微积分 经管类 第四版 吴赣昌 习题全解 第六章定积分的应用
吴赣昌编 概率论与数理统计 第6章(new)
点估计：由总体的样本(X1,X2,…,Xn)对每一个未知参数 θi(i=1,2,…,k)构造统计量 ˆ ˆ ( X , X , , X )作为参数θi
i i 1 2 n
ln L 0 1 ln L 0 2 ln L 0 m
从中解出 ˆ1 , ˆ2 , , ˆm
在例6.4中，
xi n xi n i 1 i 1 x i ln n ln L ( ) ln (1 ) i 1
L ( x1 , x 2 ,..., x n ; ˆ ( x1 , x 2 ,..., x n )) max L ( x1 , x 2 ,..., x n ; )
Θ
称统计量 ˆ ( X 1 , X 2 ,..., 记为 ˆL
X n)
为参数θ的极大似然估计量。
3、求极大似然估计的步骤 设总体X的分布中，有m个未知参数θ1,θ2,…,θm，它们 的取值范围。 (1)写出似然函数L的表达式 如果X是离散型随机变量，分布律为P(X=k)，则
例6.4 设总体X服从0—1分布，即分布律为
P(X x )
x
(1 )
1 x
f (x )
x=0,1，其中0<θ<1未知
(X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，设其观察值为(x1,x2,…,xn)， 则事件(X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn)发生的概率为
P ( X 1 x1 , X 2 x 2 , , X n x n )
高等数学第六章 定积分应用试题及答案
第六章 一元函数定积分的应用一、微元法（元素法）实际问题中可化为定积分来计算的待求量A ，一般总可按“分割、近似求和、取极限”这三个步骤导出它的积分表达式。
但为了简捷实用起见，常常采用微元法（又称元素法）。
微元法的关键就在于寻找待求量A 的微小增量（部分量）能近似表达为x ∆的线性形式，()x x f A ∆≈∆而且当0→∆x 时，()()x x x f A ∆=∆-∆0，亦即()dx x f dA =，其中()x f 为[]b a ,上的某一个连续函数。
量dA 称为待求量的微元素。
然后把()dx x f 在[]b a ,上积分，即待求量⎰=badx x f A )(。
这就是微元法。
在采用微元法时，必须注意如下几点：（1）选好坐标系，这关系到计算简繁问题。
（2）待求量A 具有以区间的可加性，即A =∑∆A ；（3）取好微元x x f d )(，经常应用“以匀代变”“以直代曲”的思想决定A ∆的线性主部，这关系到结果正确与否的问题。
定积分的几何应用一、平面图形的面积 1．直角坐标的情形求)(1x y ϕ=与)(2x y ϕ=与所围图形的面积方法（1）以x 为积分变量由)(1x ϕ)(2x ϕ=解出两个常数值a x =，b x =，面积元素dA =dx x x )]()([12ϕϕ-，面积A =x x x bad )]()([12ϕϕ-⎰，（b x a ≤≤）。
方法(2) 以y 为积分变量由)(1x y ϕ=、)(2x y ϕ=解出x 的两个表达式)(1y x ϕ=，)(2y x ϕ=，再根据)(1y ϕ)(2y ϕ=解出y 的两个常数值c y =，d y =，面积元素dA =dy y y )]()([12ϕϕ-，面积A =y y y dc d )]()([12ϕϕ-⎰，（d y c ≤≤）。
以x 还是y 为积分变量，要视具体情况分析，总之要让计算最简单。
（1）X — 型平面图形的面积 （2） Y — 型平面图形⎰-=badx x g x f S )()( ⎰-=dcdy y g y f S )()(2．参数方程情形求)(x f y =、a x =、b x =以及x 轴所围图形的面积（b a x f <≥,0)(），如果曲边)(x f y =的方程为参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x φϕ，则其面积dx y A ba ⎰==dt t t )(')(ϕφβα⎰，其中)(),(βϕαϕ==b a3．极坐标情形设平面图形是由曲线 )(θϕ=r 及射线αθ=，βθ=围成的曲边扇形。
微积分(第四版)(大学本科经济应用数学基础特色教材系列)
者介绍
目录
02 内容摘要 04 目录分析 06 精彩摘录
思维导图
本书关键字分析思维导图
基础
理论
运算
基本概念
微积分
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阶
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概念
极限
内容摘要
《微积分》（第四版）共分七章，介绍了经济工作所需要的一元微积分、二元微积分及无穷级数、一阶微分 方程等，书首列有预备知识初等数学小结。本书着重讲解基本概念、基本理论及基本方法，培养学生的熟练运算 能力及解决实际问题的能力。
读书笔记
我想尝试一件事，用徽分学解水流连续不断的问题，无论多远它们似乎都是连接的，但中间的外来或己生长 的杂物只能在一定条件下生存。
目录分析
1
§1.1函数的类 别与基本性质
§1.2几何与经 2
济方面函数关 系式
3 §1.3极限的概
念与基本运算 法则
4
§1.4无穷大量 与无穷小量
5
§1.5未定式极 限
感谢观看
习题四
§5.1定积分的概念 与基本运算法则
§5.2变上限定积分
§5.3牛顿-莱不尼兹 公式
§5.4定积分换元积 分法则
§5.5定积分分部积 分法则
§5.6广义积分
§5.7平面图形的面 积
习题五
§6.1二元函数的一 阶偏导数
§6.2二元函数的二 阶偏导数
§6.3二元函数的全 微分
§6.4二元函数的极 值
§3.5函数曲线的凹 向区间与拐点
§3.6经济方面函数 的边际与弹性
大学微积分第六章
第六章 定积分及其应用§6-1 定积分的概念与性质（Concept and propoties of definite integral ）(一)、定积分的概念1、 问题的提出1）、求面积——曲边梯形的面积S （分析）采用的做法⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧积零为整无限累加化整为零无限细分设曲边梯形由连续函数()y f x =（()0f x >）和x a =，x b =及x 轴围成，面积为S ，作如下处理（1）分割：在[,]a b 间插入1n +个分点0121,,,...,,n n a x x x x x b -==，将[,]a b 分成了n个小区间段，同时将曲边梯形分成了n 个小曲边梯形，各小区间的长度记为1i i i x x x -∆=-，小曲边梯形的面积记为i S ∆，则有1nii s s==∆∑。
（2）近似计算：在1[,]i i x x -中任取一点i ξ，用以i x ∆及()i f ξ为边的矩形面积近似替代i S ∆，即()i i i s f x ξ∆≈∆。
（3）求和：因而整个曲边梯形的面积就可以近似计算为1nii s s==∆∑()1niii f xξ=≈∆∑（4）取极限：求S 的精确值记1m ax{}i inx l ＃=D，则当0λ→时，取上述和式的极限，便得曲边梯形的面积为：S =()()01limniin i f xλξ→∞→=∆∑或2）、求变速直线运动的路程我们知道若物体作匀速直线运动，则其路程可用速度乘以时间来计算，但若为变速直线运动，则不能这样计算，因为速度是在随时间的变化而变化.在平面直角坐标系中，作出速度()v t 的函数图形，求速度为()v t 的变速直线运动在时间[,]a b 内的运动路程s 。
（1）分割：将时间段[,]a b 用1n +个分点0121,,,...,,n n a x x x x x b -==分成n 个小区间段1[,]i i t t -，小区间的长记作1i i i t t t -D =-(1,2,,)i n =鬃 .（2）近似计算：在1[,]i i t t -中任取一点i ξ，在此时间段内把物体的变速运动近似看作速度为()i v x 的匀速运动，则此时间间隔i t D 内所走路程为()i i is v t x D 籇（1,2,,i n =鬃 ） （3）求和：11()nnii i i i s sv t x ===D 籇邋（4）取极限：记1m ax{}i int l ＃=D ，令0l ®，则()01limniii s v tλξ→==∆∑。
吴赣昌版高数第六章定积分的应用
第六章定积分的应用课后习题全解习题6—2★ 1．求由曲线xy =与直线x y =所围图形的面积。
知识点：平面图形的面积思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2—1∵所围区域D 表达为X —型：⎩⎨⎧<<<<x y x x 10, （或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y y 210)∴⎰-=10)(dx x x S D61)2132(1223=-=x x （⎰=-=1261)(dy y y S D） ★ 2．求在区间［0，π/2]上,曲线x y sin =与直线0=x 、1=y 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形无论表达为X —型还是Y —型，解法都较简单，所以选其一做即可 解:见图6-2—2∵所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<1sin 20y x x π， (或D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<y x y arcsin 010） ∴12)cos ()sin 1(202-=+=-=⎰πππx x dx x S D( 12arcsin 1-==⎰πydy S D）★★3．求由曲线x y =2与42+-=x y 所围图形的面积知识点:平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2—3∵两条曲线的交点：⎩⎨⎧±==⇒⎩⎨⎧+-==22422y x x y x y ,∴所围区域D 表达为Y-型：⎩⎨⎧-<<<<-22422yx y y ，∴2316)324()4(2232222=-=--=--⎰y y dy y y S D（由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为:2316)324(2)4(223222=-=--=⎰y y dy y y S D ）★★4．求由曲线2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积知识点:平面图形面积思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时,解法较简单 解：见图6-2-4∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：⎩⎨⎧<<<<yx y y 210，∴34322)2(22102311=⨯=-==⎰y dy y y S S D D（若用X —型做，则第一象限内所围区域=1D b a D D ，其中a D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<22410x y x x ，b D ：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<14212y x x ；∴12212201422[()(1]443D D x x S S x dx dx ==-+-=⎰⎰） ★★5．求由曲线xy 1=与直线x y =及2=x 所围图形的面积知识点：平面图形面积思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X —型做 解：见图6—2-5∵两条曲线xy =和x y =的交点为（1，1）、（—1,—1），又这两条线和2=x 分别交于)21,2(、2) ,2( ∴所围区域D 表达为X-型：⎪⎩⎪⎨⎧<<<<x y xx 121,∴22211113((ln )ln 222DS x dx x x x =-=-=-⎰★★★6．抛物线x y 22=分圆822=+y x 的面积为两部分，求这两部分的面积知识点：平面图形面积思路:所围图形关于X 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y —型时，解法较简单 解:见图6—2-6，设阴影部分的面积为1D S ，剩余面积为2D S∵两条曲线x y 22=、822=+y x 的交于(2,2)±（舍去4-=x 的解），∴所围区域1D 表达为Y-型：⎪⎩⎪⎨⎧-<<<<-228222y x y y ；又图形关于x 轴对称，∴342342(2)68(2)28(220320220221+=-+=--=--=⎰⎰ππy y dy y y S D（其中222cos 18cos 22cos 22844sin 2222+=+=⨯=-⎰⎰⎰=πππdt ttdt t dyy ty ) ∴34634282-=--=πππDS ★★★7．求由曲线x e y =、x e y -=与直线1=x 所围图形的面积知识点:平面图形面积思路：由于所围图形表达为X —型时，解法较简单，所以用X —型做解:见图6-2—7∵两条曲线x e y =和x e y -=的交点为(0，1），又这两条线和1=x 分别交于) ,1(e 和) ,1(1-e∴所围区域D 表达为X-型:⎩⎨⎧<<<<-x x ey e x 10，∴2)()(1101-+=+=-=---⎰e e e e dx e e S x x x x D★★★8．求由曲线x y ln =与直线a y ln =及b y ln =所围图形的面积)0(>>a b知识点:平面图形面积思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-8∵在x ln 的定义域范围内所围区域D ：⎩⎨⎧<<<<ye x by a 0ln ln ， ∴a b edy e S b ay bayD-===⎰ln ln ln ln★★★★9．求通过(0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质:（1）它的对称轴平行于y轴，且向下弯；（2）它与x 轴所围图形面积最小知识点：平面图形面积和求最值思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量解：由于抛物线的对称轴平行于y 轴，又过(0，0），所以可设抛物线方程为bx ax y +=2,（由于下弯,所以0<a），将（1，2）代入bx ax y +=2,得到2=+b a ，因此x a ax y )2(2-+=该抛物线和X 轴的交点为0=x 和aa x 2-=， ∴所围区域D ：2200(2)a x ay ax a x-⎧<<⎪⎨⎪<<+-⎩ ∴23223226)2()223(])2([a a x a x a dx x a ax S aa a a D-=-+=-+=--⎰)4()2(61)]2()2()2(3[61)(233322+-=-⨯-+-⨯='---a a a a a a a a S D得到唯一极值点：4-=a ，∴所求抛物线为：x x y 642+-=★★★★10．求位于曲线x e y =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积知识点：切线方程和平面图形面积思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型 解：xe y =⇒xe y =',∴在任一点0x x =处的切线方程为)(000x x e ey x x -=-而过（0，0）的切线方程就为：)1(-=-x e e y ，即ex y =所求图形区域为21D D D =,见图6—2—10X —型下的1D ：⎩⎨⎧<<<<∞-x e y x 00，2D ：⎩⎨⎧<<<<xey ex x 1∴222)(12110e e e x e edx ex e dx e S x x x D=-=-=-+=∞-∞-⎰⎰ ★★★11．求由曲线θcos 2a r =所围图形的面积知识点：平面图形面积思路:作图可知该曲线是半径为a 、圆心（0 ,a ）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为2a π,也可选择极坐标求面积的方法做。
