射，则f◦g是双射 且有
2 映射的相等 设 f, g 是A到B 的两个映射，若对于任意x∈A，均有
f(x) = g(x), 则称映射f, g是相等的，或是同一映射。
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3 几个相关的称谓 假定 f:AB, y=f(x)，通常把 x称为自变量，自变量的取值范 围称为定义域，记为 dom f。将 y 称为因变量，而把由所有 因变量构成的集合称为值域，记为 ran f。 对映射而言：