高中数学人教A版必修三第一章.2秦九韶算法-算法案例课件
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高中数学1.3-2秦九邵算法名师课件新课标人教A版必修3
第一步，计算v1=anx+an-1= v0x+an-1. 第三步，计算v3=v2x+an-3.
第k步，vk=vk-1x +an-k (k=1，2，…，n)
※秦九韶算法的递推关系式 (P38)
v0=an vk=vk-1x +an-k
(k= 1，2，…，n)
例1 已知一个5次多项式为
f (x) 4x5 2x4 3.5x3 2.6x2 1.7x 0.8
需要做加法(或减法)与乘法运算的次数 分别为( D )
A 5,4 B 5,5 C 4,4 D 4,5
知识探究(二):秦九韶算法的程序设计
思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可 以用什么逻辑结构来构造算法？其算法 步骤如何设计？循环结构 (当型)
第一步，输入多项式的次数n，最高次
项的系数an和x的值. 第二步，令v=an，i=n-1. 第三步，输入i次项的系数ai. 第四步，v=vx+ai，i=i-1. 第五步，判断“i≥0”是否成立.若是，则 返回第三步，否则，输出多项式的值v.
例2 阅读下列 INPUT “x=”；a
程序，说明它 n=0
解决的实际问 y=0
题是什么？ WHLE n<5
求多项式
y=y+(n+1)*a∧n
f (x) 1 2x
n=n+1
3x2 4x3 5x4 WEND
在x=a时的值. PRINT y
END
这样每次都可以利用上一次计算的结果， 再将这些数与x和1相加，那么一共做了 多少次乘法运算和多少次加法运算？
4 次乘法运算，5次加法运算.
思考3:利用后一种算法求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值，这 个多项式应写成哪种形式？ f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
A版高中数学必修3课件《算法案例》人教版
思考1：怎么用秦九韶算法求多项式的值。
通过
������0 = ������������ ������������ = ������������−1 ������ + ������������ −������
(k=1,2,……n)这是一个在秦九韶算
法中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。
INPUT ������1 , ������2 , ������3 , ������4 , ������5 ������6 INPUT n=1
一般地,对于一个n次多项式 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
������2 = ������1 ������ + ������������−2 , ������3 = ������2 ������ + ������������−3 ,…������������ = ������������−1 ������ + ������0
在将多项式改成如下的形式：f(x)=(((((2x-5)x+0)x-4)x+3)x-6)x+0
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当 x=5 时的值。
������1 = 2 × 5 − 5 = 5, ������2 = 5 × 5 + 0 = 25, ������3 = 25 × 5 − 4 = 121, ������4 = 121 × 5 + 3 = 608, ������5 = 608 × 5 − 6 = 3034, ������6 = 3034 × 5 + 0 = 15170
质疑答辩，发展思维
用秦九韶算法求多项式 f ������ = 2������ 6 − 5������ 5 − 4������ 3 + 3������ 2 − 6������，当
课标人教A版必修3全套课件第一章算法案例
更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之， 更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半 副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也， 者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也， 以等数约之。 以等数约之。 翻译出来为： 翻译出来为： 第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是， 第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是， 约简； 用2约简；若不是，执行第二步。 约简 若不是，执行第二步。 第二步：以较大的数减去较小的数， 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所 得的差比较，并以大数减小数。 得的差比较，并以大数减小数。 第三部：继续第二步，直到所得的数相等为止， 第三部：继续第二步，直到所得的数相等为止，则这个数 等数） （等数）就是所求的最大公约数
用更相减损术求98 63的最大公约数 98与 的最大公约数. 例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
由于63不是偶数， 98和63以大数减小数 63不是偶数 以大数减小数， 解 由于63不是偶数，把98和63以大数减小数， 并辗转相减 98-63＝ 98-63＝35 63-35＝ 63-35＝28 35-28＝ 35-28＝7 2828-7＝14 1414-7＝7 所以， 与 的最大公约数是 的最大公约数是7 所以，98与63的最大公约数是
求多项式的值时， 求多项式的值时，首先计算最内层括号内的一次多项式的 值，即：
v1 = an x + an −1
再有内向外逐层计算一次多项式的值， 再有内向外逐层计算一次多项式的值，即：
v 2 = v1 x + a n − 2 v3 = v2 x + a n−3 L v n = v n −1 + a 0
1.3.2算法案例-秦九韶算法
计算多项式f(x) =x5＋x4＋x3＋x2＋x＋１当x = 5 的值 算法1： 因为f(x) =x５＋x４＋x３＋x２＋x＋１ 所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906 算法2： ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１ =5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
作业:
课本P45页练习T2; P48页A组T2.
