平面向量定义及线性运算练习题
高中 平面向量的线性运算及基本定理 练习 含答案
训练目标 (1)平面向量的概念；(2)平面向量的线性运算；(3)平面向量基本定理. 训练题型(1)平面向量的线性运算；(2)平面向量的坐标运算；(3)向量共线定理的应用. 解题策略(1)向量的加、减法运算要掌握两个法则：平行四边形法则和三角形法则，还要和式子：AB →＋BC →＝AC →，OM →－ON →＝NM →联系起来；(2)平面几何问题若有明显的建系条件，要用坐标运算；(3)利用向量共线可以列方程(组)求点或向量坐标或求参数的值.1．下列各式计算正确的有________个． ①(－7)6a ＝－42a ；②7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； ③a －2b ＋a ＋2b ＝2a ；④4(2a ＋b )＝8a ＋4b .2．(·贵州遵义一模)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.3．(·云南昆明质检)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m ＝________.4．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式： ①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1，其中正确的是________．5．(·课标全国Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________. 6．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝__________________________________. 7．(·青海西宁质检)已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的关系为________．8．在△ABC 中，O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝xAM →，AC →＝yAN →，则x ＋y ＝________.9．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________. 10.如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________． 11．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.12．已知A (2,3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|＝32|PB →|，则点P 坐标为________．13．已知a ，b 是两个不共线的向量，它们的起点相同，且a ，t b ，13(a ＋b ) (t ∈R )这三个向量的终点在一条直线上，则t 的值为________． 14.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．答案解析1．3 2.23 3.19 4.③ 5.(－7，－4) 6.07．P 是AC 边的一个三等分点 解析 ∵P A →＋PB →＋PC →＝AB →， ∴P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →， ∴PC →＝－2P A →＝2AP →，∴P 是AC 边的一个三等分点． 8．2解析 因为M 、O 、N 三点共线， 所以存在常数λ(λ≠0，且λ≠－1)， 使得MO →＝λON →，即AO →－AM →＝λ(AN →－AO →)， 所以AO →＝11＋λAM →＋λ1＋λAN →，又O 是BC 的中点，所以AO →＝12AB →＋12AC →＝x 2AM →＋y 2AN →，又AM →、AN →不共线，所以⎩⎨⎧x2＝11＋λ，y 2＝λ1＋λ，得x 2＋y 2＝11＋λ＋λ1＋λ＝1， 即x ＋y ＝2.9．－74m ＋138n 10.611.12解析 易知DE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →.所以λ1＋λ2＝－16＋23＝12.12．(8，－15) 解析 设P (x ，y )， 因为|AP →|＝32|PB →|，又P 在线段AB 的延长线上，故AP →＝－32PB →＝32BP →，所以(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)，即⎩⎨⎧x －2＝32(x －4)，y －3＝32(y ＋3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－15.故P (8，－15)．13.12 解析如图所示，OA →＝t b ， OB →＝13(a ＋b )，OC →＝a .∴AC →＝OC →－OA →＝a －t b ， BC →＝OC →－OB →＝23a －13b ，∵A 、B 、C 三点共线，a ，b 不共线， ∴AC →与BC →共线， ∴231＝－13－t ，∴t ＝12. 14．2 解析以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴， OA →的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系， 则可知A (1,0)，B (－12，32)，设C (cos α，sin α)(α∈[0，2π3])，则由OC →＝xOA →＋yOB →，得(cos α，sin α)＝x (1,0)＋y (－12，32)，得x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.。
2023届高考数学复习：历年经典好题专项(平面向量的概念及线性运算)练习(附答案)
A.√3
B.2√3
C.3√3
D.4√3
)
)
10.(多选)设 M 是△ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的是(
A.若⃗
1 ⃗
2
1 ⃗
,则
2
⃗
M 是边 BC 的中点
B.若⃗=2⃗
⃗ ,则点 M 在边 BC 的延长线上
C.若⃗=-⃗
⃗,则 M 是△ABC 的重心
1
1
D.若⃗=x⃗+y⃗ ,且 x+y= ,则△MBC 的面积是△ABC 面积的
2
2
1
4
11.(历年山东德州高三模拟)设向量 a,b 不平行,向量 a+ λb 与-a+b 平行.则实数 λ=
.
