勾股定理的论文
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勾股定理的证明论文写勾股定理是数学史上的一颗明珠，有的大学的毕业论文就是关于勾股定理的，下面是给大家关于勾股定理的证明论文怎么写的信息，希望对大家有所帮助!勾股定理的证明论文范文一关于勾股定理勾股定理是几何学中的明珠,所以它充满魅力,千百年来,人们对它的证明趋之若骛,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者,有普通的老百姓,也有尊贵的政要权贵,甚至有国家总统.也许是因为勾股定理既重要又简单,更容易吸引人,才使它成百次地反复被人炒作,反复被人论证.1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑,其中收集了367种不同的证明方法.实际上还不止于此,有资料表明,关于勾股定理的证明方法已有500余种,仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法.这是任何定理无法比拟的.在这数百种证明方法中,有的十分精彩,有的十分简洁,有的因为证明者身份的特殊而非常著名.在国外,尤其在西方,勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理.这是由于,他们认为最早发现直角三角形具有“勾2+股2=弦2”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580-公元前500).实际上,在更早期的人类活动中,人们就已经认识到这一定理的某些特例.除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外,据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角.但是,这一传说引起过许多数学史家的怀疑.比如,美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理.我们知道他们有拉绳人(测量员),但所传他们在绳上打结,把全长分成长度为3、4、5的三段,然后用来形成直角三角形之说,则从未在任何文件上得到证实.”不过,考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书,据专家们考证,其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上,当其上端滑下6个单位时,请问其下端离开墙角有多远?”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子;专家们还发现,在另一块版板上面刻着一个奇特的数表,表中共刻有四列十五行数字,这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号,而左边三列则分别是股、勾、弦的数值,一共记载着15组勾股数.这说明,勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库.证明方法：先拿四个一样的直角三角形.拼入一个(a+b)的正方形中,中央米色正方形的面积：c2.图(1)再改变三角形的位置就会看到两个米色的正方形,面积是(a2,b2).图(2)四个三角形面积不变,所以结论是：a2+b2=c2勾股定理的历史：商高是公元前十一世纪的中国人.当时中国的朝代是西周,是奴隶社会时期.在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说:"…故折矩,勾广三,股修四,经隅五."商高那段话的意思就是说:当直角三角形的两条直角边分别为3(短边)和4(长边)时,径隅(就是弦)则为5.以后人们就简单地把这个事实说成"勾三股四弦五".这就是著名的勾股定理.关于勾股定理的发现,《周髀算经》上说:"故禹之所以治天下者,此数之所由生也.""此数"指的是"勾三股四弦五",这句话的意思就是说:勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的.赵爽：?东汉末至三国时代吴国人?为《周髀算经》作注,并著有《勾股圆方图说》.赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识.他用几何图形的截,割,拼,补来证明代数式之间的恒等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数,形数统一,代数和几何紧密结合,互不可分的独特风格树立了一个典范.以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展.例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法,只是具体图形的分合移补略有不同而已.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中体现出来的"形数统一"的思想方法,更具有科学创新的重大意义.事实上,"形数统一"的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件.正如当代中国数学家吴文俊所说:"在中国的传统数学中,数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的.十七世纪笛卡儿解析几何的发明,正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续."中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:周公问:"我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?"