第一章第7节 逻辑推论

例 判断公式集 { p ∧ q → r, p ∨ q → ¬r }是否可满足。
p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1
p∧q→r
1 0 1 0 1 0
要说明公式集 Γ 不可满足，需要证明每个真值赋 值都使得 Γ 中至少一个公式为假。 要说明公式集 Γ 可满足，只需找出一个满足 Γ 的 具体真值赋值即可。 对于有穷的公式集 Γ ，可以通过真值表判断 Γ 是 否可满足。
例1.15 证明 A → B, B → C |= A → C 证法1 设真值赋值 v 使 v(A → B) = v(B → C) = 1。 1. 若 v(A) = 0，则 v(A → C) = 1。 2. 若 v(A) = 1，则由 v(A → B) = 1 得出 v(B) = 1， 再由 v(B → C) = 1 得 v(C) = 1， v(A → C) = 1。 证法2 若真值赋值 v 使得 v(A → C) = 0 且 v(A → B) = 1，则 v(A) = 1 且 v(C) = 0，再由 v(A → B) = 1 得出 v(B) = 1， v(B → C) = 0。 证法3 A → B, B → C |= A → C 当且仅当 A → B, B → C , A |= C 若 v(A → B) = v(B → C) = v(A) = 1，则 v(C) = 1。
推理是从已知前提推出结论的思维过程。下面我们 看一个例子： “如果 6 月 7 日是星期日，则 6 月 7 日颐和园里人 多。6 月 7 日是星期日。因此，6 月 7 日颐和园里 人多。” 这个推理里有两个前提：“如果 6 月 7 日是星期 日，则 6 月 7 日颐和园里人多”和“6 月 7 日是星 期日”，结论是“ 6 月 7 日颐和园里人多”。这是 一个正确的推理。如果用 A 表示“6 月 7 日是星期 日”，用 B 表示“6 月 7 日颐和园里人多”，则上 述推理的前提表示为 A → B 和 A，结论表示为 B。
例1.17 证明 p → q |= p → q ⊕ r /
p 0 0 0 0 1 1 1 1 q 0 0 1 1 0 0 1 1 r 0 1 0 1 0 1 0 1 q⊕r 0 1 1 0 0 1 1 0 p→q 1 1 1 1 0 0 1 1 p→q⊕r 1 1 1 1 0 1 1 0
要证明公式 A 是公式集 Γ 的逻辑推论，即 Γ |= A， 需要证明：对于每个真值赋值 v，如果 v 使得 Γ 中 每个公式都真，则 v(A) = 1。或者证明：对于每个 真值赋值 v，如果 v(A) = 0，则 v 使得 Γ 中至少一 个公式为假。 要证明公式 A 不是公式集 Γ 的逻辑推论，即 Γ |= A，只需找出一个具体的真值赋值 v，v 使得 Γ / 中每个公式都真，但 v(A) = 0。 要证明 A1, …, An |= B ，只需证明：对于每个真值 赋值 v，如果 v(B) = 0 且 v(A1) = … = v(An − 1) = 1， 则 v(An) = 0。
第一章 命题逻辑
§1.1 命题和联结词 §1.2 公式和真值赋值 §1.3 等值演算 §1.4 对偶定理 §1.5 联结词的完全集 §1.6 范式 §1.7 逻辑推论
§1.7 逻辑推论
定义1.20 若真值赋值 v 满足公式集 Γ 中的每个公 式，则称 v 满足 Γ 。若有真值赋值满足 Γ ，则称 Γ 是可满足的，否则称 Γ 是不可满足的。 有限公式集 {A1, …, An} 是可满足的当且仅当公 式 A1 ∧ … ∧ An 是可满足式。因此，判断一个有限 公式集的不可满足性可归结为判断公式的永假性。 任何真值赋值 v 都满足空集 ∅ 。 对于每个公式 A，若 A∈∅ ，则 v(A) = 1。
可以看出，有四个真值赋值满足该公式集。
1
定义1.21 设 Γ 是公式集，A 是公式。若每个满足 Γ 的真值赋值都满足 A ，则称 A 是 Γ 的逻辑推 论，记为 Γ |= A。若 A 不是 Γ 的逻辑推论，记为 Γ |= A 。简记{A1, …, An} |= A 为 A1, …, An |= A 。 / 将 ∅ |= A 简记为 |= A 。 Γ A 表示从前提集 Γ 推出结论 A 在逻辑上是正确 |= 的，即只要前提 Γ 真，结论 A 就一定真。尽管A 是 Γ 的逻辑推论，但是对于每个真值赋值 v ，可能 v(A) = 1，也可能存在 B∈Γ 使得 v(B) = 0。但是不 可能发生 v(A) = 0 且使得每个B∈Γ 都有 v(B) = 1 的 情况。 Γ |= A 当且仅当对于每个真值赋值 v ， min{v(B) | B∈Γ} ≤ v(A)
（练习2即是）
例3：由所给前提写出你能够得出的结论 1.一份统计表格的失真是由于数据不可靠，或者是由于计 算出错误。这份统计表格的失真不是由于计算出错误 2.如果张老师来了，这个问题可以得到解答；如果李老师 来了，这个问题也可以得到解答。这个问题没有得到解 答。 3.如果我爬山，那么我很疲劳。我不疲劳。 4.如果我的程序通过，那么我去踢球。如果我去踢球，那 么晚餐我能吃很多。今天晚餐我不想吃。 解：1. p ∨ q ， ¬ q |= p
