指数式与对数式(基础+复习+习题+练习)
指数与对数运算练习题
指数与对数运算练习题指数与对数运算练题1.用根式的形式表示下列各式(a>0)：1) a^(1/2)2) a^(1/3)3) a^(1/4)4) a^22.用分数指数幂的形式表示下列各式：1) x^(y/3)2) (1/5)^(-3/4)3) (3ab^2)^24) 3a^45) a^33.求下列各式的值：1) 8^(1/3) = 22) 100^(1/2) = 103) (8/14)^(-3/4) = 98/274) (27/64)^(1/3) = 3/45) [(-2)^2] = 46) [(1-3/2)^2] = 1/47) 64^(1/2) = 8选择题：1.以下四式中正确的是（B）log2^1=12.下列各式值为的是（D）-53.log2^1/5^11/24的值是（A）-114.若m=lg5-lg2，则10m的值是（A）55.设N=11+log2^1/5^3，则（A）N=26.在b=loga-2(5-a)中，实数a的范围是（C）2<a<3或3<a<57.若log4[log3(log2x)]=1/2，则x^(1/2)等于（B）1/2填空题：10.用对数形式表示下列各式中的x：10x=25：x=log10(25)/log10(10)=2/1=22x=12：x=log2(12)/log2(2)=4/1=44x=16：x=log4(16)/log4(4)=2/1=211.lg1++=lg(1+1)=lg212.Log15(5)=1/m。
则log15(3)=log3(15)/log3(5)=1/(m*log3(5))13.lg2^2-lg4+1+|lg5-1|=2-2+1+|1-1|=114.(1) log3(2)=log6(3)/log6(2)2) (log6(3))^2+1-a=log6(12/a)log12(3)=log6(3)/log6(12)=log6(3)/[log6(2)+log6(6)]=log3(2 )/(1+1/2)=2log3(2)/3=2log12(3)/(log12(2)+log12(6))6、计算题1.2lg6-2lg5+lg2=lg(6^2/5)+lg2=lg(72/5)2.2lg5+lg2·lg50=2lg5+lg(2·5^2)=2lg5+lg50=lg(5^2·50)=lg12 503.2log3(2)-log3(32)+log3(8)-3log5(5)=2log3(2)-(log3(2^5)-log3(2^2))+log3(2^3)-(log5(5^3))=2log3(2)-log3(2^3)+log3(2^3)-3=2log3(2)-34.lg5·lg20-lg2·lg50-lg25=lg(5·20/2)-XXX(50)-XXX(25)=lg(50/2)-XXX(50)-XXX(25)=lg(1/2)-2lg(5)=log2-2log515.根据换底公式，log5(12)=log2(12)/log2(5)=log2(2^2·3)/log2(5)=2log2(2/5)+log2(3/5)19.根据3a=2，可得a=log2(8/9)，代入log3(8)-2log3(6)中，得log3(8)-2log3(6)=log3(2^3)-2log3(2^2·3)=3log3(2)-2log3(2)-2log3(3)=log3(2)-2log3(3)16.根据对数的定义，可得a^m=2，a^n=3，代入a^(2m+n)中，得a^(2m+n)=a^(2loga(2)+loga(3))=a^loga(2^2·3)=621.lg25+lg2lg50+(lg2)^2=2+2lg5+4=6+2lg517.⑴2log2(8)=log2(8^2)=log2(64)=6⑵3log3(9)=log3(9^3)=log3(729)=6⑶2^18=18.⑴lg10-5=1-5=-4⑵⑶log2(8)=3提升题4.化简1）a·a·a/3= a^3/32）a·a/a= a3）3a·(-a)/9= -a^2/34) ba·a^2/a^21= b/a^195）log1(81)/log1(8/27)= log8/27(81)= log3(3^4)= 4log3(3)= 45.计算⑴ 325-125/45= 200/45= 40/9⑵ 23·31.5·612= 23·63·12=⑶ (-1)-4·(-2)^-3+(-9)·2-2·2^-2= -1-1/8-18+1/2= -1453/8⑷ 7/10+0.1-2+π= 37/10+π-1.9⑸ 41/24-32/27= 41/24-32/27·8/8= (41·27-32·24)/648= 5/726.解方程1）x-1/2=1/3，x=5/62）2x^4-1=15，2x^4=16，x^4=8，x=23) (0.5)1-3x=4，(0.5)^1=0.5，0.5·2^-6x=4，2^-7x=8，-7x=log2(8)=-3，x=3/77.解题1）a+a^-1=3，已知a+a^-1=3，两边平方得a^2+a^-2+2=9，所以a^2+a^-2=72）a+a^2=3，已知a+a^-1=3，两边平方得a^2+a^-2+2=9，所以a^2+a^-2=7，两边加1得a^2+a^-2+1=8，即(a+a^-1)^2=8，所以a+a^-1=±2√2，因为a+a^-1=3，所以a+a^-1=2√23）1-2x>0，所以x<1/24）33a-2b=3^3a^3·2^-2b=27/48.lg25+lg2·lg25+lg22=2+2lg5+1=3+2lg51.化简计算：log2 111 ·log3 ·log5 2589 - 3/42.化简：(log2 5+log4 0.2)(log5 2+log25 0.5)3.若XXX(x-y)+XXX(x+2y)=lg2+lgx+lgy，求的值．4.已知log2 3 =a，log3 7 =b，用a，b表示log42 56.5.计算，（1）51-log0.2 3xy；（2）log4 3·log9 2-log1 432；（3）(log2 5+log4 125)2·log3 21.化简计算：log2 111 ·log3 ·log5 2589 - 3/4.将log2 111分解为log2 3和log3 37的和，将log5 2589分解为log5 3和log5 863的和，然后应用对数乘法和对数减法规则，得出结果为log2 3+log3 37+log3-log5-log5 3-log5 863-3/4.2.化简：(log2 5+log4 0.2)(log5 2+log25 0.5)。
指数与对数运算练习题
指数运算与对数运算练习题若 m= lg5 — lg2 ,5 210m 的值是(C 、10设 N= ―1— +log 2 3 log 5 3基础题 1、 用根式的形式表示下列各式(a . 0) 1 3 (1) a 5= ________ (2) a 4= _________ 2、 用分数指数幕的形式表示下列各式： (3)3 a _5 = (4) 3a 「2=(1) .. x 4 y 3 = (2)(3) 3 ab 2 .ab = 3、求下列各式的值 2(1) 83= ______ ;(2) 100 (4) 2 m m 二一va■va= (m 0) ； (5)(3)1(5) [(—、,2)2厂=(6) 1-3222(7) 64空1、 、选择题 以下四式中正确的是( log 22=4 B 、log 21=1 C 、log 216=4、log 21=l2 4 2、 F 列各式值为0的是( 10 B 、log 33 C 、(2- 3 )log 2 | — 1 |3、 log ?] 25的值是(B 、5D--5N= 2 C N< — 2 D N> 2A 、 a5 或 a 2 B 、2 a 5 C 、2 :a3 或 3 a 5D 3 a 47、若 log 4[log 3(log 2 x)] 1=0 ,贝U x2等于( )A 、丄12B 、 ^2C 8D 44 2)6、 在b = log a A (5 - a)中，实数a 的范围是( & 3log ^4的值是( )A 、16 B 2 C 、3 D 44、 ，则(5、9、 log 百• n ( n+1—- n)等于()A 、1 B - 1 C 、2 D - 2二、填空题10、用对数形式表示下列各式中的 xxx10=25: : 2 = 12::4x =l :11、Ig1+lg0.1+lg0.01 = 612、 L og i55=mJ 则 log 153= ______________13、 Jg 22 —Ig4+1 +1 Ig5 - 11= ___________________1 _ a14、 (1). log ,32= ------,贝U log 12 3= _________、 a2Iog 618(2). (log 6 3)- = __________ . Iog 2 6⑶ Ig 25 Ig 2 lg 50 = ________________(5) Ig5 Ig20 — Ig2 Ig50-Ig25= _______________15、 若 Ig2 = a , Ig3 = b ,则 log 512= _______ 19 、 3a = 2,贝U log 38-2log 36= ___________ 16、 若 Iog a 2 =m,log a 3 = n,a 2mHn =___________________21、lg25+lg2lg50+(lg2)2= ________ 三、解答题17、求下列各式的值⑴2log 28⑵ 3log 39log丄5⑶2 2log 17⑷3 318、求下列各式的值⑴ Ig10 - 5⑵Ig0.01(3) log21⑷ log 181827提升题4.化简137 3 35 33(1) a 3*a 4*a12 -(2) a 2*a 4a 6=(3) 3a 2•(—a 4)4" 9Ja =2-3 1(4) 「,(5): =Va •刘a27b 61 / 8 6厂(7) a 5b 5 対a 4农b 3(a 式 0,b 式0 )=5.计算__ _(1)325-125"4一5(2)2-3 315 612(4)2log 32 - 也log 38 — 3log 5591(])」_4 ( -2) -(：)°2 4 (7严 27 I +0.1 工 J 9.丿3 2 4(-3 )3 0.04 飞 8 6. 解下列方程 -1 1 (1) x 3 =丄 81 7. (1).已知 a2 - a (3)(5)(6) 1 -9「2⑷2+ '2巴尸一3冗0+聖 \、27 丿 48 4 [(-2)3]「16°75 3(2) 2x 4 -1 =15 =3，求下列各式的值（ ” \0-「3、2-2—i +2一 - 2- I I 4丿 -0.010.5(3) (0.5严=42心A a a = 1 1(1) a° - a _2= 1) ；(2) a 2a ，(2).若a a J = 3，求下列各式的值： (2) a 2+3(3) .使式子(1 -2x)花有意义的x 的取值范围是 __________ 亠 (4) .若3a =2，3—5」，则33山的值= &求 lg 25+lg2 • Ig25+lg 22 的值 9、 化简计算:log 2 — • log 31 • log 51 25 8 9 10、 化简：Iog 2 5+log 4 0.2 log s 2+log 250.5 . x 11、 若 lg x 一y lg x 2y =lg2 lg x lg y ，求一的值. 12、 .已知 log 23 = a , log 37 = b ,用 a , b 表示 log 4256. 13、计算，(1) 51_log 0.23; (2) log 4 3 log9^log ： 4 32 ； (3) (log 25+log 4 125)2log3 2 log 3 5。
