北航解析几何课件总复习
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北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第9章 解析几何 第5节 椭圆
则1 ·2 =(-a,-b)·
(a,-b)=-a2+b2=-1,①
由
1
2 1
e= ,得 e =
3
9
=
2 - 2
2
=1- 2 ,即
2
2
b
8 2
= a .②
9
联立①②,解得 a2=9,b2=8.故选 B.
(2)如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.
由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.
2
例1(1)(2021新高考Ⅰ,5)已知F1,F2是椭圆C:
9
上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(
A.13
B.12
C.9
D.6
2
+ 4 =1 的两个焦点,点M在C
)
2
(2)(2021全国甲,理15)已知F1,F2为椭圆C: 16
2
+ 4 =1 的两个焦点,P,Q为C上
关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为
于是当 sin
1
θ=-4时,|PB|2 最大,
此时|PB| =-4×
2
1
-2×
16
5
故|PB|的最大值为 .
2
1
-4
1
+6=-4
1
25
+ 2+6= 4 ,
规律方法
1.求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法:根据椭圆的定义确定2a,2c,然后确定a2,b2的值,再结合焦点位置
写出椭圆的标准方程.
(2)待定系数法:
2
对点训练 2(1)(2022 云南昆明一模)已知椭圆 M: 2
(a,-b)=-a2+b2=-1,①
由
1
2 1
e= ,得 e =
3
9
=
2 - 2
2
=1- 2 ,即
2
2
b
8 2
= a .②
9
联立①②,解得 a2=9,b2=8.故选 B.
(2)如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.
由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.
2
例1(1)(2021新高考Ⅰ,5)已知F1,F2是椭圆C:
9
上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(
A.13
B.12
C.9
D.6
2
+ 4 =1 的两个焦点,点M在C
)
2
(2)(2021全国甲,理15)已知F1,F2为椭圆C: 16
2
+ 4 =1 的两个焦点,P,Q为C上
关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为
于是当 sin
1
θ=-4时,|PB|2 最大,
此时|PB| =-4×
2
1
-2×
16
5
故|PB|的最大值为 .
2
1
-4
1
+6=-4
1
25
+ 2+6= 4 ,
规律方法
1.求椭圆标准方程的两种方法
(1)定义法:根据椭圆的定义确定2a,2c,然后确定a2,b2的值,再结合焦点位置
写出椭圆的标准方程.
(2)待定系数法:
2
对点训练 2(1)(2022 云南昆明一模)已知椭圆 M: 2
空间解析几何复习重点.ppt
uuuuuur
M1M 2 , v1, v2
d
.
v1 v2
M2 v2
l2
P2
d
P1 M1
v1
l1
异面直线
x x1 y y1 z z1
1
X1
Y1
Z1 0
XYZ
x x2 X2 X
y y2 Y2 Y
z z2 Z2 0 Z
l M•1 v1
v1 v2 M•2
v2
图2.10
l1
2
l2
公垂线方程
ngv
sin
6.
nv 3
所以 arcsin 6 .
3
下面求直线 l 在平面 上的射影直线方程.
以直线 l为轴的平面束方程为
x y z 1 x y z 1 0,
即
x y z 0,
在平面束中找一个平面与平面 垂直，那么依两平面垂
直的条件，有
1g 1g 1g 0,
解 在已知二直线上分别取点 (,,c)和 (, , c)
其中 , 是参数，于是动直线方程为
x y zc. c
(3.4.8)
因直线(3.4.8)与已知双曲线相交，令 z 0 ,有
x
y
,
故得 x , y ，代入 xy c 中得
c .
(3.4.9)
消去参数即得所求曲面方程为 z xy c.