微积分第六章定积分
第六章 定积分定积分的有关理论是从17世纪开始出现和发展起来的，人们对几何与力学中某些问题的研究是导致定积分理论出现的主要背景．尽管其中某些问题早在公元前就被古希腊人研究过，但直到17世纪有了牛顿(Newton)和莱布尼兹(Leibnitz)的微分思想后，才使这些问题统一到一起，并且与求不定积分的问题联系起来．下面我们先从几何与力学问题出发引进定积分的定义，然后讨论它的性质、计算方法及其应用．第一节 定积分概念一、 定积分问题举例 １． 曲边梯形的面积设f (x )是定义在区间［a ,b ］上的非负连续函数，由曲线y =f (x )及直线x =a ,x =b 和y =0所围成的图形称为曲边梯形，下面我们讨论如何求这个曲边梯形的面积．图6-1为了利用已知图形(比如说矩形)的面积公式，可以先在［a ,b ］内任意插入n 个分点a =x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n ＝b ．这样整个曲边梯形就相应地被直线x =x i (i =1,2,…,n -1)分成n 个小曲边梯形，区间［a ,b ］分成n 个小区间［x 0,x 1］,［x 1,x 2］,…，［x n -1,x n ］,第i 个小区间的长度为Δx i =x i -x i －１（i =1,2,…，n )．对于第i 个小曲边梯形来说，当其底边长Δx i 足够小时，其高度的变化也是非常小的，这时它的面积可以用某个小矩形的面积来近似．若任取ξi ∈［x i -1,x i ］,用f (ξi )作为第i 个小矩形的高(图6-1)，则第i 个小曲边梯形面积的近似值为ΔA i ≈f (ξi )Δx i ．这样，整个曲边梯形面积的近似值就是11()n ni i i i i A A f x ξ===∆=∆∑∑．从几何直观上看，当分点越密时，小矩形的面积与小曲边梯形的面积就会越接近，因而和式1()niii f xξ=∆∑与整个曲边梯形的面积也会越接近，记{}1max i i nx λ≤≤=∆，当λ→0时，和式1()niii f xξ=∆∑ 的极限如果存在，则这个极限值即为曲边梯形的面积A ，即1lim ()ni i i A f x λξ→==∆∑．2． 变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度v =v (t )是时间间隔［Ｔ１，Ｔ２］上t 的连续函数，且v (t )≣0，计算在这段时间内物体所经过的路程s ． 我们知道，对于匀速直线运动，有公式：路程＝速度×时间．但是在我们的问题中，速度不是常量而是随时间变化着的变量，因此所求路程s 不能直接按匀速直线运动的路程公式来计算．然而，物体运动的速度函数v =v (t )是连续变化的，在很短的时间内，速度的变化很小．因此如果把时间间隔分小，在小段时间内，以等速运动近似代替变速运动，那么就可算出各部分路程的近似值，再求和得到整个路程的近似值．最后，通过对时间间隔无限细分的极限过程，求得物体在时间间隔［Ｔ１，Ｔ２］内的路程．对于这一问题的数学描述可以类似于上述求曲边梯形面积的做法进行，具体描述为：在区间［Ｔ１，Ｔ２］内任意插入n -1个分点Ｔ１＝t 0＜t 1＜t 2＜…＜t n -1＜t n =T 2,把区间［Ｔ１，Ｔ２］分成n 个小区间［t 0,t 1］,［t 1,t 2］,…，［t n －１，t n ］，各小区间的长度依次为Δt 1,Δt 2,…，Δt n ,在时间段［t i －１，t i ］上的路程的近似值为v (τi )Δt i (i =1,2,…，n )，(其中τi 为[t i -1,t i ]上的任意一点.)整个时间段［Ｔ１，Ｔ２］上路程的近似值为s ≈v (τ1)Δt 1+v (τ2)Δt 2+…+v (τn )Δt n1()ni i i v t τ==∆∑ ．当分点越密时，1()niii v tτ=∆∑就会与s 越接近，因此记{}1max i i nt λ≤≤=∆,当λ→0时，和式1()niii v tτ=∆∑的极限如果存在，则这个极限值即为物体在时间间隔［Ｔ１，Ｔ２］内所走过的路程．即1lim ()ni i i s v t λτ→==∆∑．二、 定积分定义从上面的两个例子可以看到，尽管所要计算的量，即曲边梯形的面积A 及变速直线运动的路程s 的实际意义不同，前者是几何量，后者是物理量，但计算这些量的方法与步骤都是相同的，它们都可归结为具有相同结构的一种特定和的极限，如面积01lim()niii A f x λξ→==∆∑,路程01lim()niii s v tλτ→==∆∑.抛开这些问题的具体意义，抓住它们在数量上共同的本质与特性加以概括，我们可以抽象出下述定积分的概念．定义 设函数f (x )在［a ,b ］上有界，在［a ,b ］中任意插入n -1个分点a =x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n =b ,把区间［a ,b ］分成n 个小区间［x 0,x 1］,［x 1,x 2］,…，［x n －１，x n ］,各小区间的长度依次为Δx 1=x 1-x 0,Δx 2=x 2-x 1,…，Δx n =x n -x n -1,在每个小区间［x i －１，x i ］上任取一点ξi ,作乘积f (ξi )Δx i (i =1,2,…,n )，再作和式lim ()i i S f x λξ→=∆． （6-1-1）记λ=max ｛Δx 1,Δx 2,…，Δx n ｝,如果不论［a ,b ］怎样分法，也不论［x i －１，x i ］上点ξi 怎样取法，当λ→0时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数f (x )在区间［a ,b ］上的定积分(简称积分)，记作()d baf x x ⎰,即()d lim ()bi i af x x f x I λξ→=∆=⎰， (6-1-2)其中f (x )叫做被积函数，f (x )d x 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，［a ,b ］叫做积分区间．注 当和式1()niii f x ξ=∆∑的极限存在时，其极限值仅与被积函数f (x )及积分区间［a ,b ］有关，而与积分变量所用字母无关，即()d ()d ()d bb baaaf x x f t t f u u ==⎰⎰⎰．读者容易由定积分的定义或下面介绍的定积分的几何意义得到这一结论．如果f (x )在［a ,b ］上的定积分存在，我们就说f (x )在［a ,b ］上可积．由于这个定义是由黎曼(Riemann)首先给出的，所以这里的可积也称为黎曼可积，相应的积分和式1()niii f x ξ=∆∑也称为黎曼和．对于定积分，有这样一个重要问题：函数f (x )在［a ,b ］上满足怎样的条件，f (x )在［a ,b ］ 上一定可积?这个问题我们不作深入讨论，而只给出以下两个充分条件．定理1 设f (x )在区间［a ,b ］上连续，则f (x )在［a ,b ］上可积．定理2 设f (x )在区间［a ,b ］上有界，且只有有限个间断点，则f (x )在［a ,b ］上可积． 利用定积分的定义，前面所讨论的实际问题可以分别表述如下： 曲线y =f (x ) (f (x )≣0)、x 轴及两条直线x =a 、x =b 所围成的曲边梯形的面积A 等于函数f (x )在区间［a ,b ］上的定积分．即()d baA f x x =⎰．物体以变速v =v (t )［v (t )≣0］作直线运动，从时刻t =T 1到时刻t =T 2,这物体经过的路程 s 等于函数v (t )在区间［Ｔ１，Ｔ２］上的定积分，即12()d T T s v t t =⎰．三、 定积分的几何意义在［a ,b ］上f (x )≣0时，我们已经知道，定积分()d baf x x ⎰在几何上表示曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积；在［a ,b ］上f (x )≢0时，由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分图6-2()d baf x x ⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在［a ,b ］上f (x )既取得正值又取得负值时，函数f (x )的图形某些部分在x 轴上方，而其他部分在x 轴的下方(图6-2)．如果我们对面积赋以正负号，在x 轴上方的图形面积赋以正号，在x 轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分()d baf x x ⎰的几何意义为：它是介于x 轴、函数f (x )的图形及两条直线x =a 、x =b 之间的各部分面积的代数和．图6-3例1 利用定积分的几何意义，计算x ⎰．解 显然，根据定积分的定义来求解是比较困难的，根据定积分的几何意义知，x ⎰就是图6-3所示半径为1的圆在第一象限部分的面积，所以2144x ππ=⋅=⎰．四、 定积分的性质为了以后计算及应用方便起见，我们先对定积分作以下两点补充规定：(1) 当a =b 时，()d baf x x ⎰=0;(2) 当a ＞b 时，()d baf x x ⎰= -()d abf x x ⎰．由上式可知，交换定积分的上下限时，绝对值不变而符号相反．下面我们讨论定积分的性质．下列各性质中积分上下限的大小，如不特别指明，均不加限制；并假定各性质中所列出的定积分都是存在的．性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)，即[()()]d ()d ()d bb baaaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰．证1[()()]d lim [()()]nbiiiai f x g x x f g x λξξ→=±=±∆∑⎰ 0011lim ()lim ()nni i i i i i f x g x λλξξ→→===∆±∆∑∑()d ()d bbaaf x xg x x =±⎰⎰．性质1对于任意有限个函数都是成立的．类似地，可以证明：性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即()d ()d bbaakf x x k f x x =⎰⎰ (k 是常数)．性质3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设a ＜C ＜b ，则()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰．证 因为函数f (x )在区间［a ,b ］上可积，所以不论把［a ,b ］怎样分，积分和的极限总是不变的．因此，我们在分区间时，可以使c 永远是个分点．那末，［a ,b ］上的积分和等于［a ,c ］上的积分和加［c ,b ］上的积分和，记为[,][,][,]()()()iiiiiia b a c c b f x f x f x ξξξ∆=∆+∆∑∑∑．令λ→0，上式两端同时取极限，即得()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰．这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性．按定积分的补充规定，不论a ,b ,c 的相对位置如何，总有等式()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰成立．例如，当a ＜b ＜c 时，由于()d ()d ()d c b caabf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰,()d ()d ()d bc caa bf x x f x x f x x =-⎰⎰⎰()d ()d cbacf x x f x x =+⎰⎰．性质4 如果在区间［a ,b ］上f (x )≡1，则1d d bbaax x b a ==-⎰⎰．这个性质的证明请读者自己完成．性质5 如果在区间［a ,b ］上，f (x )≣0，则()d 0baf x x ≥⎰(a ＜b )．证 因为f (x )≣0，所以f (ξi )≣0(i =1,2,…，n )．又由于Δx i ≣0(i =1,2,…，n ),因此1()niii f x ξ=∆∑≣0,令λ=max ｛Δx 1,…，Δx n ｝→0，便得到要证的不等式．推论1 如果在区间［a ,b ］上，f (x )≢g (x ),则()d ()d bbaaf x xg x x ≤⎰⎰ (a ＜b )．证 因为g (x )-f (x )≣0，由性质5得[()()]d baf xg x x -⎰≣0．再利用性质1，便得到要证的不等式．推论2()d ()d bbaaf x x f x x ≤⎰⎰ (a ＜b )．证 因为-︱f (x )︱≢f (x )≢︱f (x )︱,所以由推论1及性质2可得()d ()d ()d b b baaaf x x f x x f x x -≤≤⎰⎰⎰，即()d ()d bbaaf x x f x x ≤⎰⎰．注 ︱f (x )︱在［a ,b ］上的可积性可由f (x )在［a ,b ］上的可积性推出，这里我们不作证明．性质6 设M 及m 分别是函数f (x )在区间［a ,b ］上的最大值及最小值，则m (b -a )≢()d baf x x ⎰≢M (b -a ) (a ＜b )．证 因为m ≢f (x )≢M ,所以由性质5推论1得d ()d d bbbaaam x f x x M x ≤≤⎰⎰⎰．再由性质2及性质4，即得到所要证的不等式．这个性质说明，由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范例2 估计定积分221d +1xx x ⎰的值． 解 因f (x )=2+1xx 在［１，２］上连续，所以在［１，２］上可积，又因为 2221()0(+1)x f x x -'=≤ (1≢x ≢2)，所以f (x )在［１，２］上单调减少，从而有21()52f x ≤≤， 于是由性质6有2121()d 52f x x ≤≤⎰． 性质7 (定积分中值定理)如果函数f (x )在闭区间［a ,b ］上连续，则在积分区间［a ,b ］上至少存在一点ξ，使下式成立：()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰（a ≢ξ≢b ）． 这个公式叫做积分中值公式．证 把性质6中的不等式各除以b -a 得1()d bam f x x M b a ≤≤-⎰．这表明，确定的数值1()d ba f x xb a-⎰介于函数f (x )的最小值m 及最大值M 之间．根据闭区间上连续函数的介值定理，在［a ,b ］上至少存在一点ξ，使得函数f (x )在点ξ处的值与这个确定的数值相等，即应有1()d ()baf x x f b a ξ=-⎰ (a ≢ξ≢b )．两端各乘以b -a ，即得所要证的等式．图6-4积分中值公式有如下的几何解释：在区间［a ,b ］上至少存在一点ξ，使得以区间［a ,b ］为底边、以曲线y =f (x )为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f (ξ)的一个矩形的面积(图6-4)．