第1章--质点运动学

O
� 大小： ∆r = ∆x 2 + ∆y 2 + ∆z 2
z
� | ∆r |= ? ∆r
� ∆r ≠ ∆r
� � ∆r r1 � r2
Δs
B(t+∆t ) N
x
三、路程：
� ∆ r = ∆s
?
� Δr ≠ Δs � dr = ds
当
∆t →0 时
例：如图所示：质点沿曲线路径由 a运动至b，所 � � 经路径为Sab， a，b的位矢为 ra rb
dθ 大小 ω = dt
� � dθ 2) 角速度 ω : ω = dt
方向：右手螺旋定则
� r
� ds v P
� � 2 � dω d θ = 2 3)角加速度 α : α = dt dt
线速度大小 v =
ds dt
已知 ds = rdθ
� � � v =ω×r
v = rω
圆周运动的加速度 � v (t ) � ∆s v (t +∆t )
质点运动状态变化
{
位移
� 2� � dv d r 瞬时加速度矢量 a = = 2 dt dt
求速度 求加速度 （求导）
� � � ∆r = r2 − r1
正问题： 已知位置（运动函数） 反问题： 已知加速度 求速度
� � � � r (t ) = x (t ) i + y ( t ) j + z ( t ) k（运动方程）
∫ ∫∫ ∫∫来自∫1 2 x − x0 = v0 t + at 2
例2自由落体运动：
沿质点运动轨道建立y轴（正方向向下） 已知：
14
0
(t=0)
y0 = 0 v0 = 0 求： y(t) = ? v(t ) = ?
a=g
y
解： 同理可得
1 2 y = gt 2 v = gt v = 2 gy 2
� v � g
dv rd ω 线量与角量关系：aτ = = = rα dt dt
� � � aτ = α × r
� v (t +∆t )
� v (t )
C 0
∆θ θ
∆s
B
� ∆v
� (∆v)n
r
s
A x
∆θ � (∆v)τ �
� v (t )
v(t +∆t)
� v BC | ( ∆ v )n | � = lim lim 法向加速度 a n 大小： a n = ∆ t→0 ∆t ∆ t →0 r∆t � v∆s (∆v )n v ∆s v BC = = lim = ⋅v = lim ∆t →0 r∆t r ∆t →0 ∆t r v r
求位置（运动函数） （积分）
� 举例： 加速度为恒矢量时的质点运动 r0 � � （其大小和方向都不变）初始条件 {v 已知：a 为常矢量 0 (t = 0) � � 求：v(t ) = ? r ( t ) = ? � � v t � � � � � dv d v = a d t ∫� d v = ∫ a d t 解： 由 a = v0 0 d t � � � � � � v − v0 = at 瞬时速度矢量 v = v 0 + a t
� a
的大小
2 a = an + aτ2
二、自然坐标系
1. 质点位置与位移 位置：用轨迹长度 s 来描述， 位移：Δs , 即A,B 间轨迹长度。
= r − r0
1.4 直线运动
直线运动 运动特点： 匀加速
例1 匀加速直线运动
一维
� v
(t)
� a
13
a为常量
x O (t=0)
x
设质点沿Ox轴运动 已知： a 和 初始条件 解： (t=0)
{
x(t ) = ? x0 ( x0 = 0) 求： v0 v(t ) = ?
反问题： 已知加速度 求速度 求位置（运动函数） （积分） t v dv 由 a= v − v = at v = v + at d v = a d t 0 0 dt v0 0 x t x t dx dx = ( v0 + at )dt 由 v= d x = v d t x0 0 d t x0 0
v2 ∴ an = r
� � � an = ω × v
方向：
指向圆心方向
21
� 切向加速度 aτ � 法向加速度 a n
速度大小变化产生的加速度 速度方向变化产生的加速度
dv � 方向：切线方向 切向加速度 aτ 大小： aτ = d t � v2 2 a a = = ω r 方向：指向圆心 法向加速度 n 大小： n r � � � 圆周运动的总加速度 a = an + aτ
� � ∆r dr = ∆t dt
dx = dt dy = dt
vz
dz = dt
v ∆s B A � ∆r � � r1 r2
� � ∆ r ∆s ds dr � = = lim = =v (瞬时)速率: v = lim ∆t → 0 ∆t dt ∆t →0 ∆t dt
二、加速度：
瞬时加速度:
9
∆θ θ
� ∆v
� (∆v)n
r
s
A x
∆θ � (∆v)τ �
� v (t )
0 � � � ∆ v = ( ∆ v ) n + ( ∆ v )τ
v(t +∆t)
� � � � � dv ∆v (∆v )n ( ∆ v )τ � � a = = lim = lim + lim = a n + aτ ∆ t → 0 ∆ t → 0 ∆ t → 0 dt ∆t ∆t ∆t dv � ∆v = lim 切向加速度 aτ 大小： aτ = ∆ 切线方向 t→ 0 ∆t dt
a
b
Sab
b
� ra
∫
a b
� dr = ?