其中 为a与b的夹角
数量积的坐标表达式
a
b
axbx
a yby
azbz
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
axbx a yby azbz ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
axbx a yby azbz 0
高考数学(理科)专题复习课件第8单元-解析几何(北师大版)
3．圆锥曲线 (1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实 世界和解决实际问题中的作用． (2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简 单性质． (3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的 简单几何性质． (4)了解圆锥曲线的简单应用． (5)理解数形结合的思想． 4．曲线与方程 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
(2)重视数学思想方法的应用．分类讨论思想、数形结 合思想、转化与化归思想、函数与方程思想以及解析法、待 定系数法等在各种题型中均有体现．要牢牢抓住圆的几何特 征，圆锥曲线的定义，利用直线与圆、直线与圆锥曲线的位 置关系，寻求合理的等量关系，尽量使运算过程简化． (3)复习过程中以中、低档题目的训练为主，适当训练 一些综合题，以提高学生的运算能力和综合解题能力，不要 选用运算过于复杂的题目，主要训练运算推理能力和画图用 图能力．
第八单元 │ 使用建议
3．课时安排 本单元共9讲，预计除51讲为2课时外，其余每讲建议1 课时完成，滚动基础训练卷和单元能力训练卷各占1课时， 共需12课时完成．
第44讲 │ 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
第44讲 直线的倾斜角 与斜率、直线的方程
第44讲 │ 知识梳理 知识梳理
1．对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时 针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的 ________ 倾斜角 ． 当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为______ 0° ，因此，直 线的倾斜角α 的取值范围为__________ ．° 0°≤α ＜180 正切值 叫做这条直线 2．我们把一条直线的倾斜角α 的________ 的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝______. tanα 倾斜角是 ________ 90° 的直线没有斜率，倾斜角α 不是90°的直线都有斜 率．倾斜角不同，直线的斜率也不同，因此，我们可以用 ______ 斜率 表示直线的倾斜程度．
(2)重视数学思想方法的应用．分类讨论思想、数形结 合思想、转化与化归思想、函数与方程思想以及解析法、待 定系数法等在各种题型中均有体现．要牢牢抓住圆的几何特 征，圆锥曲线的定义，利用直线与圆、直线与圆锥曲线的位 置关系，寻求合理的等量关系，尽量使运算过程简化． (3)复习过程中以中、低档题目的训练为主，适当训练 一些综合题，以提高学生的运算能力和综合解题能力，不要 选用运算过于复杂的题目，主要训练运算推理能力和画图用 图能力．
第八单元 │ 使用建议
3．课时安排 本单元共9讲，预计除51讲为2课时外，其余每讲建议1 课时完成，滚动基础训练卷和单元能力训练卷各占1课时， 共需12课时完成．
第44讲 │ 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
第44讲 直线的倾斜角 与斜率、直线的方程
第44讲 │ 知识梳理 知识梳理
1．对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时 针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的 ________ 倾斜角 ． 当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为______ 0° ，因此，直 线的倾斜角α 的取值范围为__________ ．° 0°≤α ＜180 正切值 叫做这条直线 2．我们把一条直线的倾斜角α 的________ 的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝______. tanα 倾斜角是 ________ 90° 的直线没有斜率，倾斜角α 不是90°的直线都有斜 率．倾斜角不同，直线的斜率也不同，因此，我们可以用 ______ 斜率 表示直线的倾斜程度．
解析几何问题中常见的技巧专题课件高三数学一轮复习
（1）当直线 AM 的斜率为1时，求点 M 的坐标；
解：直线 AM 的斜率为1时，直线 AM 的方程为 y ＝ x ＋2，
代入椭圆方程并化简得5 x 2＋16 x ＋12＝0.
6
解得 x 1＝－2， x 2＝－ ，所以 M
5
6
4
− ，
5
5
.
高中总复习·数学（提升版）
（2）当直线 AM 的斜率变化时，直线 MN 是否过 x 轴上的一定
解析：
2
由双曲线方程 x 2－ ＝1知 a ＝1， b ＝3，则其渐近线方程
9
为 y ＝±3 x .观察选项知，四个点均在双曲线外，∴点 A ， B 分别在双
曲线的两支上，∴－3＜ kAB ＜3.设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），则
12 −
22 −
12
9
22
9
= 1，
4
点， A ， B 分别是 C 1， C 2在第二、四象限的公共点.若四边形 AF 1 BF 2
为矩形，则 C 2的离心率是（
A. 2
3
C.
