等腰三角形专题复习
中考数学专题复习：等腰三角形
中考数学专题复习：等腰三角形一、选择题1. 下列命题中，属于假命题的是（）A.等腰三角形底边上的高是它的对称轴B.有两个角相等的三角形是等腰三角形C.等腰三角形底边上的中线平分顶角D.等边三角形的每一个内角都等于60∘2. 如图,在△ABC中,∠B=∠C, AB=5,则AC的长为（）A.2B.3C.4D.53. 如图：等腰直角△ABC中，若∠ACB=90∘，CD=DE=CE，则∠DAB的度数为（）A.60∘B.30∘C.45∘D.15∘4. 等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角是48∘，它的一个底角的度数是（）A.48∘B.21∘或69∘C.21∘D.48∘或69∘5. 已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（）A.7㎝B.9㎝C.12㎝或者9㎝D.12㎝6. 等腰直角三角形的底边长为5，则它的面积是（）A.25B.12.5C.10D.6.257. 如图，△ABC中，∠ABC=90∘，∠C=30∘，AD是角平分线，DE⊥AC于E，AD、BE相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A.2个B.3个C.4个D.5个8. 一个角是60∘的等腰三角形是（）A.等腰直角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.上述都正确9. 以下关于等边三角形的判定：①三条边相等的三角形是等边三角形；①有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形；①有两个角为60∘的三角形是等边三角形①三个角相等的三角形是等边三角形其中正确的是（）A.只有①①①B.只有①①①C.只有①①①D.①①①①10. 如图，在△ABC中，∠B=60∘，AB=9，BP=3，AP=AC，则BC的长为（）A.8B.7C.6D.511. 等腰三角形一腰上的高等于该三角形另一边长的一半．则其顶角等于（）A.30∘B.30∘或150∘C.120∘或150∘D.120∘、30∘或150∘12. 等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是( )A.140∘B.20∘或80∘C.44∘或80∘D.140∘或44∘或80∘二、填空题13. 等腰三角形一腰的高等于腰长的一半，则其顶角的度数为________.14. 如图，△ABC是边长为8的等边三角形，点D在BC的延长线上，做DF⊥AB，垂足为F，若CD=6，则AF的长等于________.15. 如图所示的图形由4个等腰直角形组成，其中直角三角形（1）的腰长为1cm，则直角三角形（4）的斜边长为________．16. 如图等边三角形ABC中，AB=3，D、E是BC上的两点，AD、AE把△ABC分割成周长相等的三个三角形，则CD=________．17. 如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100∘，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC上一个动点．若△DEC是直角三角形，则∠BDE的度数是________．三、解答题18. 从①∠B=∠C；①∠BAD=∠CDA；①AB=DC；①BE=CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．已知：________(只填序号)，求证：△AED是等腰三角形.19. 如图，BD//AC,BD=BC，点E在BC上，且BE=AC．求证：∠D=∠ABC．20. 如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE=30∘，DE=4，求这个矩形的周长．21. 如图，在△ABC中，∠ACB−∠B=90∘，∠BAC的平分线交BC于点E，∠BAC的外角∠CAD 的平分线交BC的延长线于点F，试判断△AEF的形状．22. （1）如图①，△ABC是等边三角形，△ABC所在平面上有一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P有几个？在图中画出来． 25.（2）如图①，正方形ABCD所在的平面上有一点P，使△PAB，△PBC，△PCD，△PDA都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P有几个？在图中画出来．参考答案13.【答案】30∘或150∘14.【答案】115.【答案】416.【答案】−3+3√331617.【答案】30∘或70∘18.证明：选择的条件是：①∠B=∠C①∠BAD=∠CDA（或①①，①①，①①）；证明：在△BAD和△CDA中，① {∠B=∠C,∠BAD=∠CDA,AD=DA,① △BAD≅△CDA(AAS)，① ∠ADB=∠DAC，即在△AED中∠ADE=∠DAE，① AE=DE，△AED为等腰三角形．19.证明：∵BD//AC，① ∠EBD=∠C，BD=BC，BE=AC，① △EDB≅ABC(SAS)，① ∠D=∠ABC20.解：① 四边形ABCD是矩形，① ∠A=∠B=90∘，AD=BC．在Rt△ADE中，① ∠A=90∘，∠ADE=30∘，DE=4，① AE=12DE=2，AD=√3AE=2√3．① DE⊥CE，∠A=90∘，① ∠BEC=∠ADE=90∘−∠AED=30∘．在Rt△BEC中，① ∠B=90∘，∠BEC=30∘，BC=AD=2√3， ① BE=√3BC=6，① AB=AE+BE=2+6=8，① 矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=2(8+2√3)=16+4√3．