等腰三角形单元专项复习题
等腰三角形问题综合专项练习(解析版)
等腰三角形问题综合专项练习（解析版）一、单选题1．等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于（ ）A ．腰上的高B ．腰上的中线C ．底角的平分线D ．顶角的平分线【标准答案】A【思路点拨】画出图形，利用等积法证明可得等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．【精准解析】解：如图：中，，为上任意一点，，，垂足ABC ∆AB AC =D BC DE AB ⊥DF AC ⊥为、，于，连接AD ，E F CG AB ⊥G ，ED AB ⊥ ；12ABD S AB ED ∆∴=A ，DF AC ⊥ ；12ACD S AC DF ∆∴=⋅，CG AB ⊥ ；12ABC S AB CG ∆∴=⋅∵111222AB CG AB ED AC DF=+A A A 又，AB AC = ．CG DE DF ∴=+等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高，∴故选：．A【名师指路】本题考查了等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用等积法证明垂线段之间的关系．2．（2021·广东白云·八年级期末）如图，∠ABE ＝∠ACD ，∠EBC ＝∠DCB ，则下列结论正确的有（ ）①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③BD ＝CE ；④CD ＝BE．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【标准答案】D【思路点拨】由∠ABE ＝∠ACD ，∠E BC ＝∠DC B ，可得出∠ABC ＝∠ACB ，再利用等角对等边可得出AB ＝AC ，可判断①；由∠A ＝∠A ，AB ＝AC 及∠ABE ＝∠ACD ，可证出△ABE ≌△ACD （ASA ），再利用全等三角形的性质可得出AD ＝AE ，CD ＝BE ，可判断②④；由AB ＝AC ，AD ＝AE ，可得出BD ＝CE 可判断③即可．【精准解析】解：∵∠ABE ＝∠ACD ，∠EBC ＝∠DCB ，∴∠ABE +∠EBC ＝∠ACD +∠DCB ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴AB ＝AC ，结论①正确；在△ABE 和△ACD 中，，A A AB ACABE ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△ACD （ASA ），∴AD ＝AE ，CD ＝BE ，结论②④正确；∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴AB ﹣AD ＝AC ﹣AE ，∴BD ＝CE ，结论③正确．∴正确的结论有4个．故选择：D ．【名师指路】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．3．（2021·广东高州·八年级期中）如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，BE 和 CD 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，则下列结论中，①∠ABE ＝∠ACD ；②BE ＝CD ；③OC ＝OB ；④CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，正确的是（ ）A ．①B ．①②C ．①②③D ．②③④【标准答案】C【思路点拨】由AB =AC 得∠AB C =∠ACB ，由两个平分条件，则可得∠ABE =∠ACD ，即①成立；且∠OBC =∠OCB ，从而可得OC =OB ，即③正确；易证△ABE ≌△ACD ，BE =CD ，故可得②正确；由AB =AC 得∠ABC =∠ACB ，由两个平分条件，则可得∠OBC =∠OCB ，从而可得OC =OB ，即③正确；若④成立，则可得△ABC 是等边三角形，显然与已知矛盾．【精准解析】∵AB =AC∴∠ABC =∠ACBBE 和 CD 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线∴∠ABE =∠OBC =，∠ACD =∠OCB = 12ABC 12ACB ∴∠ABE =∠ACD =∠OBC =∠OCB即①成立∵∠OBC =∠OCB∴OC =OB即③正确在△ABE 和△ACD 中A A AB ACABE ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△ACD (ASA )∴BE =CD即②正确若④成立，则∠ABC +∠OCB =90゜∵∠ABE =∠OBC =∠OCB∴∠ABE =∠OBC =∠OCB =30゜∴∠ABC =2∠ABE =60゜∵AB =AC∴△ABC 是等边三角形显然与已知△ABC 是等腰三角形矛盾故④错误所以正确的结论为①②③故选：C ．【名师指路】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定等知识，熟练运用三角形全等的判定与性质是本题的关键．4．（2021·广东·佛山市华英学校八年级期中）如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别在AB 、BC 边上，且AD =BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ．下列结论：①AE =CD ；②∠AFC =120°；③△ADF 是等腰三角形；④，其中正确的结论是12FGAG =（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④【标准答案】A【思路点拨】根据等边三角形的性质可得AB =AC ，∠BAC =∠B =60°，然后利用“边角边”证明△ABE 和△CAD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE =CD ，判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ACD =∠BAE ，求出∠CAF +∠ACD =60°，然后利用三角形的内角和定理求出∠AFC =120°，判定②正确；求出∠ADF ＞60°，∠FAD ＜60°，∠AFD =60°，判定△ADF 不是等腰三角形；求出∠AFG =60°，再求出∠FAG =30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得FG =AF ，然后判断④．12【精准解析】解：在等边△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =∠B =60°，在△ABE 和△CAD 中，，60AB AC BAC B AD BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CAD （SAS ），∴AE =CD ，故①正确；∵∠ACD =∠BAE ，∴∠CAF +∠ACD =∠CAF +∠BCE =∠BAC =60°，在△ACF 中，∠AFC =180°﹣（∠CAF +∠ACD ）=180°﹣60°=120°，故②正确；∵∠FAD ＜∠BAC ，∠BAC =∠B =60°，∴∠ADF ＞60°，∠FAD ＜60°，∠AFD =60°，∴△ADF 不是等腰三角形，故③错误；∵∠AFG =180°﹣∠AFC =180°﹣120°=60°，AG ⊥CD ，∴∠FAG =90°﹣60°=30°，∴FG =AF ，∴，故④错误，12FG AF =综上所述，正确的有①②．故选：A ．【名师指路】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定与性质，并准确识图是解题的关键．5．（2021·广东·西关外国语学校八年级期中）如图，已知△ABC和△DCE是等边三角形，点B，C，E在同一直线上，AE，AC与CD，BD分别交于点F、G．连接GF，下列结论：①AE＝BD；②AG＝DF；③GF∥BE，④CF＝GF，其中正确的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【标准答案】C【思路点拨】根据等边三角形性质，利用SAS证明△BCD≌△ACE，可证结论①；证明△DGC≌△EFC，得△GFC是等边三角形，则CF＝FG，可得结论④；∠GFC＝60°，根据∠GFC ＝∠DCE＝60°，所以GF∥BE，可得结论③；由CG＝CF，AC≠DC，可知：AC−CG≠DC−CF，即AG≠DF，可得结论②．【精准解析】解：∵△ABC和△DCE是等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC，∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE，∴AE＝BD，故①正确；∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠DCE＝60°，由①得△BCD≌△ACE，∴∠GDC＝∠AEC，∵DC＝EC，∴△DGC≌△EFC，∴CF＝CG，∴△GFC是等边三角形，∴CF ＝FG ，∠GFC ＝60°，∴∠GFC ＝∠DCE ＝60°，∴GF ∥BE ，故③④正确；∵CG ＝CF ，而AC 与CD 不相等，所以AG 与DF 不相等，故②不正确；正确的有：①③④，一共3个，故选：C ．【名师指路】本题考查了全等三角形的性质和判定及等边三角形的性质和判定，属于常考点型，难度适中；准确地在图形中找到全等三角形并进行证明是本题的关键．6．（2021·广东·南山实验教育集团南海中学八年级开学考试）如图，，点45AOB ∠=︒、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动M N OA OB 6MN =OMN A 12P MN 点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动P OA 1P P OB 2P P NM 时，的面积最小值为（ ）12OPP AA ．B ．C ．D ．681218【标准答案】B【思路点拨】连接OP ，过点O 作OH ⊥MN 交NM 的延长线于点H ．利用三角形的面积公式求出OH ，再证明△OP 1P 2是等腰直角三角形，OP 最小时，△OP 1P 2的面积最小．【精准解析】连接OP ，过点O 作OH ⊥MN 交NM 的延长线于点H ，如图∵，MN =61122OMN S MN OH =⨯=△∴OH =4∵点关于对称的点为，点关于对称点为P OA 1P P OB 2P ∴∠AOP 1=∠AOP ，∠BOP 2=∠BOP ，OP =OP 1=OP 2∵∠AOB =45°∴∠P 1OP 2=2（∠AOP +∠BOP ）=2∠AOB =90°∴△OP 1P 2是等腰直角三角形∴当OP 1最小，△OP 1P 2的面积最小根据垂线段最短知，OP 的最小值为线段OH 的长，即为4∴△OP 1P 2的面积最小值为14482⨯⨯=故选：B ．【名师指路】本题考查了轴对称，三角形的面积，垂线段最短等知识，关键是证明△OP 1P 2是等腰直角三角形，把求面积的最小值转化为线段的最小值，也体现了数学上的转化思想．7．（2021·广东实验中学越秀学校八年级期中）如图所示，，点是60AOB ∠=︒P 内一定点，并且，点、分别是射线，上异于点的动点，AOB ∠2OP =M N OA OB O 当的周长取最小值时，点到线段的距离为（ ）PMN A O MNA ．1B ．2C ．4D ．1．5【标准答案】A【思路点拨】分别作点P 关于OB 和OA 的对称点P '和P ''，连接OP '、OP ''、P 'P ''，则P 'P ''与OB 的交点为点N '，P 'P ''与OA 的交点为点M '，连接PN '、PM '，则此时P 'P ''的值即为△PMN的周长的最小值，过点O 作OC ⊥P 'P ''于点C ，求得∠OP 'P ''的值，由含30°角的直角三角形的性质可得答案．【精准解析】解：分别作点P 关于O B 和OA 的对称点P '和P ''，连接OP '、OP ''、P 'P ''，则P 'P ''与OB 的交点为点N '，P 'P ''与OA 的交点为点M '，连接PN '、PM '，则此时P 'P ''的值即为△PMN 的周长的最小值，过点O 作OC ⊥P 'P ''于点C ，如图所示：由对称性可知OP ＝OP '＝OP ''，∵∠AOB ＝60°，∴∠P 'OP ''＝2×60°＝120°，∴∠OP 'P ''＝∠OP ''P '＝30°，∵OP ＝2，OC ⊥P 'P ''，∴OC ＝OP '＝1．12故选：A ．【名师指路】本题考查了轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．8．（2021·广东·深圳市高级中学八年级开学考试）如图，在ABC 中，BD 、CE 分别A 是∠ABC 和∠ACB 的平分线，AM ⊥CE 于P ，交BC 于M ，AN ⊥BD 于Q ，交BC 于N ，∠BAC ＝110°，AB ＝6，AC ＝5，MN ＝2，结论①AP ＝MP ；②BC ＝9；③∠MAN ＝30°； ④AM ＝AN ．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【标准答案】C【思路点拨】先证明ACP ≌MCP ，根据全等三角形的性质得到AP ＝MP ，判断①；再证明ABQ A A A ≌NBQ ，根据全等三角形的性质得到CM ＝AC ＝5，BN ＝AB ＝6，结合图形计算，判A 断②；根据三角形内角和定理判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．【精准解析】解：∵CE 是∠ACB 的平分线，∴∠ACP ＝∠NCP ，∵AM ⊥CE ，∴，90CPA CPM ∠=∠=︒在ACP 和MCP 中，A A ，ACP MCP CP CP CPA CPM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ACP ≌MCP （ASA ），A A ∴AP ＝MP ，∠CMA ＝∠CAM ，①结论正确；∵ACP ≌MCP ，A A ∴CM ＝AC ＝5，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABQ ＝∠NBQ ，∵AN ⊥BD ，∴，90BQA BQN ∠=∠=︒在ABQ 和NBQ 中，A A ，ABQ NBQ BQ BQBQA BQN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABQ ≌NBQ （ASA ），A A ∴BN ＝AB ＝6，∠BNA ＝∠BAN ，∴BC ＝BN +CM ﹣MN ＝5+6﹣2＝9，②结论正确；∵∠BAC ＝110°，∴∠MAC +∠BAN ﹣∠MAN ＝110°，∵∠CMA ＝∠CAM ，∠BNA ＝∠BAN ，∴∠CMA+∠BNA﹣∠MAN＝110°，A又∵在AMN中，∠CMA+∠BNA＝180°﹣∠MAN，∴180°﹣∠MAN﹣∠MAN＝110°，∴∠MAN＝35°，③结论错误；④∵AB＝6，AC＝5，∴AB≠AC，∴∠ABC≠∠ACB，∵∠ABC＋2∠ANM＝180°，∠ACC＋2∠AMN＝180°，∴180°－2∠ANM≠180°－2∠AMN，∴∠AMN≠∠ANM，∴AM≠AN，④结论错误，∴正确的结论有①②，故选：C．