2
B. 3
D.
6
2
）
高中总复习·数学（提升版）
解析：
由已知，得 F 1（－ 3 ，0）， F 2（ 3 ，0），设双曲线 C 2
的实半轴长为 a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得
，
2
−
，
2
3
2
，＝
− ，
3 2
1 2
3 2
1
3 2
2
2
2
2
＝ c － a ＋ b ＝ c － a ＋ （ a － c ）＝ c －
解：直线 AM 的斜率为1时，直线 AM 的方程为 y ＝ x ＋2，
代入椭圆方程并化简得5 x 2＋16 x ＋12＝0.
6
解得 x 1＝－2， x 2＝－ ，所以 M
5
6
4
− ，
5
5
.
高中总复习·数学（提升版）
（2）当直线 AM 的斜率变化时，直线 MN 是否过 x 轴上的一定
解析：
2
由双曲线方程 x 2－ ＝1知 a ＝1， b ＝3，则其渐近线方程
9
为 y ＝±3 x .观察选项知，四个点均在双曲线外，∴点 A ， B 分别在双
曲线的两支上，∴－3＜ kAB ＜3.设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2），则
12 −
22 −
12
9
22
9
= 1，
4
点， A ， B 分别是 C 1， C 2在第二、四象限的公共点.若四边形 AF 1 BF 2
为矩形，则 C 2的离心率是（
A. 2
3
C.
2
B. 3
D.
6
2
）
高中总复习·数学（提升版）
解析：
由已知，得 F 1（－ 3 ，0）， F 2（ 3 ，0），设双曲线 C 2
的实半轴长为 a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得
，
2
−
，
2
3
2
，＝
− ，
3 2
1 2
3 2
1
3 2
2
2
2
2
＝ c － a ＋ b ＝ c － a ＋ （ a － c ）＝ c －
高考数学一轮复习第九章解析几何9.5椭圆课件文北师大版
-11考点1 考点2 考点3
考点 1
椭圆的定义及其标准方程
������2 C: 2 ������
例 1(1)已知 F1,F2 是椭圆
+
������2 ������
2 =1(a>b>0)的两个焦点,P
为
椭圆 C 上的一点,且������������1 ⊥ ������������2 .若△PF1F2 的面积为 9,则 b= . (2)(2016 山西孝义模拟)已知椭圆
c2=a2-b2
-5知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”. (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭 圆.( ) (2)椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形.( ) (3)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其 中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).( ) (4)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( ) (5)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆. ( )
������ ������ √3 ,得 3
c=1,所以 b =a -c =2,则 C 的方程为
2
2
2
������ 2 3
+
������ 2 2
=1,故选 A.