21.解：△AEF是等腰直角三角形；理由如下：如图所示：① AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，① ∠EAC=12∠BAC，∠FAC=12∠CAD，① ∠BAC+∠CAD=180∘，① ∠EAC+∠FAC=12(∠BAC+∠CAD)=90∘，即∠EAF=90∘，① ∠ACB−∠B=90∘，① ∠ACB=90∘+∠B，① ∠1=90∘−∠B=∠B+∠BAC，① ∠B=12(90∘−∠BAC)，① ∠4=∠B+∠AEF，① AE平分∠DAC，① ∠3=∠4=∠B+∠AEF，① ∠BAC+∠3+∠4=180∘，① 2(∠B+∠AEF)+∠BAC=2[12(90∘−∠BAC)+∠AEF]+∠BAC=180∘，① ∠AEF=45∘，① ∠AFE=45∘，① △AEF是等腰直角三角形．22.【解答】（1）10个，如解图①，当点P在△ABC内部时，P是边AB．BC．CA的垂直平分线的交点：当点P在△ABC外部时，P是以三角形各顶点为圆心，边长为半径的圆与三条垂直平分线的交点每条垂直平分线上得3个交点，故具有这样性质的点P共有10个．（2）9个，如解图①．两条对角线的交点是1个，以正方形各顶点为圆心，边长为半径画圆，在正方形里面和外面的交点一共有8个，故具有这样性质的点P共有9个．。
2024年九年级中考数学专题复习训练等腰三角形存在性问题(8)
1、如图，在平面直角坐标系中，已知点D的坐标为(3,4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标.
2、如图,在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C 移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动当P点或Q点到达终点时停止运动，在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求时间t的值.
3、如图,直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一动点，直线PQ 与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标。
5、如图,已知四边形ABCD是矩形，AB=16，BC=12，点E在射线BC上，点F在线段 BD上，且∠DEF=∠ADB.设BE=x,当△DEF为等腰三角形时,求x的值.
x的图象上运动(不与O重合), 7、如图所示,在平面直角坐标系中,已知A(0,2),动点P在y=√3
3
连接AP.过点P作PQ⊥AP,交x轴于点Q,连接AQ.
(1)求线段AP长度的取值范围.
(2)试问:点P运动的过程中，∠QAP是否为定值?如果是,求出该值;如果不是，请说明理由。
(3)当△OPQ为等腰三角形时,求点Q的坐标.。
专题复习探索等腰三角形存在性问题
1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC ∆为等腰三角形．．．．．，则点C 的个数是（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．92．已知正方形ABCD ，试在该平面内找一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 都是等腰三角形．．．．．．这样的点P 共有几个位置？请画出图形． 3．已知正三角形AB Ｃ，试在该平面内找一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形．这样的点P 共有几个位置？请画出图形．4.如图,点A 的坐标为（1,1）在坐标轴上．．．．使△AOP 为等腰三角形，若存在，请分别写出它们的坐标.若不存在，请说明理由.5.已知如图，二次函数4523412-+-=x x y ，与x A 、B 两点（A 在B 的左侧），抛物线上是否存在点P 使以A 、B 、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出P 点坐标，若不存在，请说明理由专题复习——探索等腰三角形存在性问题 ADCB ACB6．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，DC ＝5，AB ＝24，∠B ＝45°．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN ∥AB 时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，△MNC 为等腰三角形．7.已知一次函数b x y +=21和二次函数2552++-=b ax ax y 交与A 、B 两点，A(-3,0)，C （0，4）.(1)求一次函数和二次函数的表达式，和点B 的坐标；（2）若点P 是直线x=1上一点，是否存在△PAB 是要三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.CM8.阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点()()1122P x y Q x y ，、，的对称中心的坐标为1212.22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，观察应用：（1）如图，在平面直角坐标系中，若点()()120123P P -、，的对称中心是点A ，则点A 的坐标为_________；（2）另取两点()()1.62.110.B C --，、，有一电子青蛙从点1P 处开始依次关于点A B C 、、作循环对称跳动，即第一次跳到点1P 关于点A 的对称点2P 处，接着跳到点2P 关于点B 的对称点3P 处，第三次再跳到点3P 关于点C 的对称点4P 处，第四次再跳到点4P 关于点A 的对称点5P 处，…则点38P P 、的坐标分别为_________、_________.