【名师指路】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，也考查了等腰三角形的判定．9．（2021·广东·汕头市龙湖实验中学八年级开学考试）如图，D是AB边上的中点，A将ABC沿过D点的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B＝50°，则∠BDF的大小为（）A．50°B．80°C．90°D．100°【标准答案】B【思路点拨】由折叠的性质，即可求得AD＝DF，又由D是AB边上的中点，即可得DB＝DF，根据等边对等角的性质，即可求得∠DFB＝∠B＝50°，再由三角形的内角和定理，即可求得∠BDF的度数．【精准解析】解：∵折叠，∴AD ＝DF ，∵D 是AB 边上的中点，∴AD ＝BD ，∴BD ＝DF ，∵∠B ＝50°，∴∠DFB ＝∠B ＝50°，∴∠BDF ＝180°﹣∠B ﹣∠DFB ＝80°．故选：B ．【名师指路】此题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．10．（2021·广东·东莞市沙田瑞风实验学校八年级期中）如图，在中，ABC ∆AB BC =，AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，∠1=∠2，AD =AB ．下列结论中，正确的个数是（） ①∠1=∠EFD ；②BE =EC ；③BF =DF =CD ；④FD BC//A ．B ．C ．D ．1234【标准答案】C【思路点拨】根据等腰直角三角形的“三合一”性质、角平分线的性质、全等三角形ABC 的性质对以下选项进行一一验证即可．ADF ABF ∆≅∆【精准解析】解：在中，，，，ABC ∆AB BC =AB BC ⊥BE AC ⊥；AE CE BE ∴==故②正确；在和中，ADF ∆ABF ∆，()12AD AB AF AF ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩公共边，()ADF ABF SAS ∴∆≅∆，ADF ABF ∴∠=∠，,AB BC AB BC ⊥= 为等腰直角三角形，ABC ∴A ，BE AC ⊥ ，90CEB AEB ∴∠=∠=︒，45ABF CBE ∴∠=∠=︒45ADF ABF ∴∠=∠=︒，45C ∠=︒ ，45ADF ABE ∴∠=∠=︒，45ADF C ∴∠=∠=︒（同位角相等，两直线平行），//DF BC ∴故④正确；，ADF ABF ∆≅∆ （全等三角形的对应边相等）．DF BF ∴=又，，//DF BC BE EC =，EF DF ∴=，CD BF DF ∴==故③正确；，，．45EAB ∠=︒ 12∠=∠1122.52EAB ∴∠=∠=︒又，//DF BC ，45EFD EBC ∴∠=∠=︒；1EFD ∴∠≠∠故①错误；综上所述，正确的说法有②③④三种；故选：C ．【名师指路】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定，解题的关键是充分利用了等腰三角形的“三合一”的性质．二、填空题11．（2021·广东·广州市第十六中学八年级开学考试）已知等腰中，一腰上ABC A AC 的中线将的周长分成和两部分，则这个三角形的腰长和底边长分BD ABC A 9cm 15cm 别为_______．【标准答案】10cm ，4cm【思路点拨】将腰长与腰长的一半分为9cm 和15cm 两种情况，分别求出腰长，再求出底边，然后根据三角形的任意两边之和不能大于第三边进行判断即可.【精准解析】解：设腰长为x cm ，腰长与腰长的一半是9cm 时，x +x =9，12解得x =6，所以，底边=15﹣×6=12，12∵6+6=12，∴6cm 、6cm 、12cm 不能组成三角形；②腰长与腰长的一半是15cm 时，x +x =15，12解得x =10，所以，底边=9﹣×10=4，12所以，三角形的三边为10cm 、10cm 、4cm ，能组成三角形，故答案为： 10cm ， 4cm ．【名师指路】本题主要考查了中线的定义以及三角形两边之和不能大于第三边，正确理解等腰三角形以及中线的定义并熟练掌握三角形的两边之和不能大于第三边是解答本题的关键.12．（2021·广东·汕头市龙湖实验中学八年级期末）如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠B =36°，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE =36°，DE 交线段AC 于点E ，点D 在运动过程中，若△ADE 是等腰三角形，则∠BDA 的度数为_________．【标准答案】72°或108°【思路点拨】利用外角的性质判断出，分类讨论当时和AED ADE ≠∠∠AED DAE =∠时，两种情况，利外角的性质和角的等量代换运算即可．36ADE DAE ==︒∠∠【精准解析】解：∵AB AC=∴36B C ∠=∠=︒∵36AED EDC C EDC =+=+︒∠∠∠∠∴AED ADE≠∠∠∴当时，则AED DAE =∠180180367222ADE AED DAE ︒-︒-︒====︒∠∠∴7236108ADB DAE C =+=︒+︒=︒∠∠∠当时，则36ADE DAE ==︒∠∠363672ADB DAE C =+=︒+︒=︒∠∠∠故答案为：或72︒108︒【名师指路】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质，外角的性质，灵活运用外角的性质是解题的关键．13．（2021·广东·珠海市文园中学八年级期中）如图，△ABC 的面积为12，AB ＝AC ，BC ＝4，AC 的垂直平分线EF 分别交AB ，AC 边于点E ，F ，若点D 为BC 边的中点，点P 为线段EF 上一动点，则△PCD 周长的最小值为 ___．【标准答案】8【思路点拨】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角AD ABC ∆D BC AD BC ⊥形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线AD EF AC C的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．EF A AD CP PD +【精准解析】解：连接，AD是等腰三角形，点是边的中点，ABC ∆ D BC ，AD BC ∴⊥，1141222ABC S BC AD AD ∆∴==⨯⨯=A 解得：，6AD =是线段的垂直平分线，EF AC 点关于直线的对称点为点，∴C EF A 的长为的最小值，AD ∴CP PD +的周长最短．CDP ∴∆11()6462822CP PD CD AD BC =++=+=+⨯=+=故答案为：8．【名师指路】本题考查了轴对称最短路线问题、等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角-形三线合一的性质．14．（2021·广东·广州市越秀区育才实验学校八年级期中）△ABC 中，AB ＝AC ＝12厘米，BC ＝8厘米，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动，若点Q 的运动速度为 ___米/秒，△BPD 能够与△CQP 全等．【标准答案】3或4.5．【思路点拨】根据等腰三角形的性质得出∠B ＝∠C ，根据全等三角形的判定得出两种情况：①BD ＝CP ，BP ＝CQ ，②BD ＝CQ ，BP ＝PC ，设运动时间为t 秒，列出方程，再求出答案即可．【精准解析】解：设运动时间为t 秒，∵AB ＝12厘米，点D 为AB 的中点，∴BD ＝AB ＝6（cm ），12∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴要使，△BPD 能够与△CQP 全等，有两种情况：①BD ＝CP ，BP ＝CQ ，8﹣3t ＝6，解得：t ＝，23∴CQ ＝BP ＝3×＝2，23∴点Q 的运动速度为2÷＝3（厘米/秒）；23②BD ＝CQ ，BP ＝PC ，∵BC ＝8厘米，∴BP ＝CP ＝BC ＝4（厘米），12即3t ＝4，解得：t ＝，43∴CQ ＝BD ＝6厘米，∴点Q 的运动速度为6÷＝4.5（厘米/秒），43故答案为：3或4.5．【名师指路】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．15．（2020·广东·广州外国语学校附属学校八年级期末）已知：如图，△ABC 是等边三角形，延长AC 到E ，C 为线段AE 上的一动点（不与点A 、E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ,OC ．以下五个结论：①AD=BE ；②AP=BO ；③PQ//AE ；④∠AOB=60°；⑤OC 平分∠AOE ；结论正确的有_________（把你认为正确的序号都填上）【标准答案】①③④⑤【思路点拨】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明△ACD △BCE ，根据全等≅三角形对应边相等可得AD=BE ，所以①正确；由△ACD △BCE 得∠CAD=∠CBE ，加上∠BCA=∠DCE=60°，AC=BC ，得到△ACP ≅△BCQ （ASA ），所以AP=BO ，故②错误；≅根据△ACP △BCQ ，再根据PC=QC ，推出△PCQ 是等边三角形，又由∠ACB=∠≅CPQ ，根据内错角相等，两直线平行，故③正确；利用等边三角形的性质，BC //DE ，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO ，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.故④正确；根据三角形面积公式求出CN=CM ，根据角平分线性质即可判断⑤.【精准解析】①∵正三角形ABC 和正三角形CDE ，∴BC=AC ，DE=DC=CE ，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，，=∠=∠⎨⎪=⎧⎪⎩AC BC ACD BCE DC CE ∴△ACD △BCE （SAS ），≅∴AD=BE ；故①正确.②∵△ACD △BCE （已证），≅∴∠CAD=∠CBE ，∵∠BCA=∠DCE=60°（已证），∴=60°，180602∠=︒-⨯︒BCQ ∴∠ACB=∠BCQ=60°，在△ACP 和△BCQ 中，，=∠=∠∠⎧⎪⎨⎩=∠⎪AC BC CAD CBE ACB BCQ ∴△ACP △BCQ （ASA ），≅∴AP=BO ，故②错误.③∵△ACP △BCQ （已证），≅∴PC=QC ，∴△PCQ 是等边三角形.∴∠CPQ=60°，∴∠ACB=∠CPQ ，∴PQ//AE ，故③正确.④∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，在正三角形CDE 中，∠DEC =60°=∠BCD ，∴ BC//DE ，∴∠CBE=∠DEO ，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.故④正确.⑤过C 作于M ，于N ，CM BE ⊥CN AD⊥∵△ACD △BCE ，≅∴，BE=AD ，∆∆=BCE ACD S S ∴1122⨯⨯=⨯⨯，BE CM AD CN ∴CM=CN ，∴OC 平分∠AOE ，故⑤正确；故答案为①③④⑤.【名师指路】本题主要考查了三角形的证明，解题的关键是熟知全等三角形的判定、等边三角形的性质、角平分线的性质以及平行线的判定.16．（2020·广东福田·八年级期中）如图，已知等腰△ABC ，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥BC 于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP=OC ，下面结论：①∠APO=∠ACO ；②∠APO+∠PCB=90°；③PC=PO ；④AO+AP=AC ；其中正确的有________.(填上所有正确结论的序号)【标准答案】①②③④【思路点拨】连接，证明，利用等腰三角形的性质可判断结论①；由线段垂直平分线的OB OP OB =性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出∠APO 与∠DCO 的和等于30°，再证明是等边三角形，可判断结论②，③；, 在线段AC POC ∆上截取AE=AP ，连接PE ，证明△APO ≌△EPC 可判断结论④．【精准解析】解：如图，连接,OB∵AD ⊥BC ，,AB AC =是的中垂线，，AD ∴BC A ABC CB =∠∠,OB OC ∴=,OBC OCB ∴∠=∠,ABO ACO ∴∠=∠,OP OC = ,OP OB ∴=,OBP OPB ∴∠=∠ 即结论①正确；,APO ACO ∠=∠ 连接BO ，如图1所示：,120,AB AC BAC =∠=︒30,ABC ACB ∴∠=∠=︒由,APO ACO ∠=∠30,APO DCO ACO DCO ACB ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒1803030120,OPC OCP ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒60,POC ∠=︒,OP OC = 是等边三角形，POC ∴∆60,PCO ∴∠=︒ 60603090,PCB APO PCO DCO APO DBO ABO ∴∠+∠=∠+∠+∠=︒+∠+∠=︒+︒=︒即结论②正确；是等边三角形，POC ∆,PC PO ∴=即结论③正确；在线段AC 上截取AE=AP ，连接PE ，如图所示：∵∠BAC+∠CAP=180°，∠BAC=120°，∴∠CAP=60°，∴△APE 是等边三角形，∴AP=EP ，又∵△OPC 是等边三角形，∴OP=CP ，又∵∠APE=∠APO+∠OPE=60°，∠CPO=∠CPE+∠OPE=60°，∴∠APO=∠EPC ，在△APO 和△EPC 中，， AP EP APO EPC OP CP ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△APO ≌△EPC （SAS ），∴AO=EC ，又∵AC=AE+EC ，AE=AP ，∴AC=AO+AP ， 即结论④正确；综合所述，①，②，③，④都正确，故答案为：①，②，③，④．【名师指路】本题综合考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角的和差，线段的和差，等量代换等相关知识点，重点掌握全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，难点是作辅助线构建等腰三角形，等边三角形，全等三角形．17．