关闭
A
解析 答案
-8知识梳理 双基自测 自测点评
1
2
3
4
5
������2 ������2 4.若方程 + =1 5-������ ������-3
表示椭圆,则 k 的取值范围
《解析几何》知识点复习1
《解析几何》知识点复习1解析几何是数学中一个非常重要的分支，它将代数与几何巧妙地结合在一起，通过建立坐标系，用代数方法来研究几何图形的性质和相互关系。
接下来，让我们一起对解析几何的一些关键知识点进行复习。
一、坐标系坐标系是解析几何的基础，最常见的是直角坐标系（也称为笛卡尔坐标系）。
在直角坐标系中，我们通过两条互相垂直的数轴，即 x 轴和 y 轴，来确定平面上点的位置。
一个点的坐标就是它在 x 轴和 y 轴上的投影所对应的数值，通常表示为（x, y)。
此外，还有极坐标系。
在极坐标系中，一个点的位置由极径和极角来确定。
极径是该点到极点的距离，极角是极轴（通常为 x 轴的正半轴）到该点的连线与极轴所成的角。
二、直线1、直线的方程点斜式：若已知直线上一点（x₁, y₁) 以及直线的斜率 k，则直线方程为 y y₁＝ k(x x₁)。
斜截式：若直线的斜率为 k，且在 y 轴上的截距为 b，则直线方程为 y ＝ kx ＋ b。
两点式：若已知直线上两点（x₁, y₁) 和（x₂, y₂)，则直线方程为（y y₁)／（y₂ y₁) ＝（x x₁)／（x₂ x₁)。
一般式：Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 （A、B 不同时为 0）。
2、直线的位置关系平行：两条直线斜率相等。
垂直：两条直线斜率之积为－1。
3、距离公式点到直线的距离：d ＝｜Ax₁＋ By₁＋ C| ／√（A²＋ B²) ，其中（x₁, y₁) 是点的坐标，Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 是直线方程。
三、圆1、圆的方程标准方程：（x a)²＋（y b)²＝ r²，其中（a, b) 是圆心坐标，r 是半径。
一般方程：x²＋ y²＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 （D²＋ E² 4F ＞ 0），圆心坐标为（D/2, E/2) ，半径为√（D²＋ E² 4F) ／ 2 。
解析几何复习教案ppt课件
点 面
(2)∵α 为倾斜角，∴0≤α＜π.∵sinα＋cosα＝51，
讲
考 向
∴sinα＝45，cosα＝－35，∴tanα＝－43.
第40讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
► 探究点二 直线方程的求法
例 2 (1)直线 l 在 y 轴上的截距为－1，倾斜角是直线
(1)注重基础：在本单元的大部分讲次中都是使用基 础性试题，目的是使学生掌握好解析几何的基本知识和基 本方法，形成解题的基本技能，完成使学生能够顺利解答 高考的选择题和填空题目标，完成解答高考中解答题的知 识和方法的目标．
(2)强化能力：解答解析几何试题需要学生有较高的 逻辑推理能力和运算求解能力，因此在编写中的选题方面 注意选用一些推理论证和计算相互作用，以计算辅助推理 和以理性的思考简化运算的试题，注重了对运算能力的训 练，试图通过这些题目的练习，提高学生分析解决解析几 何试题的能力，完成能够解决高考中中等难度的解析几何 解答题的目标．
固
基 础
1．倾斜角与斜率的理解
(1)直线的倾斜角为任意实数．( )
(2)任何直线都有斜率．( )
(3)过点 M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是
45°.( )
(4)若三点 A(2，3)，B(a，1)，C(0，2)共线，则 a 的
值为－2.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
第40讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
双 向
2．直线的方程认识
固
基 础
(1)经过定点 P0(x0，y0)的直线都可以用方程 y－y0＝ k(x－x0)表示．( )
(2)[2012·天津卷改编] 经过定点 A(0，b)的直线都可
解析几何ppt第3章平面及空间直线小结及复习
可得法式方程
Ax A B C
2 2 2
By A B C
2 2 2
Cz A B C
2 2 2
D A B C
2 2 2
0.
在取定符号后叫做法式化因子. 选取的符号通常与常数项 D 相反的符号,即
D 0.
四、平面的一般方程的特例
• 4. 平面的三点式方程
x x1 y y1 z z1 x x2 y y2 z z2 , l2 : X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2
的相关位置的充要条件为： ⅰ 异面
x2 x1 X1 X2 y2 y1 Y1 Y2 z2 z1 Z1 Z2 0
v2
M2
l2
ⅱ 相交 ⅲ 平行 ⅳ 重合
1 2 1 2
v1 v2
几何意义：两条异面直线 l , l 之间的距离等于以 M1M 2 , v1 , v2 1 2 为棱的平行六面体的体积除以以 v1 , v2 为邻边的平行四边形的面 积.