12.(历年浙江杭州二中高二期中)在等腰梯形 ABCD 中,设⃗=a,⃗=b,⃗ =2⃗,M 为 BC 的中点,则
2
3
1
3
A. a+ b
2
3
1
3
C. a- b
2
3
)
(
)
1
3
B.- a+ b
2
3
1
3
D.- a- b
5.(历年四川宜宾叙州区第一中学月考)在▱ABCD 中,若|⃗
A.▱ABCD 为菱形
(
⃗|=|⃗
⃗|,则必有(
)
B.▱ABCD 为矩形
C.▱ABCD 为正方形 D.▱ABCD 为梯形
6.设 a,b 是非零向量,则“a=2b”是“|a+b|≥|a|+|b|”的
A.充分不必要条件
平面向量的基本概念及线性运算练习题(基础、经典、好用)
平面向量的基本概念及线性运算一、选择题1．(2013·湛江质检)若a ＋c 与b 都是非零向量，则“a ＋b ＋c ＝0”是“b ∥(a ＋c )”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC→＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB→＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB→＋PC →＝0 3．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a 、b ，均有：|a |－|b |＜|a |＋|b |；②对任意两向量a 、b ，a －b 与b －a 是相反向量；③在△ABC 中，AB→＋BC →－AC →＝0； ④在四边形ABCD 中，(AB→＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0. A ．①②③ B ．②④ C ．②③④ D ．②③4．已知A 、B 、C 三点共线，点O 在该直线外，若OB →＝λOA →＋μOC →，则λ＋μ的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．(2013·佛山调研)已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则a 与b 共线的条件是( )A ．λ＝0B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0二、填空题6．如图4－1－2所示，向量a －b ＝________(用e 1，e 2表示)．图4－1－27．(2013·揭阳模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA→＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于________．8．已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是________(将正确的序号填在横线上)．①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ；②存在相异实数λ、μ，使λa ＋μb ＝0；③xa ＋yb ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④若四边形ABCD 是梯形，则AB→与CD →共线． 三、解答题图4－1－39．(2013·清远调研)如图4－1－3所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，求实数m 的值． 10．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA→＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线． (2)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －kb ，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值． 11．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB→|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点： ①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心；④△ABC 的垂心．解析及答案一、选择题1．【解析】 若a ＋b ＋c ＝0，则b ＝－(a ＋c )，∴b ∥(a ＋c )；若b ∥(a ＋c )，则b ＝λ(a ＋c )，当λ≠－1时，a ＋b ＋c ≠0，因此“a ＋b ＋c ＝0”是“b ∥(a ＋c )”的充分不必要条件．【答案】 A2．【解析】 由BC→＋BA →＝2BP →知，点P 是线段AC 的中点， 则PC →＋P A →＝0.【答案】 B3．【解析】 ①假命题．∵当b ＝0时，|a |－|b |＝|a |＋|b |.∴该命题不成立．②真命题，这是因为(a －b )＋(b －a )＝0，∴a －b 与b －a 是相反向量．③真命题．∵AB→＋BC →－AC →＝AC →－AC →＝0. ④假命题．∵AB→＋BC →＝AC →，CD →＋DA →＝CA →， ∴(AB→＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0， ∴该命题不成立．【答案】 D4．【解析】 因为A 、B 、C 三点共线，所以AB→＝kAC →， ∴OB→－OA →＝k (OC →－OA →)，所以OB →＝OA →＋kOC →－kOA →， ∴OB→＝(1－k )OA →＋kOC →，又因为OB →＝λOA →＋μOC →，所以λ＝1－k ，μ＝k ，所以λ＋μ＝1. 【答案】 B5．【解析】 若e 1与e 2共线，则e 2＝λ′e 1，∴a ＝(1＋λλ′)e 1，此时a ∥b ，若e 1与e 2不共线，设a ＝μb ，则e 1＋λe 2＝μ·2e 1，∴λ＝0，1－2μ＝0.【答案】 D二、填空题6．【解析】 由图知，a －b ＝BA →＝e 1＋(－3e 2)＝e 1－3e 2. 【答案】 e 1－3e 27．【解析】 由OA→＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 重心，又O 为△ABC 外接圆的圆心，∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.【答案】 60°8．【解析】 由①得10a －b ＝0，故①对．②对．对于③当x ＝y ＝0时，a 与b 不一定共线，故③不对．若AB ∥CD ，则AB→与CD →共线，若AD ∥BC ，则AB →与CD →不共线，故④不对． 【答案】 ①②三、解答题9．【解】 如题图所示，AP→＝AB →＋BP →， ∵P 为BN 上一点，则BP→＝kBN →， ∴AP→＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)， 又AN →＝13NC →，即AN →＝14AC →， 因此AP →＝(1－k )AB →＋k 4AC →， 所以1－k ＝m ，且k 4＝211，解得k ＝811.则m ＝1－k ＝311.10．【解】 (1)证明 AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b ，AC→＝OC →－OA →＝－a －2b . 所以AC→＝－AB →，又因为A 为公共点， 所以A 、B 、C 三点共线．(2)AC→＝AB →＋BC →＝(a ＋b )＋(2a －3b )＝3a －2b ， 因为A 、C 、D 三点共线，所以AC→与CD →共线． 从而存在实数λ使AC →＝λCD →，即3a －2b ＝λ(2a －kb )，解得λ＝32，k ＝43，所以k ＝43.11．【解】 如图，记AM →＝AB →|AB →|，AN →＝AC →|AC→|，则AM →，AN →都是单位向量， ∴|AM→|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC . ∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →， ∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．。
平面向量的概念及线性运算练习题