（2020·广东·广州市育才中学八年级期中）如图，在等腰中，ABC ∆是的高，分别是上一动点，则 5AB AC AD ==，ABC ∆4,3,AD BD E F ==、AB AD 、的最小值为__________．BF EF+【标准答案】245【思路点拨】利用等腰三角形的对称性找到点B 的对称点C ，连接CE ，当CE ⊥AB 时，线段的和最小，再运用等面积法求CE 的长度即可．【精准解析】如图所示：点B 关于AD 的对称点是点C ，∴BF ＝CF ，∴BF ＋EF ＝CF ＋EF ＝CE ，当CE ⊥AB 时，线段的长度有最小值，利用△ABC 面积的两种表示方法，得：，11BC AD=AB CE 22⋅⋅∵BC ＝2BD ＝6，AD ＝4，AB ＝5，∴，1164=5CE 22⨯⨯⨯⋅解得：．24CE=5【名师指路】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用等面积法求线段长度是解题的关键．18．（2021·广东·佛山市华英学校八年级期中）如图，已知∠AOB ＝a ，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1＝OB 1，连接A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1B ＝B 1A 2，连接A 2B 2，…，按此规律，记∠A 2B 1B 2＝θ1，∠A 3B 2B 3＝θ2，…，∠A n +1B n B n +1＝θn ，则θ2021﹣θ2020的值为__．【标准答案】．20211802α︒-【思路点拨】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A 1B 1O ，再根据平角等于180°列式用α表示出θ1，再用θ1表示出θ2，并求出θ2﹣θ1，依此类推求出θ3﹣θ2，…，θ2021﹣θ2020，即可得解．【精准解析】解：∵OA 1＝OB 1，∠AOB ＝α，∴∠A 1B 1O ＝（180°﹣α）．12∴（180°﹣α）+θ1＝180°．12∴θ1＝．o 1802α+∵B 1B 2＝B 1A 2，∠A 2B 1B 2＝θ1，∴，o 12211802A B B θ-=∠∵o2212=180A B B θ+∠∴，o o 12180=1802θθ-+整理得：，o 2540=4αθ+∴．o o o 21540180180==424αααθθ++---同理可求：，o o 231801260==28θαθ++∴o o o 321260540180==848αααθθ++---•••以此类推， o 202120202021180=2αθθ--故答案为：．o 20211802α-【名师指路】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键在于能够准确找到规律求解.19．（2021·广东·广州市培正中学八年级期中）如图，平面直角坐标系中O 是原点，等边△OAB 的顶点A 的坐标是（2，0），点P 以每秒1个单位长度的速度，沿O →A →B →O →A …的路线作循环运动，点P 的坐标是__________________．【标准答案】12⎛ ⎝【思路点拨】计算前面7秒结束时的各点坐标，得出规律，再按规律进行解答便可．【精准解析】解：由题意得，第1秒结束时P 点运动到了线段OA 的中点C 的位置，所以P 1的坐标为P 1（1，0）；第2秒结束时P 点运动到了点A 的位置，所以P 2的坐标为P 2（2，0）；第3秒结束时P 点运动到了线段AB 的中点D 的位置，如下图所示，过D 点作x 轴的垂线交于x 2处，∵△OAB 是等边三角形，且OA =2，∴在Rt △AD x 2中，∠DA x 2=60°，AD =1，∴，212Ax =2Dx =故D 点的坐标为，即P 3;32⎛ ⎝32⎛ ⎝第4秒结束时P 点运动到了点B 的位置，同理过B 点向x 轴作垂线恰好交于点C ，在Rt △OBC 中，∠BOC =60°，，,2OB =1OC =，BC故B 点的坐标为（1P 4（1第5秒结束时P 点运动到了线段OB 的中点E 的位置，根据点D 即可得出E 点的坐标为，即 P 5；12⎛ ⎝12⎛ ⎝第6秒结束时运动到了点O 的位置，所以P 6的坐标为P 6（0，0）；第7秒结束时P 点的坐标为P 7（1，0），与P 1相同；……由上可知，P 点的坐标按每6秒进行循环，∵2021÷8＝336……5，∴第2021秒结束后，点P 的坐标与P 5相同为，12⎛ ⎝故答案为：．12⎛ ⎝【名师指路】本题主要考查了点的坐标特征，等边三角形的性质，数字规律，关键是求出前面几个点坐标，得出规律．20．（2020·广东·广州大学附属中学八年级期中）在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是边BC 上一点，连接AD ，若∠BAD ＋3∠CAD ＝90°，DC ＝a ，BD ＝b ，则AB ＝________. （用含a ，b 的式子表示）【标准答案】2a+b.【思路点拨】延长BC 至点E ，使CE=CD=a ，连接AE ，利用∠BAD ＋3∠CAD ＝90°，∠CAB+∠B ＝90°，证得∠B=2∠CAD ，再利用CE=CD,AC ⊥CD,证得△AED 是等腰三角形，推出∠E=∠EAB,由此得到AB=EB=2a+b.【精准解析】如图，延长BC 至点E ，使CE=CD ，连接AE ，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，AC⊥CD,∵∠BAD＋3∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD=∠BAC,∴∠B=2∠CAD,∵CE=CD,AC⊥CD,∴AC垂直平分ED,∴AE=AD,即△AED是等腰三角形，∴∠EAC=∠CAD,∴∠EAD=2∠CAD=∠B,∴∠EAB=∠B+∠BAD,∵∠E=∠ADE=∠B+∠BAD,∴∠E=∠EAB,∴AB=EB,∵EB=EC+CD+BD=a+a+b=2a+b，∴AB=2a+b.故填：2a+b.【名师指路】此题考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质，延长BC至点E，使CE=CD是关键的辅助线，由此将直角三角形转化为等腰三角形来证明.三、解答题21．（2020·广东·龙华新区实验学校八年级期中）解答下列问题：（1）模型建立：如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C 位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为_________（用含a，b的式子表示）；（2）模型运用：如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）灵活运用：如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．【标准答案】（1）a＋b；（2）①见解析；②13；（3）6＋【思路点拨】（1）根据点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到CD=AC，EC=CB，∠ACD=∠BCE=60°，推出△DCB≌△ACE，根据全等三角形的性质得到AE=BD；②由于线段AE长的最大值=线段BD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）如图3中，连接BN，将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，易知PA AN长的最大值=线段BP长的最大值，当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值，由此即可解决问题．【精准解析】解：（1）∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC＋AB＝a ＋b，故答案为：a＋b；（2）①证明：如图2中，∵△ACD 与△BCE 是等边三角形，∴CD ＝AC ，CB ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠DCB ＝∠ACE ，在△CBD 与△CEA 中，，CD CA DCB ACE CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBD ≌△CEA （SAS ），∴AE ＝BD ；②∵线段AE 长的最大值＝线段BD 的最大值，由（1）知，当线段BD 的长取得最大值时，点D 在BA 的延长线上，∴最大值为AD ＋AB ＝3＋10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN 绕着点M 顺时针旋转90°得到△PBM ，连接AP ，则△APM 是等腰直角三角形，∴MA ＝MP ＝2，BP ＝AN ，∴PA ＝，∵AB ＝6，∴线段AN 长的最大值＝线段BP 长的最大值，∴当P 在线段BA 的延长线时，线段BP 取得最大值＝AB ＋AP ＝6＋【名师指路】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及旋转的性质的综合应用．注意等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．22．（2021·广东·广州市真光中学八年级期中）如图，等边中，，关于轴ABC ∆A B y 对称，交轴负半轴于点，．AD AC ⊥y D ()0,6C （1）如图1，求点坐标；D （2）如图2，为轴负半轴上任一点，以为边作等边，的延长线交E x CE CEF ∆FA y 轴于点，求的长；G OG （3）如图3，在（1）的条件下，以为顶点作的角，它的两边分别与、交D 60︒CA BC 于点和，连接．探究线段、、之间的关系，并子以证明．M N MN AM MN NB【标准答案】（1）；（2）6；（3），证明详见解析()0,2D -MN NB AM =+【思路点拨】(1)先证∠ACO ＝30°，在Rr △ACO 中由勾股定理求出AC 的长，再在Rt △ACD 中求出CD 的长，即可求出OD 的长，进步写出点D 坐标；(2)证△FCA9≌△ECB ，求出∠GAO ＝60°，再证△CAO2△GAO ，即可得到OG ＝OC ＝6；(3)如图3，延长MA 至点H ，使AH ＝BN ，连接BD ，先证△DAH ≌△DBN ，再证△DMI ≌△DMN ，即可推出AM+BN ＝MN.【精准解析】（1）(1)△ABC 为等边三角形，A ，B 关于y 轴对称，C(0，6),∵6CO AB CO ⊥，＝，∴1302AO BO ACO BCO ACB ∠∠∠︒＝，＝＝＝在中设则，Rt ACO A AO x ＝，2AC x ＝∵，222AO CO AC =＋∴，()222x 2x =＋6解得，取正值)，∴AO AC ∵AD AC ⊥∴在中，设则，Rt ADC A AD a ＝，2CD a ＝∵222AD AC CD +=(()222a 2a +=解得，(取正值)a 4＝∴，=4=8AD CD ，∴，=2OD CDCO =﹣∴；()0,2D -（2）、均为等边三角形CEF DABC ∆，，CE CF ∴=AC BC =60ECF ACB ∠=∠=︒，即ECF ECA ACB ECA ∴∠+∠=∠+∠FCA ECB∠=∠在和中FCA ∆ECB ∆FC EC FCA ECBAC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()FCA ECB SAS \D @D 60FAC EBC \Ð=Ð=°18060GAB CAB FAC \Ð=°-Ð-Ð=°，平分30AGC ACG \Ð=Ð=°AO CAG∠．6OG OC \==（3），证明如下：MN NB AM =+如图，延长至点，使，连接、，NB H BH AM =DH BD由题意得：，AD BD =BD BC⊥在和中AMD ∆BHD ∆90AM BH MAD HBD AD BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()AMD BHD SAS \D@D ，DM DH \=MAD HDBÐ=Ð，60ACB ∠=︒ 90MAD HBD Ð=Ð=°120ADB \Ð=°又60MDN Ð=°60MDA NDB \Ð+Ð=°，即60HDB NDB \Ð+Ð=°60HDN Ð=°在和中MDN ∆HDN ∆60MD HD MDN HDN DN DN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()MDN HDN SAS \D@D MN HN\=HN NB BH NB AM=+=+ ．MN NB AM \=+【名师指路】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等，解题关键是证线段的和差关系时会用截长补短的作方法.23．（2021·广东·佛山市南海石门实验中学八年级月考）如图，在中，ABC A ，平分线交于点，点为上一动点，过作直线2ACB B ∠=∠BAC ∠AO BC D H AO H 于，分别交直线、、于点、、．l AO ⊥H AB AC BC N E M（1）当直线经过点时（如图2），求证：；l C BN CD （2）当是线段的中点时，写出线段和线段之间的数量关系，并证明；M BC CE CD （3）请直接写出、和之间的数量关系．BN CE CD 【标准答案】（1）见解析；（2）CD=2CE ，证明见解析；（3）当点M 在线段BC 上时，CD=BN+CE ；当点M 在BC 的延长线上时，CD=BN-CE ；当点M 在CB 的延长线上时，CD=CE-BN ．【思路点拨】（1）连接ND ，先由已知条件证明DN=DC ，再证明BN=DN 即可；（2）当M 是BC 中点时，CE 和CD 之间的等量关系为CD=2CE ，过点C 作CN'⊥AO 交AB 于N'．过点C 作CG ∥AB 交直线l 于G ，再证明△BNM ≌△CGM 问题得证；（3）BN 、CE 、CD 之间的等量关系要分三种情况讨论：①当点M 在线段BC 上时；②当点M 在BC 的延长线上时；③当点M 在CB 的延长线上时；由（2）即可得出结论．【精准解析】（1）证明：连接ND ，如图2所示：∵AO 平分∠B AC ，∴∠BAD=∠CAD ，∵直线l ⊥AO 于H ，。
等腰三角形单元测试题(含答案)