商高回答说:"数的产生对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理:当直角三角形'矩'得到的一条直角边'勾'等于3,另一条直角边'股'等于4的时候,那么它的斜边'弦'就必定是5.这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的.勾股定理的证明论文范文二勾股定理的证明：在这数百种证明方法中,有的十分精彩,有的十分简洁,有的因为证明者身份的特殊而非常著名.首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明,据说分别中国和希腊.1.中国方法：画两个边长为(a+b)的正方形,如图,其中a、b为直角边,c为斜边.这两个正方形全等,故面积相等.左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形,左右四个三角形面积之和必相等.从左右两图中都把四个三角形去掉,图形剩下部分的面积必相等.左图剩下两个正方形,分别以a、b为边.右图剩下以c为边的正方形.于是a^2+b^2=c^2.这就是我们几何教科书中所介绍的方法.既直观又简单,任何人都看得懂.2.希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形,如图.容易看出,△ABA’≌△AA'C.过C向A’’B’’引垂线,交AB于C’,交A’’B’’于C’’.△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半,△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高,前者的面积也是后者的一半.由△ABA’≌△AA’’C,知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积.同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积.于是,S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC, 即a2+b2=c2.至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半,则可用割补法得到(请读者自己证明).这里只用到简单的面积关系,不涉及三角形和矩形的面积公式.这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法.以上两个证明方法之所以精彩,是它们所用到的定理少,都只用到面积的两个基本观念：⑴全等形的面积相等;⑵一个图形分割成几部分,各部分面积之和等于原图形的面积.这是完全可以接受的朴素观念,任何人都能理解.我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种,为勾股定理作的图注也不少,其中较早的是赵爽(即赵君卿)在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明.采用的是割补法：如图,将图中的四个直角三角形涂上朱色,把中间小正方形涂上黄色,叫做中黄实,以弦为边的正方形称为弦实,然后经过拼补搭配,“令出入相补,各从其类”,他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的.即“勾股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦也”.赵爽对勾股定理的证明,显示了我国数学家高超的证题思想,较为简明、直观.西方也有很多学者研究了勾股定理,给出了很多证明方法,其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的.据说当他证明了勾股定理以后,欣喜若狂,杀牛百头,以示庆贺.故西方亦称勾股定理为“百牛定理”.遗憾的是,毕达哥拉斯的证明方法早已失传,我们无从知道他的证法.下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明.如图,S梯形ABCD=(a+b)2=(a2+2ab+b2),①又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED=ab+ba+c2=(2ab+c2).②比较以上二式,便得a2+b2=c2.这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式,从而使证明相当简洁.1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明.5年后,伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法,这在数学史上被传为佳话.在学习了相似三角形以后,我们知道在直角三角形中,斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°.作CD⊥BC,垂足为D.则△BCD∽△BAC,△CAD∽△BAC.由△BCD∽△BAC可得BC2=BD?BA,①由△CAD∽△BAC可得AC2=AD?AB.②我们发现,把①、②两式相加可得BC2+AC2=AB(AD+BD),而AD+BD=AB,因此有BC2+AC2=AB2,这就是a2+b2=c2.这也是一种证明勾股定理的方法,而且也很简洁.它利用了相似三角形的知识.在对勾股定理为数众多的证明中,人们也会犯一些错误.如有人给出了如下证明勾股定理的方法：设△ABC中,∠C=90°,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,因为∠C=90°,所以cosC=0.所以a2+b2=c2.这一证法,看来正确,而且简单,实际上却犯了循环证论的错误.原因是余弦定理的证明勾股定理.