高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数 4.4.1 对数函数的概念精品练习(含解析)
4.4.1 对数函数的概念必备知识基础练知识点一 对数函数的概念1.下列函数表达式中，是对数函数的有( )①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log 12(－x )(x <0)；⑥y＝2log 4(x －1)(x >1)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知f (x )为对数函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2，则f (34)＝________.知识点二对数型函数的定义域3.函数f (x )＝log 2(x 2＋3x －4)的定义域是( ) A ．[－4,1] B ．(－4,1)C ．(－∞，－4]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(1，＋∞) 4．函数f (x )＝1log 122x ＋1的定义域为________.知识点三对数函数模型的实际应用5.某种动物的数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的函数关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只6．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x 万元时，奖励y 万元．若公司拟定的奖励方案为y ＝2log 4x －2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元.关键能力综合练 一、选择题 1．给出下列函数：①y ＝log 23x 2；②y ＝log 3(x －1)；③y ＝log (x ＋1)x ；④y ＝log πx .其中是对数函数的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅3．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，若f (1)＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．函数y ＝1log 2x －2的定义域为( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)5．函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D．[1，＋∞)6．(探究题)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))的值为( )A ．lg 101B ．1C ．2D ．0 二、填空题7．若f (x )＝log a x ＋a 2－4a －5是对数函数，则a ＝________.8．若f (x )是对数函数且f (9)＝2，当x ∈[1,3]时，f (x )的值域是________．9．(易错题)函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫2kx 2－kx ＋38的定义域为R ，则实数k 的取值X 围是________．三、解答题10．求下列函数的定义域：(1)y＝1log2x＋1－3；(2)y＝log(2x－1)(3x－2)；(3)已知函数y＝f[lg(x＋1)]的定义域为(0,99]，求函数y＝f[log2(x＋2)]的定义域．学科素养升级练1．(多选题)已知函数f(x)＝log a(x＋1)，g(x)＝log a(1－x)(a>0，a≠1)，则( ) A．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)B．函数f(x)＋g(x)的图象关于y轴对称C．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0D．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数2．设函数f(x)＝log a x(a>0且a≠1)，若f(x1x2…x2 017)＝8，则f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x22 017)＝________.3．(情境命题—生活情境)国际视力表值(又叫小数视力值，用V表示，X围是[0.1,1.5])和我国现行视力表值(又叫对数视力值，由缪天容创立，用L表示，X围是[4.0，5.2])的换算关系式为L＝5.0＋lg V.(1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整；V 1.5②0.4④L ① 5.0③ 4.0(2)甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为 4.5，乙的小数视力值是甲的2倍，求乙的对数视力值．(所求值均精确到小数点后面一位数，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)4．4 对数函数4．4.1 对数函数的概念必备知识基础练1．解析：符合对数函数的定义的只有③④. 答案：B2．解析：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则log a 12＝－2，∴1a 2＝12，即a ＝2，∴f (x )＝，∴f (34)＝34＝log 2(34)2＝log 2243＝43.答案：433．解析：一是利用函数y ＝x 2＋3x －4的图象观察得到，要求图象正确、严谨；二是利用符号法则，即x 2＋3x －4>0可因式分解为(x ＋4)(x －1)>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4>0，x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4<0，x －1<0，解得x >1或x <－4，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－4)∪(1，＋∞)．答案：D4．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，2x ＋1≠1，解得x ＞－12且x ≠0，则f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞)5．解析：由题意，知100＝a log 2(1＋1)，得a ＝100，则当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝100×3＝300.答案：A6．解析：由题意得5＝2log 4x －2，即7＝log 2x ，得x ＝128. 答案：128关键能力综合练1．解析：①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．答案：A2．解析：∵M ＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}，N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}，∴M ∩N ＝{x |－1<x <1}．答案：C3．解析：∵f (1)＝log a (1＋1)＝1，∴a 1＝2，则a ＝2，故选C. 答案：C4．解析：要使原函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，log 2x －2≠0，解得2<x <3或x >3，所以原函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选C.答案：C5．解析：∵3x >0，∴3x ＋1>1.∴log 2(3x＋1)>0.∴函数f (x )的值域为(0，＋∞)． 答案：A6．解析：由题 f (f (10))＝f (lg 10)＝f (1)＝12＋1＝2.故选C. 答案：C7．解析：由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a >0，a ≠1，解得a ＝5.答案：58．解析：设f (x )＝log a x ，∵f (9)＝2，∴log a 9＝2，∴a ＝3，∴f (x )＝log 3x 在[1,3]递增，∴y ∈[0,1]．答案：[0,1]9．解析：依题意，2kx 2－kx ＋38>0的解集为R ，即不等式2kx 2－kx ＋38>0恒成立，当k ＝0时，38>0恒成立，∴k ＝0满足条件．当k ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝k 2－4×2k ×38<0，解得0<k <3.综上，k 的取值X 围是[0,3)． 答案：[0,3)10．解析：(1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，log 2x ＋1－3≠0，即x >－1且x ≠7，故该函数的定义域为(－1,7)∪(7，＋∞)． (2)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得x >23且x ≠1，故该函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞)． (3)∵0<x ≤99，∴1<x ＋1≤100. ∴0<lg(x ＋1)≤2， ∴0<log 2(x ＋2)≤2， 即1<x ＋2≤4，即－1<x ≤2. 