5.1平面向量的概念及线性运算练习题(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--§平面向量的概念及线性运算一、选择题1. 已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则下面结论正确的是（）∥b B.a⊥bC.{0,1,3} +b=a-b答案 B2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析若a＋b＝0，则a＝－b.∴a∥b；若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立．答案A3．设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则()．→＝0 ＋PA→＝0＋PB→＝0 ＋PB→＋PC→＝0＋PC→＋BA→＝2BP→⇔P是AC的中点，解析如图，根据向量加法的几何意义，BC→＋PC→＝0.∴PA答案B4．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为() A．－3 B．2 C．4 D．－6解析因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，∴4(x＋3)－(x－6)＝0，x＝－6.答案 D5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )． A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形D ．以上都不对解析 由已知AD→＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →.∴AD→∥BC →，又AB →与CD →不平行， ∴四边形ABCD 是梯形． 答案 C6．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )． A ．2B ．3C ．4D ．5解析 ∵MA→＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心，∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3. 答案 B7.已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋CO ＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°解析：由OA ＋OB ＋CO ＝0得OA ＋OB ＝OC ，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°. 答案：A 二、填空题8.已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA －3OB ＋2OC ＝0，则|AB ||BC |＝________.解析：由OA －3OB ＋2OC ＝0，得OA －OB ＝2(OB －OC )，即BA ＝2CB ，于是|AB ||BC |＝2. 答案：29．给出下列命题：①向量AB→的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB→与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上．其中不正确的个数为________．解析 ①中，∵向量AB→与BA →为相反向量，∴它们的长度相等，此命题正确．②中若a 或b 为零向量，则满足a 与b 平行，但a 与b 的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴该命题错误． 答案 310.已知向量,a b 夹角为45︒ ，且1,210a a b =-=；则_____b =. 解析答案 3211．若M 为△ABC 内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．解析 由题知B 、M 、C 三点共线，设BM →＝λBC →，则：AM →－AB →＝λ(AC →－AB →)， ∴AM→＝(1－λ)AB →＋λAC →，∴λ＝14， ∴S △ABM S △ABC ＝14. 答案 1412．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 (等价转化法)OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →， ∴|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|. 故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形【点评】 本题采用的是等价转化法，将△ABC 的三个顶点转化到相应矩形中，从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论. 三、解答题13．如图所示，△ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，AM 是BC 边上的中线，交DE 于N .设AB→＝a ，AC →＝b ，用a ，b 分别表示向量AE →，BC →，DE →，DN →，AM→，AN →.解析 AE →＝23b ，BC →＝b －a ，DE →＝23(b －a )，DN →＝13(b －a )， AM →＝12(a ＋b )，AN →＝13(a ＋b )． 14．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上 解析 设a －t b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －13a ＋b (λ∈R )， 化简整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －13λb ＝0，∵a 与b 不共线，∴由平面向量基本定理有 ⎩⎪⎨⎪⎧ 23λ－1＝0，t －λ3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.故t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一条直线上．15．如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE ＝23AD ，AB ＝a ，AC ＝b .(1)用a ，b 表示向量AD 、AE 、AF 、BE 、BF ； (2)求证：B 、E 、F 三点共线． 解析：(1)延长AD 到G ， 使AD ＝12AG ，连结BG 、CG ，得到▱ABGC ， 所以AG ＝a ＋b ， AD ＝12AG ＝12(a ＋b )， AE ＝23AD ＝13(a ＋b )， AF ＝12AC ＝12b ，BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )， BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a )． (2)证明：由(1)可知BE ＝23BF ， 所以B 、E 、F 三点共线．16．已知O ，A ，B 三点不共线，且OP →＝mOA →＋nOB →，(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明 (1)m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1， ∴OP→＝mOA →＋nOB →＝mOA →＋(1－m )OB →， 即OP→－OB →＝m (OA →－OB →)． ∴BP→＝mBA →，而BA →≠0，且m ∈R . 故BP→与BA →共线，又BP →，BA →有公共点B . ∴A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，则BP →与BA →共线，故存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB→＝λ(OA →－OB →)． 即OP→＝λOA →＋(1－λ)OB →. 由OP→＝mOA →＋nOB →. 故mOA→＋nOB →＝λOA →＋(1－λ)OB →. 又O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线．由平面向量基本定理得⎩⎨⎧m ＝λ，n ＝1－λ.∴m ＋n ＝1.。