《数书九章》——秦九韶算法 设 f (x) 是一个n次的多项式
f ( x) an x an 1 x
n n 1
a1 x a0
对该多项式按下面的方式进行改写：
f ( x) an x an 1 x
n n 1
a1 x a0 a1 ) x a0 a2 ) x a1 ) x a0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即
v1 an x an 1
然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
v2 v1 x an 2 v3 v2 x an 3
最后的一项 是什么？
vn vn 1 x a0
这种将求一个n次多项式f（x）的值转化成求n个一次多项式的值的 方法，称为秦九韶算法。
例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7的系数
x=5
2
-5 10 5
《算法案例---秦九韶算法》名师课件2
当x=5时,多项式的值是2677.
课堂小结
1 、通过对秦九韶算法的学习，你对算法本身有哪些进 一步的认识？
（1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题
（2）解决一类问题，可以有不同的算法，但 计算的效率是不同的，应该选择高效的算法。
2、 秦九韶算法的特点及揭示的算法思想。 通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值， 对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。 把高次转化为一次的化归思想方法。
即 若 v1 an x0 an1,
v2 v1 x0 an2 , v3 v2 x0 an3 ,
v0 an vk vk1 x0 ank (k 1，2，3 ，n)
这种算法用了 几次乘法运算 和几次的加法
vn vn1 x0 a0
运算？
则 f (x0 ) vn
设 v0 an 共做了n次乘法运算，n次加法运算。
vn vn1x a0
例题讲解
f (x0 ) ( ((an x0 an1 )x0 an2 )x0 a1 )x0 a0
vv0vaxn ai →
这是一个在秦九韶算法中 反复执行的步骤，因此可 用循环结构来实现。
1.初始化变量
v an i n 1
v0 an
v1 v0 x an1
2.循环体
作业
（1）课本第45页练习2，第48页习题 1.3 A组第2题
（2）请同学们用另一种循环结构画 出秦九韶算法的程序框图并编写程序 语言。
（3）（选做）探究课本第45-47页内 容完成习题1.3 A组第4题
于0，若是，则返回第三步；否
则，输出多项式的值v.
★算法框图
开始 输入n, an , x的值
v=an
i=n-1
课堂小结
1 、通过对秦九韶算法的学习，你对算法本身有哪些进 一步的认识？
（1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题
（2）解决一类问题，可以有不同的算法，但 计算的效率是不同的，应该选择高效的算法。
2、 秦九韶算法的特点及揭示的算法思想。 通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值， 对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。 把高次转化为一次的化归思想方法。
即 若 v1 an x0 an1,
v2 v1 x0 an2 , v3 v2 x0 an3 ,
v0 an vk vk1 x0 ank (k 1，2，3 ，n)
这种算法用了 几次乘法运算 和几次的加法
vn vn1 x0 a0
运算？
则 f (x0 ) vn
设 v0 an 共做了n次乘法运算，n次加法运算。
vn vn1x a0
例题讲解
f (x0 ) ( ((an x0 an1 )x0 an2 )x0 a1 )x0 a0
vv0vaxn ai →
这是一个在秦九韶算法中 反复执行的步骤，因此可 用循环结构来实现。
1.初始化变量
v an i n 1
v0 an
v1 v0 x an1
2.循环体
作业
（1）课本第45页练习2，第48页习题 1.3 A组第2题
（2）请同学们用另一种循环结构画 出秦九韶算法的程序框图并编写程序 语言。
（3）（选做）探究课本第45-47页内 容完成习题1.3 A组第4题
于0，若是，则返回第三步；否
则，输出多项式的值v.
★算法框图
开始 输入n, an , x的值
v=an
i=n-1
人教A版必修3课件：1.3.2秦九邵算法
项的系数
第三步，输入i次项的系数ai.
第四步，v=vx+ai，i=i-1. 第五步，判断i≥0是否成立.若是，则返回第 式的值v. 二步；否则，输出多项
思考2:该算法的程序框图如何表示？ 开始 输入 n ， an ， x 的 值 v=an i=n-1 i=i1 v=vx+ai i≥0？ 是 否 输出v 结束 输入ai
4次乘法运算，5次加法运算.
思考3:利用后一种算法求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值，这个 多项式应写成哪种形式？
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =… =(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
思考4:对于f(x)=(…((anx+an-1)x+ an-2)x+…+a1)x+a0，由内向外逐层 计算一次多项式的值，其算法步骤如何？
第一步，计算v1=anx+an-1. 第二步，计算v2=v1x+an-2. 第三步，计算v3=v2x+an-3. …
第n步，计算vn=vn-1x+a0.