故该函数的定义域为(－1,2]．学科素养升级练1．解析：f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)＋log a (1－x )所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>01－x >0，解得－1<x <1，函数f (x )＋g (x )的定义域为(－1,1)，故A 正确；f (－x )＋g (－x )＝log a (－x ＋1)＋log a (1＋x )，所以f (x )＋g (x )＝f (－x )＋g (－x )，所以函数f (x )＋g (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，故B 正确；f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)＋log a (1－x )＝log a (x ＋1)(1－x )＝log a (－x 2＋1)，令t ＝－x 2＋1，则y ＝log a t ，在x ∈(－1,0)上，t ＝－x 2＋1单调递增，在x ∈(0,1)上，t ＝－x 2＋1单调递减，当a >1时，y ＝log a t 单调递增，所以在x ∈(－1,0)上，f (x )＋g (x )单调递增，在x ∈(0,1)上，f (x )＋g (x )单调递减，所以函数f (x )＋g (x )没有最小值，当0<a <1时，y ＝log a t 单调递减，所以在x ∈(－1,0)上，f (x )＋g (x )单调递减，在x ∈(0,1)上，f (x )＋g (x )单调递增，所以函数f (x )＋g (x )有最小值为f (0)＋g (0)＝0，故C 错；f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )＝log ax ＋11－x＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21－x ，令t ＝－1＋21－x ，y ＝log a t .在x ∈(－1,1)上，t ＝－1＋21－x 单调递增，当a >1时，f (x )＋g (x )在(－1,1)单调递增，当0<a <1时，f (x )＋g (x )在(－1,1)单调递减，故D错．故选AB.答案：AB2．解析：∵f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22 017) ＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22 017 ＝log a (x 1x 2x 3…x 2 017)2＝2log a (x 1x 2x 3…x 2 017) ＝2f (x 1x 2x 3…x 2 017)， ∴原式＝2×8＝16. 答案：163．解析：(1)因为5.0＋lg 1.5＝5.0＋lg 1510＝5.0＋lg 32＝5.0＋lg 3－lg 2≈5.0＋0.477 1－0.301 0≈5.2， 所以①应填5.2； 因为5.0＝5.0＋lg V ， 所以V ＝1，②处应填1.0；因为5.0＋lg 0.4＝5.0＋lg 410＝5.0＋lg 4－1＝5.0＋2lg 2－1≈5.0＋2×0.301 0－1≈4.6， 所以③处应填4.6；因为4.0＝5.0＋lg V ，所以lg V ＝－1.所以V＝0.1.所以④处应填0.1.对照表补充完整如下：(2)则有4.5＝5.0＋lg V甲，所以V甲＝10－0.5，则V乙＝2×10－0.5.所以乙的对数视力值L乙＝5.0＋lg(2×10－0.5) ＝5.0＋lg 2－0.5≈5.0＋0.301 0－0.5≈4.8.。
对数计算练习题
对数计算练习题一、基础题1. 计算下列对数的值：(1) log₂8(2) log₅25(3) log₃1/27(4) log₁₀1002. 将下列指数式转换为对数式：(1) 2³ = 8(2) 5² = 25(3) 3⁻³ = 1/27(4) 10² = 1003. 将下列对数式转换为指数式：(1) log₂8 = 3(2) log₅25 = 2(3) log₃1/27 = 3(4) log₁₀100 = 2二、进阶题1. 计算下列对数的值：(1) log₂16 log₂2(2) log₅125 + log₅5(3) log₃9 / log₃3(4) log₁₀1000 ÷ log₁₀102. 化简下列对数表达式：(1) log₂(8×2)(2) log₅(25÷5)(3) log₃(27×1/3)(4) log₁₀(1000÷100)3. 计算下列对数的值：(1) log₂(1/16)(2) log₅(1/125)(3) log₃(1/81)(4) log₁₀(1/10000)三、综合题1. 已知log₂x = 3，求x的值。
2. 已知log₅x = 2，求x的值。
3. 已知log₃x = 2，求x的值。
4. 已知log₁₀x = 4，求x的值。
5. 已知log₂(x1) = 2，求x的值。
6. 已知log₅(x+3) = 1，求x的值。
7. 已知log₃(x/2) = 0，求x的值。
8. 已知log₁₀(x²) = 3，求x的值。
四、应用题1. 如果10的某个对数等于5，那么这个对数是多少？2. 某城市的人口每20年增长一倍，如果现在的人口是P，那么多少年前人口是P/4？3. 一种放射性物质的半衰期是5年，经过15年后，剩余的这种物质占原来总量的多少？4. 一个细菌群体每半小时增长一倍，经过2小时后，细菌的数量是初始数量的多少倍？五、难题1. 已知log₂(x+1) log₂(x1) = 3，求x的值。
第四章 指数函数与对数函数【章节复习专项训练】(解析版)
第四章指数函数与对数函数【章节复习专项训练】【考点1】：指数、对数的运算例题1．下列各式正确的是（）A ．248πππ=B ．23e =C ．ln 6ln 2ln 3=D ．lg 4lg 252+=【答案】D 【分析】由指数的运算法则可判断AB ；由换底公式可判断C ；由对数的加法运算法则可判断D.【详解】对于A ，22644ππππ+==，故A 错误；对于B ，23e =，故B 错误；对于C ，3ln 6log 6ln 3=，故C 错误；对于D ，()lg 4lg 25lg 425lg1002+=⨯==，故D 正确.故选：D.【变式1】以下对数式中，与指数式56x =等价的是（）A ．5log 6x =B ．5log 6x =C ．6log 5x =D ．log 65x =【答案】A 【分析】根据指数式和对数式的关系即可得出.【详解】根据指数式和对数式的关系，56x =等价于5log 6x =.故选：A.【变式2】已知log 92a =-，则a 的值为（）A ．3-B ．13-C ．3D ．13【答案】D 【分析】直接将对数式化为指数式求解即可.【详解】∵log 92a =-，0a >，∴29a -=，解得13a =，故选：D.【点睛】本题主要考查了对数的概念，属于基础题.【变式3】若1log 24a =，则a =（）A ．2B ．4C ．12D ．14【答案】C 【分析】利用指数式与对数式的互化以及指数幂的运算即可求解.【详解】2111log 2442aa a =⇒=⇒=.故选：C 【点睛】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.【变式4】计算122121(2)()248n n n ++-⋅⋅(n ∈N *)的结果为（）A ．416B ．22n＋5C ．2n 2－2n ＋6D ．1(22n －7【答案】D 【分析】结合指数的运算公式化简即可求出结果.【详解】原式272221722626222122222n n n n n n -+-----⋅⎛⎫==== ⎪⋅⎝⎭，故选：D.【考点2】：指数函数、对数函数的概念例题1．下列函数表达式中，是对数函数的有（）①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝log 2(x ＋1)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】根据对数函数的概念确定正确选项.【详解】形如log a y x =（0a >且1a ≠）的函数为对数函数，故③④为对数函数，所以共有2个.故选：B 【点睛】本小题主要考查对数函数的概念，属于基础题.【变式1】已知正整数指数函数()(2)x f x a a =-，则(2)f =（）A ．2B ．3C ．9D ．16【答案】C 【分析】由函数是指数函数可求出3a =，即可求出(2)f .【详解】因为函数()(2)x f x a a =-是指数函数，所以21a -=，则3a =，所以()3x f x =，+∈x N ，所以2(2)39f ==.故选：C.【点睛】本题考查指数函数概念的理解，属于基础题.【变式2】若函数()f x 是指数函数，且()22f =，则()f x =（）A ．xB ．2xC ．12x⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2x⎫⎪⎪⎝⎭【答案】A 【分析】利用待定系数法求解即可.【详解】解：由题意，设()(0xf x a a =>且)1a ≠，因为()22f =所以22a =，解得a =所以()xf x =.故选：A.【点睛】本题考查待定系数法求指数函数解析式，是基础题.【变式3】已知函数2x y a =⋅和2x b y +=都是指数函数，则a b +=（）A ．不确定B ． 0C ．1D ． 2【答案】C 【分析】根据指数函数的概念，得到1a =，0b =，即可求出结果.【详解】因为函数2x y a =⋅是指数函数，所以1a =，由2x b y +=是指数函数，得0b =，所以1a b +=.故选：C.【点睛】本题主要考查由指数函数概念求参数的问题，属于基础题型.【变式4】已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，若f （1）＝1，则a ＝（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合代入法进行求解即可.【详解】∵f （1）＝log a (1＋1)＝1，∴a 1＝2，则a ＝2，故选：C.【考点3】：指数函数、对数函数的图像和性质例题1．如图，若1C ，2C 分别为函数log a y x =和log b y x =的图象，则（）A ．01a b <<<B ．01b a <<<C ．1a b >>D ．b a l>>【答案】B 【分析】根据对数函数的图象特征，即可直接得到,a b 大小关系.