考点专练26：平面向量的概念与线性运算—2023届高考数学一轮复习(附答案)
考点专练26：平面向量的概念与线性运算一、选择题1.(2022·山东省师大附中模拟)设a ，b 是非零向量，则“a ＝2b ”是“a |a|＝b|b|”成立的( )A .充要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件 2.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A.0B.BE →C.AD →D.CF →3.已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A .A ，B ，C 三点共线 B .A ，B ，D 三点共线 C .A ，C ，D 三点共线 D .B ，C ，D 三点共线4.向量e 1，e 2，a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，则a －b ＝( )A.－4e 1－2e 2B.－2e 1－4e 2 C .e 1－3e 2 D.3e 1－e 25.设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－12AB →＋32AC →．若BC →＝λCD →(λ∈R )，则λ＝( ) A .－2 B.－3 C.2 D.36.如图，AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.a －12bB.12a －b C .a ＋12b D.12a ＋b7.(2022·北京东城期末)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上．若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是( ) A .[0,1] B.[0，3] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，28.(多选)设a ，b 都是非零向量，则下列四个条件中，一定能使a |a|＋b|b|＝0成立的是( )A .a ＝－2b B.a ＝2b C .a ＝b D.a ＝－b9.(多选)设a ，b 是不共线的两个平面向量，已知PQ →＝a ＋sin α·b ，其中α∈(0,2π)，QR →＝2a －b ．若P ，Q ，R 三点共线，则角α的值可以为( ) A.π6 B.5π16 C.7π6 D.11π610.(多选)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是( ) A .若AM →＝12AB →＋12AC →，则点M 是边BC 的中点 B .若AM →＝2AB →－AC →，则点M 在边BC 的延长线上 C .若AM →＝－BM →－CM →，则点M 是△ABC 的重心D .若AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12，则△MBC 的面积是△ABC 面积的12 二、填空题11.(2021·河南三市联考)若AP →＝12PB →，AB →＝(λ＋1)BP →，则λ＝________12.若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝_________13.设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为_________三、解答题14.经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →， m ，n ∈R ，求1n ＋1m 的值．15.已知a ，b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t(a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值；若不存在，请说明理由．16.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP →＝mAB →＋nAF →(m ，n 为实数)，求m ＋n 的最大值．参考答案：一、选择题1.B2.D3.B4.C5.C6.D7.C8.AD9.CD 10.ACD二、填空题11.答案：－52 12.答案：23 13.答案：4三、解答题14.解：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ． 由P ，G ，Q 共线得，存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ，则⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ()13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m ＝3．15.解：由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k)a ＝(2k －t)b ．因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解得t ＝65．故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．16.解：如图所示，①设点O 为正六边形的中心，则AO →＝AB →＋AF →．当动圆Q 的圆心经过点C 时，与边BC 交于点P ，点P 为边BC 的中点．连接OP ，则AP →＝AO →＋OP →． 因为OP →与FB →共线，所以存在实数t ，使得OP →＝tFB →， 所以此时m ＋n ＝1＋t ＋1－t ＝2，取得最小值．所以AP →＝AO →＋OP →＝AB →＋AF →＋t(AB →－AF →)＝(1＋t)AB →＋(1－t)AF →．②当动圆Q 的圆心经过点D 时，取AD 的延长线与圆Q 的交点P 时，AP →＝52AO →＝52(AB →＋AF →)＝52AB →＋52AF →，此时m ＋n ＝5，取得最大值．。
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案1. 向量初步概念和运算(1) 已知向量a=3i+4j，求向量a的模长。
答案：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5(2) 已知向量b=-2i+5j，求向量b的模长。
答案：|b| = √((-2)^2 + 5^2) = √29(3) 已知向量c=2i+3j，求向量c的模长和方向角（与x轴正方向的夹角）。
答案：|c| = √(2^2 + 3^2) = √13方向角θ = arctan(3/2)2. 向量的线性运算(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a+b。
答案：a+b = (3-2)i + (4+5)j = i + 9j(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=2i-7j，求向量a-b。
答案：a-b = (3-2)i + (4-(-7))j = i + 11j(3) 已知向量a=3i+4j，求向量-2a的模长。
答案：|-2a| = |-2(3i+4j)| = |-6i-8j| = √((-6)^2 + (-8)^2) = 103. 向量的数量积与投影(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a·b的值。
答案：a·b = (3*-2) + (4*5) = -6 + 20 = 14(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a在b方向上的投影。
答案：a在b方向上的投影= (a·b)/|b| = 14/√294. 向量的夹角和垂直判定(1) 判断向量a=3i+4j和向量b=-2i+5j是否相互垂直。
答案：两个向量相互垂直的条件是a·b = 0。
计算得到a·b = 14，因此向量a和向量b不相互垂直。
(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-8i+6j，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角θ = arccos((a·b)/(∣a∣*∣b∣)) = arccos((-66)/(√25*√100))5. 向量共线和平面向量的应用(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-6i-8j，判断向量a和向量b是否共线。