两个异面直线的公垂线方程为：
M1 N1 N2平面的点位式方程
x x1 y y1 z z1 X 1 Y1 Z1 0 X Y Z x x2 y y2 z z2 X 2 Y2 Z 2 0 X Y Z
x x0 y y0 z z0 l: X Y Z
: Ax By Cz D 0
直线与平面之间的夹角为
sin cos n, v
nv nv
AX BY CZ A B C X Y Z
2 2 2 2 2 2
.
特例：
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注意: 标准方程与一般方程之间的互化. (3) 直角坐标系中平面的点法式方程 已知一点 M0(x0, y0, z0) , 平面的法向量 n(A, B, C) , 则平面方程为
A (x x0) + B(y y0)+ C(z z0) + D = 0,
解析几何总复习
2. 求空间直线方程
(1) 直线的标准方程
平面方程为
xx0 yy0 zz0
(M0M, v1, v2) X1
Y1
Z1 0
X2
Y2
Z2
其中 M 为平面上任一点.
解析几何总复习
(2) 平面的一般方程 Ax + By + Cz + D = 0
其中 A Y 1 Y 2,B Z 1 Z 2,C X 1 X 2. Z 1 Z 2 X 1 X 2 Y 1 Y 2
已知一点 M0(x0, y0, z0) , 一个方向向量v(X, Y, Z) , 则直线方程为 xx0yy0zz0
XY Z (2) 直线的参数方程
x x0 X ,
y
y0
Y ,
z z 0 Z .
解析几何总复习
(3) 直线的一般方程 A A 1 2xx B B 12yy C C 12 zz D D 1200
解析几何总复习
(3) 锥面
设锥面S锥顶M0(x0, y0, z0) , 准线 : G F((xx,,yy,,zz))00,,
则M(x, y, z) (不是锥顶)在锥面上存在实数t, 使 G F ( (1 1 ( ( t t) ) x x 0 0 t t, ,( ( x x 1 1 t t) ) y y 0 0 t t, ,( ( y y 1 1 t t) ) z z 0 0 t t) ) z z 0 0 , , 从其中一式解出 t 代入另一式, 即得 S 的方程.
= (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), = (c1, c2, c3), R,
解析几何总复习
+ = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) = (a1, a2, a3) = a1b1 + a2b2 + a3b3
一个向量 一个向量 一个数
e1 e2 e3
解析几何总复习
圆锥面 定义: 由直线绕与它相交而不垂直的轴线旋转 所得的旋转面称为圆锥面. 母线与轴线的交点 称为锥顶, 夹角称为半顶角. 方程的建立:
方法1: 锥顶为M0, 半顶角为, 点 M 在圆锥面上 |M0M u| = |M0M| |u| cos .
方法2: 锥顶为M0, M1在圆柱面上, 点 M 在圆锥面上
a1 a2 a3
b1 b2 b3
一个向量
解析几何总复习
a1 a2 a3
(,, ) b1 b2 b3
c1 c2 c3
( ) = ( ) ( )
一个数 一个向量
(2) 向量的夹角
cos,
解析几何总复习
(3) 外积、混合积的几何意义.
外积的长度 | | ---以, 为邻边的平行四边形的面积 混合积的绝对值 |(, , )| ---以, , 为同一顶点三条棱的平行六面体体积
2. 向量或点的共线、共面问题
(1) 与 共线 = 0.
(2) , , 共面 (, , ) = 0.
解析几何总复习
空间解析几何
1. 求平面方程
(1) 平面的点向式方程
已知一点M0(x0, y0, z0) , 方向向量 v1(X1, Y1, Z1) ,
v2(X2, Y2, Z2) 不共线, 则过M0且平行于 v1, v2的
|M0M u| |M何总复习
(2) 柱面
设柱面S // u(k, m, n), 准线 : G F((xx,,yy,,zz))00,,
则点 M(x, y, z) S 存在实数 t, 使得
G F ((x x ttk ,k ,y y ttm m ,,z z ttn )n ) 0 0,, 从其中一式解出 t 代入另一式, 即得 S 一般方程. 定理: 若一个柱面的母线平行于z 轴 (或 x 轴, 或 y 轴), 则它的方程中不含 z (或x, 或y); 反之, 一个 三元方程若不含z (或x, 或y), 则它一定表示一个 母线平行于z 轴 (或 x 轴, 或 y 轴) 的柱面.