显然，积分中值公式()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰（ξ在a 与b 之间）不论a ＜b 或a ＞b 都是成立的．例3求10limn n x →+∞⎰．解 由于当0≢x ≢1/2时，有n ≢x n ,所以≢120n x ⎰≢120d n x x ⎰．又由积分中值定理，有121limd lim02n nn n x x ξ→+∞→+∞==⎰（０≢ξ≢1/2)， 故10lim0n n x →+∞=⎰．习题6-11． 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1,直线x =a ，x =b 及x 轴所围成的图形的面积． 2． 利用定积分的几何意义求定积分： (1)102d x x ⎰;(2) 0x ⎰（a ＞0）． 3． 根据定积分的性质，比较积分值的大小： (1)120d x x ⎰与130d x x ⎰； (2)1e d x x ⎰与1(1)d x x +⎰．4． 估计下列各积分值的范围： (1)421(1)d x x +⎰；(2) arctan d x x ;(3)2e d ax ax --⎰（a ＞0)； (4)22e d x x x -⎰．第二节 微积分基本公式在第一节中，我们介绍了定积分的定义和性质，但并未给出一个有效的计算方法，当被积函数较复杂时，难以利用定积分直接计算．为了解决这个问题，自本节开始将介绍一些求定积分的方法． 一、 积分上限函数设函数f (t )在［a ,b ］上可积，对于x ∈［a ,b ］，则函数f (t )在［a ,x ］上可积．定积分()d xaf t t⎰对每一个取定的x 值都有一个对应值，记为F (x )=()d xaf t t ⎰, a ≢x ≢b ,F (x )是积分上限x 的函数，称为积分上限函数，或称变上限函数或变上限积分．积分上限函数具有下述重要性质．定理1(原函数存在定理) 设函数f (x )在［a ,b ］上连续，则积分上限函数()()d xaF x f t t=⎰就是f (x )在［a ,b ］上的一个原函数，即d ()()d ()d xaF x f t t f x x '==⎰,a ≢x ≢b ．证 我们只对x ∈(a ,b )来证明(x =a 处的右导数与x =b 处的左导数也可类似证明)． 取｜Δx ｜充分小，使x +Δx ∈(a ,b )，则ΔF =F (x +Δx )-F (x )=()d ()d x xxaaf t t f t t +∆-⎰⎰()d ()d ()d x x xxaxaf t t f t t f t t -∆=+-⎰⎰⎰()d x xxf t t -∆=⎰．因f (x )在［a ,b ］上连续，由积分中值定理，有ΔF =f (ξ)Δx ,ξ在x 与x +Δx 之间，即ΔF/Δx =f (ξ)．由于Δx →0时，ξ→x ，而f (x )是连续函数，上式两边取极限有00limlim ()lim ()()x x x Ff f f x x ξξξ∆→∆→→∆===∆,即F ′(x )=f (x )．另外，若f (x )在［a ,b ］上可积,则称函数ψ(x ) ()d bxf t t =⎰, x ∈［a ,b ］为f (x )在［a ,b ］上的积分下限函数，它的有关性质及运算可直接通过关系式()d ()d bxxbf t t f t t =-⎰⎰转化为积分上限函数而获得．例1 设f (x )∈C （（-∞,+∞））,且满足方程1618120()d ()d 89xx x f t t t f t t =++⎰⎰，求f (x )．解 在方程两端对变量x 求导得21517()()22f x x f x x x =-++，即 (1+x 2)f (x )=2x １５(1+x 2), 故f (x )=2x １５．例2 计算下列导数：(1)sin 0d ()d d x f t t x ⎰; (2) 32d e d d x tx t x -⎰． 解 (1) ()sin sin 00d d dsin ()d ()d d dsin d x x xf t t f t t x x x=⎰⎰ (sin )cos f x x = ．(2) 332200d de d e d e d d d x x t t tx x t t t x x ---⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 2300d de d e d d d x x t tt t x x --=-+⎰⎰232e 2e 3x x x x --=-+ 2322e 3e x x x x --=-+．对于一般情形，我们有下述结论：设f (x )∈C (［a ,b ］),u (x )和v (x )为可导函数，且u (x )∈［a ,b ］,v (x )∈［a ,b ］，则有()()d ()d (())()(())()d u x v x f t t f u x u x f v x v x x''=-⎰． 读者可利用复合函数求导法则证明此结论． 例3 求21cos 2e d limt xx t x-→⎰．解 易知这是一个型的未定式，我们用洛必达法则来计算 ()22cos 11cos 22e d e d limlim()xt t xxx x ttxx --→→'-='⎰⎰2cos 0e sin 1lim 22ex x x x -→==． 例4 求02()()d limxx f t x t t x →-⎰,其中f (x )是(－∞，＋∞)内的连续函数．解 由于()()d ()d ()d xxxf t x t t x f t t tf t t -=-⎰⎰⎰,且 00lim()d 0xx f t t →=⎰故 ()22()d ()d ()()d limlim()xxxxx x x f t t tf t tf t x t t xx →→'--='⎰⎰⎰()d ()()lim2xx f t t xf x xf x x→+-=⎰()d ()1limlim(0)222xx x f t t f x f x→→===⎰． 二、 微积分基本公式现在我们用定理1来证明一个重要定理，它给出了用原函数计算定积分的公式． 定理2设函数f (x )在［a ,b ］上连续，F (x )是f (x )在［a ,b ］上的一个原函数，则()d ()()baf x x F b F a =-⎰． (6-2-1)证 因为F (x )与()d xaf t t ⎰都是f (x )在［a ,b ］上的原函数，所以它们只能相差一个常数C ，即()d ()xaf t t F x C =-⎰．令x =a ,由于()d 0aaf t t =⎰，得C = -F (a ),因此()d ()()xaf t t F x F a =-⎰．在上式中令x =b ，得()d ()()baf t t F b F a =-⎰．为方便起见，以后把F (b )-F (a )记成()bF x a，于是(6-2-1)式又可写成 ()d ()babf x x F x a=⎰．通常称公式(6-2-1)为微积分基本公式或牛顿-莱布尼茨公式，它表明：一个连续函数在［a ,b ］上的定积分等于它的任意一个原函数在［a ,b ］上的改变量．这个公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系，给定积分提供了一个有效而简便的计算方法．下面我们举几个应用公式(6-2-1)来计算定积分的简单例子．例5 计算120d x x ⎰．解 由于313x 是x 2的一个原函数，故由公式(6-2-1)有112311d 33x x x ==⎰． 例6 计算． 解x x =20sin cos d x x x π=-⎰2204(sin cos )d (sin cos )d x x x x x x πππ=-+-⎰⎰2404(sin cos )(sin cos )x x x x πππ=++--2=．习题6-21． 求下列导数：(1)20d d x t x ⎰; (2) 53ln 2d e d d x t t t x-⎰； (3) cos 2sin cos()d x x t t '⎡⎤π⎢⎥⎣⎦⎰; (4) 22d sin d d x t t x tπ⎰ (x ＞0)． 2． 求下列极限：(1) 02arctan d limxx t t x→⎰; (2) 2020sin 3d lime d x xx tt t t t→-⎰⎰; (3)()22220e d lime d xt xx t t t t→⎰⎰．3． 求由方程e d cos d 0yxt t t t +=⎰⎰所确定的隐函数y =y (x )的导数．4． 当x 为何值时，I (x )= 2e d xt t t -⎰有极值?5． 计算下列定积分：(1)3x ⎰; (2)221d x x x --⎰;(3)()d f x x π⎰,其中,0,2()sin ,2x x f x x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨π⎪≤≤π;⎪⎩(4){}222max 1,d x x -⎰．6． 已知f (x )连续，且f (2)=3,求2222()d d lim(2)xt x f u u t x →⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎰⎰． 第三节 定积分的换元法由上节知道，计算定积分()d baf x x ⎰的简便方法是把它转化为求f (x )的原函数的增量，在第五章中，我们知道用换元法可以求出一些函数的原函数．因此，在一定条件下，可以用换元法来计算定积分．我们有下面的定理．定理 假设f (x )在［a ,b ］上连续，函数x =φ(t )满足条件： (1) 当t ∈［α，β］时，a ≢φ(t )≢b ，且φ(α)=a ,φ(β)=b ， (2) φ(t )在［α，β］上具有连续导数，则有()d (())()d baf x x f t t t βαϕϕ'=⎰⎰． （6-3-1）公式(6-3-1)叫做定积分的换元公式．证 由假设知，上式两边的被积函数都是连续的，因此不仅上式两端的定积分都存在，而且由上节定理1知，被积函数的原函数也都存在．所以(6-3-1)式两边的定积分都可用牛顿莱布尼茨公式计算．现假设F (x )是f (x )的一个原函数，则()d ()()baf x x F b F a =-⎰,又由复合函数的求导法则知Φ(t )=F (φ(t ））(t ∈（α，β））是f (φ(t ））φ′(t )的一个原函数，所以(())()d (())(())()()f t t t F F F b F a βαϕϕϕβϕα'=-=-⎰,故()d (())()d baf x x f t t t βαϕϕ'=⎰⎰．这就证明了换元公式．应用换元公式时有两点值得注意：(1) 用x =φ(t )把原来变量x 代换成新变量t 时，原积分限也要换成相应于新变量t 的积分限；(2) 求出f (φ(t ））φ′(t )的一个原函数Φ(t )后，不必像计算不定积分那样把Φ(t )变换成原来变量x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限分别 代入Φ(t )中，然后相减就行了．例1计算x ⎰（a ＞0）． 解 设x =a sin t ,则d x =a cos t d t ,且 当x =0时，t =0;当x =a 时，t =2π． 于是222220cos d (1cos 2)d 2a x at t t t ππ==+⎰⎰⎰22201sin 2224a at t ππ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦．换元公式也可反过来使用．为使用方便起见，把换元公式中左右两边对调位置，同时把t 改记为x ，而x 改记为t ，得(())()d ()d f x x x f t t ββααϕϕ'=⎰⎰．于是，我们可用t =φ(x )来引入新变量t ,而α=φ(a ),β=φ(b )．例2计算4x ⎰． 解 设t,则x =212t x -=,d x =t d t ,且当x =0时，t =1;当x =4时，t =3,于是343210111(3)d (3)223tx t t t =+=+⎰⎰127122(9)(3)2333⎡⎤=+-+=⎢⎥⎣⎦． 例3 计算520cos sin d x x x π⎰．解 设t =cos x ,则d t = -sin x d x ,且当x =0时，t =1;当x =2π时，t =0，于是1601555201001cos sin d d d 66t x x x t t t t π⎡⎤=-===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰．在例3中，如果我们不明显地写出新变量t ,那末定积分的上、下限就不要变更．55220cos sin d cos d(cos )x x x x x ππ=-⎰⎰260cos 11(0)666x π⎡⎤=-=--=⎢⎥⎣⎦． 例4设f (x )∈C (［－a ,a ］)，试证： (1)[]0()d ()()d aaaf x x f x f x x -=--⎰⎰；(２) 当f (x )为奇函数时，()d 0aaf x x -=⎰；(3) 当f (x )为偶函数时，0()d 2()d aa af x x f x x -=⎰⎰．证 (1) 由于()d ()d ()d aaaaf x x f x x f x x --=+⎰⎰⎰，在()d af x x -⎰中，设x = -t ，则()d ()d ()d a aaf x x f t t f x x -=--=⎰⎰⎰．故[]0()d ()d ()d ()()d aaaaaf x x f x x f x x f x f x x -=-+=-+-⎰⎰⎰⎰．(2) 当f (x )是奇函数时，f (-x )+f (x )=0,因此()d 0aaf x x -=⎰．(3)当f (x )是偶函数时，f (-x )+f (x )=2f (x ),因此()d 2()d a aaf x x f x x -=⎰⎰．利用例4的结论，常可简化在对称区间上的定积分的计算．例5 求下列定积分44d 1sin xxππ-+⎰．解 由于被积函数为非奇非偶函数，由例4(1)知402444004d 11()d 2sec d 2tan 21sin 1sin 1sin x x x x xx x xπππππ-=+===+-+⎰⎰⎰．例6 设函数f (x )在［０，１］上连续，试证(1)2200(sin )d (cos )d f x x f x x ππ=⎰⎰;特别地，220sin d cos d nn x x x x ππ=⎰⎰ (n 为非负整数)；(2)00(sin )d (sin )d 2xf x x f x x πππ=⎰⎰,并由此计算20sin d 1cos x x x x π+⎰． 证 (1) 设x =2t π-,则d x = -d t ,且当x =0时，t =2π; x =2π时，t = 0,于是0202(sin )d (sin())d 2f x x f t t πππ=--⎰⎰220(cos )d (cos )d f t t f x x ππ==⎰⎰．特别地，取f (x )=x n 在［０，１］上连续，由上述证明有220sin d cos d nn x x x x ππ=⎰⎰.(2) 设x =π-t ，则d x = -d t ,且当x =0时，t =π；x =π时，t =0;于是(sin )d ()(sin())d ()(sin )d xf x x t f t t t f t t πππ=-π-π-=π-⎰⎰⎰(sin )d (sin )d (sin )d (sin )d f t t tf t t f x x xf x x ππππ=π-=π-⎰⎰⎰⎰．因此0(sin )d (sin )d 2xf x x f x x πππ=⎰⎰．利用结论(2)得222000sin sin d cos d d 1cos 21cos 21cos x x x xx x x x xπππππ==-+++⎰⎰⎰ 20arctan(cos )24x πππ=-=． 