人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广.欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形,其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”.从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆,则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”.勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体,则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和.若以直角三角形的三边为直径分别作球,则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和.勾股定理的证明论文范文三最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。
勾股定理的小论文
勾股定理的小论文勾股定理的小论文勾股定理及其逆定理是初中数学中非常重要的定理，华罗庚把它称为“茫茫宇宙星际交流的语言”，西方一些国家把它称为“毕达哥拉斯定理”。
下面小编整理的勾股定理的小论文，欢迎来参考!勾股定理及其逆定理揭示了直角三角形三边的数量关系，体现了“数形统一”的数学思想。
勾股定理和它的逆定理不但是解直角三角形的重要依据，而且是各省市中考必考的知识点，同时在实际生活中的应用也十分广泛。
这里我们不探索勾股定理的应用，只探索勾股定理的逆定理的应用。
笔者在长期的初中数学教学中发现，有许多学生在涉及到判断三角形的形状、计算图形的面积时，还是不知道应该如何利用勾股定理的逆定理来解决问题。
由于勾股定理及其逆定理把直角三角形中有一个直角的“形”的特征，转化为三边之间的“数”的关系，也就是把几何学与代数学有机地结合在一起了。
因此，我们应用勾股定理的逆定理抽象出数学方程模型或者进行图形的转化是判断三角形的形状、计算图形的面积问题的一种行之有效的方法。
在应用勾股定理的逆定理解决问题的时候，一定要让学生去思考、讨论、交流甚至是探究，让他们经历解题的过程，最终树立“数形结合”的数学思想和方法，正如《课标》所说：“它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。
”下面，笔者就勾股定理的逆定理的应用谈谈自己的看法。
一、利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状例1：已知在三角形中，a、b、c分别是它的三边，并且a+b=10，ab=18，c=8，判断三角形的形状。
分析：由于题目中涉及两边之和与两边的积，所以先结合完全平方公式得出a2+b2的值，再检验a2+b2与c2的大小，就可以得出相应的结论。
所以，凡是给出三角形的三边或者边之间的关系判断三角形的形状，都应考虑应用勾股定理的逆定理来进行判断。
变式训练：l所示，已知：在△ABC中，AB=13，BC=l0，BC边上的中线AD=12。
求证：△ABC是等腰三角形。
勾股定理的论文1【范本模板】
摘要：勾股定理是几何学中一颗光彩熠熠的明珠，充满着魅力。
它被世人称为“几何学的基石”，是人类最伟大的十个科学发现之一.它是我们全人类共同的财富,不论是古埃及人,古巴比伦，亦或是我们中国人最早发现了它，显然不是任何一个民族的私有财产。
勾股定理在高等数学和其他学科中有着极为广泛的应用.总之,在勾股定理的探索上,我们走向了数学科学的殿堂。
关键词：勾股定理,应用Abstract：Pythagorean theorem in geometry is a gleaming pearl， full of charm. It is the world known as ”the cornerstone of geometry, ”is humanity's greatest scientific discoveries of the ten. It is our common wealth of mankind， whether ancient Egyptian， Babylonian, or we Chinese people have first discovered it, is clearly not the private property of any nation。
Pythagorean theorem in higher mathematics and other disciplines has a very wide range of applications。
In short, the exploration of the Pythagorean theorem, we went to the temple of Mathematical Sciences.Key words:Pythagoras Theorem，application目录1 引言 (4)2 内容 (4)3 证明 (4)3.1 赵爽弦图法 (5)3。
有关勾股定理的小论文
有关勾股定理的⼩论⽂有关勾股定理的⼩论⽂ 勾股定理或勾股弦定理,⼜称毕达哥拉斯定理或毕⽒定理。
是⼀个基本的⼏何定理,传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。
下⾯是有关勾股定理的⼩论⽂的内容，欢迎阅读！ 有关勾股定理的⼩论⽂1 在初⼆上学期我们学习了⼀种很实⽤并且很容易理解的定理——勾股定理。
勾股定理就是把直⾓三⾓形的两直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅这⼀特性，⼜称毕达哥拉斯定理或毕⽒定理。
我脑海中印象最深的就是那棵毕达哥拉斯树，它是由勾股定理不断的连接从⽽构成的⼀个树状的⼏何图形。