【详解】根据1C ，2C 分别为函数log a y x =和log b y x =的图象，可得01b <<，01a <<，且b a <.故选：B 【点睛】本题考查根据对数函数图象求参数范围，注意规律的总结，属简单题.【变式1】函数()()ln 31y x x =-+的定义域是（）A ．()1,3-B ．[]1,3-C ．()(),13,-∞-+∞D ．(][),13,-∞-+∞【答案】A 【分析】由对数函数定义要求其真数大于零构建不等式，求解即可.【详解】在对数函数()()ln 31y x x =-+中，真数()()()()310310x x x x -+>⇒-+<，所以()1,3x ∈-.故选：A 【点睛】本题考查求对数函数的定义域，属于基础题.【变式2】函数12(1)log 1y x =+-的图象一定经过点（）A ．()1,1B ．()1,0C ．()2,1D ．()2,0【答案】C 【分析】根据对数函数的性质，结合图象的平移变换规律进行求解即可.【详解】把12log y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到12(1)log 1y x =+-的图象，因为12log y x =的图象恒过(1,0)点，所以12(1)log 1y x =+-的图象经过点(2,1).故选：C 【点睛】本题考查了对数型函数恒过定点问题，考查了函数图象的平移变换性质，属于基础题.【变式3】已知函数()2xy a =-，且当0x <时，1y >，则实数a 的取值范围是（）A ．3a >B ．23a <<C ．4a >D ．34a <<【答案】B 【分析】利用指数函数的性质求解即可【详解】当0x <时，1021y a >∴<-<，，解得23a <<，故选：B.【变式4】函数y =2|x |的图象是（）A ．B ．C．D．【答案】B 【分析】将函数写成分段函数，再结合指数函数的图象，即可容易判断.【详解】y =2|x |=2,01,02x x x x ⎧≥⎪⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，故当0x ≥时，函数图象同2x y =单调递增；当0x <时，函数图象同1()2xy =单调递减，且0x =时，1y =.满足以上条件的只有B .故选：B .【点睛】本题考查指数型函数的图象，属简单题.【考点4】：函数的零点与方程的解整式的乘法例题1．设1x ,2x 分别是函数()1x f x xa =-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >）,则122x x +的取值范围是（）A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．[3,)+∞D ．(3,)+∞【答案】D 【分析】解法一:（图象法）根据题意可知12,x x 分别为x y a =与1y x =和log a y x =与1y x=交点的横坐标,,再根据同底数的指数对数函数互为反函数,有121x x =.代入1222122x x x x +=+,再根据区间(1,)+∞上单调递增,所以1223x x +>.解法二:（定义法）根据函数零点的定义可知1x 、2x 是方程1x a x=和1log a x x =的根,又1a >,所以函数1()xF x a x=-在(0,)+∞上单调递增,所以121x x =.代入1222122x x x x +=+在区间(1,)+∞上单调递增,所以1223x x +>.【详解】解:解法一:（图象法）根据函数零点的定义可知函数x y a =与1y x =的图象交点为111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,同理可得函数log a y x =与1y x =的图象交点为221,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又因为函数x y a =与log a y x =的图象关于直线y x =对称,函数1y x=的图象也关于直线y x =对称,所以点111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点221,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于直线y x =对称,所以121x x =.由1a >可知21>x ,所以1222122x x x x +=+在区间(1,)+∞上单调递增,所以1223x x +>.故选:D解法二:（定义法）根据函数零点的定义可知1x 是方程1xa x=的根,所以1x 也是函数1()xF x a x=-的零点.同理可得2x 是方程1log a x x=的根,即221log a x x =,所以212x ax =,所以21x 也是函数1()xF x a x=-的零点.又1a >,所以函数1()xF x a x=-在(0,)+∞上单调递增,所以121x x =.由1a >可知21>x ,所以1222122x x x x +=+在区间(1,)+∞上单调递增,所以1223x x +>.故选:D 【点睛】本题考查了方程的根的确定、反函数性质的应用以及利用函数的单调性求最值,属于基础题.【变式1】函数()33x f x x =+的零点所在区间为（）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,3【答案】A 【分析】判断出所给区间的端点值的乘积小于0可得答案.【详解】()()31213103f --=+-=-<；()()3003010f =+=>；()()3113140f =+=>；()()32232170f =+=>；()()33333540f =+=>；所以()()100f f -<.故选：A.【变式2】已知函数(),0ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()g x f x a =+，若()g x 恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）A ．()1,0-B ．[)1,0-C ．()0,1D ．(]0,1【答案】B 【分析】利用数形结合的方法，作出函数()f x 的图象，简单判断即可.【详解】依题意，函数()y f x =的图象与直线y a =-有两个交点，作出函数图象如下图所示，由图可知，要使函数()y f x =的图象与直线y a =-有两个交点，则01a <-≤，即10a -≤<.故选：B .【点睛】本题考查函数零点问题，掌握三种等价形式：函数零点个数等价于方程根的个数等价于两个函数图象交点个数，属基础题.【变式3】函数()232f x x x =-+的零点是（）A ．()1,0B ．()1,0和()2,0C ．1和2D ．以上都不是【答案】C 【分析】当()0f x =时对应的x 的值即为所求的零点.【详解】令()0f x =，即2320x x -+=，解得：1x =或2x =，()f x ∴的零点是1和2.故选：C .【点睛】本题考查函数零点的求解问题，易错点是误认为零点为一个点的坐标，实际零点是函数值为零时，对应的自变量的值.【变式4】已知函数21ln ()xf x x -=，那么方程f （x ）＝0的解是（）A ．1=x eB ．x ＝1C ．x ＝eD ．x ＝1或x ＝e【答案】C 【分析】通过解方程求得()0f x =的解.【详解】依题意()21ln 0xf x x -==，所以1ln 0,ln 1,x x x e -===.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数零点的求法，属于基础题.【考点5】：用二分法求方程的近似解例题1．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在(1，1.5)内的近似解的过程中，有f （1）<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则该方程的根所在的区间为（）A ．(1，1.25)B ．(1.25，1.5)C ．(1.5，2)D ．不能确定【答案】B 【分析】根据零点存在性定理即可判断零点所在区间.【详解】∵f (1.25)·f (1.5)<0，且f (x )是单调增函数，∴该方程的根所在的区间为(1.25，1.5)．故选：B.【变式1】下列函数不宜用二分法求零点的是（）A ．f (x )＝x 3－1B ．f (x )＝ln x ＋3C ．f (x )＝x 2＋＋2D ．f (x )＝－x 2＋4x －1【答案】C 【分析】根据二分法的概念可知，只有存在区间[](),a b a b <，使得()()0f a f b <，才能应用二分法求零点，即可判断出各选项对应的函数是否可用二分法求零点．【详解】对于A ，存在区间[]0,2，使得()()020f f <，所以A 宜用；对于B ，存在区间4,1e -⎡⎤⎣⎦，使得()()410f e f -<，所以B 宜用；对于C ，()(20f x x =≥，不存在区间[](),a b a b <，使得()()0f a f b <，所以C 不宜用；对于D ，存在区间[]0,1，使得()()010f f <，所以D 宜用．故选：C ．【点睛】本题主要考查二分法的概念的理解以及应用，属于容易题．【变式2】函数33()log 2f x x x=-在区间[1，3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为（）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】先求(1),(3)f f ，再求(2)f ，发现(3),(2)f f 异号，再求5(2f 的值，再利用零点存在性定理判断即可【详解】解：因为31(1)0,(3)022f f =-<=>，3433333(2)log 2log 2log 3log log 04f =-=-==<，353333355355log log log 3log log log 022524f ⎛⎫=-=-=>=> ⎪⎝⎭因此，函数f (x )的零点在区间52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，故选：C.【点睛】此题考查二分法判断零点，考查了零点存在性定理的应用，属于基础题.【变式3】用二分法求函数()f x 在(,)a b 内的唯一零点时，精确度为0.001，则经过一次二分就结束计算的条件是（）A ．||0.2a b -<B ．||0.002a b -<C ．||0.002a b ->D ．||0.002a b -=【答案】B【分析】根据二分法的步骤分析可得.经过一次二分后,零点所在区间长度为||2b a -,结束计算的条件是零点所在区间的长度满足精确度,由此可得.【详解】据二分法的步骤知,经过一次二分后,零点所在区间长度为||2b a -,此时结束计算,所以||2b a -0.001<,所以||0.002b a -<.故选B【点睛】本题考查了二分法的步骤,属于基础题.【变式4】下面关于二分法的叙述，正确的是（）A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循D．只有在求函数零点时才用二分法【答案】B【分析】A C D进行判断,可以排除,从而选B.根据二分法的概念对,,【详解】只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右两侧函数值异号，オ可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错.故选B.【点睛】本题考查了二分法的概念,属于基础题.。