例7 设f (x )是(-∞，+∞)内的连续函数，且满足()d 1cos xtf x t t x -=-⎰,求f (x )．解 由u =x -t ,故t =x -u ,d t = -d u ,且当t = 0时，u = x ;t = x 时，u =0．于是00()d ()()d ()()d xxxtf x t t x u f u u x u f u u -=--=-⎰⎰⎰()d ()d x xx f u u uf u u =-⎰⎰,因此f (x )满足()d ()d 1cos x xx f u u uf u u x -=-⎰⎰．上式两边对x 求导，得()d sin xf u u x =⎰．两边对x 求导，得f (x )=cos x ．例8 设函数f (x )= 21,101cos e ,0x x x x x -⎧-≤≤⎪+⎨⎪≥⎩,求41(2)d f x x -⎰．解 设u =x -2,则当x =1时，u =-1;当x =4时，u =2．于是4211(2)d ()d f x x f u u --=⎰⎰20210d e d 1cos u uu u u --=++⎰⎰2024101111tan e tan e 22222u u ---=-=-+． 习题 6-31． 计算下列积分： (1)3sin()d x x πππ+3⎰; (2) 32d (115)x x 1-+⎰;(3)1x -⎰; (4) 320sin cos d ϕϕϕπ⎰;(5)22cos d u u ππ6⎰; (6)2e 1⎰(7)1; (8)x ;(9)ln 3ln 2d e e x xx --⎰; (10) 322d 2xx x +-⎰;(11)1x ⎰; (12) 22x ππ-⎰．2． 利用被积函数的奇偶性计算下列积分值：(1)ln(aa x x -+⎰(a 为正常数)；(2) 325425sin d 21x xx x x -++⎰; (3) 4224cos d θθππ-⎰．3． 证明下列等式： (1)23211()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正整数)；(2)证明：11221d d 11xx x x x x =++⎰⎰ (x ＞0)； (3) 设f (x )是定义在(-∞，+∞)上的周期为T 的连续函数，则对任意a ∈［－∞，＋∞），有()d ()d a TTaf x x f x x +=⎰⎰．4． 若f (t )是连续函数且为奇函数，证明()d xf t t ⎰是偶函数；若f (t )是连续函数且为偶函数，证明()d xf t t ⎰是奇函数．5． 设f (x )在(-∞，+∞)内连续，且F (x )= 0(2)()d xx -t f t t ⎰,试证：若f (x )单调不减，则F (x )单调不增．第四节 定积分的分部积分法利用不定积分的分部积分法及牛顿莱布尼茨公式，即可得出定积分的分部积分公式．设函数u =u (x )，v =v (x )在区间［a ,b ］上具有连续导数u ′(x )，v ′(x )，则有(uv )′＝u ′v +uv ′．分别求等式两端在［a ,b ］上的定积分，并注意到()d bb a auv x uv '=⎰,便得d d b bb aaa uvu v x uv x ''=+⎰⎰,移项，就有d d bbb a aauv x uv vu x ''=-⎰⎰,或简写为 d d b bb a aau v uv v u =-⎰⎰．这就是定积分的分部积分公式．例1 计算120arcsin d x x ⎰．解1201120arcsin d arcsin x x x xx =-⎰⎰112222011(1)d(1)262x x -π=+--⎰12011212ππ==． 例2 计算2e 2eln d (1)xx x -⎰． 解2222e e e e e 2eee l n 1l n dd l n d ()(1)11(1)x x x x x x x x x x =-=-+----⎰⎰⎰ 2e e 111d e +11x x x ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭⎰ []2e e1ln(1)ln e +1x x =+--1ln(e +1)1e +1=+-． 例3计算x 1⎰．解 先用换元法．令t则x =t 2,d x =2t d t ,且当x =0时，t =0;当x =1时，t =1,于是02e d t x t t 11=⎰⎰．再用分部积分法计算上式右端的积分：1100e d de e e d e e 1t t t t tt t t t t 111==-=-=⎰⎰⎰．因此2e d 212t x t t 11==⨯=⎰⎰．例4 设f (x )在［a ,b ］上可导，且f (a )=f (b )=0, 2()d 1baf x x =⎰,试求()()d baxf x f x x '⎰．解[]21()()d ()d ()d ()2bbb aaa xf x f x x xf x f x x f x '⎡⎤==⎣⎦⎰⎰⎰ 2211()()d 22b b a axf x f x x =-⎰ 110122=-⨯=-．例5 证明220sin d cos d nnx x x x ππ=⎰⎰;并求20sin d n n I x x π=⎰．证 令x =2t π-，则当x =0时，t =2π;当x =2π时，t =0．故 022002sin d sin ()d cos d 2nnn x x t t x x ππππ=--=⎰⎰⎰．1220sin d sin d cos nn n I x x x x ππ-==-⎰⎰201220sincos cos (1)sin cos d n n x xx n x x x ππ--=-+-⎰2220(1)sin (1sin )d n n x x x π-=--⎰2(1)(1)n n n I n I -=---,由此得到递推公式：21n n n I I n--=． 又易求得200d 2I x ππ==⎰,210sin d 1I x x π==⎰,故当n 为偶数时13312422n n n I n n --π=- , 当n 为奇数时1342253n n n I n n --=- ． 习题6-41． 利用分部积分公式证明：()()()d ()d d xxuf u x u u f x x u -=⎰⎰⎰．2． 计算下列定积分：(1)10e d xx x -⎰; (2)e1ln d x x x ⎰;(3)41x ⎰; (4) 324d sin xx xππ⎰; (5) 220e cos d xx x π⎰; (6) 221log d x x x ⎰;(7)π2(sin )d x x x ⎰; (8) e1sin(ln )d x x ⎰；(9)230e d x x ; (10)1201lnd 1xx x x+-⎰． 3． 已知f (2)= 12,f ′(2)=0, 20()d 1f x x =⎰,求220()d x f x x ''⎰．第五节 定积分的应用本节中，我们将运用前面学过的定积分理论来分析和解决一些实际问题．一、 建立定积分数学模型的微元法由定积分定义可知，若f (x )在［a ,b ］上可积，则对于［a ,b ］的任一划分a =x 0＜x 1＜…＜x n =b 及［x i -1,x i ］中任一点ξi ，有1()d lim ()nbi i ai f x x f x λξ→==∆∑⎰， （6-5-1）这里Δx i =x i -x i -1(i =1,2,…，n ),λ={}1max i i nx ≤≤∆，此式表明定积分的本质就是某一特定和式的极限．基于此，我们可以将一些实际问题中有关量的计算问题归结为定积分的计算．例如，前面我们所介绍过的曲边梯形面积的计算问题就是归结为定积分来计算的，其归结过程概括地说就是“划分作近似，求和取极限”，也就是将整体化成局部之和，利用整体上变化的量局部上近似于不变这一辩证关系，局部上以“不变”代表“变”，这就是我们建立定积分数学模型的基本方法，也是我们利用定积分解决实际问题的基本思想．根据定积分的定义，如果某一实际问题中的所求量Q 符合下列条件：(1) 建立适当的坐标系和选择与Q 有关的变量x 后，Q 是一个与定义在某一区间［a ,b ］上的可积函数q (x )有关的量；(2) Q 对于区间［a ,b ］具有可加性，即如果把区间［a ,b ］任意分成n 个部分区间［x i -1,x i ］(i =1,2,…，n ),则Q 相应地分成n 个部分量ΔQ i ,而Q =1nii Q ∆=∑．(3) 部分量ΔQ i 可近似表示为q (ξi )Δx i (ξi ∈［x i -1,x i ］)，且ΔQ i -q (ξi )Δx i =o (Δx i )． 那么，我们即可获得所求量Q 的定积分数学模型：1lim ()()d nbi i ai Q q x q x x λξ∆→===∑⎰,其中λ={}1max i i nx ≤≤∆,Δx i =x i -x i -1．而在实际建模过程中，为简便起见，通常将具有代表性的第i 个小区间［x i -1,x i ］略去下标，记作［x ,x +Δx ］，称其为典型小区间，然后求出相应于这个小区间的部分量ΔQ 的近似值．如果ΔQ 能近似地表示成［a ,b ］上一个可积函数在x 处的值q (x )与Δx 的积，且ΔQ =q (x )Δx +o (Δx ), （6-5-2）就把q (x )Δx 称为Q 的微元(或称元素)，记作d Q =q (x )Δx ． (6-5-3)事实上，对任意x ∈［a ,b ］,若用Q (x )记为区间［a ,x ］所对应的部分量，则Q (a )=0,Q (b )=Q ,且［x ,x +Δx ］所对应的部分量为ΔQ =Q (x +Δx )-Q (x )． (6-5-4)由(6-5-2)式与(6-5-4)式表明(6-5-3)式右端q (x )Δx 即为Q (x )的微分，从而Ｑ＝Ｑ（b )-Q (a ) ()()d =()d Q b bQ a aQ q x x =⎰⎰． (6-5-5)对自变量x 来说，注意到我们有d x =Δx 的规定，因此，习惯上我们将［x ，x +d x ］作为典型小区间．上述建立定积分数学模型的方法称为微元法．值得注意的是，在利用上述微元法建模的过程中，证明ΔＱ-q (x )Δx =o (Δx )是十分关键的．但对于一些初等问题，这一事实往往比较明显，因此也就常常省去了这一步．下面，我们利用微元法来解决一些实际问题． 二、 定积分的几何应用1． 平面图形的面积 由定积分的几何意义我们知道：若f (x )∈C (［a ,b ］)且对任意x ∈［a ,b ］有f (x )≣0,则()d baf x x⎰表示由曲线y =f (x )，直线x =a 和x =b 及x 轴所围曲边梯形的面积．一般地，由平面曲线所围平面图形的面积，在边界曲线为已知时，均可用定积分来求得．图6-5设一平面图形由连续曲线y =f (x ),y =g (x )及直线x =a 和x =b (a ＜b )所围(图6-5)．为了求该平面图形的面积A ，我们在［a ,b ］上取典型小区间［x ,x +d x ］，相应于典型小区间的面积部分量ΔA 近似地等于高为︱f (x )-g (x )︱,宽为d x 的窄矩形的面积(图6-5)，从而得到面积微元d A =︱f (x )-g (x )︱d x , 所以 =()()d baA f x g x x -⎰． (6-5-6)类似地，若平面图形由连续曲线x =ψ(y ),x =φ(y )及直线y =c 和y =d (c ＜d )所围成(图6-6)，则其面积A 为=()()d dcA y y x ψϕ-⎰． (6-5-7)图6-6我们看到(6-5-6)式的积分是以x 为积分变量，(6-5-7)式的积分是以y 为积分变量． 例1 计算由抛物线y =-x 2+1与y =x 2-x 所围图形的面积A ．图6-7解 两抛物线交点由221,y x y x x⎧=-+⎨=-⎩ 解得13(,)24-及(1，0)，于是图形位于直线x = 12-与x =1之间(图6-7)．取x 为积分变量，由(6-5-6)式得12212(1)()d A x x x x =-+--⎰1212(21)d x x x =-++⎰3211221()32x x x -=-++=98． 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围图形的面积A ． 解 两线交点由22,4y x y x ⎧=⎨=-⎩图6-8解得为(2，-2)及(8，4)．这时宜取y 为积分变量，因图形(图6-8)位于直线y = -2和y =4之间，于是由(6-5-7)式得22344224d (4)18226y y y A y y y --=+-=+-=⎰.例3 求由曲线y =sin x ,y =cos x 及直线x =0, 2x π=所围图形的面积A ．图6-9解 两线交点由sin ,cos y x y x =⎧⎨=⎩解得(4π,如图6-9所示． 取x 为积分变量，由(6-5-6)式有4204(cos sin )d (cos sin )d A x x x x x x πππ=-+-⎰⎰424(sin cos )(cos sin )x x x x πππ=++--＝1)．例4 求椭圆22221x y a b+=所围图形的面积A ．图6-10解 因为椭圆关于两坐标轴对称(图6-10)，所以椭圆所围图形的面积是第一象限内那部分面积的4倍，再由(6-5-6)式，即有4A x =⎰． 应用定积分换元法，令x =a cos t (0≢t ≢π2), 则 y =b sin t , d x =-a sin t d t ． 当x =0时，t =2π;当x =2π时，t =0．于是 024sin (sin )d A b t a t t π=-⎰2204sin d 44abt t ab ab ππ===π⎰．2． 旋转体的体积Ｖ图6-11考虑介于过x 轴上点x =a 及x =b 且垂直于x 轴的两平行平面之间的立体(图6-11)，设在x (a ≢x ≢b )处垂直于x 轴的截面面积可以用x 的连续函数A (x )来表示．为了求其体积，我们在［a ,b ］内取典型小区间［x ,x +d x ］，用以底面积为A (x )，高为d x 的柱体体积近似于典型小区间［x ,x +d x ］对应的体积部分量，则得体积元素d Ｖ=A (x )d x ， 从而 ()d baV A x x =⎰(6-5-8)类似地，对于介于过y 轴上点y =c 及y =d 且垂直于y 轴的两平行平面之间的立体，若在y (c ≢y ≢d )处垂直于y 轴的截面面积可以用y 的连续函数B (y )来表示，则其体积为()d dcV B y y =⎰． (6-5-9)图6-12现在考虑旋转体，所谓旋转体就是由一平面图形绕这平面内一条定直线旋转一周而成的 立体．如图6-12所示，设旋转体是由曲线y =f (x ),直线x =a ,x =b (a ＜b )和x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的，则对任意x ∈［a ,b ］，相应于x 处垂直于x 轴的截面是一个圆盘，其面积为πf 2(x )，从而由(6-5-8)式知其体积2()d bx aV f x x =π⎰． (6-5-10)类似地，若旋转体是由曲线x =φ(y ),直线y =c ,y =d (c ＜d )和y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的，则其体积为2()d dy cV y y ϕ=π⎰． (6-5-11)例5计算由椭圆22221x y a b+=所围图形绕x 轴旋转而成的旋转体(称为旋转椭球体，见图6-13)的体积．解 这个旋转体实际上就是半个椭圆y =x 轴所围曲边梯形绕x 轴旋转而成的立体，于是由公式(6-5-10)得2223222222022204()d 2()d 2()33aa ax a b b b x V a x x a x x a x ab a a a -=π-=π-=π-=π⎰⎰ 特别地，当a =b 时就得到半径为a 的球的体积343a π.