平面向量的概念及线性运算专题训练
平面向量的概念及线性运算专题训练一、选择题1.已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →，其中结果为零向量的个数为( )A.1B.2C.3D.42.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )A.a 与λa 的方向相反B.a 与λ2a 的方向相同C.|－λa |≥|a |D.|－λa |≥|λ|·a3.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A.0B.BE →C.AD →D.CF →4.设a 0为单位向量，下述命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0； ②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A.0B.1C.2D.35.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B.2OM →C.3OM →D.4OM →6.在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 7. 设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋pb ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A.－2B.－1C.1D.28.如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.a －12bB.12a －bC.a ＋12bD.12a ＋b 二、填空题9.如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA →相等的向量有________个.10.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.11.向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________.12.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.13.设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝ke 1＋e 2，CD →＝3e 1－2ke 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为( )A.－94B.－49C.－38D.不存在14.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( )A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段AB 的反向延长线上C.点P 在线段AB 的延长线上D.点P 不在直线AB 上15.O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP→＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心 16.若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________.平面向量的概念及线性运算专题训练答案一、选择题1.已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →，其中结果为零向量的个数为( )A.1B.2C.3D.4 解析 由题知结果为零向量的是①④，故选B.答案 B2.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )A.a 与λa 的方向相反B.a 与λ2a 的方向相同C.|－λa |≥|a |D.|－λa |≥|λ|·a解析 对于A ，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反，B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小.答案 B3.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A.0B.BE →C.AD →D.CF →解析 由题图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →. 答案 D4.设a 0为单位向量，下述命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0； ②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.答案 D5.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B.2OM →C.3OM →D.4OM →解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →.故选D.答案 D6.在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)，∴3AD →＝2AC →＋AB →，∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 答案 A8. 设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋pb ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A.－2B.－1C.1D.2解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线.设AB →＝λBD →，∴2a ＋pb ＝λ(2a －b )，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1. 答案 B8.如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.a －12bB.12a －b C.a ＋12b D.12a ＋b解析 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a . 答案 D二、填空题9.如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA →相等的向量有________个.解析 根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA →相等的向量有CB →，DO →，EF →，共3个.答案 310.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.解析 因为ABCD 为平行四边形，所以AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，已知AB →＋AD →＝λAO →，故λ＝2.答案 211.向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________.解析 由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上.答案 ④12.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析 由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →，如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点.延长BM 交AC 于E 点，延长CM 交AB 于F 点，同理可证E ，F 分别为AC ，AB的中点，即M 为△ABC 的重心，∴AM →＝ 23AD →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3. 答案 313. 