考点03 指对数运算及基本初等函数复习(解析版)
考点03 指对数运算及基本初等函数复习一、单选题1．设集合(){}ln 1A y y x ==-，{B y y ==，则A B =（ ）A ．[)0,2B ．()0,2C ．[]0,2D ．[)0,1【答案】A 【解析】 【分析】先分别利用对数型函数以及指数型函数求值域的方法求出集合,A B ，注意集合中的代表元素，再利用集合的交集运算求解即可. 【详解】∵(){}ln 1A y y x R ==-=，{[)0,2B y y ===，∴[)0,2AB =.故选：A. 【点睛】本题主要考查了集合间的运算以及对数函数和指数函数.属于较易题.2．已知3log 2a =，5log 6b =，ln 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．c a b <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的图象与性质，求得(0,1)a c <∈，(1,)b ∈+∞，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据对数的性质，可得3log 2(0,1)a =∈，5log 6(1,)b =∈+∞， 又由321log 2log 3a ==，21ln 2log c e==，因为3e >，所以22log 3log 1e >>，可得1a c <<， 所以a c b <<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．已知3x=5y=a ，且 1 x +1 y=2，则a 的值为（ ）A B ．15C ．D ．225【答案】A 【解析】 【分析】把指数式化为对数式，再利用对数的运算法则即可得出答案 【详解】35x y a == lg3lg5lg x y a ∴==1lg 31lg 5,lg lg x a y a∴== 则11lg 3lg 5lg152=lg lg x y a a++== 2lg lg15,0a a ∴=>a ∴=故选A 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，在求解过程中指数与对数的互化是解题关键，属于基础题 4．已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11a b>B ．()2log 0a b ->C ．1132a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．21a b -<【答案】C 【解析】 【分析】根据22log log a b >，利用对数函数的单调性得到0a b >>，然后利用不等式的基本性质判断A ；利用特殊值判断B ；利用指数函数和幂函数的单调性判断C ；利用指数函数的单调性判断D 即可. 【详解】因为22log log a b >， 所以0a b >>， 所以11a b<，0221a b ->= ， 当3,12a b ==时，()221log log 102a b -==-<，由指数函数和幂函数的单调性得111332abb⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数、指数函数和幂函数的单调性的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 5．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递增，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()f x 的性质可知，只需分析31log 4，322-，232-的大小关系，绝对值越大函数值越大.因为函数()f x 为偶函数且在()0,∞+递增，所以()f x 在(),0-∞上递减， 又3311log log 143<=-，则31log 14>，23320221--<<<，所以23233102lo 2g 4--<<<， 所以233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查利用函数的性质比较函数值的大小关系，较简单.6．已知函数())3ln 2f x x x =+-，则()()20202020f f +-=（ ）A ．2B ．0C ．2-D ．4-【答案】D 【解析】 【分析】引入函数())3lng x x x =+，它是奇函数，则()2020g +()20200g -=，由此可计算(2020)(2020)f f +-．【详解】设())3lng x x x =+.则()()g x g x -=-，即()g x 为奇函数，所以()2020g +()20200g -=，所以()()()()202020202020202044f f g g +-=+--=-. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义与性质是解题关键．7．已知0x >,0y >,lg 4lg 2lg8x y+=,则142x y+的最小值是（ ）. A ．3 B ．94 C ．4615D ．9【解析】 【分析】由已知结合指数与对数的运算性质可得23x y +=,从而根据()141142232x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭,展开后利用基本不等式可得解. 【详解】0x ,0y >,428x y lg lg lg +=,所以428x y =,即23x y +=,则()14114181255232323y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝3=, 当且仅当82y x x y =且23x y +=即12x =,2y =时取等号, 则142x y+的最小值是3. 故选：A 【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及利用基本不等式求解最值,要注意应用条件的配凑.属于中档题.8．若函数122log (3),1,()6,1m x x f x x x m x ⎧-<⎪=⎨⎪-+⎩的值域为R ，则m 的取值范围为（ ） A ．(0，8] B ．(0，9]2C ．9[2，8]D ．(-∞，1](0-⋃，9]2【答案】B 【解析】 【分析】讨论0m >和0m 时函数的单调区间，得到0m 时不成立，0m >时需满足f （3）129(31)m mlog m =--=-，解出即可.【详解】①若0m >时，则当1x <时，12()(3)mf x log x =-单调递增，当1x 时，22()6(3)9f x x x m x m =-+=-+-在(3,)+∞上单调递增，在[1，3)上单调递减， 若函数值域为R 则需12(31)(3)9mlo f m g m --==-，解得902m <；②若0m 时，则当1x <时，12()(3)mf x log x =-单调递减，当1x 时，22()6(3)9f x x x m x m =-+=-+-在(3,)+∞上单调递增，在[1，3)上单调递减，不满足函数值域为R ，不符合题意，舍去， 综上：m 的取值范围为(0，9]2， 故选：B 【点睛】本题主要考查分段函数的值域，考查分类讨论思想、函数思想，属于中档题.二、多选题9．下列关于幂函数y x α=的性质，描述正确的有( )A ．当1α=-时函数在其定义域上是减函数B ．当0α=时函数图象是一条直线C ．当2α=时函数是偶函数D ．当3α=时函数有一个零点0【答案】CD 【解析】 【分析】根据幂函数的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】 对于A 选项，1y x=，在(),0-∞和()0,∞+上递减，不能说在定义域上递减，故A 选项错误. 对于B 选项，0y x =，0x ≠，图象是：直线1y =并且除掉点()0,1，故B 选项错误. 对于C 选项，2yx ，定义域为R ，是偶函数，所以C 选项正确.对于D 选项，3y x =，只有一个零点0，所以D 选项正确.故选：CD 【点睛】本小题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题. 10．下列四个函数中过相同定点的函数有（ ） A ．2y ax a =+- B ．21a y x -=+C ．()310,1x y aa a -=+>≠D ．()()log 210,1a y x a a =-+>≠【答案】AB 【解析】 【分析】分别求出各个函数的定点，即可判断. 【详解】对于2y ax a =+-，当1x =时，2y =，则2y ax a =+-过定点()1,2；对于21a y x -=+，当1x =时，2y =，则21a y x -=+过定点()1,2；对于()310,1x y aa a -=+>≠，当3x =时，2y =，则()310,1x y a a a -=+>≠过定点()3,2；对于()()log 210,1a y x a a =-+>≠，当1x =时，1y =，则()()log 210,1a y x a a =-+>≠过定点()1,1,故A ，B 中的函数过相同的定点. 故选：AB. 【点睛】本题考查函数定点的判断，属于基础题. 11．在同一坐标系中,函数()0ay xa =≠和1y ax a=-的图像不可能是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】 【分析】 已知函数()0ay xa =≠和1y ax a=-，对于选项A 和D ，通过幂函数过第一象限且是减函数对一次函数的图像与其是否相符进行判断，对于选项B ，通过幂函数是增函数确定a 的正负性，进而对其进行判断，对于选项C ，根据幂函数是偶函数且过一、二象限对其进行判断，进而得出最终答案. 