图6-13 图6-14例6 求由曲线y =2x -x 2和x 轴所围图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积．解 如图6-14所示，y =2x -x 2的反函数分为两支，1x = (0≢y ≢1)和1x = (0≢y ≢1)．由(6-5-11)式，所得旋转体的体积为((22111d 1d y V y y =π-π⎰⎰((221011d y ⎡⎤=π-⎢⎥⎣⎦⎰312844(1)3y y 2=π=-π-=π3⎰． 三、 定积分的经济学应用1． 由边际函数求总函数设某产品的固定成本为C ０，边际成本函数为C ′(Ｑ)，边际收益函数为R ′(Q ),其中Q 为产量，并假定该产品处于产销平衡状态，则根据经济学的有关理论及定积分的微元分析法易知：总成本函数C (Q )＝00()d QC Q Q C '+⎰; 总收益函数R (Q )= 0()d QR Q Q '⎰;总利润函数L (Q )=[]0()()d QR Q C Q Q C ''--⎰．例7设某产品的边际成本为C ′(Q )=4+4Q(万元/百台)，固定成本C 0=1(万元)，边际收益R ′(Q )=8-Q (万元/百台)，求：(1) 产量从100台增加到500台的成本增量； (2) 总成本函数C (Q )和总收益函数R (Q )；(3) 产量为多少时，总利润最大?并求最大利润．解 (1) 产量从100台增加到500台的成本变化量为2555111()d (4)d 41948Q Q C Q Q Q Q ⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰ (万元)． (2) 总成本函数200()()d (4)d 14148Q QQ Q C Q C Q Q C Q Q '=+=++=++⎰⎰,总收益函数200()()d (8)d 82Q QQ R Q R Q Q C Q Q Q '=+=-=-⎰⎰．(3)总利润函数2225()()()(8)(41)41288Q Q L Q R Q C Q Q Q Q Q =-=--++=-+-,5()44L Q Q '=-+．令L ′(Q )=0，得惟一驻点Q =3．2(百台)，又因L ″(3．2)= - 54＜0，所以当Q =3．2(百台)时，总利润最大，最大利润为L (3．2)＝5．4(万元)．2． 消费者剩余和生产者剩余图6-15市场经济中，生产并销售某一商品的数量可由这一商品的供给曲线与需求曲线来描述．供给曲线描述的是生产者根据不同的价格水平所提供的商品数量，一般假定价格上涨时，供应量将会增加．因此，把供应量看成价格的函数，这是一个增函数，即供给曲线是单调递增的．需求曲线则反映了顾客的购买行为．通常假定价格上涨，购买量下降，即需求曲线随价格的上升而单调递减(图6-15)．需求量与供给量都是价格的函数，但经济学家习惯用纵坐标表示价格，横坐标表示需求量或供给量．在市场经济下，价格和数量在不断调整，最后趋向于平衡价格和平衡数量，分别用P *和Ｑ*表示，也即供给曲线与需求曲线的交点E ．在图6-15中，P ０是供给曲线在价格坐标轴上的截距，也就是当价格为P ０时，供给量是零，只有价格高于P ０时，才有供给量；P １是需求曲线的截距，当价格为P １时，需求量是零，只有价格低于P １时，才有需求；Q １则表示当商品免费赠送时的最大需求量．在市场经济中，有时一些消费者愿意对某种商品付出比他们实际所付出的市场价格P *更高的价格，由此他们所得到的好处称为消费者剩余(C S )．由图6-15可以看出：C S =()d Q D Q Q P Q ***-⎰，式中，()d Q D Q Q *⎰表示消费者愿意支出的货币量．P Q **表示消费者的实际支出，两者之差为消费者省下来的钱，即消费者剩余．同理，对生产者来说，有时也有一些生产者愿意以比市场价格P *低的价格出售他们的商品，由此他们所得到的好处称为生产者剩余(PS )，如图6-15所示，有PS 0()d Q P Q S Q Q ***=-⎰．例8 设需求函数D (Q )=24-3Q ，供给函数为S (Q )=2Q +9,求消费者剩余和生产者剩余． 解 首先求出均衡价格与供需量． 由24-3Q =2Q +9,得Q *=3， P *=15．C S 32300327(243)d 153(24)4522Q Q Q Q =--⨯=--=⎰;。
《定积分及其应用》讲义
第六章 定积分及其应用积分学的另一个基本概念是定积分．本章我们将阐明定积分的定义，它的基本性质以及它的应用．此外，我们要重点讲述沟通微分法与积分法之间关系的微积分学基本定理，它把过去一直分开研究的微分和积分彼此互逆地联系起来，成为一个有机的整体．最后，我们把定积分的概念加以推广，简要讨论两类广义积分．§ 6.1 定积分的概念与性质1. 定积分的定义我们先来研究两个实际问题． 例1 计算曲边梯形的面积设)(x f y =为闭区间],[b a 上的连续函数，且0)(≥x f ．由曲线)(x f y =，直线b x a x == ,及x 轴所围成的平面图形(图6—1)称为)(x f 在],[b a 上的曲边梯形，试求这图6—1我们先来分析计算会遇到的困难．由于曲边梯形的高)(x f 是随x 而变化的，所以不能直接按矩形或直角梯形的面积公式去计算它的面积．但我们可以用平行于y 轴的直线将曲边梯形细分为许多小曲边梯形如图6—1所示．在每个小曲边梯形以其底边一点的函数值为高，得到相应的小矩形，把所有这些小矩形的面积加起来，就得到原曲边梯形面积的近似值．容易想象，把曲边梯形分得越细，所得到的近似值就愈接近原曲边梯形的面积，从而运用极限的思想就为曲边梯形面积的计算提供了一种方法．下面我们分三步进行具体讨论：(1) 分割 在],[b a 中任意插入1-n 个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把],[b a 分成n 个子区间],[10x x ，],[21x x ，…，],[1n n x x -，每个子区间的长度为1--=∆i i i x x x ),,2,1( n i =．(2) 近似求和 在每个子区间],[1i i x x -),,2,1( n i =上任取一点i ξ，作和式ini ixf ∆∑=1)(ξ(1.1)(3) 取极限 当上述分割越来越细(即分点越来越多，同时各个子区间的长度越来越小)时，和式(1.1)的值就越来越接近曲边梯形的面积(记作A )．因此当最长的子区间的长度趋于零时，就有A xf ini i→∆∑=1)(ξ．例2 求变速直线运动的路程设某物体作直线运动，其速度v 是时间t 的连续函数)(t v v =．试求该物体从时刻a t =到时刻b t =一段时间内所经过的路程s ．因为)(t v v =是变量，我们不能直接用时间乘速度来计算路程．但我们仍可以用类似于计算曲边梯形面积的方法与步骤来解决所述问题．(1) 用分点b t t t t t a n n =<<<<<=-1210把时间区间],[b a 任意分成n 个子区间(图6—2)： ],[10t t ，],[21t t ，…，],[1n n t t -． 每个子区间的长度为1--=∆i i i t t t (n i ,2,1=)．图6—2(2) 在每个子区间],[1i i t t - (n i ,2,1=)上任取一点i τ，作和式i ni it v ∆∑=1)(τ．(3) 当分点的个数无限地增加，最长的子区间的长度趋于零时就有s t v i ni i→∆∑=1)(τ．以上两个问题分别来自于几何与物理中，两者的性质截然不同，但是确定它们的量所使用的数学方法是一样的，即归结为对某个量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都转化为具有特定结构的和式(1.1)的极限问题，在自然科学和工程技术中有很多问题，如变力沿直线作功，物质曲线的质量、平均值、弧长等，都需要用类似的方法去解决，从而促使人们对这种和式的极限问题加以抽象的研究，由此产生了定积分的概念．定义6.1.1 设函数)(x f 在],[b a 上有定义，在),(b a 内任取1-n 个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把],[b a 分成n 个子区间],[10x x ，],[21x x ，…，],[1n n x x -，每个子区间的长度为1--=∆i i i x x x ),,2,1( n i =．在每个子区间],[1i i x x -),,2,1( n i =上任取一点i ξ(称为介点)，作和式i ni i x f ∆∑=1)(ξ，并记{}i ni x ∆=≤≤1max λ．如果不论对],[b a 怎样划分成子区间，也不论在子区间],[1i i x x -上怎样取介点i ξ，只要当0→λ时，和式(1.1)总趋于确定的值I ，则称这极限值I 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记作⎰ba dx x f )(，即i ni i bax f I dx x f ∆==∑⎰=→1)(lim )(ξλ (1.2)其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，b a ,分别称为积分的下限和上限．关于定积分的定义，再强调说明几点：(1) 区间],[b a 划分的细密程度不能仅由分点个数的多少或n 的大小来确定．因为尽管n 很大，但每一个子区间的长度却不一定都很小．所以在求和式的极限时，必须要求最长的子区间的长度0→λ，这时必然有∞→n ．(2) 定义中的两个“任取”意味着这是一种具有特定结构的极限，它不同于第二章讲述的函数极限．尽管和式(1.1)随着区间的不同划分及介点的不同选取而不断变化着，但当0→λ时却都以唯一确定的值为极限．只有这时，我们才说定积分存在．(3) 从定义可以推出定积分(1.2)存在的必要条件是被积函数)(x f 在],[b a 上有界．因为如果不然，当把],[b a 任意划分成n 个子区间后，)(x f 至少在其中某一个子区间上无界．于是适当选取介点i ξ，能使)(i f ξ的绝对值任意地大，也就是能使和式(1.1)的绝对值任意大，从而不可能趋于某个确定的值．(4) 由定义可知，当)(x f 在区间],[b a 上的定积分存在时，它的值只与被积函数)(x f 以及积分区间],[b a 有关，而与积分变量x 无关，所以定积分的值不会因积分变量的改变而改变，即有⎰⎰⎰===b aba badu u f dt t f dx x f )()()( ．(5) 我们仅对b a <的情形定义了积分⎰b adx x f )(，为了今后使用方便，对b a =与b a >的情况作如下补充规定：当b a =时，规定0)(=⎰ba dx x f ；当b a >时，规定⎰⎰-=abb adx x f dx x f )()(．根据定积分的定义，我们说：例1中)(x f 在],[b a 上的曲边梯形的面积就是曲线的纵坐标)(x f 从a 到b 的定积分⎰=ba dx x f A )(．它就是定积分的几何意义．注意到若0)(≤x f ，则由0)(≤i f ξ及0>∆i x 可知⎰≤badx x f 0)(．这时曲边梯形位于x 轴的下方，我们就认为它的面积是负的．因此当)(x f 在区间],[b a 上的值有正有负时，定积分⎰b adx x f )(的值就是各个曲边梯形面积的代数和，如图6—3所示．例2中物体从时刻a 到时刻b 所经过的路程就是速度)(t v 在时间区间],[b a 上的定积分⎰=ba dt t v s )(．对应于导数的力学意义，我们也说它是定积分的力学意义．当)(x f 在区间],[b a 上的定积分存在时，就称)(x f 在],[b a 上可积，说明(3)表明：)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是)(x f 在],[b a 上有界．下面是函数可积的两个充分条件，证明从略．定理6.1.1(1) 若)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上可积．(2) 若)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在],[b a 上可积．2. 定积分的基本性质定理6.1.2 (积分的线性性质)(1) 若)(x f 在],[b a 上可积，k 为常数，则)(x kf 在],[b a 上可积，且⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()( (1.3)(2) 若)(x f ，)(x g 在],[b a 上可积，则)()(x g x f ±在],[b a 上也可积，且⎰⎰⎰±=±babab adx x g dx x f dx x g x f )()()]()([． (1.4)证 根据定义，有⎰∑∑⎰=∆=∆==→=→bani i i ni i i badx x f k x f k x kf dx x kf )()(lim )(lim )(11ξξλλ．所以(1.3)式成立．类似可证(1.4)式成立．定理6.1.2的更一般的结论是⎰∑⎰∑===baj j nj b a nj j jdx x f k dx x f k)( )(11．其中)(x f j ),,2,1( n j =在],[b a 上可积，)(x k j ),,2,1( n j =为常数．定理6.1.3 (积分对区间的可加性) 设)(x f 是可积函数，则⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()( (1.5)对c b a , ,任何顺序都成立．证 先考虑b c a << 的情形．由于)(x f 在],[b a 上可积，所以不论将区间],[b a 如何划分，介点i ξ如何选取，和式的极限总是存在的．因此，我们把c 始终作为一个分点，并将和式分成两部分：i i i i iix f x f x f ∆+∆=∆∑∑∑21)()()(ξξξ，其中∑∑21,分别为区间],[c a 与],[b c 上的和式．令最长的小区间的长度0→λ，上式两边取极限，即得(1.5)式．对于其它顺序，例如c b a << ，有⎰⎰⎰+=cbb acadx x f dx x f dx x f )()()(，所以⎰⎰⎰-=cbc abadx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=bccadx x f dx x f )()(．(1.5)式仍成立．定理6.1.4 (积分的不等式性质) 若)(x f ，)(x g 在],[b a 上可积，且)()(x g x f ≤，则⎰⎰≤ba badx x g dx x f )()(． (1.6)证⎰⎰⎰-=-b ababadx x f x g dx x f dx x g )]()([)()(i ni i i x f g ∆-=∑=→1)]()([lim ξξλ．由假设知0)()(≥-i i f g ξξ，且0>∆i x ),,2,1( n i =，所以上式右边的极限值为非负，从而有⎰⎰≥babadx x f dx x g )()(．(1.6)式成立．从定理6.1.4立刻推出推论6.1.1 若)(x f 在],[b a 上可积，且0)(≥x f ，则0)(≥⎰badx x f ．推论 6.1.2 (积分估值) 若)(x f 在],[b a 上可积，且存在常数m 和M ，使对一切],[b a x ∈有M x f m ≤≤)(，则)()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰．推论6.1.3 若)(x f 在],[b a 上可积，则 )( x f 在],[b a 上也可积，且dx x f f(x)dx bab a)( ⎰⎰≤．这里 )( x f 在],[b a 上的可积性可由)(x f 的可积性推出，其证明省略．推论 6.1.4 (严格不等式) 设)(x f 是],[b a 上的连续函数，若在],[b a 上0)(≥x f 且0)(≡x f ，则0)(>⎰badx x f ．