设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝ke 1＋e 2，CD →＝3e 1－2ke 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为( )A.－94B.－49C.－38D.不存在解析 由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB →＝λBD →. 又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝ke 1＋e 2，CD →＝3e 1－2ke 2，所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2ke 2－(ke 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2，所以⎩⎨⎧3＝λ（3－k ），2＝－λ（2k ＋1），解得k ＝－94. 答案 A14.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( )A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段AB 的反向延长线上C.点P 在线段AB 的延长线上D.点P 不在直线AB 上解析 因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.答案 B15.O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP→＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析 作∠BAC 的平分线AD .∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝λ′·AD →|AD →|(λ′∈[0，＋∞))， ∴AP →＝λ′|AD →|·AD →，∴AP →∥AD →.∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.答案 B16.若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________.解析 OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|.故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形.答案 直角三角形。
高中数学：平面向量的概念及其线性运算练习
高中数学：平面向量的概念及其线性运算练习1．设a 是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是( B ) A ．a 与λa 的方向相反 B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a |D ．|－λa |≥|λ|·a解析：对于A,当λ＞0时,a 与λa 的方向相同,当λ＜0时,a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C,|－λa |＝|－λ||a |,由于|－λ|的大小不确定,故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D,|λ|a 是向量,而|－λa |表示长度,两者不能比较大小．2．(合肥质检)已知O ,A ,B ,C 为同一平面内的四个点,若2AC →＋CB →＝0,则向量OC →等于( C )A ．23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA→－OB → D ．－OA→＋2OB → 解析：因为AC→＝OC →－OA →,CB →＝OB →－OC →,所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA→＋OB →＝0,所以OC →＝2OA →－OB →. 3．(济宁模拟)如图所示,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB→＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 的值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵O 为BC 的中点,∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN→)＝m 2AM →＋n 2AN →, ∵M ,O ,N 三点共线,∴m 2＋n2＝1,∴m ＋n ＝2.4．(河南中原名校联考)如图,在直角梯形ABCD 中,AB ＝2AD ＝2DC ,E 为BC 边上一点,BC →＝3EC→,F 为AE 的中点,则BF →＝( C )A ．23AB →－13AD → B ．13AB →－23AD →C ．－23AB →＋13AD →D ．－13AB →＋23AD →解析：BF→＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE → ＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋CE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋13CB →＝－AB→＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →)＝－23AB →＋13AD →.5．(长春模拟)在△ABC 中,D 为△ABC 所在平面内一点,且AD→＝13AB →＋12AC →,则S △BCD S △ABD＝( B )A ．16B ．13C ．12 D ．23解析：由AD →＝13AB →＋12AC →得点D 在平行于AB 的中位线上,从而有S△ABD＝12S △ABC ,又S △ACD ＝13S △ABC ,所以S △BCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ,所以S △BCDS △ABD＝13.故选B ．6．(太原模拟)在△ABC 中,AB ＝3,AC ＝2,∠BAC ＝60°,点P 是△ABC 内一点(含边界),若AP →＝23AB →＋λ·AC →,则|AP →|的取值范围为( D ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，210＋333 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，83 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2133 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2133 解析：在AB 上取一点D ,使得AD→＝23AB →,过D 作DH ∥AC ,交BC 于H .∵AP→＝23AB →＋λAC →,且点P 是△ABC 内一点(含边界),∴点P 在线段DH 上． 当P 在D 点时,|AP→|取得最小值2；当P 在H 点时,|AP →|取得最大值,此时B ,P ,C 三点共线, ∵AP→＝23AB →＋λAC →,∴λ＝13, ∴AP→＝13AC →＋23AB →,∴AP →2＝19AC →2＋49AB →2＋49AB →·AC→＝529,∴|AP →|＝2133.故|AP→|的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，2133.故选D ． 7．已知△ABC 和点M 满足MA→＋MB →＋MC →＝0,若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立,则m＝3__.解析：由已知条件得MB→＋MC →＝－MA →,如图,延长AM 交BC 于D 点, 则D 为BC 的中点．延长BM 交AC 于E 点,延长CM 交AB 于F 点, 同理可证E ,F 分别为AC ,AB 的中点,即M 为△ABC 的重心,∴AM→＝23AD →＝13(AB →＋AC →),即AB→＋AC →＝3AM →,则m ＝3.8．(郑州模拟)设e 1与e 2是两个不共线向量,AB →＝3e 1＋2e 2,CB →＝k e 1＋e 2,CD →＝3e 1－2k e 2,若A ,B ,D 三点共线,则k 的值为－94.