【详解】对于选项A 和D ，由于幂函数的图像过第一象限，且是减函数，0a <，与一次函数是增函数和一次函数在y 轴上的截距为负矛盾，故错误；对于选项B ，由于幂函数的图像过第一、三象限，且是增函数，1a >，与一次函数的图像不相符，故错误； 对于选项C ，由于幂函数图像过第二象限，且是偶函数，0a >，与-次函数的图像相符，故正确. 故选：ABD . 【点睛】这是一道考查函数图像的题目，解题的突破口是对幂函数图像的性质进行应用，考查学生对幂函数的理解，是中档题.12．下列选项中说法正确的是（ ）A ．函数()()22log 2f x x x =-的单调减区间为(),1-∞B ．幂函数()f x mx α=过点12⎛⎝⎭，则32m α+= C ．函数()y f x =的定义域为[]1,2，则函数()2xy f =的定义域为[]2,4D ．若函数()()2lg 54f x ax x =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是250,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BD 【解析】 【分析】对于A 选项：由对数函数的定义域和复合函数的单调可判断；对于B 选项：由幂函数的定义和函数过的点可判断；对于 C 选项：由复合函数的定义域可判断；对于 D 选项：由对数函数的值域可判断. 【详解】对于A 选项：由22>0x x -得>2x 或0x <，所以()()22log 2f x x x =-中函数的定义域为()()02-∞+∞，，，又函数22t x x =-在(),1-∞上单调递减，函数2log y t =在()0,∞+上单调递增，所以函数()()22log 2f x x x =-的单调减区间为(),0-∞，故A 不正确；对于B 选项：因为幂函数()f x mx α=过点1,22⎛ ⎝⎭，所以212m α⎛⎫= ⎪⎝⎭，且1m =，解得12α=，所以32m α+=，故B 正确； 对于 C 选项：因为函数()y f x =的定义域为[]1,2，所以122x ≤≤，解得01x ≤≤，所以函数()2xy f =的定义域为[]0,1，故C 不正确；对于 D 选项：因为函数()()2lg 54f x ax x =++的值域为R ，所以当0a =时，()()lg 54f x x =+，满足其值域为R ， 当0a ≠时，需>0a 且25160a ∆=-≥，解得25016a <≤， 所以实数a 的取值范围是250,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确，故选：BD. 【点睛】本题考查函数的定义域，复合函数的单调性，对数函数的值域和幂函数的定义，属于中档题.三、填空题13．设102a =，lg3b =，则5log 12=________.【答案】21a ba【解析】 【分析】首先变指数式为对数式求得a ，把2log 6运用乘积的对数等于对数的和展开后，再运用换底公式转化成含有2lg 和3lg 的式子，代入a 和b 后可的结果． 【详解】解：由102a =，得：2a lg =，又因为3b lg =，所以()25lg 32lg12lg32lg 22log 1210lg5lg10lg 21lg 2b aa ⨯++====--⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为：21b aa+-． 【点睛】本题主要考查对数值的求法，以及对数的运算，考查了对数的换底公式，关键是从102a =，求得a 的值，属于基础题．14．已知函数41,(,1)()2log ,(1,)xx f x x x ⎧⎛⎫∈-∞⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪∈+∞⎩，则()1f x >的解集为________.【答案】()(),04,-∞+∞【解析】 【分析】根据分段函数解析式，分类讨论分别计算，再取并集即可； 【详解】解：当1x <时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()1f x >，所以1121xx ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪<⎩解得0x <，当1x >时，4()log f x x =时，因为()1f x >，所以4log 11x x >⎧⎨>⎩，解得4x >综上可得不等式的解集为()(),04,-∞+∞故答案为：()(),04,-∞+∞【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，分段函数不等式的解法，考查分类讨论思想，属于中档题.15．已知点(2,9)在函数()xf x a =（0a >且1a ≠）图象上，对于函数()y f x =定义域中的任意1x ，()212x x x ≠，有如下结论：①()()()1212f x x f x f x +=⋅； ②()()()1212f x x f x f x ⋅=+； ③()()12120f x f x x x -<-；④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. 上述结论中正确结论的序号是___________. 【答案】①④ 【解析】 【分析】先求出a ，根据指数运算与指数函数性质依次讨论即可逐项排除得到答案. 【详解】点(2,9)在函数()xf x a =（0a >且1a ≠）图象上，即29a =，3a ∴=，()3x f x =， ∵对于函数()3xf x =定义域中的任意的()1212,x x x x ≠，有()()()12121212333x x x x f x x f x f x ++==⋅=∴结论（1）正确；又()12123x xf x x =，()()121233xxf x f x +=+，()()()1212f x x f x f x ∴≠+，∴结论（2）错误；又()3xf x =是定义域R 上的增函数，∴对任意的12,x x ，不妨设12x x <，则()()12f x f x <，120x x ∴-<，()()120f x f x -<，()()12120f x f x x x -∴->，∴结论（3）错误；又1212232x xx x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()12123322x x f x f x ++= ()()12211212121222122213312()(33)22332x x x x x x x x x x f x f x x x f --+++∴=+=++⎛⎫⎪⎝⎭，12x x ≠122122332x x x x --∴+>，()()1212212f x f x x x f +∴>+⎛⎫ ⎪⎝⎭∴结论（4）正确； 故答案为：（1），（4）. 【点晴】本题考查命题真假判断，实质上是考查函数的性质．对于这种给出具体函数式的问题，只要把函数式代入一一验证即可，解决此类问题不能限入误区，认为这类问题都是有难度，没处下手，事实上最简单的方法反而是最好的方法．16．已知2()24,()xf x x xg x a =-+=（0 a >且1a ≠），若对任意的1[1,2]x ∈，都存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x <成立，则实数a 的取值范围是______________ 【答案】1(0,)(2,)4+∞【解析】 【分析】由题意，只要()g x 在[1,2]-上的最大值大于()f x 在[1,2]上的最大值即可，再分01a << 和1a >两种情况讨论可得答案. 【详解】因为()221()24+3f x x x x -=-+=，1[1,2]x ∈，所以()()211()242f f x x x f ≤=-+≤，所以13()4f x ≤≤，要使对任意的1[1,2]x ∈，都存在2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x <成立， 则需()g x 在[1,2]-上的最大值大于()f x 在[1,2]上的最大值，即max ()>4g x ，当01a <<，()xg x a =在[1,2]-上单调递减，所以max 1()(1)>4g x g a=-=，解得104a <<，当>1a ，()xg x a =在[1,2]-上单调递增，所以2max ()(2)>4g x g a ==，解得>2a ，所以实数a 的取值范围是1(0,)(2,)4+∞，故答案为：1(0,)(2,)4+∞.【点睛】本题考查任意和存在的问题，注意辨别函数的最值之间的大小关系，属于中档题.四、解答题17．求下列各式的值.（1）()100.2531.8201927-⨯---（2）7log 5229814log log 7log 43-++ 【答案】（1）2-；（2）294. 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可求出； （2）运用对数的运算性质即可得出. 【详解】 （1） （2）原式22214log 3log 81log 454221294log 34log 32544. 【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题. 18．已知命题p ：指数函数()()26xf x a =-在R 上是单调减函数；命题q ：关于x 的方程223210x ax a -++=有实根，（1）若p 为真，求a 的范围 （2）若q 为真，求a 的范围（3）若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的范围. 【答案】（1）732a <<；（2）2a ≤-或2a ≥；（3）2a ≤-或72a ≥ 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性，即可求出命题p 为真时a 的取值范围；（2）利用判别式，求出命题q 为真时a 的取值范围；（3）根据题意知，p 、q 一真一假，求出p 真q 假和p 假q 真时a 的取值范围，再取并集． 