证 由假设知，存在),(0b a x ∈使0)(0>x f ，根据)(x f 的连续性，必存在0x 的邻域],[),(00b a x x ⊂+-δδ，使在其中2)()(0x f x f >，从而有⎰⎰⎰⎰++--++=b x x x x abadx x f dx x f dx x f dx x f δδδδ0000)()()()(0)( 22)()(0000>=⋅>≥⎰+-x f x f dx x f x x δδδδ， 所以结论成立．定理6.1.5 (积分中值定理) 若)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ． (1.7)证 因为)(x f 在],[b a 上连续，所以)(x f 在],[b a 上可积，且有最小值m 和最大值M ．于是在],[b a 上，)()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰，或M ab dx x f m ba≤-≤⎰)(．根据连续函数的介值定理可知，在],[b a 上至少存在一点ξ，使)()(ξf ab dx x f ba=-⎰所以(1.7)式成立．若)(x f 在],[b a 上连续且非负，则)(x f 在],[b a 上的曲边梯形面积等于与该曲边梯形同底，以ab dx x f f ba-=⎰)()(ξ为高的矩形面积．通常把)(ξf ，即ab dx x f ba-⎰)(称为函数)(x f 在],[b a 上的积分均值，而这正是算术平均值概念的推广．定理6.1.6 (推广的积分中值定理) 若)(x f ，)(x g 在],[b a 上连续，且)(x g 在],[b a 上不变号，则在],[b a 上至少存在一点ξ，使得⎰⎰=ba badx x g f dx x g x f )()()()(ξ (1.8)证 不妨设在],[b a 上有0)(≥x g ，则0)(≥⎰b adx x g ，且在],[b a 上 )()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤，其中M m ,分别为)(x f 在],[b a 上的最小值与最大值．由此推出⎰⎰⎰≤≤bababadx x g M dx x g x f dx x g m )()()()(．若⎰=badx x g 0)(，则由上式知0)()(=⎰badx x g x f ．从而在],[b a 上任取一点作为ξ，(1.8)式都成立．若0)(>⎰b adx x g ，则得M dxx g dxx g x f m baba≤≤⎰⎰)()()(．按连续函数的介值定理推出，在],[b a 上至少存在一点ξ，使)()()()(ξf dxx g dxx g x f baba=⎰⎰所以(1.8)式也成立．§ 6.2 微积分学的基本定理与基本公式若已知)(x f 在] ,[b a 上的定积分存在，怎样计算这个积分值呢？如果利用定积分的定义，由于需要计算一个和式的极限，可以想象，即使是很简单的被积函数，那也是十分困难的．本节将通过揭示微分和积分的关系，引出一个简捷的定积分的计算公式．1. 微积分学基本定理设函数)(x f 在区间] ,[b a 上可积，则对] ,[b a 中的每个x ，)(x f 在] ,[x a 上的定积分dx t f xa)(⎰都存在，也就是说有唯一确定的积分值与x 对应，从而在] ,[b a 上定义了一个新的函数，它是上限x 的函数，记作)(x Φ，即dt t f x xa )()(⎰=Φ， ] ,[b a x ∈．这个积分通常称为变上限积分．定理6.2.1 设)(x f 在] ,[b a 上可积，则dt t f x xa )()(⎰=Φ是] ,[b a 上的连续函数．证 任取] ,[b a x ∈及0≠∆x ，使] ,[b a x x ∈∆+．根据积分对区间的可加性， dt t f dt t f dt t f x x x xx xx axx a)( )( )()()(⎰⎰⎰∆+∆+=-=Φ-∆+Φ=∆Φ．由于)(x f 在] ,[b a 上连续，从而有界，即存在0>M ，使对一切] ,[b a x ∈有M x f ≤ )( ，于是)( )( x M dt t f x xx x∆≤=Φ⎰∆+．故当0→∆x 时有0)(→∆Φx ．所以)(x Φ在x 连续，由] ,[b a x ∈的任意性即知)(x Φ是] ,[b a 上的连续函数．定理6.2.2 (原函数存在定理) 设)(x f 在] ,[b a 上连续，则dt t f x xa)()(⎰=Φ在],[b a 上可导，且)()(x f x =Φ'， ] ,[b a x ∈， 也就是说)(x Φ是)(x f 在] ,[b a 上的一个原函数．证 任取] ,[b a x ∈及0≠∆x ，使] ,[b a x x ∈∆+．应用积分对区间的可加性及积分中值定理，有 x x x f dt t f x x x x x x∆∆+==Φ-∆+Φ=∆Φ⎰∆+) ( )()()(θ，或) (x x f x∆+=∆∆Φθ， )10(≤≤θ． (2.1) 由于)(x f 在] ,[b a 上连续，)() (lim 0x f x x f x =∆+→∆θ．故在(2.1)中令0→∆x 取极限，得)(lim 0x f xx =∆∆Φ→∆．所以)(x Φ在] ,[b a 上可导，且)()(x f x =Φ'．由] ,[b a x ∈的任意性推知)(x Φ就是)(x f 在] ,[b a 上的一个原函数．本定理回答了我们自第五章以来一直关心的原函数的存在问题．它明确地告诉我们：连续函数必有原函数，并以变上限积分的形式具体地给出了连续函数)(x f 的一个原函数．回顾微分与不定积分先后作用的结果可能相差一个常数．这里若把)()(x f x =Φ'写成)( )(x f dt t f dx d xa=⎰， 或从 dx x f x d )()(=Φ推得)()( )(x dt t f t d xaxaΦ==Φ⎰⎰，就明显看出微分和变上限积分确为一对互逆的运算．从而使得微分和积分这两个看似互不相干的概念彼此互逆地联系起来，组成一个有机的整体．因此定理6.2.2也被称为微积分学基本定理．推论6.2.1 设)(x f 为连续函数，且存在复合)]([x f ϕ与)]([x f ψ，其中)(x ϕ，)(x ψ皆为可导函数，则)()]([)()]([ )()()(x x f x x f dt t f dxd x x ψψϕϕϕψ'-'=⎰ (2.2) 证 令⎰=Φxadt t f x )()(，a 为)(x f 的连续区间内取定的点．根据积分对区间的可加性，有dt t f dt t f dt t f x ax ax x )( )( )()()()()(⎰⎰⎰-=ψϕϕψ)]([)]([x x ψϕΦ-Φ=．由于)(x f 连续，所以)(x Φ为可导函数，而)(x ϕ和)(x ψ皆可导，故按复合函数导数的链式法则，就有)()]([)()]([ )()()(x x x x dt t f dxd x x ψψϕϕϕψ'Φ'-'Φ'=⎰ )()]([)()]([x x f x x f ψψϕϕ'-'=．所以(2.2)式成立．例1. 证明：若)(x f 在),(+∞-∞内连续，且满足dt t f x f x)()(0⎰=，则0)(≡x f ．证 由假设知dt t f x f x)()(0⎰=在),(+∞-∞内可导，且)()(x f x f ='．令x e x f x F -=)()(， ),(+∞-∞∈x ，则0)()()(=-'='--x x e x f e x f x F ．所以c x F ≡)(，),(+∞-∞∈x ．由于0)0()0(==f F ，可得0)(≡x F ．从而有0)()(≡=x e x F x f ，),(+∞-∞∈x ．例2. 求21cos 02limxdt e xt x ⎰-→．解 应用洛比达法则，原式1cos 0cos 02121sin lim 2)(cos lim22--→-→=⋅='-=e e x x xx e x x x x ． 2. 牛顿——莱布尼兹公式定理6.2.3 设)(x f 在] ,[b a 上连续，若)(x F 是)(x f 在] ,[b a 上的一个原函数，则)()( )(a F b F dx x f ba-=⎰(2.3)证 根据微积分学基本定理，dt t f x a)(⎰是)(x f 在] ,[b a 上的一个原函数．因为两个原函数之差是一个常数，所以C x F dt t f xa+=⎰)( )(， ] ,[b a x ∈．上式中令a x =，得)(a F C -=，于是)()( )(a F x F dt t f xa-=⎰．再令b x =，即得(2.3)式．在使用上，公式(2.3)也常写作 b a bax F dx x f )]([ )(=⎰，或b a bax F dx x f )( )(=⎰．公式(2.3)就是著名的牛顿——莱布尼兹公式，简称N —L 公式．它进一步揭示了定积分与原函数之间的联系：)(x f 在] ,[b a 上的定积分等于它的任一原函数)(x F 在] ,[b a 上的增量，从而为我们计算定积分开辟了一条新的途径．它把定积分的计算转化为求它的被积函数)(x f 的任意一个原函数，或者说转化为求)(x f 的不定积分．在这之前，我们只会从定积分的定义去求定积分的值，那是十分困难的，甚至是不可能的．因此 N —L 公式也被称为微积分学基本公式．例3 计算下列定积分 (1) dx x x 422-⎰； (2))0( 3022≠+⎰a x a dxa；(3)dx x 112⎰-； (4)⎰π20sin dx x ．解 (1) 原式38)4(3120223=--=x ． (2) 原式aa axa a33arctan 1arctan130π===． (3) 原式1022)]1ln(2112[x x x x ++++= )]21ln(2[21++=． (4) 原式⎰⎰-+=πππ20)sin ( sin dx x dx x4cos cos 20=+-=πππxx．例4 设⎩⎨⎧≤<-≤≤+=31,310 ,1)(2x x x x x f ，求⎰30)(dx x f ．解 ⎰⎰⎰-++=311023)3( )1( )(dx x dx x dx x f313)23()3(312103=+++=x x x x ．§ 6.3 定积分的换元积分法与部分积分法有了牛顿——莱布尼兹公式，使人感到有关定积分的计算问题已经完全解决．但是能计算与计算是否简便相比，后者则提出更高的要求．在定积分的计算中，除了应用N —L 公式，我们还可以利用它的一些特有性质，如定积分的值与积分变量无关，积分对区间的可加性等，所以与不定积分相比，使用定积分的换元积分法与分布积分法会更加方便．1. 定积分的换元积分法定理6.3.1 设函数)(x f 在] ,[b a 上连续，函数)(t x ϕ=在I (] ,[βα=I 或] ,[αβ)上有连续的导数，并且a =)(αϕ，b =)(βϕ，)( )(I t b t a ∈≤≤ϕ，则⎰⎰'=badt t t f dx x f βαϕϕ)()]([)( (3.1)证 由于)(x f 与)()]([t t f ϕϕ'皆为连续函数，所以它们存在原函数，设)(x F 是)(x f 在[]b a ,上的一个原函数，由复合函数导数的链式法则有)()]([)()()()())]([(t t f t x f t x F t F ϕϕϕϕϕ'='=''='，可见)]([t F ϕ是)()]([t t f ϕϕ'的一个原函数．利用N —L 公式，即得⎰⎰=-=-=='badx x f a F b F F F t F t t f )()()()]([)]([)]([ )()]([αϕβϕϕϕϕβαβα．所以(3.1)式成立．公式(3.1)称为定积分的换元公式．若从左到右使用公式(代入换元)，换元时应注意同时换积分限．还要求换元)(t x ϕ=应在单调区间上进行．当找到新变量的原函数后不必代回原变量而直接用N —L 公式，这正是定积分换元法的简便之处．若从右到左使用公式(凑微分换元)，则如同不定积分第一换元法，可以不必换元，当然也就不必换积分限．例1 计算下列定积分 (1) ⎰--14311x dx ； (2)dx xx 121022⎰-；(3)dx x x sin cos 25⎰π； (4) dx x x sin sin 053⎰-π．解 (1) 令t x =-1，则21t x -=，dt t dx 2-=，且当t 从0变到21时，x 从1减到43．于是 原式⎰⎰-+=--=021021)111(212dt t t dt t []2ln 21 1 ln 2210-=-+=t t ．(2) 令t x sin =，则dt t dx cos =，且当t 从0变到21时，x 从0增到6π．于是 原式⎰⎰==660202 sin cos cos sin ππdt t dt t tt831242sin 260-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ππt t ．(3) 原式616cos cos cos 2265=-=-=⎰ππx x d x ． (4) 原式⎰⎰⎰-+==ππππ22322323 )cos (sin cos sin cos sin 0dx x x dx x x dx x x⎰⎰-=πππ223223sin sin sin sin 0x d x x d x54sin 52sin 522252250==πππx x ．例 2 设)(x f 在],[a a -上连续，证明：⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(．特别当)(x f 为奇函数时，0)(=⎰-aadx x f ；当)(x f 为偶函数时，⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(．证： 因为⎰⎰⎰+=--aaaadx x f dx x f dx x f 00)()()(，在⎰-0)(adx x f 中，令t x -=，得⎰⎰⎰-=--=-aaadx x f dt t f dx x f 000)()()(．所以⎰⎰-+=-aaadx x f x f dx x f 0)]()([)(．当)(x f 为奇函数时，)()(x f x f -=-，故0)()(=-+x f x f ，从而有0)(=⎰-aadx x f ．当)(x f 为偶函数时，)()(x f x f =-，故)(2)()(x f x f x f =-+，从而有⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(．例3 设)(x f 为]1 ,0[上的连续函数，证明： (1) dx x f dx x f ⎰⎰=22)(cos )(sin ππ；(2) dx x f dx x f ⎰⎰=20)(sin 2)(sin ππ(3)dx x f dx x xf ⎰⎰=20)(sin )(sin πππ．证： (1) 令t x -=2π，则dt dx -=，且当t 从0 变到2π时，x 从2π减到0．于是dt t f dt t f dx x f ⎰⎰⎰=--=2220020)(cos ])[(sin )(sin ππππdx x f ⎰=2)(cos π．(2)dx x f dx x f dx x f ⎰⎰⎰+=ππππ22)(sin )(sin )(sin 0，在dx x f ⎰ππ2)(sin 中，令t x -=π，得dt t f dt t f dx x f ⎰⎰⎰=--=222)(sin ])[(sin )(sin πππππdx x f ⎰=20)(sin π．所以dx x f dx x f ⎰⎰=20)(sin 2)(sin ππ．(3) 令t x -=π，则dt t f t dx x xf )][sin()()(sin 00---=⎰⎰ππππdt t f t )(sin )(0⎰-=ππdx x xf dx x f ⎰⎰-=πππ0)(sin )(sin ．所以dx x f dx x xf ⎰⎰=πππ)(sin 2)(sindx x f ⎰=2)(sin ππ (利用(2)的结果)．