等腰三角形典型例题练习等腰三角形典型例题练习一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于_________ ．三．解答题（共15小题）4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．11．（2012•）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．又∵S △ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= _________ ．点P到AB边的距离PE= _________ ．12．数学课上，老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE _________ DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE _________ DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．13．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠BFD的度数．15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证：AE=CF．16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．17．（2006•）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（）A．5cm B．3cm C．2cm D．不能确定考点：角平分线的性质．分析：由已知条件进行思考，结合利用角平分线的性质可得点D到AB的距离等于D到AC的距离即CD的长，问题可解．解答：解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D∴D到AB的距离即为CD长CD=5﹣3=2故选C．2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：由△ACD和△BCE是等边三角形，根据SAS易证得△ACE≌△DCB，即可得①正确；由△ACE≌△DCB，可得∠EAC=∠NDC，又由∠ACD=∠MCN=60°，利用ASA，可证得△ACM≌△DCN，即可得②正确；又可证得△CMN是等边三角形，即可证得③正确．解答：解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，即∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=BD，故①正确；∴∠EAC=∠NDC，∵∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCE=60°，∴∠ACD=∠MCN=60°，∵AC=DC，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴CM=CN，故②正确；又∠MCN=180°﹣∠MCA﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°，∴△CMN是等边三角形，∴∠NMC=∠ACD=60°，∴MN∥AB，故③正确．故选D．二．填空题（共1小题）3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3 ．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1：，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．解答：解：∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C=∠A=60°，∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°，∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°，∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，，∴△DEF是正三角形，∴BD：DF=1：①，BD：AB=1：3②，△DEF∽△ABC，①÷②，=，∴DF：AB=1：，∴△DEF的面积与△ABC的面积之比等于1：3．故答案为：1：3．三．解答题（共15小题）4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的定义．分析：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，根据角平分线性质求出DN=DM，根据四边形的角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD，根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可．解答：证明：过D作DM⊥AB，于M，DN⊥AC于N，即∠EMD=∠FND=90°，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN（角平分线性质），∠DME=∠DNF=90°，∵∠EAF+∠EDF=180°，∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°，∵∠AFD+∠NFD=180°，∴∠MED=∠NFD，在△EMD和△FND中，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF．5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析：根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC．然后即可得出答案．解答：解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC．6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．考点：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质．分析：用（HL）证明△EBD≌△FCD，从而得出∠EBD=∠FCD，即可证明△ABC是等腰三角形．解答：△ABC是等腰三角形．证明：连接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，且DE=DF，∵D是△ABC的BC边上的中点，∴BD=DC，∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL），∴∠EBD=∠FCD，∴△ABC是等腰三角形．7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定．分析：（1）由题意可推出∠ACB=60°，∠E=∠CDE，然后根据三角形外角的性质可知：∠ACB=∠E+∠CDE，即可推出∠E的度数；（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得：∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形．解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴，（2）∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠ABC=60°，∴，∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形．8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．考点：含30度角的直角三角形．分析：由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°可以推出AB=2BC，同理可得BC=2BD，则结论即可证明．解答：解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，∠B=60°．又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD．9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：过D点作DG∥AE交BC于G点，由平行线的性质得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2，则∠B=∠1，于是有DB=DG，根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC，即可得到结论．解答：证明：过D点作DG∥AE交BC于G点，如图，∴∠1=∠2，∠4=∠3，∵AB=AC，∴∠B=∠2，∴∠B=∠1，∴DB=DG，而BD=CE，∴DG=CE，在△DFG和△EFC中，∴△DFG≌△EFC，∴DF=EF．10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．考点：全等三角形的判定与性质．分析：延长CE，BA交于一点F，由已知条件可证得△BFE全≌△BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD，所以BD=2CE．解答：证明：如图，分别延长CE，BA交于一点F．∵BE⊥EC，∴∠FEB=∠CEB=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE，又∵BE=BE，∴△BFE≌△BCE （ASA）．∴FE=CE．∴CF=2CE．∵AB=AC，∠BAC=90°，∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD+∠EDC=90°．又∵∠DEC=90°，∠EDC+∠ECD=90°，∴∠FCA=∠DBC=∠ABD．∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB，∴BD=2EC．11．（2012•）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH．又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB•PE+AC•PF=AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH．（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB 边上的高CH= 7 ．点P到AB边的距离PE= 4或10 ．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：（1）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．解答：解：（1）如图②，PE=PF+CH．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB•PE，S△ACP=AC•PF，S△ABC=AB•CH，∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴AB•PE=AC•PF+AB•CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵S△ABC=AB•CH，AB=AC，∴×2CH•CH=49，∴CH=7．分两种情况：①P为底边BC上一点，如图①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；②P为BC延长线上的点时，如图②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．12．数学课上，老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE = DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△A BC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．考点：等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE 即可；（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1．解答：解：（1）故答案为：=．（2）过E作EF∥BC交AC于F，∵等边三角形ABC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，在△DEB和△ECF中，∴△DEB≌△ECF，∴BD=EF=AE，即AE=BD，故答案为：=．（3）解：CD=1或3，理由是：分为两种情况：①如图1过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EM，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴△AMB∽△ENB，∴=，∴=，∴BN=，∴CN=1+=，∴CD=2CN=3；②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EM，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=1，∵AM⊥BC，∴BM=CM=BC=，∵DE=CE，EN⊥BC，∴CD=2CN，∵AM∥EN，∴=，∴=，∴MN=1，∴CN=1﹣=，∴CD=2CN=113．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD，推出∠CDA=∠CAD=∠CPM，求出∠MPF=∠CDM，∠PMF=∠BMA=∠CMD，在△DCM和△PMF中根据三角形的角和定理求出即可．解答：解：∠F=∠MCD，理由是：∵AF平分∠BAC，BC⊥AF，∴∠CAE=∠BAE，∠AEC=∠AEB=90°，在△ACE和△ABE中∵，∴△ACE≌△ABE（ASA）∴AB=AC，∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线，∴CM=BM，CE=BE，∴∠CMA=∠BMA，∵AE=ED，CE⊥AD，∴AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD，∴∠MPC=∠CDA，∴∠MPF=∠CDM，∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等），∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°，∠F+∠MPF+∠PMF=180°，又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F．14．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论．（2）求∠BFD的度数．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°，AB=CA，结合AE=CD，可证明△ABE≌△CAD，从而证得结论；（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．解答：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA．在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD∴AD=BE．