拓展延伸：（3）求出点2012P 的坐标，并直接写出在x 轴上与点2012P 、点C 构成等腰三角形的点的坐标.9．如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC，交CD于点F．AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB 交折线ADC于点N，连结PN，设EP=x.①当点N在线段AD上时（如图2），△P MN的形状是否发生改变？若不变，求出△P MN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△P MN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.A DE BFC图4（备用）A DEBFC图5（备用）A DE BFC图1 图2A DEBFCPNM图3A DEBFCPNM（第25题）。
初中数学专题复习等腰三角形与直角三角形
初中数学专题复习等腰三角形与直角三角形在初中数学的学习中，等腰三角形和直角三角形是两个非常重要的几何图形。
它们具有独特的性质和定理，在解决数学问题时经常会用到。
下面我们就来对这两个图形进行一次系统的复习。
一、等腰三角形1、定义有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边称为腰，另一边称为底边。
两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
2、性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
3、判定（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
4、等腰三角形中的常见计算（1）已知等腰三角形的顶角，求底角：底角＝（180°顶角）÷ 2 。
（2）已知等腰三角形的底角，求顶角：顶角＝ 180° 2×底角。
5、等腰三角形的周长和面积（1）周长：等腰三角形的周长＝腰长× 2 ＋底边。
（2）面积：通常可以通过作底边的高，将等腰三角形分成两个直角三角形，然后利用三角形面积公式 S ＝ 1/2×底×高来计算。
二、直角三角形1、定义有一个角为 90°的三角形叫做直角三角形。
2、性质（1）直角三角形的两个锐角互余。
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（4）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
3、判定（1）如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。
（2）如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
4、直角三角形中的常见计算（1）已知直角三角形的两条直角边 a、b，求斜边 c：c ＝√（a²＋b²) 。
2024年人教版八年级上册数学期末复习微专题5方法技巧 等腰三角形的分类讨论
微专题5 方法技巧 等腰三角形的分类讨论类型一 顶角或底角的不确定性在等腰三角形中只要给出角的度数,要分是顶角还是底角进行讨论.【针对训练】1.如果等腰三角形的一个角的度数为80°,那么其余的两个角的度数是 50°,50°或20°,80° .2. 如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠B =70°,以点C 为圆心,CA 长为半径作弧,交直线BC 于点P ,连接AP ,则∠BAP 的度数是 15°或75° .类型二 腰和底边的不确定性在等腰三角形中只要给出边长,要分是腰还是底边进行讨论.【针对训练】3.已知实数x ,y 满足|x -4|+(y -8)2=0,则以x ,y 的值为两边长的等腰三角形的周长是(B) A .20或16 B .20C .16D .以上答案均不对4.已知a ,b 是等腰三角形的两边长,且a ,b 满足√2a -3b +5+(2a +3b -13)2=0,求此等腰三角形的周长.【解析】根据题意得:{2a -3b +5=02a +3b -13=0,解得{a =2b =3, 若2是腰长,三角形的三边长为2,2,3,因为2+2>3,能组成三角形,周长=2+2+3=7;若2是底边,三角形的三边长为2,3,3,因为2+3>3,能组成三角形,周长=2+3+3=8,所以该等腰三角形的周长为7或8.类型三 高的位置的不确定性三角形的高的位置随着三角形的形状的改变而改变,因此遇到与三角形的高有关的题型时要讨论是锐角三角形的高、直角三角形的高还是钝角三角形的高.【针对训练】5.已知BD 是等腰△ABC 腰上的高,且∠ABD =40°,求△ABC 的顶角度数.(画出符合题意的图形,直接写出答案即可)【解析】分情况讨论:当等腰三角形的顶角是锐角时,腰上的高在其内部,故顶角是90°-40°=50°,或是180°-(90°-40°)×2=80°;当等腰三角形的顶角是钝角时,腰上的高在外部.根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,即可求得顶角是90°+40°=130°.故这个等腰三角形顶角的度数为50°或80°或130°.类型四中线分割的不确定性中线分成的两部分周长之差为定值,需分两种情况来讨论.【针对训练】6.如图,已知等腰△ABC一腰上的中线BD把这个三角形的周长分成12和21两部分,求这个等腰三角形的底边BC的长.【解析】AB=AC,BD为腰AC上的中线,设AD=DC=x,BC=y,根据题意得{x+2x=12,y+x=21,或{x+2x=21,y+x=12,解得{x=4,y=17,或{x=7,y=5,当x=4,y=17时,等腰三角形的三边长分别为8,8,17, 显然不符合三角形的三边关系,舍去;当x=7,y=5时,等腰三角形的三边长分别为14,14,5.答:这个等腰三角形的底边BC的长是5.。