例2和例3的结果今后经常作为公式使用．例如我们可以直接写出 ⎰-=ππ0c o s 3x d x x，ππππ==⎰⎰dx x dx x x 20sin sin ．2. 定积分的分部积分法定理6.3.2 若)(x u ，)(x v 在] ,[b a 上有连续的导数，则 ⎰⎰'-='babab a dx x u x v x v x u dx x v x u )()()()()()(． (3.2)证 因为)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'='， b x a ≤≤．所以)()(x v x u 是)()()()(x v x u x v x u '+'在],[b a 上的一个原函数，应用N —L 公式，得⎰='+'bab a x v x u dx x v x u x v x u )()()]()()()([，利用积分的线性性质并移项即得(3.2)式．公式(3.2)称为定积分的分部积分公式，且简单地写作⎰⎰-=babab av d u uv udv(3.3)例4 计算下列定积分：(1) ⎰210arcsin xdx ； (2)⎰eedx x 1 ln ；(3)⎰2sin πxdx e x； (4)⎰-1dx ex．解 (1) 原式dx xx x x ⎰--=21210201arcsin12312121arcsin 21212-+=-+=πx (2) 原式⎰⎰+-=ee xdx dx x e1ln )ln (1⎰⎰-++-=ee dx x dx x x ee1111ln ln 11)11(2e-=．(3)⎰⎰⎰-==2222000cos sin sin sin ππππxdx e x e xde xdx e x xx xx d x e x e e de x e x xxsin cos cos 2222200⎰⎰--=-=πππππxdx e e x sin 122⎰-+=ππ．所以)1(21s i n 22+=⎰ππe x d x e x．(4) 令t x =，则⎰⎰⎰----=⋅=11122t txt d e t d t e dx et d e te tt ⎰--+-=10102 2ee et422211-=--=--． 例5 (1) 证明⎰⎰=22cos sin ππxdx xdx n n(∈x N +)；(2) 求)cos ( sin 220⎰⎰==ππxdx xdx I n nn 的值．解 由例3(1)即知(1)成立． (2) 当3≥n 时dx x x n x x x xd I n n n n ⎰⎰----+-=-=22222011cos sin )1(cos sincos sinπππdx x x n n ⎰--=-222)sin 1(sin )1(πn n I n I n )1()1(2---=-所以2)1(--=n n I nn I ． 于是当3≥n 为奇数时有13254231I n n n n I n ⋅⋅--⋅-=； 当3≥n 为偶数时有243231I n n n n I n ⋅--⋅-= ． 容易得出1sin 201==⎰πxdx I ，442sin 2sin 220022πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰x x xdx I ． 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅--⋅-⋅--⋅-=为正偶数．为正奇数；n n n n n n n n n n I n ,443231 ,3254231π (3.4) 公式(3.4)称为沃利斯(Wallis)积分公式，它在定积分的计算中经常被应用．例 6 求⎰=π1010sin xdx x J 的值．解 4436587109sin 201010ππππ⋅⋅⋅⋅⋅==⎰xdx J 22560315π=．§ 6.4 广义积分我们在前面讨论定积分时，总假定积分区间是有限的，被积函数是有界的．但在理论上或实际问题中往往需要讨论积分区间无限或被积函数为无界函数的情形．因此我们有必要把积分概念就这两种情形加以推广，这种推广后的积分称为广义积分．1. 无穷限的广义积分定义6.4.1 设函数)(x f 在) ,[∞+a 上有定义，且对任何实数a b >，)(x f 在] ,[b a 上可积，则称形式⎰+∞adx x f )( (4.1)为函数)(x f 在) ,[∞+a 上的广义积分．若极限⎰+∞→bab dx x f )(lim)(a b > (4.2)存在，则称广义积分(4.1)收敛，并以这极限值为(4.1)的值，即⎰⎰+∞→+∞=bab adx x f dx x f )(lim)(．若极限(4.2)不存在，则称广义积分(4.1)发散．由定义可知，我们讨论广义积分(4.1)的敛散性，其含义就是考察变上限积分⎰=ba dx x fb F )()( )(a b >当+∞→b 时的极限是否存在．例1 讨论广义积分⎰∞+π2 1sin 12dx x x 的敛散性．解 任取π2>b ，有⎰⎰-==b bx d x dx x x b F ππ2211sin 1sin 1)(22 b x b1cos 1cos 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=π，因为11cos lim )(lim ==+∞→+∞→bb F b b ， 所以这广义积分收敛，且1 1sin 122=⎰∞+πdx x x ．若)(x f 在) ,[∞+a 上非负，且广义积分(4.1)收敛，则积分(4.1)的值从几何上解释为由曲线(f y =(图6—5中阴影部分)．图6—5类似地利用极限⎰-∞→baa dx x f )(lim)(b a <定义广义积分⎰∞-b dx x f )(的敛散性．广义积分⎰+∞∞-dx x f )(定义为⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=aadx x f dx x f dx x f )( )( )( (4.3)其中a 为任一有限实数．它当且仅当右边的两个广义积分皆收敛时才收敛，否则是发散的．根据积分对区间的可加性，易知(4.3)左边的广义积分的敛散性及收敛时积分的值都与实数a 的选取无关．例2 计算广义积分⎰∞+∞-+21x dx的值．解 ⎰⎰⎰⎰⎰+++=+++=++∞→-∞→∞+∞-∞+∞-b b a a x dx x dx x dx x dx x dx 0202020221lim 1lim 111πππ=+--=+-=+∞→-∞→2)2()(arctan lim )arctan (lim b a b a为了书写的统一与简便，以后在广义积分的讨论中，我们也引用定积分(也称常义积分) N —L 公式的记法．如例2可写成πππ=--==+∞+∞-∞+∞-⎰)2(2arctan 12x x dx ． 例3 计算广义积分dt te pt ⎰+∞-0)0(>p解dt e pe pt tde p dt te ptptpt pt ⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-∞+-+-=-=000011 2211p e p pt==∞+- 例4 证明广义积分⎰∞+1p xdx当1>p 时收敛，当1≤p 时发散． 证 当1=p 时，+∞===⎰⎰∞+∞+∞+111ln x x dx xdx p ． 当1≠p 时，⎩⎨⎧<∞+>=-=-∞+-∞+⎰1 ,1 ,1111111p p x px dx p p p ．所以此广义积分当1>p 时收敛，其值为p-11；当1≤p 时发散． 2. 无界函数的广义积分定理6.4.2 设)(x f 在] ,(b a 上有定义，而在a 的右邻域内无界．若对任何正数ε，)(x f 在] ,[b a ε+上可积，则称形式⎰badx x f )(． (4.4)为)(x f 在] ,(b a 上的广义积分．若极限 ⎰+→+b a dx x f εε )(lim 0， (4.5)存在，则称广义积分(4.4)收敛，并以这极限值为它的值，即⎰⎰+→+=ba badx x f dx x f εε )(lim )(0．若极限(4.5)不存在，则称广义积分(4.4)发散．与无穷限广义积分一样，记号(4.4)的含义是指考察变下限积分⎰+=b a dx x f F εε )()(， a b -<<ε0当+→0ε时的极限情形．这里a 称为函数)(x f 的瑕点，因此无界函数的广义积分也称为瑕积分．同样也利用极限⎰-→+εεb adx x f )(lim来定义b 为瑕点的广义积分的敛散性．若)(x f 的瑕点c 在闭区间] ,[b a 的内部，即b c a <<，则广义积分⎰ba dx x f )(定义为⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )( )( )(，它当且仅当右边两个积分都收敛时才收敛，否则左边的广义积分发散．例5 计算广义积分⎰-axa dx 022)0(>a ．解 a x =为函数221xa -的瑕点．εεεε-→-→++=-=-⎰⎰a a aa x xa dxx a dx 00022022][arcsin lim lim21arcsin arcsinlim 0πεε==-=+→a a ．例6 讨论广义积分⎰-112x dx的敛散性．解 0=x 为函数21x的瑕点．由于+∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+++→→→⎰εεεεεε11lim 1lim lim010120x x dx ， 所以广义积分⎰102xdx发散，从而推出广义积分⎰-112x dx 发散．注意，如果我们疏忽了0=x 是瑕点，就会得出错误的结果：2111112-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--⎰x x dx ． 例7 证明广义积分⎰1qx dx当1<q 时收敛，当1≥q 时发散． 证 当1=q 时，⎰⎰+∞===10101ln x x dx xdx q ． 当1≠q 时，⎪⎩⎪⎨⎧>∞+<-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-⎰1 ,1 ,11111011q q q x q x dx q q． 所以这广义积分当1<q 时收敛，其值为q-11，当1≥q 时发散． 3. 两种广义积分的联系任何无界函数的广义积分都可以化为无穷限广义积分． 设)(x f 在],(b a 内任何闭区间上都可积，a x =是瑕点，则 ⎰⎰+→+=ba badx x f dx x f εε)(lim )(0．若令ax u -=1，就有 ⎰⎰⎰=+=-+εεϕε111)()1()(2k ba du u udu u a f dx x f ab ，其中)1(1)(2u a f u u +=ϕ，a b k -=1．于是⎰⎰⎰+∞→==+kk badu u du u dx x f )()(lim )(1ϕϕεε，这时上式右边是无穷限广义积分．同样，对于无穷限广义积分⎰⎰+∞→+∞=bab adx x f dx x f )(lim)(，只要令xau =，就有 ⎰⎰⎰=-=112)())(()(ba ba du u du u au a f dx x f baψ， 于是⎰⎰⎰==+∞→+∞11)()(lim)(du u du u dx x f bab aψψ．其中)()(2ua f u a u =ψ，0=u 是它的瑕点，即上式右边为无界函数的广义积分．§ 6.5 定积分的应用定积分是具有特定结构的和式的极限．如果从实际问题中产生的量(几何量或物理量)在某区间],[b a 上确定，当把],[b a 分成若干个子区间后，在],[b a 上的量Q 等于各个子区间上所对应的部分量Q ∆之和(称量Q 对区间具有可加性)，我们就可以采用“分割、近似求和、取极限”的方法，通过定积分将量Q 求出．现在我们来简化这个过程：在区间],[b a 上任取一点x ，当x 有增量x ∆(等于它的微分dx )时，相应地量)(x Q Q =就有增量Q ∆，它是Q 分布在子区间],[dx x x +上的部分量．若Q ∆的近似表达式为dQ dx x f Q =≈∆)(， 则以dx x f )(为被积表达式求从a 到b 的定积分．即得所求量 ⎰=ba dx x f Q )(．这里的dx x f dQ )(=称为量Q 的微元，或元素，这种方法称为微元法．它虽然不够严密，但具有直观、简单、方便等特点，且结论正确．因此在实际问题的讨论中常常被采用．本节我们将讲述微元法在几何与物理两方面的应用．1. 平面图形的面积 1) 直角坐标的面积公式根据定积分的几何意义，若)(x f 是区间],[b a 上的非负连续函数，则)(x f 在],[b a 上的曲边梯形(图6—1)的面积为⎰=badx x f A )(． (5.1)若)(x f 在],[b a 上不都是非负的(图6—3)，则所围面积为⎰=ba dx x f A )( ． (5.2)一般地，若函数)(1x f 和)(2x f 在],[b a 上连续且总有)()(21x f x f ≤，则由两条连续曲线)(1x f y =，)(2x f y =与两条直线a x =，b x =所围的平面图形(图6—6)的面积元素为dx x f x f dA )]()([12-=． 所以⎰-=ba dx x f x f A )]()([12． (5.3)图6—6如果连续曲线的方程为)0( )(≥=y x ϕ，则由它与直线c y =，d y =(d c <)及y 轴所围成的平面图形(图6—7)的面积元素为dy y dA )(ϕ=． 所以=ddy y A )(ϕ． (5.4)其它情形也容易写出与公式(5.2)、(5.3)相仿的公式．例1 求由两条抛物线x y =2，2x y =所围图形(图6—8)的面积． 解 联立⎪⎩⎪⎨⎧==22xy xy 解得0=x 及1=x ．所围的面积为313132)(10310223=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰x x dx x x A ． 图6—8例2 求由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围图形(图6—9)的面积． 解 联立⎩⎨⎧-==422x y xy 解得曲线与直线的交点)2,2(-和)4,8(．以x 为积分变量，则所求面积为[][]dx x x dx x x A )4(2 )2(28220⎰⎰--+--= 图6—91842322322282222323=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅=x x x x ．若以y 为积分变量，则18642)24(4232422=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-+=--⎰y y y dy y y A ．从例2看出，适当选取积分变量，会给计算带来方便．例3 求椭圆12222=+by a x 的面积 (图6—10)．解 由于椭圆关于x 轴与y 轴都是对称的，故它的面积是位于第一象限内的面积的4倍．⎰⎰-==a adx x a abydx A 022044ab a x a x a x a b aπ=⎥⎤⎢⎣⎡+-=222arcsin 224．在例3中，若写出椭圆的参数方程⎩⎨⎧==t b y t a x s i nc o s )20(π≤≤t ，应用换元公式得 ⎰⎰=-=2220sin 4)sin (sin 4ππtdt ab dt t a t b Aab ab ππ=⋅=44． 图6—10一般地，若曲线由参数方程)( ),(t y t x ψϕ== )(βα≤≤t给出，其中)(),(t t ψϕ及)(t ϕ'在],[βα上连续，记b a ==)(,)(βϕαϕ，则由此曲线与两直线b x a x ==,及x 轴所围图形的面积为dt t t A )( )( ψψβα'=⎰． (5.5)例4 求由摆线)cos 1( ),sin (t a y t t a x -=-=的一拱)20(π≤≤t 与横轴所围图形(图6—11)的面积．