第4章洛伦兹方程与吸引子

6.洛伦兹方程
洛伦兹的设想
60年代初，美国数学家洛伦兹(E.Lorens)在气象部门工作。他把将大气对 流与贝纳德液体对流联系起来，想用数值方法进行长期天气预报。
贝耐特对流实验
理想装置：两块平行平板中间充满液体，y方向无限伸展，下底加热。 现象：实验时，下面板均匀缓慢地加热，上下平板之间出现温差。平板间 的液体开始是静止的，当加热到一定程度时，液体开始翻动，出现对流现象。 发生翻动对流时会形成一种象蛋卷一样很规则的图形，温差进一步增加时， 规则的对流图形将受到破坏，进入到了湍流状态。 分析：随温度上升，流体经历由稳定到不稳定再到新的稳定态的分岔过程。
dz
d
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-bz
xy
dx dy dz 0 dt dt dt
x y z 0
x y b(r -1),z r -1
即洛伦兹方程有三个平衡点
若 r，1只存在一个平衡点 x 。y 此 z平衡0点是洛伦兹方程的不动点， 相应于贝纳尔德实验中液体的静止定态。
洛伦兹方程的平衡点随瑞利数 r 的增加而发生分裂，原来稳定的平衡点
0 0 0 - (b l)
在 0< r <1 范围内，所有根 l<0 ，坐标原点是稳定的。
6.洛伦兹方程
C1与 C2的稳定性
当 r >1, 坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C1与 C2是稳定的焦点，它们是与 邻域螺旋线的吸引点，如图所示。 C1、C2 坐标为：
x
1,2
y 1,2
b (r - 1)
C1与 C2的稳定性
当 r 继续增加直到 r =13.962时，两个螺 旋线外径会接触合并一起。当特征方程
l3 ( b 1)l2 b ( r )l 2b (r -1) 0
的第2与第3项之积等于常数项时共轭复根的 实部为零，成为纯虚数，
l2,3 i 2( 1) /( - -1)
有：
rc
1.00< <3.00 周期1轨道(不动点)
c 3.5699
3.00< <3.4495 周期2轨道
3.4495< <3.5541 周期4轨道
3.5541< <3.5644 周期8轨道
3.5644< <3.5688 周期16轨道
2. 奇怪吸引子 -埃侬吸引子
埃侬映射
埃侬映射是一个二维映射。这是天文学家埃侬(M.Henon)首先计算的离
dx x0
x0y0
x0 - y0
由第二次迭代得：
df
df df
x2 - y2 dx x1 x1 - y1 dx x1 dx x0 x0 - y0
经过第 n 次迭代得：
xn - yn
n-1 df (xn, )
n=0
dx
xn
x0 - y0
∏为多重乘号。
李雅普诺夫指数公式
可见，两个系统对初始扰动的敏感度由导数 df / 决dx定x0 ，它与初始值 x0 有关。 映射整体对初值敏感性需对全部初始条件平均，要进行 n 次迭代：
吸引子类型
维数
不动点 极限环
D=0 D=1
二维环面
D=2
三维环面
D=2
奇怪吸引子（混沌） D = 2~3（非整数）
超混沌
D = 高于3非整数
平方映射的 l 指数
利用计算程序可以方便地求得一维映射的λ。
分析：由图可见平方映射的指数λ随参数μ值变化起伏很大，有一个临界值,
当 时c 指数变化但始终处于负值。当 指c数开始转为正值，就是说平方映 射从这里开始由规则运动转为混沌，进入到混沌状态。
这时在坐标原点出现一维不稳定 的流形。这是一次叉式分岔。相应 于在贝纳德实验中流体从静态走向 对流翻动。
6.洛伦兹方程
C1与 C2的稳定性
稳定性证明：洛伦兹方程可写成行列式：
x - y r - z z y
0 x -1 - x y x - b z
对原点 x = y = z = 0 附近作线性化处理，即在原点附近有：
李雅普诺夫指数公式
两个系统：
xn1 f ( xn ),
yn1 f ( yn )
设其初始值微小误差 x0 -，y0经过一次迭代以后有：
x1 - y1
f (x0 ) - f (y0 )
f (x0 ) - f (y0 ) x0 - y0
x0 - y0
df
dx x0
x0 - y0
式中：
df lim f (x0 ) - f ( y0 )
变为不平衡状态。
6.洛伦兹方程
原点的稳定性
r <1 时坐标原点 x y 是z稳 定0 的不动点， 它是洛伦兹方程唯一吸引子，所有轨线吸引 到坐标的原点。
如 r > 1 ，于是分支出两个新的 平衡点 C1与 C2 。 说明在 r = 1 时 系统将发生一次分岔，跨越 r = 1 意 味着原点的吸引子丧失了稳定性， 出现了局部的不稳定性。
rc
( b 3) - (b 1)
24.7368 ,(
10,b
8 / 3)
r rc 时两个平衡点与发展成了中心点，其邻域的相轨线是椭圆。 r rc 时，这时将出现一次霍夫分岔，平衡点C1与C2发展成奇怪吸引子。
李雅普诺夫指数
奇怪吸引子
吸引子 能量耗散系统最终收缩到的一种定常状
态。这是一个动力系统在t →∞时所呈现的与时
瑞利数
1916年，英国学者瑞利对贝纳德实验作了解释。认为是浮力和粘滞力间 的关系决定液体向上运动。由此定义了一个无量纲参数R (瑞利数) ：
R g a T d 3 h DT
g-为重力加速度，a-为热胀系数，d-两块板间距，h-粘滞系数，DT-扩散系数。
瑞利数R与温度差成正比，温度差加大时R值增 加，有一临界值RC，当R 超过RC时，流体出现翻 动与对流，称为贝纳德不稳定性。临界值RC为：
奇怪吸引子
取 =2.1 ， 并 取 有 较 大 差 别 的 三 个 初 始 值 x01 =0.08 ， x02=0.12,
x03=0.16。运算结果如左图，经过五次迭代,三个运算结果趋于一致， ~045.