解析：由题意,A ,B ,D 三点共线,故必存在一个实数λ,使得AB →＝λBD →.又AB →＝3e 1＋2e 2,CB →＝k e 1＋e 2,CD →＝3e 1－2k e 2, 所以BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2, 所以3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2,又e 1与e 2不共线,所以⎩⎨⎧3＝λ(3－k )，2＝－λ(2k ＋1)，解得k ＝－94.9．在直角梯形ABCD 中,A ＝90°,B ＝30°,AB ＝23,BC ＝2,点E 在线段CD 上,若AE →＝AD →＋μAB→,则μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 . 解析：由题意可求得AD ＝1,CD ＝3,∴AB →＝2DC →,∵点E 在线段CD 上,∴DE→＝λDC →(0≤λ≤1)．∵AE →＝AD →＋DE →,又AE→＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →,∴2μλ＝1,即μ＝λ2,∵0≤λ≤1,∴0≤μ≤12. 即μ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 10．(太原质检)设G 为△ABC 的重心,且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0,则角B 的大小为60°__.解析：∵G 是△ABC 的重心,∴GA→＋GB →＋GC →＝0,GA →＝－(GB →＋GC →), 将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0,得(sin B －sin A )GB→＋(sin C －sin A )GC →＝0. 又GB→,GC →不共线,∴sin B －sin A ＝0,sin C －sin A ＝0. 则sin B ＝sin A ＝sin C ． 根据正弦定理知,b ＝a ＝c , ∴△ABC 是等边三角形,则B ＝60°.11．如图所示,在△ABC 中,D ,F 分别是AB ,AC 的中点,BF 与CD 交于点O ,设AB →＝a ,AC →＝b ,试用a ,b 表示向量AO→.解：由D ,O ,C 三点共线,可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数), 同理,可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数),①又BO→＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ,②所以由①②,得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b , 即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0.又a ,b 不共线,所以⎩⎪⎨⎪⎧12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝13，k 2＝23.所以BO→＝－23a ＋13B ． 所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )．12．(四川成都外国语学校月考)设P 是△ABC 所在平面内的一点,若AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →且|AB →|2＝|AC →|2－2BC →·AP→,则点P 是△ABC 的( A ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心解析：由AB →·(CB →＋CA →)＝2AB →·CP →,得AB →·(CB →＋CA →－2CP →)＝0,即AB →·[(CB →－CP →)＋(CA →－CP →)]＝0,所以AB →·(PB →＋P A →)＝0.设D 为AB 的中点,则AB →·2PD →＝0,故AB →·PD →＝0.因为|AB →|2＝|AC →|2－2BC →·AP →,所以(AC →＋AB →)·(AC →－AB →)＝2BC →·AP →,所以BC →·(AC →＋AB →－2AP →)＝0.设BC 的中点为E ,同理可得BC →·PE→＝0, 所以P 为AB 与BC 的垂直平分线的交点, 所以P 是△ABC 的外心．故选A ．13．如图所示,在△ABC 中,AD ＝DB ,点F 在线段CD 上,设AB →＝a ,AC →＝b ,AF →＝x a ＋y b ,则1x ＋4y ＋1的最小值为( D )A ．6＋2 2B ．6 3C ．6＋4 2D ．3＋2 2解析：由题意知AF →＝x a ＋y b ＝2xAD →＋yAC →, 因为C ,F ,D 三点共线,所以2x ＋y ＝1,即y ＝1－2x . 由题图可知x ＞0且x ≠1. 所以1x ＋4y ＋1＝1x ＋21－x ＝x ＋1x －x 2.令f (x )＝x ＋1x －x 2,则f ′(x )＝x 2＋2x －1(x －x 2)2,令f ′(x )＝0,得x ＝2－1或x ＝－2－1(舍)． 当0＜x ＜2－1时,f ′(x )＜0, 当x ＞2－1且x ≠1时,f ′(x )＞0.所以当x ＝2－1时,f (x )取得极小值,亦为最小值,最小值为f (2－1)＝2(2－1)－(2－1)2＝3＋2 2.14．(河北百校联盟联考)已知在△ABC 中,点D 满足2BD→＋CD →＝0,过点D 的直线l 与直线AB ,AC 分别交于点M ,N ,AM→＝λAB →,AN →＝μAC →.若λ＞0,μ＞0,则λ＋μ的最小值为3＋223.解析：连接AD ．因为2BD→＋CD →＝0,所以BD →＝13BC →,AD→＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝ 23AB →＋13AC →.因为D ,M ,N 三点共线,所以存在x ∈R , 使AD→＝xAM →＋(1－x )AN →,则AD →＝xλAB →＋(1－x )μAC →,所以xλAB→＋(1－x )μAC →＝23AB →＋13AC →,所以xλ＝23,(1－x )μ＝13,所以x ＝23λ,1－x ＝13μ,所以23λ＋13μ＝1,所以λ＋μ＝13(λ＋μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ＋1μ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2μλ＋λμ≥3＋223,当且仅当λ＝2μ时等号成立,所以λ＋μ的最小值为3＋223.15．定义两个平面向量的一种运算a ⊗b ＝|a |·|b |sin 〈a ,b 〉,则关于平面向量上述运算的以下结论中,①a ⊗b ＝b ⊗a ； ②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b ； ③若a ＝λb ,则a ⊗b ＝0；④若a ＝λb 且λ＞0,则(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )． 正确的序号是①③④__.解析：①恒成立,②λ(a ⊗b )＝λ|a |·|b |sin 〈a ,b 〉, (λa )⊗b ＝|λa |·|b |sin 〈a ,b 〉,当λ＜0时,λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b 不成立,③a ＝λb ,则sin 〈a ,b 〉＝0, 故a ⊗b ＝0恒成立,④a ＝λb ,且λ＞0,则a ＋b ＝(1＋λ)b ,(a ＋b )⊗c ＝|(1＋λ)||b |·|c |sin 〈b ,c 〉,(a ⊗c )＋(b ⊗c )＝|λb |·|c |sin 〈b ,c 〉＋|b |·|c |sin 〈b ,c 〉＝|1＋λ||b |·|c |sin 〈b ,c 〉, 故(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )恒成立．。
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平面向量定义及线性运算练习题
一．选择题
1、下列说法正确的是（ ）
A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小.