思考5:上述求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值的方法 称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的值，一共需要多少次乘法运算， 多少次加法运算？
算法案例—秦九韶算法.ppt
方法二:先计算x2的值，然后依次计算x2·x，(x2·x)·x，
((x2·x)·x)·x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果.
9次乘法运算,5次加法运算
与第一种做法相比,这种做法中，乘法的运算次数减少了, 因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做一次乘法所需的 运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得 到结果.
秦九韶算法
秦九韶和《数书九章》
秦九韶
秦九韶（约公元1202年－1261年），字 道古，南宋末年人，出生于鲁郡（今山东 阜一带人）
据史书记载，他“性及机巧，星象、 音律、算术以至营造无不精究”，还尝从李 梅亭学诗词。他在政务之余，以数学为主线 进行潜心钻研，且应用范围至为广泛：天文 历法、水利水文、建筑、测绘、农耕、军事、 商业金融等方面。
问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 当x=5时的值？
方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 =((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 =(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
①
v0=2 v1=v0x-5=2×5-5=5
问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 当x=5时的值？
方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 =((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 =(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
((x2·x)·x)·x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果.
9次乘法运算,5次加法运算
与第一种做法相比,这种做法中，乘法的运算次数减少了, 因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做一次乘法所需的 运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得 到结果.
秦九韶算法
秦九韶和《数书九章》
秦九韶
秦九韶（约公元1202年－1261年），字 道古，南宋末年人，出生于鲁郡（今山东 阜一带人）
据史书记载，他“性及机巧，星象、 音律、算术以至营造无不精究”，还尝从李 梅亭学诗词。他在政务之余，以数学为主线 进行潜心钻研，且应用范围至为广泛：天文 历法、水利水文、建筑、测绘、农耕、军事、 商业金融等方面。
问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 当x=5时的值？
方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 =((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 =(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
①
v0=2 v1=v0x-5=2×5-5=5
问题1：怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 当x=5时的值？
方法三：能否有更好的算法,解决任意多项式的求值问题?
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 =((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 =(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
1.3.2算法案例(2)秦九韶算法
思考5:上述求多项式 思考5:上述求多项式 5: f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值的方法 称为秦九韶算法 利用该算法求f(x 秦九韶算法， 称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的 一共需要多少次乘法运算， 值，一共需要多少次乘法运算，多少次 加法运算？ 加法运算？ n次乘法运算， n次加法运算 次乘法运算， 次加法运算 次乘法运算 思考6:在秦九韶算法中， 6:在秦九韶算法中 思考6:在秦九韶算法中，记v0=an，那么 步的算式是什么？ 第k步的算式是什么？ (k=1， vk=vk-1x+an-k (k=1，2，…，n)
思考4:对于f(x)=(…((a 思考4:对于f(x)=(…((anx+an-1)x+ 4:对于 an-2)x+…+a1)x+a0，由内向外逐层计算 一次多项式的值，其算法步骤如何？ 一次多项式的值，其算法步骤如何？ 第一步，计算v 第一步，计算v1=anx+an-1. 第二步，计算v 第二步，计算v2=v1x+an-2. 第三步，计算v 第三步，计算v3=v2x+an-3. … 第n步，计算vn=vn-1x+a0. 计算v
第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数 第二种做法与第一种做法相比 乘法的运算次数 减少了,因而能提高运算效率 而且对于计算机来说,做 因而能提高运算效率.而且对于计算机来说 减少了 因而能提高运算效率 而且对于计算机来说 做 一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此 一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多 因此 第二种做法能更快地得到结果. 第二种做法能更快地得到结果
知识探究( 知识探究(一):秦九韶算法的基本思想
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1.3算法案例
秦九韶算法
复习回顾
一、求两个数的最大公约数的两种方法分别是 1、辗转相除法 2、更相减损术
二、两个数21672，8127的最大公约数是 （ ） A、2709 B、2606 C、2703 D、2706
思考：如何求1734，816，1343的最大公因数. 17
高中数学人教A版必修三第一章.2秦九 韶算法 -算法 案例课 件
高中数学人教A版必修三第一章.2秦九 韶算法 -算法 案例课 件
高中数学人教A版必修三第一章.2秦九 韶算法 -算法 案例课 件 高中数学人教A版必修三第一章.2秦九 韶算法 -算法 案例课 件
B
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解:f(x)=8x7+5x6+0·x5+3·x4+0·x3+0·x2+2x+1 =((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1. 按照由内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=2时的值. v0=8;
高中数学人教A版必修三第一章.2秦九 韶算法 -算法 案例课 件
易错点:利用秦九韶算法求含空项的n次多项式的值时易出现错误
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正解:f(x)=3x4+0·x3+2x2+4x+2=(((3x+0)x+2)x+4)x+2,
v1=v0×2+8=3×2+8=14, v2=v1×2-3=14×2-3=25, v3=v2×2+5=25×2+5=55, v4=v3×2+12=55×2+12=122, v5=v4×2-6=122×2-6=238,
所以当x=2时,多项式的值为238.