两个相邻的⼩正⽅形⾯积的和等于相邻的⼀个⼤正⽅形的⾯积。
它看起来⾮常别致、漂亮，因为勾股定理是数学史上的⼀颗明珠，它将会使⼈们再算⼀些问题时变得更⽅便。
你如果把勾股定理倒过来，它还是勾股定理逆定理，它最⼤的好处就在于它能够证明某些三⾓形是直⾓三⾓形。
这⼀点在我们⼏何问题中是有很⼤价值的。
我国古代的《周髀算经》就有关于勾股定理的记载：：“若求邪⾄⽇者，以⽇下为句，⽇⾼为股，句股各⾃乘，并⽽开⽅除之，得邪⾄⽇”，⽽且它还记载了有关勾股定理的证明：昔者周公问于商⾼⽈：“窃闻乎⼤夫善数也，请问昔者包牺⽴周天历度——夫天可不阶⽽升，地不可得尺⼨⽽度，请问数安从出？” 商⾼⽈：“数之法出于圆⽅，圆出于⽅，⽅出于矩，矩出于九九⼋⼗⼀。
故折矩，以为句⼴三，股修四，径隅五。
既⽅之，外半其⼀矩，环⽽共盘，得成三四五。
两矩共长⼆⼗有五，是谓积矩。
故禹之所以治天下者，此数之所⽣也。
” 同时发现勾股定理的还有古希腊的毕达哥拉斯。
但是从很多泥板记载表明，巴⽐伦⼈是世界上最早发现“勾股定理”的。
由此可见古代的⼈们是多么的聪明、细⼼和善于发现！ 法国和⽐利时称勾股定理为驴桥定理，埃及称为埃及三⾓形。
我国古代把直⾓三⾓形中较短的直⾓边叫做勾，较长的直⾓边叫做股，斜边叫做弦，所以它⼜叫勾股弦定理。
勾股定理流长深远，我们不能败给古⼈，我们⼀定要善于发现，将勾股定理灵活地运⽤在⽣活中，将勾股定理发扬光⼤！常见的勾股数按“勾股弦”顺序：3，4，5 ；6，8，10；5，12，13 ；7，24，25；8，15，17 ；9，40，41……经过计算表明，勾、股、弦的⽐例为1：√3：2 。
《勾股定理》小论文
(a + b)x(Q +b)S^AEC +S ACDB +ab ab• —+ —…2 2c2+厂(“以—a1 +b22《勾股定理小抡文》勾股定畏是一个基本的几何定理.直角三角形两直角也(即“勾” ■ •股* )血长平方和等于即) ffl长的平方。
也就是说，投言角三角形两直角也为a«b,斜边为S那么贰+1沧0 o勾股定理现发现约有400 1♦证明方法，是数学定理中证明方法最多的定32-0勾股的正整数组(a,b,c)o (3,4,5)»是勾股敛。
勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几河阿JS的量重耍的工具之一，也是数形结合的纽帝之一。
“勾三.股四，弦五”是勾般定理的一个最著名的例子。
当整fi a,b,c »足a"bW这个条件B,(a,b,c)Bi|«^88数组。
也窮是規，投直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a2+bJc2。
”常见勾股数有(3,4,5) (5,12,13) (6,8,10) o玩在公元甫约三干年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，催＜］还知道弃多勾股数组。
古埃及人在建貌宏伟的金字塔和尼罗S&SMiNI 土堆时，也应用过勾股定理。
在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特僧。
在西方.量早提出并证明此定理的方公元前6世纪古希腊的毕迭哥竝斯学源，他用演绎法11明了直角三角形铺屯平方等于两宜角址平方之和。
中国记教勾股定理的古籍有《周II算经》，《九章算术》。
《九章算术》中，赵爽描述it 图：“勾股各自乘，并之为玄实。
开方険之，即亥。
案玄图有可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实囚。
以勾般之差自相乗为中黄实。
J1差实亦成玄实。
以差实X玄实，半其余。
以差为从法，开方除之.复得勾矣。
JD差于勾即股/用现代的数学语言描述就是黄实的面积等于大正方形的面81械去四个朱实的面«o 2002年第24 届国牍数学家大会(ICM)的会标即为垓图。
论文 十证勾股定理
勾股定理再回首——十证勾股定理摘要:勾股定理(毕达哥拉斯定理)的简单表述为：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这样一个十分简单的定理，却被誉为最伟大的定理之一，它用拥有着悠久的历史，并且被广泛地运用到生活中各个领域。
本文从勾股定理的起源谈起，对勾股定理采用10种方法证明，并对勾股定理的最新研究及其影响进行简要介绍。
关键词：起源；勾股定理；证明；影响引言勾股定理是历史上最为古老的定理之一，对其的研究可以追溯到公元前3000多年。
它有400多种证明方法，是三角形边角关系的重要表现形式。
本文将取其中10种特色证明方法证明三角形勾股定理。
数学源于生活又应用、服务于生活，勾股定理在测算、物理、航天、地质勘探等生活中的诸多领域都有所应用。
本文从勾股定理的起源、历史、证明、应用及勾股数进行综合论述。
一、勾股定理的起源和历史背景世界各国对勾股定理研究背景各不相同。
公元前3000年前，古巴比伦人就已经对勾股定理有所了解与运用，古埃及人在建筑金字塔时也应用到了勾股定理。
中国对与勾股定理的研究可以追溯到周朝时期，商高提出了“广三，股修四，径隅五。
”的概念，记载于《周髀算经》中。
中国自古作为农业大国，对数学的研究也多源于农业生产。
出于农业生产的需要，中国古代对天文、历法和算数有着精深的研究。
对勾股定理的研究，就出于这样的背景。
（1）商高指出：夏代大禹治水时已经知道用“勾广三，股修四，径隅五”的办法来构成直角三角形。
商高以“半之一矩，环而共盘”的方法来构造弦图（见图 1）。
图1商高对勾股定理的描述，是中国古代最早关于勾股定理的记载，故而勾股定理又称作“商高定理”。
这一发现，在当时即得到了广泛运用，古人用勾股定理进行日高测算，从而对农业生产时间进行掌控。
在西方，勾股定理被称作“毕达哥拉斯定理”，他们认为是毕达哥拉斯最早发现的勾股定理。
公元前2世纪，希腊学者阿波罗多罗斯《希腊编年史》（1），其中提到“毕达哥拉斯为了庆祝他发现了那个著名的定理，宰牛来作祭神的牺牲。
勾股定理小论文