B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.
C 、向量的大小与方向有关.
D 、向量的模可以比较大小. 2、给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||||a b =，则a b =； ③若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =；
⑤若m n =，n k =，则m k =；⑥a b ，b c ，则a c .
其中不正确的命题的个数为（ ）A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 3、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD 是（ ） A 、相等的向量 B 、平行的向量 C 、有相同起点的向量 D 、模相等的向量 4、判断下列各命题的真假：
（1）向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；
（2）向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； （3）两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同； （4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
（5）向量AB 和向量CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； （6）有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中假命题的个数为（ ）
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
5、若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b | ②a ∥b ③|a |＞0 ④|b |＝±1，其中正确的是（ ） A 、①④ B 、③ C 、①②③ D 、②③
6、下列命中，正确的是（ ）
A 、|a |＝|b |⇒a ＝b
B 、|a |＞|b |⇒a ＞b
C 、a ＝b ⇒a ∥b
D 、｜a ｜＝0⇒a ＝0
7．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ ） A ．a 与b 方向相同 B ．a =b C ．a =-b D ．a 与b 方向相反
8．设+++=()()AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；②
+=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是 （ ）
A ．①②
B ．③④
C ．②④
D ．①③
9．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于
（ ） A ．O
B ．MD 4
C ．MF 4
D ．M
E 4
10．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ）
A ．||||||b a b a -=-
B ．||||b a b a -=+
C ．||||||b a b a -=+
D ．||||||b a b a +=+
11．若a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ） A ．a
B ．b
C ．c
D ． 以上都不对
12．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP =（ ）
A ．().(0,1)A
B AD λλ+∈
B ．().AB B
C λλ+∈
C ．().(0,1)AB A
D λλ-∈ D ． ().(0,
2
AB BC λλ-∈ 13．在矩形ABCD 中，3=AB ，1=BC ，则向量)(AC AD AB ++的长等于（ ） （A ）2 （B ）32 （C ）3 （D ）4 14．下面给出四个命题：
① 对于实数m 和向量a 、b 恒有：mb ma b a m -=-)( ② 对于实数m 、n 和向量a ，恒有na ma a n m -=-)( ③ 若)(R m mb ma ∈=，则有b a = ④ 若)0,,(≠∈=a R n m na ma ，则n m =
其中正确命题的个数是（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
二．填空题
15．已知==||||3OA a ，==||||3OB b ，∠AOB=60︒，则+=||a b __________。
16．当非零向量a 和b 满足条件 时，使得b a +平分a 和b 间的夹角。
15．如图，D 、E 、F 分别是∆ABC 边AB 、BC 、CA 上的 中点，则等式： ①+-=FD DA AF 0 ②+-=FD DE EF 0 ③+-=DE DA BE 0
④+-=AD BE AF 0
其中正确命题是_____________。
17．若向量x 、y 满足+=-=23,32x y a x y b ，a 、b 为已知向量，则x =__________；
y =___________。
18.已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC =a ，CA =b ，AB =c ，则下列各式： ①1122EF =
-c b ；②12
BE =+a b ；③11
22CF =-+a b ；④AD BE CF ++=0
．
其中正确的等式的个数为________ 。
19．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内的一点，若OA OB OC ++=0，则O 是△ABC 的 。
（填重心 、垂心、内心、外心之一）
三．解答题
20．在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，用a b 、
表示MN 、BN 、DN .
21.如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB =2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，已知
AB =a ,AD =b ,试用a ，b 表示BC 和MN ．
F
E D C
B
A
22．在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记AB、BC分别为a、b，用a、b表示向量AH、EH、CH。
A
B C
E
F
D H。