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v1=3×(-2)+0=-6; v2=-6×(-2)+2=14; v3=14×(-2)+4=-24; v4=-24×(-2)+2=50.
故f(-2)=50. 反思:利用秦九韶算法计算多项式的值的关键是能正确地将所给多项式 改写, 若在多项式中有几项不存在,可将这些项的系数看成0,即把这些项 看成0·xn.
高中数学人教A版必修三第一章.2秦九 韶算法 -算法 案例课 件
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解:f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x,
v1=7×3+6=27; v2=27×3+5=86; v3=86×3+4=262; v4=262×3+3=789; v5=789×3+2=2 369; v6=2 369×3+1=7 108; v7=7 108×3=21 324.
15170
注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项 应将其系数补0.
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解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12)x-6, 按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=2时的值.
故当x=3时,多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x的值为21 324. 反思:秦九韶算法的关键在于把n次多项式转化为一次多项式,注意 体会递推的实中数学人教A版必修三第一章.2秦九 韶算法 -算法 案例课 件
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v1=8×2+5=21; v2=21×2+0=42; v3=42×2+3=87; v4=87×2+0=174; v5=174×2+0=348; v6=348×2+2=698; v7=698×2+1=1 397.故当x=2时,多项式的值为1 397.
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首先计算最内层括号内一次多项式的值,然后由内向外逐 层计算一次多项式的值.
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分析:解决本题首先需要将原多项式化成 f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x的形式,其次再弄清 v0,v1,v2,…,v7分别是多少,再针对这些式子进行计算.
秦九韶算法
复习回顾
一、求两个数的最大公约数的两种方法分别是 1、辗转相除法 2、更相减损术
二、两个数21672，8127的最大公约数是 （ ） A、2709 B、2606 C、2703 D、2706
思考：如何求1734，816，1343的最大公因数. 17
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B
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解:f(x)=8x7+5x6+0·x5+3·x4+0·x3+0·x2+2x+1 =((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1. 按照由内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=2时的值. v0=8;
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易错点:利用秦九韶算法求含空项的n次多项式的值时易出现错误
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正解:f(x)=3x4+0·x3+2x2+4x+2=(((3x+0)x+2)x+4)x+2,
v1=v0×2+8=3×2+8=14, v2=v1×2-3=14×2-3=25, v3=v2×2+5=25×2+5=55, v4=v3×2+12=55×2+12=122, v5=v4×2-6=122×2-6=238,
所以当x=2时,多项式的值为238.
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v1=3×(-2)+0=-6; v2=-6×(-2)+2=14; v3=14×(-2)+4=-24; v4=-24×(-2)+2=50.
故f(-2)=50. 反思:利用秦九韶算法计算多项式的值的关键是能正确地将所给多项式 改写, 若在多项式中有几项不存在,可将这些项的系数看成0,即把这些项 看成0·xn.
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高中数学人教A版必修三第一章.2秦九 韶算法 -算法 案例课 件
解:f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x,
v1=7×3+6=27; v2=27×3+5=86; v3=86×3+4=262; v4=262×3+3=789; v5=789×3+2=2 369; v6=2 369×3+1=7 108; v7=7 108×3=21 324.
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注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项 应将其系数补0.
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解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12)x-6, 按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=2时的值.
故当x=3时,多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x的值为21 324. 反思:秦九韶算法的关键在于把n次多项式转化为一次多项式,注意 体会递推的实中数学人教A版必修三第一章.2秦九 韶算法 -算法 案例课 件
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v1=8×2+5=21; v2=21×2+0=42; v3=42×2+3=87; v4=87×2+0=174; v5=174×2+0=348; v6=348×2+2=698; v7=698×2+1=1 397.故当x=2时,多项式的值为1 397.
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首先计算最内层括号内一次多项式的值,然后由内向外逐 层计算一次多项式的值.
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分析:解决本题首先需要将原多项式化成 f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x的形式,其次再弄清 v0,v1,v2,…,v7分别是多少,再针对这些式子进行计算.