（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．15．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF，求证：AE=CF．考点：全等三角形的判定与性质．分析：根据已知利用SAS即可判定△ABE≌△CBF，根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF．解答：证明：∵∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF=90°，又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．16．已知：如图，在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，在△EOF中，∠EOF=90°，OE=OF，连接AE、BF．问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，当然相等了，由此可以证明△AEO≌△BFO；延长BF交AE于D，交OA于C，可证明∠BDA=∠AOB=90°，则AE⊥BF．解答：解：AE与BF相等且垂直，理由：在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°﹣∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF．延长BF交AE于D，交OA于C，则∠ACD=∠BCO，由（1）知∠OAE=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF．17．（2006•）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG 是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）连接AD，根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积，进行分析证明；（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．解答：解：（1）DE+DF=CG．证明：连接AD，则S△ABC=S△ABD+S△ACD，即AB•CG=AB•DE+AC•DF，∵AB=AC，∴CG=DE+DF．（2）当点D在BC延长线上时，（1）中的结论不成立，但有DE﹣DF=CG．理由：连接AD，则S△ABD=S△ABC+S△ACD，即AB•DE=AB•CG+AC•DF∵AB=AC，∴DE=CG+DF，即DE﹣DF=CG．同理当D点在CB的延长线上时，则有DE﹣DF=CG，说明方法同上．18．如图甲所示，在△ABC中，AB=AC，在底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD+PE=CF，若P点在BC的延长线上，那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．分析：猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．根据∵S△PAB=AB•PD，S△PAC=AC•PE，S△CAB=AB•CF，S△PAC=AC•PE，AB•PD=AB•CF+AC•PE，即可求证．解答：解：我的猜想是：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．理由如下：连接AP，则S△PAC+S△CAB=S△PAB，∵S△PAB=AB•PD，S△PAC=AC•PE，S△CAB=AB•CF，又∵AB=AC，∴S△PAC=AB•PE，∴AB•PD=AB•CF+AB•PE，即AB（PE+CF）=AB•PD，∴PD=PE+CF．。
等腰三角形专项练习30题(有答案)OK
等腰三角形专项练习30题1．已知，如图，△ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，点D在AB上，点E在AC上，若△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，则AC的长度为（）A．16cm B．9cm C．8cm D．7cm2．在△ABC中，∠ABC=120°，若DE、FG分别垂直平分AB、BC，那么∠EBF为（）A．75°B．60°C．45°D．30°3．如图，AD=BC=BA，那么∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．2∠1+∠2=180°C．∠1+3∠2=180°D．3∠1﹣∠2=180°4．如图，已知∠AOB=40°，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，CD交OA、OB于M、N两点，则∠MPN的度数是（）A．70°B．80°C．90°D．100°5．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与线段AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是（）A．45°B．50°C．55°D．60°6．如图所示，△ABC为正三角形，P是BC上的一点，PM⊥AB，PN⊥AC，设四边形AMPN，△ABC的周长分别为m、n，则有（）A．B．C．D．7．如图所示，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正确的结论有（）A．①②B．①②③C．①②③④D．②③8．下列说法正确的是（）A．两个能重合的图形一定关于某条直线对称B．若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧C．到角两边距离相等的点在这个角的平分线上D．如果三角形一边的垂直平分线经过它的一个顶点，那么这个三角形一定是等腰三角形9．用一根长为a米的线围成一个等边三角形，测知这个等边三角形的面积为b平方米．现在这个等边三角形内任取一点P，则点P到等边三角形三边距离之和为（）米．A．B．C．D．10．在等腰直角△ABC（AB=AC≠BC）所在的三角形边上有一点P，使得△PAB，△PAC都是等腰三角形，则满足此条件的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个11．如图所示，在△ABC中，AB=AC，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点D，BD+CD=10cm，则AB的长为_________．12．如图，若等腰△ABC的腰长AB=10cm，AB的垂直平分线交另一腰AC于D，△BCD的周长为16cm，则底边BC是_________cm．13．已知实数x，y满足|x﹣4|+（y﹣8）2=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是_________．14．如图所示，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形有_________个．15．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=8，BC=5，则BD的长为_________．16．等腰△ABC的底边上高AD与底角平分线CE交于点P，EF⊥AD，F为垂足，则线段EB与线段EF的数量关系为_________．17．如图，在等腰在△ABC中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若在△BCE的周长为50，则底边BC的长为_________．18．等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，则这个三角形的腰长为_________．19．如图，已知D为等边三角形纸片ABC的边AB上的点，过点D作DG∥BC交AC于点G，DE⊥BC于点E，过点G作GF⊥BC于点F．把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图示方式折叠，则图中阴影部分是_________三角形．20．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：_________．21．如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°．求证：△AMN的周长等于2．22．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，说明：BC=DE+EF成立的理由．23．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD⊥CF；（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．24．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数．25．如图，∠1=∠2，AB=AD，∠B=∠D=90°，请判断△AEC的形状，并说明理由．26．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH的形状并说明理由．27．如图：△ABC是等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1，求AD的长．28．如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F．（1）证明：∠CAE=∠CBF；（2）证明：AE=BF．29．如图，在△ABC中，已知AB=BC=CA，AE=CD，AD与BE交于点P，BQ⊥AD于点Q，求证：BP=2PQ．30．如图，△ABE和△BCD都是等边三角形，且每个角是60°，那么线段AD与EC有何数量关系？请说明理由．参考答案：1．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵△ABC的周长为25cm，△EBC的周长为16cm，AC=AB，∴2AC+BC=25cm，BE+CE+BC=AE+EC+BC=AC+BC=16cm，即，解得：AC=9cm，故选B2．解：∵DE、FG分别垂直平分AB、BC，∴AE=BE，BF=CF，∴∠A=∠ABE，∠C=∠CBF，∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠ABC=120°，∴∠A+∠C=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠EBF=120°﹣60°=60°，故选B3．解：∵AB=BC，∴∠1=∠BCA，∵AB=AD，∴∠B=∠2，∵∠1+∠B+∠ACB=180°，∴2∠1+∠2=180°．故选B4．解：∵P关于OA、OB的对称∴OA垂直平分PC，OB垂直平分PD∴CM=PM，PN=DN∴∠PMN=2∠C，∠PNM=2∠D，∵∠PRM=∠PTN=90°，∴在四边形OTPR中，∴∠CPD+∠O=180°，∴∠CPD=180°﹣40°=140°∴∠C+∠D=40°∴∠MPN=180°﹣40°×2=100°故选D．5．解：如图，延长AO交BC于点M，连接BO，∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣50°）÷2=65°，∵AO是∠BAC的平分线，∴∠BAO=25°，又∵OD是AB的中垂线，∴∠OBA=∠OAB=25°，∴∠OBM=∠OCM=60°﹣25°=40°，∴∠BOM=∠COM=90°﹣40°=50°，由折叠性可知，∠OCM=∠COE，∴∠MOE=∠COM﹣∠COE=50°﹣40°=10°，∴∠OEM=90°﹣10°=80°，∵由折叠性可知，∠OEF=∠CEF，∴∠CEF=（180°﹣80°）÷2=50°．故选：B6．解：设BM=x，CN=y则BP=2x，PC=2y，PM=x，PN=yAM+AN=2BC﹣（BM+CN）=3（x+y），故==≈0.7887．故选D7．解：在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB=AD，AC=AC，所以Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．所以∠ACB=∠ACD，∠BAC=∠DAC，即AC平分∠BAD，CA平分∠BCD．故①②正确；在△ABD中，AB=AD，∠BAO=∠DAO，所以BO=DO，AO⊥BD，即AC垂直平分BD．故③正确；不能推出∠ABO=∠CBO，故④不正确．故选B8．解：A、两个能重合的图形不一定关于某条直线对称，故错误；B、两个图形关于某条直线对称，它们的对应点有可能位于对称轴上，故错误；C、同一平面内，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，故错误；D，正确，故选D9．解：等边三角形周长为a，则边长为，设P到等边三角形的三边分别为x、y、z，则等边三角形的面积为b=××（x+y+z）解得x+y+z=，故选C10．解：∵△ABC是等腰直角三角形，（AB=AC≠BC）所在的三角形边上有一点P，使得△PAB，△PAC都是等腰三角形，∴有一个满足条件的点﹣斜边中点，∴符合条件的点有1个．故选A．11．解：∵ED是边AB边上的中垂线，∴AD=BD；又∵BD+CD=10cm，AB=AC，∴BD+CD=AD+DC=AC=AB=10cm，即AB=10cm．故答案是：10cm12．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴BD+CD=AC，∵AB=AC=10cm，BD+CD+BC=AB+BC=16cm，∴BC=16﹣AB=16﹣10=6cm．故答案为：6cm13．解：根据题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，解得x=4，y=8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为20．故答案为：2014．解：∵将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上．∴EF∥DG，∠E=∠D=60°，∴∠ENM=∠D=60°，∠MGD=∠E=60°，∴EM=NM=EN，DM=GM=DG，∴△MEN，△MDG是等边三角形．∵∠A=∠B=30°，∴MA=MB，∴△ABM是等腰三角形．∴图中等腰三角形有3个15．解：延长BD与AC交于点E，∵∠A=∠ABD，∴BE=AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD，∴∠EBC=∠BEC，∴△BEC为等腰三角形，∴BC=CE，∵BE⊥CD，∴2BD=BE，∵AC=8，BC=5，∴CE=5，∴AE=AC﹣EC=8﹣5=3，∴BE=3，∴BD=1.5．故选A．16．解：延长EF交AC于点Q，∵EF⊥AD，AD⊥BC∴EQ∥BC∴∠QEC=∠ECB∵CE平分∠ACB∴∠ECB=QCE∴∠QEC=∠QCE∴QE=QC∵QE∥BC，且△ABC为等腰三角形∴△AQE为等腰三角形∴AQ=AE，QE=2EF∴BE=CQ=2EF．