定理1.13 A ⇔ B 当且仅当 A |= B 且 B |= A 。 证明 A⇔B 当且仅当 A ↔ B 是永真式 当且仅当 (A → B) ∧ (B → A) 是永真式 当且仅当 当且仅当 A → B 和 B → A 都是永真式 A |= B 且 B |= A 。
例1.14 证明 A, A → B |= B。 证明 若真值赋值 v 使得 v(A) = v(A → B ) = 1，则 v(B) = 1。所以， A, A → B |= B 。
2
定理1.14 设 Γ 是公式集合，A 和 B 是公式，则 Γ ∪ {A} |= B 当且仅当 Γ |= A → B 。 证明 (⇒) 设 Γ ∪ {A} |= B。任取满足 Γ 的真值赋值 v。 1. v(A) = 0，这时 v(A → B) = 1。 2. v(A) = 1，v 满足 Γ ∪ {A}，由 Γ ∪ {A} |= B 得 出 v(B) = 1，v(A → B) = 1。 (⇐) 设 Γ |= A → B 。任取满足 Γ ∪ {A} 的真值赋 值 v，则 v 也满足 Γ ，并且 v(A) = 1。由 Γ |= A → B 得出 v(A → B) = 1 ，所以 v(B) = 1。
练习： 证明以下关系成立：
|= 1. ¬ p ∨ q， ¬ q ∨ r， r →s
2. p → (q → r), ¬ s ∨ p,|= q
|=
p →s s→r p→u q→e
|= 3. p ∨ q → r ∧ s , s ∨ e →u
4. ¬ r ∨ s, s → q, ¬ q
2. p → r， q → r， ¬ r |= ¬ p ∧ ¬ q 3. p → q ， ¬ q |= ¬ p 4. p → q ， q → r， ¬ r ¬p |=
定理1.11 设 A 是公式，则 |= A 当且仅当 A 是永真 式。 证明 (⇒) 设 |= A。任取真值赋值 v，v 满足空集 ∅，所以 v(A) = 1。因此， A 是永真式。 (⇐) 设 A 是永真式。任取满足空集 ∅ 的真值赋值 v，则 v(A) = 1。因此， |= A。 A |= B 当且仅当 A → B 是永真式。 A |= B 当且仅当 对于任意真值赋值v，v (A) ≤ v (B)。
如果用 A 和 B 分别表示任意命题，也不会产生前 提 A → B 和 A 都真，而结论 B 为假的情况。例 如，用 A 表示 “路滑”，用 B 表示 “小孩会摔 倒”，推理仍然是正确的。 这表明，由 A → B 和 A 推出 B 是正确的推理形式。 研究哪些推理形式是正确的，哪些推理形式是不 正确的，是逻辑学的基本任务。 Γ |= A 正是“由 前提集 Γ 推出结论 A 是正确的推理形式”的精确 定义。
例2证明下列推理关系 2.如果国家不对农产品给予补贴，那么国家就要对农产品进行控 制。如果对农产品进行控制，农产品就不会短缺。或者农产品短 缺或者农产品过剩。事实上农产品不过剩。从而国家对农产品给 予了补贴 解：令p:国家对农产品给予了补贴;q:国家就要对农产品进行控 制;r:农产品短缺;s:农产品过剩 即证： ¬ p → q ， q → ¬ r, r ∨ s , ¬ s |= p, 由¬ p → q ， q → ¬ r，得¬ p → ¬ r，其等价与 r → p 由r ∨ s 等价与¬ s → r，结合 r → p ，所以¬ s → p ，因为¬ s 为 真，所以p为真
例 判断以下公式集是否可满足。 { p → (¬(s ∧ r) → ¬q), ¬s ∧ p, q} 解 设 v 是真值赋值。若 v(q) = v(¬s ∧ p) = 1，则 v(p) = 1 且 v(s) = 0。因而， v(s ∧ r) = 0，所以， v(p → (¬(s ∧ r) → ¬q)) = 0 这表明不存在使得 p → (¬(s ∧ r) → ¬q), ¬s ∧ p, q 这三个公式同时为真的真值赋值。因此， { p → (¬(s ∧ r) → ¬q), ¬s ∧ p, q} 是不可满足的。
当 v = (p/1, q/1, r/1) 时， v(p → q) = 1，而v(p → q ⊕ r) = 0
定理1.16 设 Γ 是公式集合， Γ 是不可满足的当 且仅当每个公式都是 Γ 的逻辑推论。 定理1.15 设是正整数。公式集{A1, …, An }是可满 足的当且仅当A1 ∧ … ∧ An是可满足式。 证明 (⇒) 设 Γ 是不可满足的，A 为任意公式。显然， 每个满足 Γ 的真值赋值都满足 A，因为以下命题 为真： 对于每个真值赋值 v，若 v 满足 Γ，则 v 满足 A。 所以，A 是 Γ 的逻辑推论。 (⇐) 设每个公式都是 Γ 的逻辑推论，则永假式 0 是 Γ 的逻辑推论。若真值赋值 v 满足 Γ，则 v 满 足 0，这是不可能的。所以，Γ 是不可满足的。