解 dt t a t a A )cos 1()cos 1(20⎰-⋅-=π220222s i n 2(⎰=πt a(令θ=2t)⎰⎰==24242s i n 16 sin 8πθθθθπd ad a22344316a a ππ=⋅⋅=． 图6—112) 极坐标的面积公式设围成平面图形的一条曲边由极坐标方程 )(θr r = )(βθα≤≤给出，其中)(θr 在],[βα上连续，παβ2≤-．由曲线)(θr r =与两条射线βθαθ==,所围成的图形称为曲边扇形(图6—12)．试求这曲边扇形的面积．图6—12应用微元法．取极角θ为积分变量，其变化区间为],[βα．相应于任一子区间],[θθθd +的小曲边扇形面积近似于半径为)(θr ，中心角为θd 的圆扇形面积．从而得曲边扇形的面积元素θθd r dA )(212=． 所求面积为⎰=βαθθd r A )(212． (5.6) 例5 求心形线)cos 1(θ-=a r 所围图形(图6—13)的面积． 解 利用对称性，所求面积为 θθπd a A 22)cos 1(⎰-=θθπd a⎰=0422s i n 4 (令t =2θ) 22042234438s i n 82a a dt t a πππ=⋅⋅==⎰．例6 求由两曲线θsin 2=r ，θ2cos 2=r 图 6—13 所围图形(图6—14)的面积． 解 联立⎪⎩⎪⎨⎧==θθ2c o ss i n22r r )0(πθ≤≤解得 61πθ=，652πθ=． 利用对称性，所求面积为图 6—14⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰466 2cos 21)sin 2(21202πππθθθθd d A4662s i n 2142s i n 220πππθθθ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2316-+=π．2. 立体体积1) 已知平行截面面积的立体体积设空间某立体夹在垂直于x 轴的两平面a x =，b x = )(b a <之间(图6—15)图 6—15以)(x A 表示过)(b x a x <<，且垂直于x 轴的截面面积．若)(x A 为已知的连续函数，则相应于] ,[b a 的任一子区间],[dx x x +上的薄片的体积近似于底面积为)(x A ，高为dx 的柱体体积．从而得这立体的体积元素 dx x A dV )(= 所求体积为⎰=ba dx x A V )(． (5.7)例7 设有一截锥体，其高为h ，上下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为a 2，b 2和A 2，B 2，求这截锥体的体积．解 取截锥体的中心线为t 轴 (图6—16)，即取t 为积分变量，其 变化区间为] ,0[h ．在] ,0[h 上任取 一点t ，过t 且垂直于t 轴的截面面积记为xy π．容易算出 图6—16t h a A a x -+=， t hbB b y -+=． 所以这截锥体的体积为⎰-+-+=hdt t hbB b t h a A a V 0))((π )](2[6AB ab Ab aB h+++=π．2) 旋转体的体积旋转体是一类特殊的已知平行截面面积的立体，容易导出它的计算公式．例如 由连续曲线)(x f y =，] ,[b a x ∈绕x 轴旋转一周所得的旋转体(图6—17)．由于过)( b x a x ≤≤,且垂直于x 轴的截面是半径等于)(x f 的圆，截面面积为)()(2x f x A π=． 所以这旋转体的体积为． (5.8)类似地，由连续曲线绕轴旋转一周所得旋转体的体积为 ． (5.9)例8 求底面半径为，高为的正圆锥体的体积．解 这圆锥体可看作由直线x hry =，] ,0[h x ∈绕x 轴旋转一周而成(图6—18)，所以体积⎰=ba dx x f V )(2π],[ ),(d c y y x ∈=ϕy ⎰=dc dy y V )(2ϕπr h例9 求由椭圆12222=+by a x 绕x 轴旋转而产生的旋转体的体积．解 这个旋转椭球体可看作由半个椭圆22x a aby -=绕x 轴旋转一周而成．所以它的体积20222222234 )(2)(ab dx x a a b dx x a a b V a aa πππ=-=-=⎰⎰-．特别当r b a ==时得半径为r 的球体体积 334r V π=球．3. 平面曲线的弧长设有一曲线弧段AB ，它的方程是 )(x f y =， ] ,[b a x ∈．如果)(x f 在] ,[b a 上有连续的导数，则称弧段AB 是光滑的，试求这段光滑曲线的长度．应用定积分，即采用“分割、近似求和、取极限”的方法，可以证明：光滑曲线弧段是可求长的．从而保证我们能用简化的方法，即微元法，来导出计算弧长的公式．如图6—19所示，取x 为积分变量，其变化区间为] ,[b a ．相应于] ,[b a 上任一子区间],[dx x x +的一段弧的长度，可以用曲线在点))(,(x f x 处切线上相应的一直线段的长度来近似代替，这直线段的长度为dx y dy dx 2221)()('+=+，于是得弧长元素(也称弧微分)dx y ds 21'+=， 因此所求的弧长为(5.10)若弧段由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y y t x x ],[βα∈t给出，其中)(),(t y t x 在],[βα上有连续的导数，且0)]([)]([22≠'+'t y t x ．则弧长元素，即微弧分为dt t y t x ds 22)]([)](['+'=，所以dt t y t x s ⎰'+'=βα22)]([)]([． (5.11)若弧段由极坐标方程)(θr r =， ],[21θθθ∈给出，其中)(θr 在],[21θθ上有连续的导数，则应用极坐标θθsin ,cos r y r x ==，可得θθsin cos r r x -'='， ，利用公式(5.11)推出θβαd r r s ⎰'+=22． (5.12)例10 求悬链线2xx e e y -+=从0=x 到a x =那一段的弧长(图6—20)．解 2xx e e y --='代入公式(5.10)，得dx y s a ⎰'+=021⎰---=+=aaaxx e e dx e e 022． 图6—20例11 在摆线)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=上求分摆线第一拱(图6—11)成1:3的点的坐标．解 设τ=t 时，点的坐标))(),((ττy x 分摆线第一拱成1:3．由于弧微分dt ta dt t a t a ds 2sin 2sin )cos 1(2222=+-=，由公式(5.11)可得⎰⎰=πττ202sin 22sin 23dt ta dt t a ．θθcos sin r r y +'='。
第六章 定积分及其应用
称为定积分的换元公式. 称为定积分的换元公式
定理2.4 设u(x),v(x)在区间 在区间[a,b]上有连续导数，则 上有连续导数， 定理 在区间 上有连续导数
∫ u( x) v′( x) dx = u( x)v( x)
a
b
b a
− ∫ u ′( x ) v ( x ) dx.
a
b
称为定积分的分部积分公式. 称为定积分的分部积分公式 例2 计算下列定积分
注: (1)定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量 定积分仅与被积函数及积分区间有关 用什么字母表示无关.即 用什么字母表示无关 即
∫
b
a
f ( x ) d x = ∫ f (t ) d t = ∫ f (u ) d u.
a a
b
b
(2)定积分的几何意义 定积分的几何意义: 定积分的几何意义
A=∫
b
1
1 1 dx = − 2 x x
1
1 = 1− . b
b
性质2 被积函数中的常数因子可以提到积分号的前面，即 性质 被积函数中的常数因子可以提到积分号的前面，
∫
b
a
k f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx
a
b
性质3 如果积分区间[a,b]被分点 分成区间 被分点c分成区间 性质 如果积分区间 被分点 分成区间[a,c]和[c,b],则 和 则
s ≈ ∑ v(ξ i ) ∆ t , (λ = max ∆ t i ).
i =1 1≤ i ≤ n n
（2）近似求和： ）近似求和： （3）取极限： ）取极限：
s = lim ∑ v (ξ i ) ∆ t i
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（ ）★★3．求由曲线源自与 所围图形的面积知识点：平面图形面积
思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做
解：见图6-2-3
∵两条曲线的交点： ，
∴所围区域D表达为Y-型： ，
∴
（由于图形关于X轴对称，所以也可以解为：
）
★★4．求由曲线 、 、及直线 所围图形的面积
知识点：平面图形面积
★★★★10．求位于曲线 下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积
知识点：切线方程和平面图形面积
思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型
解： ，∴在任一点 处的切线方程为
而过（0，0）的切线方程就为： ，即
所求图形区域为 ,见图6-2-10
X-型下的 ： ， ：
思路：所围图形关于Y轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单
解：见图6-2-4
∵第一象限所围区域 表达为Y-型： ，
∴
（若用X-型做，则第一象限内所围区域 ，其中 ： ，
： ；∴ ）
★★5．求由曲线 与直线 及 所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做
图6-2-12中所画是三叶玫瑰中的一叶，
而一叶图形又关于 对称，
因此选择其中一叶的一半区域 求其面积
解：∵ ：
∴
★★★13．求由曲线 所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：作图可知该曲线围成的图形关于极轴对称，因此选择其中一半区域 求其面积
解：∵ ：
∴ ★★★14．求对数螺线 及射线 所围图形的面积
已知垂直于y轴的平面截立体所得截面面积为 ,立体又被夹于 和 两平面间，则：
绕y轴旋转：
绕y轴旋转：
平面曲线的弧长
直角坐标
参数方程
极坐标
： ，
；
：
： ， ；
；
物理应用：1、变力沿直线作功2、水压力3、引力
课后习题全解
习题6-2
★1．求由曲线 与直线 所围图形的面积。
知识点：平面图形的面积
思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可
和
∴所围区域 表达为X-型： ，
∴
★★★8．求由曲线 与直线 及 所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做
解：见图6-2-8
∵在 的定义域范围内所围区域 ： ，
∴
★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y轴，且向下弯；（2）它与x轴所围图形面积最小
（和书后答案不同）
★★★17．求由摆线 ， 及x轴所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：在直角坐标系下作图可知所围图形的 、 变化范围，先求出直角坐标系下积分表达式，再将积分变量代换成
解：∵所围区域 ： ，
（ 为摆线）
∴ ，
作代换 ，
则
习题6-3
1．求下列平面图形分别绕x轴、y轴旋转产生的立体体积：
解：见图6-2-5
∵两条曲线 和 的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和 分别交于
、
∴所围区域 表达为X-型： ，
∴
★★★6．抛物线 分圆 的面积为两部分，求这两部分的面积
知识点：平面图形面积
思路：所围图形关于X轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单
解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为 ，剩余面积为
∵两条曲线 、 的交于 （舍去 的解），
∴所围区域 表达为Y-型： ；又图形关于x轴对称，
∴
（其中 ）
∴
★★★7．求由曲线 、 与直线 所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做
解：见图6-2-7
∵两条曲线 和 的交点为（0，1），又这两条线和 分别交于
第六章定积分的应用
内容概要
名称
主要内容
定积分的元素法
定积分的元素法是一种简单记忆定积分（ ）三步骤的方法：
1、将 记为
2、将 写为
平面图形的面积
直角坐标系
X-型
Y-型
极坐标系
体积
旋转体体积
已知平行截面面积的立体体积
绕x轴旋转：
已知垂直于x轴的平面截立体所得截面面积为 ,立体又被夹于 和 两平面间，则：
解：两条曲线 、 交于 处，
因此分割区域 ，其中 ： ， ：
★★★16．求由曲线 及 所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分 ，而 又关于射线 对称，设两条曲线在（0， ）围成的半个 为
区域
解：两条曲线 、 交于 及
因此分割区域 ，其中 ： ， ：
★(1)．曲线 与直线 、 、 所围成的图形；
知识点：旋转体体积
思路：作出平面图形（或求出该平面区域的 、 范围），
代入相应的公式。
解：平面图形D： ，见图6-3-1-1
绕x轴旋转产生的立体体积： ；
绕y轴旋转产生的立体体积： (和书上答案不同)
解：见图6-2-1
∵所围区域D表达为X-型： ，（或D表达为Y-型： ）
∴
（ ）
★2．求在区间[0， /2]上，曲线 与直线 、 所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可
解：见图6-2-2
∵所围区域D表达为X-型： ，（或D表达为Y-型： ）
知识点：平面图形面积和求最值
思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量
解：由于抛物线的对称轴平行于y轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为 ，（由于下弯，所以 ），将（1，2）代入 ，得到 ，因此
该抛物线和X轴的交点为 和 ，
∴所围区域 ：
∴
得到唯一极值点： ，
∴所求抛物线为：
知识点：平面图形面积
思路：作图可知该曲线围成的图形是由 ， 从 到 一段曲线及射线 所围，由此可确定 、 的范围
解：∵所围区域 ：
∴
★★★★15．求由曲线 及 所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分 ，而 又关于极轴对称，设 在（0， ）内的曲线和极轴围成的半个 为 区域
∴
★★★11．求由曲线 所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：作图可知该曲线是半径为 、圆心（ ）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为 ，
也可选择极坐标求面积的方法做。
解：∵作图6-1-11
知所求图形区域 ：
∴
★★★12．求三叶玫瑰线 的面积
知识点：平面图形面积
思路：三叶玫瑰由三瓣面积相等的叶片组成