故答案为：BE=2EF．17．解：∵DE垂直且平分AB，∴BE=AE．由BE+CE=AC=AB=27，∴BC=50﹣27=2318．解：设AB=AC=2X，BC=Y，则AD=CD=X，∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，∴有两种情况：1、当3X=15，且X+Y=6，解得，X=5，Y=1，∴三边长分别为10，10，1；2、当X+Y=15且3X=6时，解得，X=2，Y=13，此时腰为4，根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4=8＜13，故这种情况不存在．∴腰长只能是10．故答案为1019．解：∵三角形ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵根据题意知道点B和点C经过折叠后分别落在了点I和点H处，∴∠DIH=∠B=60°，∠GHI=∠C=60°，∴∠HJI=60°，∴∠DIH=∠GHI=∠HJI=60°，∴阴影部分是等边三角形，故答案为：等边．20．答：由①③条件可判定△ABC是等腰三角形．证明：∵∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC，（对顶角相等）BE=CD，∴△EBO≌△DCO，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形21．解：延长AC到E，使CE=BM，连接DE，（如图）∵BD=DC，∠BDC=120°，∴∠CBD=∠BCD=30°，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，∴△BMD≌△CDE，∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，又∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=60°，∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM，又∵DN=DN，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2．22．解：∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，∠C是直角，∴CD=DF，∠DBC=∠DBE，∠DFB=∠C，∴△BCD≌△BFD，∴BC=BF，∵DE∥BC，∴∠DBC=∠EDB，即∠DBC=∠DBE，∴△BDE是等腰三角形，∴BE=DE，∴BF=BC=DE+EF23．（1）证明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°．又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∴∠BDE=45°．又∵BF∥AC，∴∠CBF=90°．∴∠BFD=45°=∠BDE．∴BF=DB．又∵D为BC的中点，∴CD=DB．即BF=CD．在△CBF和△ACD中，，∴△CBF≌△ACD（SAS）．∴∠BCF=∠CAD．又∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°．即AD⊥CF．（2）△ACF是等腰三角形，理由为：连接AF，如图所示，由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，∴BE垂直平分DF，∴AF=AD，∵CF=AD，∴CF=AF，∴△ACF是等腰三角形．24．解：∵BP=PQ=QC=AP=AQ，∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°，∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ．又∵∠BAP+∠ABP=∠APQ，∠C+∠CAQ=∠AQP，∴∠BAP=∠CAQ=30°．∴∠BAC=120°．故∠BAC的度数是120°25．解：△AEC是等腰三角形．理由如下：∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠3，即∠BAC=∠DAE，又∵AB=AD，∠B=∠D，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AC=AE．即△AEC是等腰三角形26．①证明：∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS）；②∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACH=60°．∴∠BCF=∠ACH，在△BCF和△ACH中，，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH；③∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形27．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；又∵AE=CD，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD；∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°﹣60°=30°；∵PQ=3，∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=728．（1）证明：在等腰△ABC中，∵CH是底边上的高线，∴∠ACH=∠BCH，在△ACP和△BCP中，，∴△ACP≌△BCP（SAS），∴∠CAE=∠CBF（全等三角形对应角相等）；（2）在△AEC和△BFC中，∴△AEC≌△BFC（ASA），∴AE=BF（全等三角形对应边相等）．29．证明：∵AB=BC=CA，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，在△ABE和△CAD中∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠CAD，∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP，∴∠BPQ=∠CAD+∠BAP=∠CAB=60°，∵BQ⊥AD∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ．30．解：AD=EC．证明如下：∵△ABC和△BCD都是等边三角形，每个角是60°∴AB=EB，DB=BC，∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABE+∠EBC=∠DBC+∠EBC即∠ABD=∠EBC在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（SAS）∴AD=EC。
完整版)等腰三角形专项练习题
完整版)等腰三角形专项练习题BatchDoc-Word文档批量处理工具BatchDoc是一款方便快捷的Word文档批量处理工具，可以实现多种功能，如批量转换、批量重命名、批量加密、批量解密、批量压缩、批量解压等，提高了工作效率。
1.在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，已知∠A=36°，求∠1的度数。
解：由BD平分∠XXX可知∠ABD=∠CBD，又因为AB=AC，所以∠BAC=2∠ABD=2∠CBD，即∠1=180°-∠BAC=108°。
2.已知等腰三角形的两边长分别为5和6，求该等腰三角形的周长。
解：设等腰三角形的底边为x，则根据勾股定理可得x²=6²-(5/2)²=31.25，即x=√31.25，所以周长为2x+5+6=2√31.25+11≈17.5.3.在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，求剪下的等腰三角形的面积。
解：如图，设剪下的等腰三角形为△ABC，其中AB=AC=10，BC=x，则根据勾股定理可得x²=16²-10²=196，即x=14.所以△ABC的面积为(1/2)×10×14=70平方厘米。
4.如图，在等腰三角形ABC中，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，判断下列结论的正确性：①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE。
解：①正确，因为∠XXX∠XXX∠XXX∠XXX∠BAC/2，所以△BDF、△CEF都是等腰三角形；②正确，因为根据相似三角形可得BD/BC=AD/AC，CE/BC=AE/AC，又因为AD=AE，所以BD=CE，即DE=2BD；③错误，因为AB+AC=2AB≠AD+DE+EA=AD+2BD；④正确，因为根据相似三角形可得BD/BC=AD/AC，CE/BC=AE/AC，又因为AD=AE，所以BD=CE。
中考数学复习专项之等腰三角形(含答案)
等腰三角形一、选择题1、（2022年聊城莘县模拟）如图，等边三角形的边长为3，点为边上一点，且，点为边上一点，若，则的长为( ).A ．B ．C ．D ．1答案：B2、(2022年惠州市惠城区模拟)等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ） A.16 B.18 C. 20 D. 16或20 答案：C3、(2022浙江永嘉一模)10．如图，在△ABC 中，AB =BC ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转α度，得到△A 1BC 1，A 1B 交AC 于点E ，A 1C 1分别交AC ，BC 于点D ，F ，下列结论： ①∠CDF =α；②A 1E =CF ；③DF =FC ；④BE =BF ． 其中正确的有（ ▲ ）A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③【答案】C4、（2022重庆一中一模）11．如图，在等腰ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，6=AC ,D 是AC 上一点．若51tan =∠DBA ，那么AD 的长为 A ． 2 B ．3 C ．2 D ． 1 【答案】A5. （2022江西饶鹰中考模拟）如图,将矩形ABCD 对折，得折痕PQ ，再沿MN 翻折，使点C 恰好落在折痕PQ 上的点C ′处，点D 落在D ′处，其中M 是BC 的中点.连接AC ′，BC ′，则图中共有等腰三角形的个数是( ) A .1 B.2（第1 题图）FED C 1C BAA 1第2题图A BD′ P CD M NE C′Q F第6题CA PBDC.3D.4 答案：C6、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，P 为其底角平分线的交点，将△BCP 沿CP 折叠，使B 点恰好落在AC 边上的点D 处，若DA=DP ，则∠A 的度数为( ).A.20°B.30°C.32°D.36°D7、 (2022年江苏无锡崇安一模）如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE ＝120°，∠B ＝∠E ＝90°，AB ＝BC ＝1，AE ＝DE ＝2，在BC 、DE 上分别找一点M 、N ， 使△AMN 的周长最小，则△AMN 的最小周长为…（ ▲ ） A ．2 6 B ．27 C ．4 2D ．5答案：B二、填空题1、（2022年安徽模拟二）如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为 ．第1题图答案：42．（2022年安徽初中毕业考试模拟卷一）如图，ABC ∆为等边三角形，AQ =PQ ，PR =PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则四个结论正确的是 ．（把所有正确答案的序号都填写在横线上） ①AP 平分∠BAC ；②AS =AR ；③QP ∥AR ；④BRP ∆≌△QSP ．3、(2022年安徽省模拟六)如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别在AB 、BC 边上，且AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G .下列结论：①AE =CD ；②∠AFC =1200；③⊿ADF 是正三角形；④12FG AF =.其中正确的结论是 （填所有正确答案的序号）． 答案：①②④4、(2022年福州市初中毕业班质量检查)如图，边长为6的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ．则在点E 运动过程中，DF 的最小值是____ . 1.57．(2022年江苏无锡崇安一模）在直角△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若CD ＝4，则点D 到斜边AB 的距离为 ▲ .第1题第3题图 ABCDEF第4题图答案：47.（2022浙江东阳吴宇模拟题）如图，C 、D 、B 的坐标分别为（1, 0）（9, 0）（10, 0），点P （t ，0）是CD 上一个动点，在x 轴上方作等边△OPE 和△BPF ，连EF ，G 为EF 的中点。
_2021中考专题复习：等腰三角形(含答案)