取 =3.7，取差别很小两个初始值 x01 =0.04，x02=0.05。运算结果如
右图，第二迭代差别就已显示出来,以后虽在第七次迭代时很接近，但 随后又快速分离开来。
在一维映射中l 只有一个值，而在多维相空间情况下一般就有多个 li ，而 且沿相空间的不同方向，其 li (i=1,2,…)值一般也不同。
设 为0 多维相空间中两点的初始距离，经
n 次迭代后两点的距离为：
(t )
e lit
0
式中指数 li 值可正可负。li 表0 示沿该方
向扩展， li表示0 沿该方向收缩。在经过一
段时间(数次迭代)以后，两个不同李雅普
诺夫指数值将使相空间中原来的圆演变为
椭圆。
吸引子与李雅普诺夫指数
稳定体系的相轨线 相应于趋向某个平衡点， 如果出现越来越远离平 衡点，则体系是不稳定 的。系统只要有一个正 值的就可出现混沌运动。
判别一个非线性系统 是否存在混沌运动时， 需要检查它的最大李雅 普诺夫指数 l 是否为 正值。
l3 ( b 1)l2 b ( r )l 2b (r -1) 0
有一实根和一对共轭复根，其中实根
l1 -( 1)
说明坐标原点为鞍点。共轭复根的实部为负，说明两个新平衡点与是稳定的 焦点，它们是与邻域螺旋线的吸引点。与稳定焦点的出现说明贝纳德实验形 成了稳定的定态对流。
6.洛伦兹方程
n n=0
dx
xn
式中xn为第 n 次迭代值。取 n ，得李雅普诺夫指数计算公式：
l lim 1 n-1 ln df (xn, )
n n n0
dx
李雅普诺夫指数应用
利用李雅普诺夫指数l ，相空间内初始时刻的两点距离将随时间(迭代次数)
作指数分离：
xn - yn x0 - y0 exp(n l)
吸引子与李雅普诺夫指数
吸引子可存在于高维相空间内。在这相空间中大于零的李雅普诺夫指数可 能不止一个，这样体系的运动将为更复杂。人们称高维相空间中有多个正值
指数的混沌为超混沌。推广到高维空间后，由指数 (l1, , l2 , l3, l4 , ) 的值决
定的各种类型的吸引子归纳如下：
(l1, , l2 , l3, l4 , ) (-,-,-,-, ) (0,-,-,-, ) (0,0,-,-, ) (0,0,0,-, ) (,0,-,-, ) (,,0,-, )
x0 - 0 x 0 y0 r - 1 0 y 0 z0 0 0 - b z 0
特征方程：
- ( l)
r
- (1 l)
0
0
其解：
(l b )[l2 ( 1)l (1 - r )] 0
l1,2
1 2
-
- 1)
[(
- 1)2
4
r
]1/ 2
l3 -b
( b 3) - (b 1)
24.7368
,(
10,b
8/
3)
r rc 时两个平衡点与发展成了中心点，其邻域的相轨线是椭圆。 r rc 时共轭复根的实部为正值，与成了不稳定的焦点。定态对流失稳，是 不稳定的。这时将出现一次新分岔－霍夫分岔，平衡点C1与C2失稳发展成为 奇怪吸引子。
洛伦兹吸引子
z 1,2 r - 1
现说明贝纳德实验形成了稳定的定态对流。
6.洛伦兹方程
C1与 C2的稳定性
稳定性证明： 对C1与 C2 附近作线性化处理，即在附近有：
x1
-
0
x
1
y1 1 - 1 C y 1
z1 C C - b z 1