【详解】解：（1）命题p ：指数函数()()26xf x a =-在R 上是单调减函数；若p 为真，则0261a <-<，解得732a <<， ∴a 的取值范围是：732a <<； （2）命题q ：关于x 的方程223210x ax a -++=有实根， 若q 为真，则()2294210aa ∆=-+≥，解得：2a ≤-或2a ≥，∴a 的取值范围是2a ≤-或2a ≥；（3）若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 、q 一真一假；当p 真q 假时，73222a a ⎧<<⎪⎨⎪-<<⎩，解得：a ∈∅；当p 假q 真时，73222a a a a ⎧≤≥⎪⎨⎪≤-≥⎩或或，解得：2a ≤-或72a ≥；综上，实数a 的取值范围是：2a ≤-或72a ≥. 【点睛】本题考查了复合命题的真假性判断与应用问题，还考查了指数函数的单调性以及一元二次方程的根的判别式，是中档题．19．已知幂函数()()22421m m f x m x -+=-在()0,∞+上单调递增.（1）求m 的值；（2）当[]1,2x ∈时，记()f x 的值域为集合A ，若集合[]2,4B k k =--，且=A B ∅，求实数k 的取值范围.【答案】（1）0m =；（2）3k >或2k <-. 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义可得；（2）求出()f x 的值域，再由集合交为空集的含义可得k . 【详解】（1）∵()f x 为幂函数，∴()211m -=，∴0m =或2.当0m =时，()2f x x =在()0,∞+上单调递增，满足题意.当2m =时，()2f x x -=在()0,∞+上单调递减，不满足题意，舍去.∴0m =.（2）由（1）知，()2f x x =.∵()f x 在[]1,2上单调递增，∴[]1,4A =由于此题中B ≠∅，要满足=A B ∅，只需4124k k -<->或，32k k ><-或.【点睛】此题考查幂函数概念、空集概念、集合交运算，属于基础题.20．已知函数()()2101x x f x m m -=>+，且()325f =. （1）求m 的值，并指出函数()y f x =在R 上的单调性（只需写出结论即可）； （2）证明：函数()f x 是奇函数； （3）若()()2230f mf m +-<，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2，()f x 在R 上为增函数；（2）证明见解析；（3）（3-，1）.【解析】 【分析】 （1）由()325f =，代入解析式，解方程求出m 的值，利用指数函数的单调性即可求解. （2）利用函数的奇偶性定义即可判断. （3）利用函数为奇函数，将不等式转化为()()232f m f m <-，再利用函数为增函数可得232mm <-，解不等式即可求解. 【详解】（1）因为()325f =，所以2221315m -=+，即24m =，因为0m >，所以2m =.函数()21212121x x xf x -==-++在R 上为增函数. （2）由（1）知()2121x x f x -=+定义域为(),-∞+∞.对任意(),x ∈-∞+∞，都有()()211221211221x x x x xx f x f x --------====-+++. 所以函数()f x 是奇函数， （3）不等式()()2230f mf m +-<等价于()()223f m f m <--，因为函数()f x 是奇函数， 所以()()232f mf m <-，又因为函数()f x 在R 上为增函数， 所以232m m <-，即2230m m +-<. 解得31m -<<.所以实数m 的取值范围为（3-，1）. 【点睛】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性、利用函数的单调性解不等式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.21．已知函数()21log 1axf x x +=-（a 为常数）是奇函数. （1）求a 的值与函数()f x 的定义域.（2）若当()1,x ∈+∞时，()()2log 1f x x m +->恒成立.求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1a =，定义域为{1x x <-或}1x >；（2）(],1-∞. 【解析】 【分析】（1）根据函数是奇函数，得到()()f x f x -=-，求出1a =，再解不等式101xx +>-，即可求出定义域； （2）先由题意，根据对数函数的性质，求出()()2log 1f x x +-的最小值，即可得出结果. 【详解】（1）因为函数()21log 1axf x x +=-是奇函数， 所以()()f x f x -=-，所以2211log log 11ax axx x -+=----， 即2211log log 11ax x x ax--=++， 所以1a =，令101xx +>-，解得1x <-或1x >， 所以函数的定义域为{1x x <-或}1x >； （2）()()()22log 1log 1f x x x +-=+，当1x >时，所以12x +>，所以()22log 1log 21x +>=. 因为()1,x ∈+∞，()()2log 1f x x m +->恒成立， 所以1m ，所以m 的取值范围是(],1-∞. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，考查求具体函数的定义域，考查含对数不等式，属于常考题型.22．已知2()x f e ax x =-，a R ∈．⑴求()f x 的解析式；⑵求(0,1]x ∈时，()f x 的值域；⑶设0a >，若()[()1]log x h x f x a e =+-⋅对任意的3112,[,]x x e e --∈，总有121()()3h x h x a -≤+恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2()(ln )ln (0)f x a x x x =->（2）1(,]4a -∞-（3）13115a ≤≤ 【解析】试题分析：(1)由题已知2()x f e ax x =-，求()f x ，可利用换元法，即：x e t =，ln 0x t =>，将条件中的x ，换为t 得：2()(ln )ln f t a t t =-，求出()f x（2）由（1）得2()(ln )ln (0)f x a x x x =->，可继续换元，ln (0)x m m =≤ 得：2()()f x g m am m ==-，需对a 进行分类讨论，而化为熟悉的二次函数的值域问题解决.（3）由121()()3h x h x a -≤+恒成立，可转化为()h x 在31[,]e e --满足max min 1()()3h x h x a -≤+，则需对()h x 的单调性进行分析，由(1)()ln 1ln a h x a x x-=-+，采用换元法ln ([3,1])x s s =∈--，得：1()()1ah x r s as s-==+-，由0a >，借助函数的单调性，对a 进行分类讨论，分别得出a 的取值范围，取各种情况的并集，得出结果.试题解析：⑴设x e t =，则ln 0x t =>，所以2()(ln )ln f t a t t =-，所以2()(ln )ln (0)f x a x x x =->；⑵设ln (0)x m m =≤，则2()()f x g m am m ==- 当0a =时，()()f x g m m ==-，()g m 的值域为[0,)+∞ 当0a ≠时，2211()()()(0)24f x g m am m a m m a a==-=--≤ 若0a >，102a>，()g m 的值域为[0,)+∞ 若0a <，102a <，()g m 在1(,]2a -∞上单调递增，在1[,0]2a上单调递减， ()g m 的值域为1(,]4a-∞-综上，当0a ≥时()f x 的值域为[0,)+∞，当0a <时()f x 的值域为1(,]4a-∞-； ⑶因为(1)()ln 1ln a h x a x x -=-+对任意3112,[,]x x e e --∈总有121()()3h x h x a -≤+所以()h x 在31[,]e e --满足max min 1()()3h x h x a -≤+设ln ([3,1])x s s =∈--，则1()()1ah x r s as s-==+-，[3,1]s ∈-- 当10a -<即1a >时()r s 在区间[3,1]--单调递增 所以1(1)(3)3r r a ---≤+，即8412()333a a ----≤+，所以35a ≤(舍) 当1a =时，()1r s s =-，不符合题意当01a <<时， 1≤即112a ≤<时，()r s 在区间[3,1]--单调递增所以1(1)(3)3r r a ---≤+，则1325a ≤≤若13<<即11102a <<时()r s 在[3,-递增，在[1]-递减所以，得11102a <<3≥即1010a <≤时()r s 在区间[3,1]--单调递减所以1(3)(1)3r r a ---≤+，即8412333a a --+≤+，得111110a ≤<综上所述：13115a ≤≤. 考点：1.换元法求函数解析式； 2.换元法与二次函数的值域问题及分类思想. 3.恒成立中的函数思想及分类思想.。
指数函数和对数函数知识点和练习
66．函数y＝log (－x2＋4x＋12)的单调递减区间是________．
67．若loga2<1，则实数a的取值范围是()
A．(1,2)B．(0,1)∪(2，＋∞)C．(0,1)∪(1,2)D．(0， )
68．下列不等式成立的＞0
在R上单调递增
在R上单调递减
非奇非偶函数
非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1）
函数图象都过定点（0，1）
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上， 值域是 或 ；
（2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当 ；
（3）对于指数函数 ，总有 ；
A. B．2C．4D.
32．设0＜a＜1，则函数f(x)＝ 的定义域是________．
33．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
34．函数f(x)＝ax＋b(a＞0且a≠1)的图象过点(1,3)，且在y轴上的截距为2，则f(x)的解析式为________．
39．3log9(lg2－1)2＋5log25(lg0.5－2)2等于()
A．1＋2lg2B．－1－2lg2C．3D．－3
40．已知lg2＝a，lg3＝b，则log36＝()
A. B. C. D.
41. ＝()
A．2B. C．1D.