2020-2021中考专题复习：等腰三角形一、选择题1. 一个等腰三角形两边的长分别为75和18，则这个三角形的周长为( ) A ．10 3＋3 2B ．5 3＋6 2C ．10 3＋3 2或5 3＋6 2D ．无法确定2.（2020·临沂）如图，在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，//CD AB ，则BCD ∠=（ ）A.40°B.50°C.60°.D.70°3.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N，则MN 等于( )A. 65B. 95C. 125D. 1654. （2020·毕节）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）A ．13B ．17C ．13或17D ．13或105. （2020·烟台）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB 中，射线OC 交边AB 于点D ，则∠ADC 的度数为（ ）A ．60°B ．70°C ．80°D ．85°6. 一条船从海岛A 出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处.灯塔C 在海岛在海岛A 的北偏西42°方向上，在海岛B 的北偏西84°方向上.则海岛B 到灯塔C 的距离是（ ）A.15海里B.20海里C. 30海里D.60海里7. (2019•梧州)如图，DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC于点E ，且85AC BC ==，，则BEC △的周长是A ．12B ．13C ．14D ．158.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝12，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D .设BD ＝x ，tan ∠ACB ＝y ，则( )A. x －y 2＝3 B. 2x －y 2＝9 C. 3x －y 2＝15 D. 4x －y 2＝21二、填空题9. 已知等腰三角形的底角是30°，腰长为2，则它的周长是 .10. 如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转150°，得到△ADE ，这时点B ，C ，D 恰好在同一直线上，则∠B 的度数为 .11. 如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，∠BAC=45°，点D 在AC 边上，将△ABD绕点A 逆时针旋转45°得到△ACD'，且点D'，D ，B 在同一直线上，则∠ABD 的度数是 .12. 定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC 中，∠A=80°，则它的特征值k= .13.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 为BC 的中点，BD ⊥AC ，垂足为D .若∠EAD ＝20°，则∠ABD ＝________°.14. 如图，等边三角形ABC 内有一点P ，分别连接AP ，BP ，CP ，若AP=6，BP=8，CP=10，则S △ABP +S △BPC = .15. (2019•哈尔滨)在ABC △中，50A ∠=︒，30B ∠=︒，点D 在AB 边上，连接CD ，若ACD △为直角三角形，则BCD ∠的度数为__________．16. 一个等腰三角形的一边长是2，一个外角是120°，则它的周长是________．三、解答题17.已知：如图，B ，E ，F ，C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C.求证：OA ＝OD .18. （2020·广东）如题20图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，BD =CE ，∠ABE =∠ACD ，BE 与CD 相交于点F ．求证：△ABC 是等腰三角形．FECABD19. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 是AB 边上一点(点D 与A ，B不重合)，连接CD ，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ，连接DE 交BC 于点F ，连接BE. (1)求证:△ACD ≌△BCE ;(2)当AD=BF 时，求∠BEF 的度数.20.如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，E 是AB 的中点，CE ⊥BD ，连接AC 交DE 于点M . (1)求证：AD ＝BE ；(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；(3)△DBC是等腰三角形吗？说明理由．21. (2020·荆门)如图，△ABC中，AB＝AC，∠B的平分线交AC于D，AE∥BC 交BD的延长线于点E，AF⊥AB交BE于点F．(1)若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数；(2)若AD＝DC＝2，求AF的长．22. （12分）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．FDECAB2020-2021中考专题复习：等腰三角形-答案一、选择题1. 【答案】[解析] A 因为75＝5 3，18＝32.当5 3为腰长时，三角形的周长为10 3＋3 2；当5 3为底边长时，因为3 2＋3 2＝6 2＝72，72<75，所以不能构成三角形，故三角形的周长为10 3＋3 2.2. 【答案】D【解析】根据三角形内角和定理和等腰三角形的等边对等角且AB AC=，40A∠=，可得：70ABC ACB∠=∠=；然后根据两直线平行内错角相等且//CD AB可得：70BCD ABC∠=∠=，所以选D．3. 【答案】C 【解析】此题应首先连接AM，则AM⊥BC.∴AM＝AC2－CM2＝4，然后由三角形面积：S△ACM＝12AM×CM.S△ACM＝12AC×MN.得：AM×CM＝AC×MN.∴MN＝125.也可以利用△ACM∽△MCN.得：AC CM＝AMMN.∴MN＝AM×CMAC＝125.4. 【答案】B，【解析】本题考查等腰三角形的三边关系．解：分两种情况讨论：若3为底边，腰长为7，则此等腰三角形的周长为3＋7＋7=17；若7为底边，腰长为3，则此等腰三角形不存在，因为3＋3＜7，不符合三角形的三边关系，故选B.5. 【答案】∵OA＝OB，∠AOB＝140°，∴∠A＝∠B（180°﹣140°）＝20°，∵∠AOC＝60°，∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，故选：C．6. 【答案】C【解析】根据题意画图，如图，∠A=42°，∠DBC=84°，AB=15×2=30(海里),∴∠C=∠DBC-∠A=42°,∴BC=BA=30(海里).7. 【答案】B【解析】∵DE是ABC△的边AB的垂直平分线，∴AE BE=，∵85AC BC==，，∴BEC△的周长是：13BE EC BC AE EC BC AC BC++=++=+=．故选B．8. 【答案】B 【解析】连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过E作EG⊥BC，垂足为G.∵A B＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，又∵E是AC的中点，EG⊥BC，∴EG∥AF，∴CG＝FG＝1 2CF＝3，∵在Rt△CEG中，tan C＝EGCG，∴EG＝CG×tan C＝3y；∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，∵HD是BE的垂直平分线，∴BD＝DE＝x，∵在Rt△E GD中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋EG2，∴x2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x－y2＝9.二、填空题9. 【答案】6+4[解析]过等腰三角形的顶点作底边的垂线，设底边为2a，那么cos30°=，所以a=3，所以周长=6+4.10. 【答案】15°[解析]∵△ABC绕点A逆时针旋转150°得到△ADE，∴∠BAD=150°，△ABC≌△ADE，AB=AD，∴△BAD是等腰三角形，∴∠B=∠ADB=(180°-∠BAD)=15°.11. 【答案】22.5°[解析]根据题意可知△ABD≌△ACD'，∴∠BAC=∠CAD'=45°，AD'=AD ，∴∠ADD'=∠AD'D==67.5°.∵D'，D ，B 三点在同一直线上， ∴∠ABD=∠ADD'-∠BAC=22.5°.12. 【答案】或 [解析]①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为:=50°，∴特征值k==;②当∠A 为底角时，顶角的度数为:180°-80°-80°=20°，∴特征值k==. 故答案为或.13. 【答案】50[解析] ∵AB ＝AC ，E 为BC 的中点，∴∠BAE ＝∠EAD ＝20°.∴∠BAD ＝40°，又∵BD ⊥AC ，∴∠ABD ＝90°－∠BAD ＝90°－40°＝50°.14. 【答案】16+24 [解析]将△ABP 绕点B 顺时针旋转60°到△CBP'，连接PP'，所以P'C=P A=6，BP=BP'，∠PBP'=60°，所以△BPP'是等边三角形，其边长BP 为8，所以PP'=8，S △BPP'=16，因为PC=10，所以PP'2+P'C 2=PC 2， 所以△PP'C是直角三角形，S △PP'C =24，所以S △ABP +S △BPC =S △BPP'+S △PP'C =16+24.15. 【答案】60︒或10︒【解析】分两种情况： ①如图1，当90ADC ∠=︒时，∵30B ∠=︒，∴903060BCD ∠=︒-︒=︒； ②如图2，当90ACD ∠=︒时，∵50A ∠=︒，30B ∠=︒，∴1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒， ∴1009010BCD ∠=︒-︒=︒，综上，则BCD ∠的度数为60︒或10︒．故答案为：60︒或10︒．16.【答案】6 [解析]已知三角形的一外角为120°，则相邻内角度数为60°，那么含有60°角的等腰三角形是等边三角形．已知等边三角形的一边长为2，则其周长为6.三、解答题17. 【答案】证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE. 在△ABF 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，BF ＝CE ，∴△ABF ≌△DCE.∴AF ＝DE ，∠AFB ＝∠DEC. ∴OF ＝OE.∴AF －OF ＝DE －OE ，即OA ＝OD.18. 【答案】证明：在△BFD 和△CFE 中，∠ABE=∠ACD ，∠DFB=∠CFE ，BD=CE ， ∴△BFD ≌△CFE （AAS ）.∴∠DBF=∠ECF.∵∠ABE=∠ACD ∴∠DBF+∠ABE=∠ECF+∠ACD.∴∠ABC=∠ACB.∴ AB=AC.∴ △ ABC 是等腰三角形.【解析】先利用三角形边边角的判定方法证明∠DBF=∠ECF ，再根据等式的性质，加上相等角得到∠ABC=∠ACB ，等角对等边，得到AB=AC.根据等腰三角形定义得到△ ABC 是等腰三角形.19. 【答案】解:(1)证明:∵线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ， ∴∠DCE=90°，CD=CE.又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DCE ， ∴∠ACD=∠BCE. 在△ACD 和△BCE 中，∵∴△ACD ≌△BCE.(2)∵∠ACB=90°，AC=BC ， ∴∠A=45°， ∵△ACD ≌△BCE ， ∴AD=BE ，∠CBE=∠A=45°. 又AD=BF ，∴BE=BF ， ∴∠BEF=∠BFE==67.5°.20. 【答案】解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°， ∴∠ABD ＋∠DBC ＝90°. ∵CE ⊥BD ，∴∠BCE ＋∠DBC ＝90°. ∴∠ABD ＝∠BCE. 在△DAB 和△EBC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ABD ＝∠BCE ，AB ＝BC ，∠DAB ＝∠EBC ＝90°，∴△DAB ≌△EBC(ASA)．∴AD ＝BE.(2)证明：∵E 是AB 的中点，∴AE ＝BE.∵BE ＝AD ，∴AE ＝AD.∴点A 在线段ED 的垂直平分线上．∵AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠BAC ＝∠BCA ＝45°.∵∠BAD ＝90°，∴∠BAC ＝∠DAC ＝45°.在△EAC 和△DAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AD ，∠EAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，∴△EAC ≌△DAC(SAS)．∴CE ＝CD.∴点C 在线段ED 的垂直平分线上．∴AC 是线段ED 的垂直平分线．(3)△DBC 是等腰三角形．理由：由(1)知△DAB ≌△EBC ，∴BD ＝CE.由(2)知CE ＝CD.∴BD ＝CD.∴△DBC 是等腰三角形．21. 【答案】解：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝40°，∴∠ABC ＝12×(180°－40°)＝70°． ∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝12×70°＝35°． ∵AF ⊥AB ，∴∠BAF ＝90°．∴∠AFE ＝∠BAF ＋∠ABD ＝90°＋35°＝125°．(2)∵BD 平分∠ABC ，BD ＝BD ，AD ＝CD ，∴△BDA ≌△BDC ．∴AB ＝BC ．又AB ＝AC ，∴AB ＝BC ＝AC ．∴△ABC为等边三角形．∴∠ABC＝60°，∠ABD＝30°．∵AD＝DC＝2，∴AB＝4．在R t△ABF中，AF＝AB·tan30°＝4×33＝433．说明：此题中的条件AE∥BC是多余的．【解析】(1)由“等边对等角”求出∠ABC，由角平分线的定义求出∠ABD，∠AFE 是△ABF的外角，因此∠AFE＝∠BAF＋∠ABD；(2)由BD既是△ABC的角平分线又是中线可知AB＝BC，从而推出△ABC是边长为2的等边三角形．在R t△ABF中可解出AF．22. 【答案】【问题解决】在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC ＝CH，证明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出结论；【类比探究】过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD ≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，，∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，∵△EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．。
2020年中考数学一轮专题复习 等腰三角形综合运用 单元检测(含答案)
等腰三角形综合运用 单元检测一、单选题1.如图，坐标平面内一点A （2，﹣1），O 为原点，P 是x 轴上的一个动点，如果以点P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为（A ．2B ．3C ．4D ．52.已知等腰三角形的一个外角是120°,则它是( )A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形3.如图，△ABC 的面积等于6，边AC=3.现将△ABC 沿AB 所在直线翻折，使点C 落在直线AD 上的C ’处。