定理: x, y, z 的 n 次齐次方程的图像 (添上原点) 一定是锥顶为原点的锥面. 在以锥面顶点为原点 的直角坐标系中, 锥面方程必是关于 x, y, z 的齐 次方程.
解析几何总复习
解析几何总复习
5. 判断位置关系 (1) 两直线(平行、相交、重合、异面)
(2) 两平面(平行、相交、重合)
(3) 直线与平面(属于、平行、相交)
6. 求旋转面、柱面、锥面方程
(1) 旋转面
设旋转面S 轴线 l 过点M0 , 平行于向量u0; 母线
则 M(x, y) S
M (x, y) , MM u0 = 0,
注意: 标准方程与一般方程之间的互化. 3. 求夹角 (1) 直线与直线
(2) 直线与平面 归结为两向量的夹角
(3) 平面与平面
解析几何总复习
4. 求距离
(1) 点到直线
d(P,l)uM0P u
(2) 点到平面
dA0xB0yC0zD A2B2C2
(3) 两异面直线 d(l1,l2)(u1,u u2 1,M u1 2M2)
|M0M| = |M0M| .
解析几何总复习
圆柱面 定义: 由直线绕与它平行的轴线旋转所得的旋转 面称为圆柱面. 母线与轴线的距离称为它的半径. 方程的建立: 方法1: 轴线过点 M0, 平行于向量 u, 半径为 r,
点 M 在圆柱面上 M0Mu r, u
方法2: 轴线过M0, 平行于向量u, M1在圆柱面上, 点 M 在圆柱面上 |M0M u| = |M0M1 u|.
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第一章 向量代数 第二章 空间解析几何 第三章 坐标变换与二次曲线分类 第四章 正交变换与仿射变换 第五章 考试题型
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向量代数
1. 向量的各种运算 加法、数乘、内积、外积、混合积
重点掌握: (1) 各种向量运算的法则及其坐标运算. 设在某直角坐标系I: [O; e1, e2, e3]中,
A (x x0) + B(y y0)+ C(z z0) + D = 0,
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2. 求空间直线方程
(1) 直线的标准方程
平面方程为
xx0 yy0 zz0
(M0M, v1, v2) X1
Y1
Z1 0
X2
Y2
Z2
其中 M 为平面上任一点.
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(2) 平面的一般方程 Ax + By + Cz + D = 0
其中 A Y 1 Y 2,B Z 1 Z 2,C X 1 X 2. Z 1 Z 2 X 1 X 2 Y 1 Y 2
已知一点 M0(x0, y0, z0) , 一个方向向量v(X, Y, Z) , 则直线方程为 xx0yy0zz0
XY Z (2) 直线的参数方程
x x0 X ,
y
y0
Y ,
z z 0 Z .
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(3) 直线的一般方程 A A 1 2xx B B 12yy C C 12 zz D D 1200
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(3) 锥面
设锥面S锥顶M0(x0, y0, z0) , 准线 : G F((xx,,yy,,zz))00,,
则M(x, y, z) (不是锥顶)在锥面上存在实数t, 使 G F ( (1 1 ( ( t t) ) x x 0 0 t t, ,( ( x x 1 1 t t) ) y y 0 0 t t, ,( ( y y 1 1 t t) ) z z 0 0 t t) ) z z 0 0 , , 从其中一式解出 t 代入另一式, 即得 S 的方程.