期末专题复习 专题五 等腰三角形、尺规作图
①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC＝60°；③点 D 在 AB 的垂直平分线上；
④S△DAC∶S△ABC＝1∶3. A．1
B．2
C．3
D．4
12．平面直角坐标系中，已知 A(2,2)、B(4,0)．若在坐标轴上取点 C，使△ABC
为等腰三角形，则满足条件的点 C 的个数是( A )
A．5
B．6
(2)若点 M 在 DE 上，且 DC＝DM，求证：ME＝BD. 解：如图，连接 MC，∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，∴△MDC 是等边三角 形，∴CM＝CD.又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝ 180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，∴∠EMC＝∠ADC.又∵CE＝CA，∴∠ DAC＝∠CEM＝15°，∴△ADC≌△EMC(AAS)，∴ME＝AD＝DB
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/ 8/5202 1/8/520 21/8/5 Thursda y, August 05, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/ 8/5202 1/8/520 21/8/5 2021/8/ 58/5/2 021
证明：(1)∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，又∠DAC＝∠EAB， AB＝AC，∴△ACD≌△ABE(AAS)，∴AD＝AE (2)互相垂直．理由：由(1)AD＝AE，又 AO＝AO，∠ADO＝∠AEO＝90°，∴ △ADO≌△AEO(HL)，∴∠DAO＝∠EAO，即 OA 平分∠BAC，又∵AB＝ AC，∴OA⊥BC
15．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝80°，E、F、P 分别是 AB、AC、 BC 边上的点，且 BE＝BP，CP＝CF，则∠EPF＝ 50 度． 16．如图，AD∥BC，∠ABC 的角平分线 BP 与∠BAD 的角平分线 AP 相交 于点 P，作 PE⊥AB 于点 E，若 PE＝2，则两平行线 AD 与 BC 间的距离为 4 .
等腰三角形专题复习
等腰三角形专题复习
1. 等腰三角形的定义和性质
- 等腰三角形是指有两条边相等的三角形。
- 等腰三角形的顶角和底角相等。
- 等腰三角形的高线（高）是底边的垂直平分线。
2. 等腰三角形的判定方法和例题
- 判定方法：
- 两边相等（边边边，即SSS判定法）。
- 底角顶角相等（角边角，即AAS判定法）。
- 两边夹角相等（边角边，即SAS判定法）。
- 例题：
- 已知三角形的两边分别为5cm和5cm，夹角为60°，判断该三角形是否为等腰三角形。
3. 等腰三角形的性质
- 顶角和底角相等，即∠A = ∠B。
- 等腰三角形的高线是底边的垂直平分线，即AD = DB。
- 等腰三角形的两底角相等，即∠C = ∠D。
4. 等腰三角形的面积和周长计算公式
- 面积公式：S = （底边长 ×高）/ 2。
- 周长公式：P = 2 ×底边长 + 斜边长。
5. 等腰三角形的应用举例
- 塔尖角：一根高塔边向下俯视角为60°，根据观察图可以判定塔尖为等腰三角形。
- 喷泉造型：喷泉的喷水口为等腰三角形，设计中需要计算出三角形的高来确定喷水的高度。
以上是关于等腰三角形的专题复习内容。
希望能帮助你更好地理解等腰三角形的定义、性质和应用。
如有疑问，请随时提问。
数学人教版九年级下册等腰三角形专题复习
等腰三角形专题复习知识点;1.等腰三角形的性质; (1)两边相等(2)等边对等角（3）三线合一2.等腰三角形的判定（1）定义（2）等角对等边3.线段垂直平分线性质4.作等腰三角形（1）已知一腰一底（2）已知底和底边上的高一、遇角需讨论1, 等腰三角形的一个内角为50º，求其余两个内角度数？2. 在等腰三角形ABC中,AB=AC, ∠A=36°BD⊥AC于点D,则∠CBD的度数是多少？3.等腰三角形ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所成的锐角为50º，则∠B等于多少度?二、遇边需讨论1．（2015.湖北）等腰三角形两边长分别是2和4，则这个等腰三角形的周长为（） A.8或10 B.8 C．10 D.6或122.（2016•济宁）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是（）A.15cmB.16cmC.17cmD.16cm或17cm三、作等腰三角形线段OD的一端O在直线a上，以OD为边画等腰三角形，使另一个顶点P在直线a上，这样的点P有几个？H E D CB A 26 题图 2.在平面直角坐标系XOY 中，已知点A （4,3） P 是坐标轴上的一点，若此O,A,P 三点组成的 三角形是等腰三角，则满足条件的点P 共有几个， 其中一个点P 的坐标？四.因动点产生的等腰三角形问题1.如图，抛物线y ＝ax ＋bx ＋c 经过A(－1,0) B(3, 0)，C(0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）在直线l 上是否存在点M ，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．