42．(log43＋log83)(log32＋log98)等于()
A. B. C. D．以上都不对
13．函数y＝ 的定义域是(－∞，0]，则实数a的取值范围为()
A．a>0B．a<1
(完整版)指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解)
指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质（一）整数指数幂n 1．整数指数幂概念：a =a ⋅Λ⋅a (n ∈N )a 0=1(a ≠0)1⋅4a 243*n 个aa-n=1a ≠0,n ∈N *)n(a 2．整数指数幂的运算性质：（1）a m ⋅a n =a m +n (m ,n ∈Z )（2）a （3）(ab )=a ⋅b n n n ()mn=a mn(m ,n ∈Z )(n ∈Z )其中a ÷a =a ⋅a m n m -n =a m -n a n ⎛a ⎫-1nn -n ， ⎪=(a ⋅b)=a ⋅b =n ．b ⎝b ⎭n 3．a 的n 次方根的概念即：若x n 一般地，如果一个数的n 次方等于a n >1,n ∈N )，那么这个数叫做a 的n 次方根，=a ，则x 叫做a 的n 次方根，(n >1,n ∈N )**(说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ；若a >0则n a >0，若a <o 则n a <0；②若n 是偶数，且a >0则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：-n a ；（例如：8的平方根±8=±2216的4次方根±416=±2）③若n 是偶数，且a <0则n a 没意义，即负数没有偶次方根；④Θ0=0n >1,n ∈N nn (*)∴n 0=0；⑤式子a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。
∴(a )nn=a ．．4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则n a n =a ；若n 是偶数，则n a n =a =⎨5．例题分析：例1．求下列各式的值：（1）3-8⎧a⎩-aa ≥0a <0．(3)（2）(-10)*2（3）4(3-π)（4）4例2．已知a <b <0,n >1,n ∈N ，化简：n (a -b )+n (a +b )．n n （二）分数指数幂1051231．分数指数幂：5a =a =a102(a >0)3a =a =a124(a >0)即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）a 3()kn=akn 对分数指数幂也适用，442255⨯3⨯4⎛2⎫⎛⎫2532例如：若a >0，则 a 3⎪=a 3=a ， a 4⎪=a 4=a ，∴a =a 3⎝⎭⎝⎭a =a ．545即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
指数与对数运算练习题
指数与对数运算练习题1. 求解指数方程：(2^x) * 4^(2x - 3) = 64解法：首先，我们可以将4^(2x - 3)转化为2^(4x - 6)，进一步得到：(2^x) * (2^(4x - 6)) = 64根据指数运算的法则，两个相同底数的指数相乘，底数不变，指数相加。
得到：2^(x + 4x - 6) = 64合并同类项，得到：2^(5x - 6) = 64由于64可以表示为2的幂，即64 = 2^6，所以我们可以将方程转化为：2^(5x - 6) = 2^6根据指数函数的性质，底数相同的指数相等，指数也相等。
因此，我们得到：5x - 6 = 6解上述方程，可以得到：5x = 12x = 2.4所以，方程的解为x = 2.4。
2. 求解指数方程：3^(x - 1) - 9^(x - 2) = 0解法：首先，我们可以将9^(x - 2)转化为(3^2)^(x - 2)，进一步得到：3^(x - 1) - (3^2)^(x - 2) = 0根据指数运算的法则，幂运算的指数可以相乘，得到：3^(x - 1) - 3^(2x - 4) = 0合并同类项，得到：3^(2x - 4) - 3^(x - 1) = 0根据指数函数的性质，底数相同的指数相等，指数也相等。
因此，我们得到：2x - 4 = x - 1解上述方程，可以得到：x = 3所以，方程的解为x = 3。
3. 计算log2(8) * log8(128)的值。
解法：我们知道，loga(b)表示以a为底，b的对数。
根据换底公式，我们可以将log8(128)转化为以2为底的对数。
log8(128) = log2(128) / log2(8)由于2的幂次可以表示为8的幂次，即2^7 = 8，所以我们有：log2(8) = 7将上述结果代入原式，可以得到：log2(8) * log8(128) = 7 * (log2(128) / log2(8))根据对数运算的法则，log2(128)可以表示为以2为底，128的对数。
指数函数与对数函数练习题(含详解)
指数函数1.指数函数概念一般地,函数叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为。
2。
指数函数函数性质：函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点,即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内,从逆时针方向看图象，逐渐减小.对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量,函数的定义域.2。
对数函数性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，。
奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内,从顺时针方向看图象，逐渐减小。
指数函数习题一、选择题1．定义运算a⊗b＝错误!,则函数f（x）＝1⊗2x的图象大致为（)2．函数f(x）＝x2－bx＋c满足f（1＋x)＝f(1－x)且f（0）＝3，则f(b x)与f（c x)的大小关系是( )A．f（b x)≤f(c x)B．f（b x)≥f(c x)C．f（b x)>f（c x）D．大小关系随x的不同而不同3．函数y＝|2x－1｜在区间(k－1，k＋1）内不单调,则k的取值范围是（）A．(－1，＋∞) B．(－∞，1）C．（－1,1) D．（0,2）4．设函数f(x）＝ln［(x－1）（2－x）]的定义域是A，函数g（x)＝lg(错误!－1）的定义域是B，若A⊆B，则正数a的取值范围( )A．a〉3 B．a≥3C．a〉 5 D．a≥错误!5．已知函数f(x)＝错误!若数列｛a n}满足a n＝f（n)(n∈N*），且｛a n}是递增数列,则实数a的取值范围是（)A．［错误!，3) B．(错误!，3）C．(2，3) D．（1，3）6．已知a〉0且a≠1，f（x）＝x2－a x,当x∈（－1,1）时，均有f（x)<错误!，则实数a的取值范围是( )A．(0，错误!]∪［2，＋∞) B．［错误!,1)∪（1，4]C．［错误!，1）∪(1，2] D．(0，错误!）∪[4，＋∞）二、填空题7．函数y＝a x（a>0，且a≠1）在[1,2]上的最大值比最小值大错误!，则a的值是________．8．若曲线｜y｜＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．9．(2011·滨州模拟）定义：区间[x1,x2］(x1〈x2)的长度为x2－x1。
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考纲要求：
理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质；
Байду номын сангаас理解对数的概念，掌握对数的运算性质．
教材复习
次方根的定义及性质：为奇数时，
，为偶数时， .
分数指数幂与根式的互化： ， (,，且
零的正分数指数幂为，的负分数指数幂没有意义.
指数的运算性质： ，
（其中，）
指数式与对数式的互化：
设，则的值是
若，那么的值为
或
如果方程的两根为、，则的值是
设，则属于区间 若，则 方程的根为
若，
已知：，则
；若，则
若，则 已知，求下列各式的值：
求值或化简：=
方程的解是 求的值. 若，求的值； 设，求.
走向高考：
（湖南文） 的值为 （安徽 文）
（上海）若是方程的解，则属于区间 .
（北京）已知函数，若， （上海文）方程的解是 （全国Ⅲ文）解方程
，.
对数的运算法则：如果有
；
；
； 换底公式及换底性质：
(,， , ,)
，，
指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
；
（定义法）
；
（同底法）
(两边取对数法) (换底法) （）（设或）（换元法）
基本知识方法
重视指数式与对数式的互化；
根式运算时，常转化为分数指数幂，再按幂的运算法则运算；
不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；
运用指数、对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提．
指数方程和对数方程按照不同类型的对应方法解决.
典例分析：
题型一：指数式的化简与求值
问题1．计算： （浙江）已知
为正实数，则
；
；
(重庆)若，则
；
已知，求的值.
题型二：对数式的化简与求值
（陕西文）设均为不等于的正实数, 则下列等式中恒成立的是 (四川) （湖南文）若，，则
（上海）方程 的解是 （上海）方程的实数解为
（北京）方程的解是 上海文）方程的解是
（上海春）若、为方程的两个实数解，则
；
已知，求；
题型三：解指数、对数方程
问题3．（辽宁文）设，且，则
问题4．（上海春）方程的解是
（上海）方程的解是
（上海）方程的解
（辽宁文）方程的解为
题型四：指数、对数综合问题
问题5．设，，且，求的最小值．
课后作业：
设，则 (蚌埠模拟)若，，且，则的值为
或 若，则有
设，则
已知，则
的值为
化简的结果是
化简的结果是 已知，则的值为 或 或