点P 在直线AD 上，则线段BP 的长不可能是（ ） A.3B.4C.5D.64.7． 如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ︰S △BCO ︰S △CAO 等于（ A ．1︰1︰1 B ．1︰2︰3C ．2︰3︰4D ．3︰4︰5C5.若实数m 、n满足等式|2|0－m ，且m 、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是( )A ．12B ．10C ．8D ．66.如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ）A. 4㎝B. 6㎝C. 10㎝D. 不能确定7.如图，等边三角形ABC 边长是定值，点O 是它的外心，过点O 任意作一条直线分别交AB ，BC 于点D ，E ．将△BDE 沿直线DE 折叠，得到B DE 'V ，若B D '，B E '分别交AC 于点F ，G ，连接OF ，OG ，则下列判断错误的是( )A ．△ADF ≌△CGEB ．△B’FG 的周长是一个定值C ．四边形FOEC 的面积是一个定值D ．四边形OGB'F 的面积是一个定值8.如图，在□ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E 。
等腰三角形经典习题(必看)
等腰三角形经典习题(必看)题一：求等腰三角形的面积
题目描述
给定一个等腰三角形，已知底和高的长度分别为x和y，求该等腰三角形的面积。
解题思路
由于等腰三角形的底和高两边相等，可以利用三角形的面积公式求解。
面积公式为：$S = \frac{1}{2} \times x \times y$。
题二：求等腰三角形的周长
题目描述
给定一个等腰三角形，已知底的长度为x，求该等腰三角形的周长。
解题思路
由于等腰三角形的底和两边相等，可以利用周长公式求解。
周
长公式为：$P = 2 \times x + 2 \times \sqrt{\frac{x^2}{4} + y^2}$。
题三：求等腰三角形的顶角
题目描述
给定一个等腰三角形，已知底和高的长度分别为x和y，求该
等腰三角形的顶角。
解题思路
等腰三角形的顶角可以通过三角函数求得。
顶角的弧度可以表
示为：$r = \arctan(\frac{y}{\frac{x}{2}})$，然后将弧度转换为角度：$a = \frac{180 \times r}{\pi}$。
总结
通过以上题，我们可以掌握等腰三角形的面积、周长和顶角的
求解方法，这些基础知识对于进一步研究和应用等腰三角形有重要
意义。
以上为等腰三角形经典习题，希望对您的学习有所帮助。
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等腰三角形单元专项复习题一、选择题（共30小题）1．如图，CB＝CA，∠CAD＝68°，AD∥BC，则∠BAD的度数为（）A．121°B．122°C．123°D．124°2．若等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，则其腰长为（）A．3cm B．6cm C．9cm D．3cm或9cm 3．等腰三角形的周长为25cm，其中一边长9cm，则其腰长为（）A．8cm或9cm B．8cm C．9cm D．以上都不对4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝3，且△BDC的周长为8，则AE的长为（）A．2.5B．3C．3.5D．45．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上（含端点B，C）的动点．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个6．如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm7．等腰三角形底边长为5，一腰上的中线把周长分成两部分的差为3，则腰长为（）A．2B．8C．2或8D．108．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，AB的垂直平分线MN交于AC于D点，则∠DBC的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°9．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．7cm B．4cm C．4cm或7cm D．5.5cm或4cm 10．在等腰三角形ABC中，CA＝CB，过点A作△ABC的高AD．若∠ACD＝30°，则这个三角形的底角与顶角的度数比为（）A．2：5或10：1B．1：10C．5：2D．5：2或1：10 11．如图在长方形台球桌上打台球时，球的入射角∠1等于反射角∠2．如果击打白球时入射角∠1＝30°，恰好使白球在上边框的点A处反弹后进入袋中，点A到右边框BC的距离为3，则白球从点A到进袋所走过的路径AC约为（）A．3B．4C．5D．612．已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足√a2−4a+4+√b2−6b+9=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7B．8C．7或8D．913．如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是AB的垂直平分线，△BNC的周长是24cm，BC ＝10cm，则AB的长是（）A．17cm B．12cm C．14cm D．34cm14．如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝40°，则∠2的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°15．如图，直线l1∥l2，Rt△ABC的直角顶点B在直线l2上，AC，BC分别交直线l1于点D，点E．若∠C＝38°，DE＝CE，则∠1的度数是（）A．14°B．16°C．18°D．24°16．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．BD平分∠ABC，则∠BDC是（）A．36°B．60°C．72°D．80°17．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．1.8B．2.2C．3.5D．3.818．下列对△ABC的判断，错误的是（）A．若AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形B．若∠A：∠B：∠C＝2：3：5，则△ABC是直角三角形C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40°19．（2022•桥西区校级模拟）如图，一只手盖住了一个三角形的部分图形，则这个三角形不可能是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形20．三角形三边长为a，b，c满足|a﹣4|+√5−b+（c﹣3）2＝0，则这个三角形是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．直角三角形21．如图是一款圣诞帽，该帽子的下方是正六边形ABCDEF，延长BA，EF交于点G，则帽子的顶部△GAF的形状是（）A．只有两边相等的等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．无法确定22．若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中正确的有（）（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是等腰三角形；（3）这个三角形是等边三角形；（4）形状不能确定；（5）不存在这样的三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个23．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°24．如图，a∥b，△ABC为等边三角形，若∠1＝45°，则∠2的度数为（）A．105°B．120°C．75°D．45°25．如图2是从图1的时钟抽象出来的图形，已知三角形ABC是等边三角形，∠A＝60°，当时针OP正对点A时恰好是12：00．若时针OP与三角形ABC一边平行时，时针所指的时间不可能是（）A．1：00B．3：00C．5：00D．8：0026．如图，等边三角形OAB的边长为2，则三角形OAB的面积为（）A．2√3B．3√3C．3D．√327．如图，△ABC是等边三角形，a∥b，若∠1＝32°，则∠2的度数是（）A．64°B．58°C．32°D．28°28．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm29．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，M是BC的中点，MN⊥AB，垂足为点N，D是BM的中点，连接AD，过点B作BC的垂线交AD的延长线于点E，若BE＝6，则BN的长为（）A．6B．9C．6√3D．9√330．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．9.6B．8C．6D．4.8二、填空题（共9小题）31．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝16，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝4，则OM＝．32．如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．33．如图，∠A＝m°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠EDF＝°（用m表示）．34．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．在下列结论中：①∠C＝72°；②BD是∠ABC的平分线；③∠BDC＝72°；④AD＝BD＝BC．上述结论中，正确的有．（填写序号）35．已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形．其中正确的是．（填序号）36．已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为3：2的两部分，则这个等腰三角形的腰长为．37．如图，两块完全一样的含30°角的三角板完全重叠在一起，若绕长直角边中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好经过下面一块三角板的直角顶点，已知∠A＝30°，BC＝2，则此时两直角顶点C，C'间的距离是．38．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A′B′C′，连接A′C，若BB′＝2，则线段A′C的长为．39．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正确的有．（注：把你认为正确的答案序号都写上）三、解答题（共13小题）40．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，AD⊥AC，AE⊥AB．求证：△AED为等边三角形．41．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AB交BC于点D，AE⊥AC交BC 于点E．求证：△ADE是等边三角形．42．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．（1）求证：BE垂直平分CD；（2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形．43．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．44．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC．求证：△CEB为等边三角形．45．请结合以下命题和图形，写出已知，求证，并进行证明．命题：平行于等边三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形是等边三角形．已知：如图，．求证：．证明：46．有一天，小强遇到一个很有意思的问题，如图，边长是7的大正三角形图中一共有多少个等边三角形？为了解决这个问题，小强很是费了一番脑筋，最后，他决定从最简单的图形开始探究．（1）在边长为2的图中，正立的边长为1的正三角形有1+2个，正立的边长为2的正三角形有1个，倒立的正三角形有1个．（2）在边长为3的图中，正立的边长为1的正三角形有1+2+3个，正立的边长为2的正三角形有1+2个，正立的边长为3的正三角形有1个；倒立的边长为1的正三角形有1+2个．（3）在边长为4的图中，正立的边长为1的正三角形有1+2+3+4个，正立的边长为2的正三角形有个，正立的边长为3的正三角形有个，；倒立的边长为1的正三角形有1+2+3个，倒立的边长为2的正三角形有1个．（4）在边长为5的图中，正立的边长为1的正三角形有1+23+4+5个，正立的边长为2的正三角形有个，正立的边长为3的正三角形有个，；倒立的边长为1的正三角形有个，倒立的边长为2的正三角形有个；（5）那么小强开始遇到的问题，可以解决了，如图边长是7的大正三角形中，一共有个等边三角形．（6）解决问题后的小强异常兴奋，再接再厉，又解决了另一个很有挑战的问题：在如图所示的图中，一共有个等边三角形．47．如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E 作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）求证：DC＝CF．48．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．（1）求证：△ADF是等腰三角形；（2）若AC＝10，EF＝4，F为AB中点，则AB+AD﹣DE＝．49．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点B作AD的垂线，垂足为点D，DE∥AC，交AB于点E，CD∥AB．（1）求证：△BDE是等腰三角形；（2）求证：CD＝BE．50．将一根长为（12m+9n﹣3）cm的铁丝，剪掉一部分后，剩下部分围成一个等腰三角形（接头部分忽略不计），这个等腰三角形的底为（2m+n）cm，腰为（m+n）cm．（1）求剪掉部分的铁丝长度．（2）若围成的等腰三角形的周长为20cm，求铁丝的长度．51．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=√3．点D为BC边上一点，∠B＝30°，BD＝2．求△ADC的周长（结果保留根号）．52．如图，吴敏在河岸的点A测得看对岸点D的视线与吴敏所在河岸的直线成15°角，然后沿直线行走100米到达点B，此时测得看对岸点D的视线与前进方向成30°的角，问河宽是多少米？。