� � � ∆ r = rb − rb 位移
� rb
b
∫ a ∫ a
� dr
= ?
ab 位移大小
� dr
= ?
Sab 路程大小
1.3 速度 加速度
一、速度
运动快慢程度和方向 平均速度: (瞬时)速度 :
� � � r2 − r1 � ∆r v = = ∆t ∆t
分离变量积分：
dv = −kdx , v
∴ln v − ln v0 = −kx,
故
v = v0e ,
− kx
v ln = −kx v0
dv = ∫ −kdx ∫ v 0 v0
v
x
1. 6 圆周运动 1.6
质点做曲线运动时， 可以看作各个瞬间做不同 曲率半径的圆周运动
18
r1
� ω
θ
∆θ
r2
一、圆周运动的角量描述 1) 角位置θ 角位移 � ∆θ :
� r = x2 + y 2 + z 2
� Z k
A z
α
� r
n
x
B
� i
X
x y z cosα = cos β = cosγ = r r r
二、位移:
6
� � � � � ∆r = r (t + ∆t ) − r (t ) = r2 − r1
y
A(t)
� � � = ( x2 − x1)i + ( y2 − y1 ) j + ( z2 − z1 )k M � � � = ∆ xi + ∆ yj + ∆ zk
注意： a. 能否看成质点是相对于所研究的问题而言 b .不能看成质点的物体可看着质点的集合
二、 参考系 参考系：描述物体运动而选作参考的物体或物体系。 1.运动的绝对性决定描述物体运动必须选取参考系。 2.运动学中参考系可任选，不同参考系中物体的运动形式 （如轨迹、速度等）可以不同。 “坐地日行八万里 ” “山不转来水在转，水不转来云在转 ，…” 3.常用参考系: ·太阳参考系（太阳 ─ 恒星参考系） ·地心参考系（地球 ─ 恒星参考系） ·地面参考系或实验室参考系 ·质心参考系（后面介绍）
x o
P
r
P
θ
� n
O
x
1.2 质点运动的描述 一、 质点的位置矢量 （位矢、矢径）
� r = op
x = x (t ), y = y (t ), z = z (t ) � � � � � r = r (t ) = x(t )i + y(t) j + z(t) k
� j
y β γ o
Y
P
该式也叫质点的运动函数或运动方程。 大小 方向
2 2 � v x +h � � dr v= =− 0 i dt x
� a =?
2 h 2 a = v0 x3
例 4： 一艘正在沿直线行驶的汽艇，在发动机关闭后，其加速度方向与 速度方向相反，满足
dv = − kv 2 , 式中 k 为常数。试证明汽艇在关闭发动机 dt
− kx v = v e , 其中 v0 是关闭发动机时的速度。 后又行驶 x 距离时的速度为 0 dv 解： 对题中所给关系式 = −kv 2 作一数学处理如下： dt dv dv dx dv 2 = ⋅ = −kv ⋅ v = −kv2 即 dt dx dt dx
三、坐标系 坐标系：固结在参考系上的一组有刻度的射线、曲线 或角度。 1.坐标系为参考系的数学抽象。 2.参考系选定后，坐标系还可任选。在同一参考系中 用不同的坐标系描述同一运动，物体的运动形式相同， 但其运动形式的数学表述却可以不同。
直角坐标系 y � 自然坐标系
j
� t
极坐标系
� k
Z