勾股定理最近我们学习了“勾股定理”。
它是初等几何中的一个基本定理，是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
”这个定理虽然只有简单的一句话，但它却有着十分悠久的历史，尤其是它那“形数结合”、“形数统一”的思想方法，启迪和促进了我国乃至世界的数学发展。
勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。
其实，我国古代人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯要早得多。
在我国最早的数学著作《周髀算经》的开头，有一段周公与商高的“数学对话”:周公问：“听说您对数学非常精通，我想请教一下：我们一没有登天的云梯，二没有丈量整个地球的尺子，那么我们怎样才能得到关于天地之间的数据呢？”商高回答说：“我们已经在实践中总结出了一些了解天地的好方法。
如当直角三角形（矩）的一条直角边（勾）等于3，另一条直角边（股）等于4的时候，那么它的斜边（弦）就必定是5。
这就叫做勾股弦定理，是在大禹治水的时候就总结出来的一个定理。
”如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，这就比毕达哥拉斯要早五百多年。
其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。
现总结勾股定理证明方法如下：证明方法一：取四个与Ｒｔ△ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图所示的正方形。
如图，正方形ABCD的面积＝4个直角三角形的面积＋正方形PQRS的面积∴( a ＋b )2 ＝1/2 ab × 4 ＋c2a2 ＋2ab ＋b2 ＝2ab ＋c2故a2 ＋b2 ＝c2证明方法二：图1中，甲的面积＝(大正方形面积) －( 4个直角三角形面积)。
图2中，乙和丙的面积和＝(大正方形面积)－( 4个直角三角形面积)。
因为图1和图2的面积相等，所以甲的面积＝乙的面积＋丙的面积即：c2 ＝a2 ＋b2证明方法三：四个直角三角形的面积和＋小正方形的面积＝大正方形的面积，2ab ＋( a －b ) 2 ＝c2，2ab ＋a2 －2ab ＋b2 ＝c2故a2 ＋b2＝c2证明方法四：梯形面积＝三个直角三角形的面积和1/2 × ( a ＋b ) × ( a ＋b ) ＝2 × 1/2 × a × b ＋1/2 × c × c(a ＋b )2 ＝2ab ＋c2a 2 ＋2ab ＋b2 ＝2ab ＋c2故a2 ＋b2＝c2这是常用的四种方法，下面是另外的四种方法：【证法1】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌RtΔEBD,∴∠EGF = ∠BED，∵∠EGF + ∠GEF = 90°，∴∠BED + ∠GEF = 90°，∴∠BEG =180º―90º= 90º.又∵AB = BE = EG = GA = c，∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC + ∠CBE = 90º.∵RtΔABC ≌RtΔEBD,∴∠ABC = ∠EBD.∴∠EBD + ∠CBE = 90º.即∠CBD= 90º.又∵∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则,∴c2 ＝a2 ＋b2【证法2】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA = 90º，QP∥BC，∴∠MPC = 90º，∵BM⊥PQ，∴∠BMP = 90º，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，∴∠QBM = ∠ABC，又∵∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c，∴RtΔBMQ ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌RtΔAEF.∴c2 ＝a2 ＋b2【证法3】（赵浩杰证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直线上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90º，∴RtΔCJB ≌RtΔCFD ，同理，RtΔABG ≌RtΔADE，∴RtΔCJB ≌RtΔCFD ≌RtΔABG ≌RtΔADE∴∠ABG = ∠BCJ,∵∠BCJ +∠CBJ= 90º,∴∠ABG +∠CBJ= 90º,∵∠ABC= 90º,∴G,B,I,J在同一直线上，∴c2 ＝a2 ＋b2【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ΔFAB ≌ΔGAD，∵ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴矩形ADLM的面积=.同理可证，矩形MLEB的面积=.∵正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积+ 矩形MLEB的面积∴c2 ＝a2 ＋b2我们今天学习勾股定理，不但要学会利用它进行计算、证明和作图，更要学习和了解它的历史，了解其中体现出来的“形数结合”、“形数统一”的思想方法，这对我们今后的数学发展和科学创新都将具有十分重大的意义。
几何知识勾股定理论文
几何知识勾股定理论文摘要：勾股定理是世界上最伟大的定理之一，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，才使它反复被人论证，本文利用与圆有关的几何知识证明勾股定理。
关键词：勾股定理证明方法一、勾股定理概述《周髀算经》卷上之一记载：昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度。
夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。
故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。
既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。
两矩共长二十有五，是谓积矩。
故禹之所以治天下者，此数之所生也。
”意思是说，直角三角形的直角边为3和4时，斜边必为5. 书中还记载了陈子关于勾股定理的一般叙述：测日高，“若求邪至日，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日”，这说明了这时中国已掌握了一般性的勾股定理。
古今中外，证明勾股定理的方法非常多，一位叫卢米斯（E.S.Loomis）的数学家搜集各种证明方法，于1940 年出版《毕达哥拉斯命题》（The Pythagorean Proposition）一书，收集了367种证法。
1978 年一位叫刘毓璋的先生在台湾出版名为《易经之数理思想》的著作，在第一章“商高定理”中给出他“搜集及自己创造发明”的证明方法85 种。
我国古代陈子的解释给出了勾股定理的算法化证明，数学家赵爽第一个用代数方法，根据面积相等，通过计算证得定理；西方数学家以毕达哥拉斯、欧几里得为代表的一批数学家从公理本身出发，借助演绎推理创立了第一流的数学。
二、用与圆有关的几何知识证明定理方法一：利用切割线定理证明.分析：在RtΔABC中，以B为圆心，CB为半径作圆交AB于D，交BE的延长线于E，如图1。
由切割线定理，得方法二：利用三角形的外接圆证明.分析：圆中的托勒密定理是指圆内接四边形两条对角线的乘积等于对边乘积之和.如图2，连接易知四边形为矩形，由托勒密定理，得所以：方法三：利用三角形内切圆证明.分析：如图3，作设圆的半径为r，连接利用面积相等有，方法四：利用三角形的旁切圆证明.分析：以根据面积相等有，以上证明只是众多方法中的冰山一角，笔者会继续研习新的证明方法。
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勾股定理的论文关于勾股定理勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。
也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。
1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。
实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。
这是任何定理无法比拟的。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
在国外，尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理．这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“勾2+股2=弦2”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580－公元前500）．实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例．除我国在公元前1000多年前发现勾股定理外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角．但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑．比如，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理．我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得到证实．”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块版板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数．这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库．证明方法：先拿四个一样的直角三角形。
拼入一个（a+b）的正方形中，中央米色正方形的面积：c2 。
图（1）再改变三角形的位置就会看到两个米色的正方形，面积是（a2 ，b2）。
图（2）四个三角形面积不变，所以结论是：a2 + b2 = c2图（1）图（2）勾股定理的历史：商高是公元前十一世纪的中国人.当时中国的朝代是西周,是奴隶社会时期.在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话.商高说:"…故折矩,勾广三,股修四,经隅五."商高那段话的意思就是说:当直角三角形的两条直角边分别为3(短边)和4(长边)时,径隅(就是弦)则为5.以后人们就简单地把这个事实说成"勾三股四弦五".这就是著名的勾股定理.关于勾股定理的发现,《周髀算经》上说:"故禹之所以治天下者,此数之所由生也.""此数"指的是"勾三股四弦五",这句话的意思就是说:勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的.赵爽：•东汉末至三国时代吴国人•为《周髀算经》作注,并著有《勾股圆方图说》.赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识.他用几何图形的截,割,拼,补来证明代数式之间的恒等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数,形数统一,代数和几何紧密结合,互不可分的独特风格树立了一个典范.