= (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), = (c1, c2, c3), R,
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+ = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) = (a1, a2, a3) = a1b1 + a2b2 + a3b3
一个向量 一个向量 一个数
e1 e2 e3
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圆锥面 定义: 由直线绕与它相交而不垂直的轴线旋转 所得的旋转面称为圆锥面. 母线与轴线的交点 称为锥顶, 夹角称为半顶角. 方程的建立:
方法1: 锥顶为M0, 半顶角为, 点 M 在圆锥面上 |M0M u| = |M0M| |u| cos .
方法2: 锥顶为M0, M1在圆柱面上, 点 M 在圆锥面上
a1 a2 a3
b1 b2 b3
一个向量
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a1 a2 a3
(,, ) b1 b2 b3
c1 c2 c3
( ) = ( ) ( )
一个数 一个向量
(2) 向量的夹角
cos,
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(3) 外积、混合积的几何意义.
外积的长度 | | ---以, 为邻边的平行四边形的面积 混合积的绝对值 |(, , )| ---以, , 为同一顶点三条棱的平行六面体体积
2. 向量或点的共线、共面问题
(1) 与 共线 = 0.
(2) , , 共面 (, , ) = 0.
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空间解析几何
1. 求平面方程
(1) 平面的点向式方程
已知一点M0(x0, y0, z0) , 方向向量 v1(X1, Y1, Z1) ,
v2(X2, Y2, Z2) 不共线, 则过M0且平行于 v1, v2的
|M0M u| |M何总复习
(2) 柱面
设柱面S // u(k, m, n), 准线 : G F((xx,,yy,,zz))00,,
则点 M(x, y, z) S 存在实数 t, 使得
G F ((x x ttk ,k ,y y ttm m ,,z z ttn )n ) 0 0,, 从其中一式解出 t 代入另一式, 即得 S 一般方程. 定理: 若一个柱面的母线平行于z 轴 (或 x 轴, 或 y 轴), 则它的方程中不含 z (或x, 或y); 反之, 一个 三元方程若不含z (或x, 或y), 则它一定表示一个 母线平行于z 轴 (或 x 轴, 或 y 轴) 的柱面.
定理: x, y, z 的 n 次齐次方程的图像 (添上原点) 一定是锥顶为原点的锥面. 在以锥面顶点为原点 的直角坐标系中, 锥面方程必是关于 x, y, z 的齐 次方程.
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5. 判断位置关系 (1) 两直线(平行、相交、重合、异面)
(2) 两平面(平行、相交、重合)
(3) 直线与平面(属于、平行、相交)
6. 求旋转面、柱面、锥面方程
(1) 旋转面
设旋转面S 轴线 l 过点M0 , 平行于向量u0; 母线
则 M(x, y) S
M (x, y) , MM u0 = 0,
注意: 标准方程与一般方程之间的互化. 3. 求夹角 (1) 直线与直线
(2) 直线与平面 归结为两向量的夹角
(3) 平面与平面
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4. 求距离
(1) 点到直线
d(P,l)uM0P u
(2) 点到平面
dA0xB0yC0zD A2B2C2
(3) 两异面直线 d(l1,l2)(u1,u u2 1,M u1 2M2)
|M0M| = |M0M| .
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圆柱面 定义: 由直线绕与它平行的轴线旋转所得的旋转 面称为圆柱面. 母线与轴线的距离称为它的半径. 方程的建立: 方法1: 轴线过点 M0, 平行于向量 u, 半径为 r,
点 M 在圆柱面上 M0Mu r, u
方法2: 轴线过M0, 平行于向量u, M1在圆柱面上, 点 M 在圆柱面上 |M0M u| = |M0M1 u|.
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第一章 向量代数 第二章 空间解析几何 第三章 坐标变换与二次曲线分类 第四章 正交变换与仿射变换 第五章 考试题型
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向量代数
1. 向量的各种运算 加法、数乘、内积、外积、混合积
重点掌握: (1) 各种向量运算的法则及其坐标运算. 设在某直角坐标系I: [O; e1, e2, e3]中,