课后习题：1. 如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．不能确定（第1题） （第4题） （第6题） （第7题）2.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）A ．20°B ．120°C ．20°或120°D ．36°3.等腰三角形的一腰长为cm 6，底边长为cm 36，则其底角为（ ）A ． 30°B ．60°C ．90°D ．120°4. 如图，在三角形ABC 中，AB=AC ，∠A=50°，D 为△ABC 内的一点，∠DBC=∠DCA ，则∠BDC 的度数为( )A ．115°B ．110°C ．130°D ．140°5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 ．6.如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，且AB=AC ，BE 平分∠ABC AC 于F ，过C 作BE 的垂线交BE 于E ，求证：BF=2CE7. 已知，如图：△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝900，AB ＝10，D 为△ABC 外一点，连结AD 、BD ，过D 作DH ⊥AB ，垂足为H ，交AC 于E 。
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等腰三角形专题复习
知识点：
1.等腰三角形两腰长度相等；
2.等腰三角形两底角度数相等；
3.等腰三角形等边对等角，且等角对等边；
4.等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一。
判定方法：
判断等腰三角形⎩⎨⎧、两个角相等
、两条边相等21
判断等边三角形⎩⎨⎧︒
+6021、两条边相等、三条边相等
例1、如图，△ABC 中，AB=AC ，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则图中的等腰三角形的个数为（ ）
个 个
个 个
变式1、如图，在△ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于点M ，交AC 于点N ，若MN=9，则线段BM+CN 的长为（ ）
变式2、如图，已知△ABC 中，AC+BC=24，AO 、BO 分别是角平分线，且MN ∥BA ，分别交AC 于N ，BC 于M ，则△CMN 的周长为__________.
例2、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE。
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当A
∠的度数。
∠=40°时，求DEF
变式3、如图，在△ABC中，CD与CF分别是△ABC的内角、外角的平分线，DF∥BC交AC于点E，试说明：
（1）△DCF为直角三角形；
（2）DE=EF.
当堂练习：
（1）如图1，在△ABC中，ABC
∠的平分线BF交AC于F，过点F作DF∥BC，求证：BD=DF.
（2）如图2，在△ABC中，ABC
∠的平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，
∠的平分线BF与ACB
交直线AB于点D，交直线AC于点E，那么BD、CE、DE之间存在什么样的关系？并证明这种关系。
（3）如图3，在△ABC中，ABC
∠的外角平分线CF相交于F，过点F作DE∥
∠的平分线BF与ACB
BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E，那么BD、CE、DE之间存在什么样的关系？不需要证明。
例3、三线合一的性质
如图所示，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度为1cm/s，点Q运动的速度为2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动。
设运动时间为t s，解答下列问题：
（1）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由。
（2）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t；若不能，请说明理由。
动点问题：
如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次达到B点时，M、N同时停止运动。
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间。
课后作业：
问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分ABC
∠，
∠，CD平分ACE 试探究D
∠与A
∠的数量关系。
（1）特例探究：
如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则D
∠= ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角A=100°，其余条件不变，则D
∠= ；这两个图中，∠与A
∠度数的比是。
D
（2）猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的D
∠的关系是否还成立？若
∠与A
成立，利用图1证明你的结论；若不成立，请说明理由。