以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展.例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法,只是具体图形的分合移补略有不同而已.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位.尤其是其中体现出来的"形数统一"的思想方法,更具有科学创新的重大意义.事实上,"形数统一"的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件.正如当代中国数学家吴文俊所说:"在中国的传统数学中,数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明,正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续."中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:周公问:"我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?"商高回答说:"数的产生来源于对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理:当直角三角形'矩'得到的一条直角边'勾'等于3,另一条直角边'股'等于4的时候,那么它的斜边'弦'就必定是5.这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵."毕达哥拉斯定理Pythagoras’ theorem在国外，相传勾股定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。
因此又称此定理为“毕达哥拉斯定理”。
法国和比利时称它为“驴桥定理”，埃及称它为“埃及三角形”等。
但他们发现的时间都比我国要迟得多。
美國總統的證明•伽菲尔德（James A. Garfield；1831 - 1881）•1881 年成為美國第20 任總統•1876 年提出有關證明总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的；在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。
他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
他是这样分析的，如图所示：1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。
”证法。
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。
其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。
这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。
”从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。
稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如图所示，我们图1 直角三角形用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦（c）来表示斜边，则可得：勾2+股2=弦2亦即：a2+b2=c2勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。
其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。
如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。
其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例（32+42=52）。
所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。
在稍后一点的《九章算术一书》中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。
书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。
”把这段话列成算式，即为：弦=（勾2+股2）(1/2)亦即：c=（a2+b2）(1/2)中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。
最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。
赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。
在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。
每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。
于是便可得如下的式子：4×（ab/2）+（b-a）2=c2化简后便可得：a2+b2=c2亦即：c=（a2+b2）(1/2)图2 勾股圆方图勾股定理趣事学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有400多种．其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的；勾股的发现在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。