中考数学专题复习：等腰三角形

中考数学专题复习：等腰三角形
一、选择题
1. 下列命题中，属于假命题的是（）
A.等腰三角形底边上的高是它的对称轴
B.有两个角相等的三角形是等腰三角形
C.等腰三角形底边上的中线平分顶角
D.等边三角形的每一个内角都等于60∘
2. 如图,在△ABC中,∠B=∠C, AB=5,则AC的长为（）
A.2
B.3
C.4
D.5
3. 如图：等腰直角△ABC中，若∠ACB=90∘，CD=DE=CE，则∠DAB的度数为（）
A.60∘
B.30∘
C.45∘
D.15∘
4. 等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角是48∘，它的一个底角的度数是（）
A.48∘
B.21∘或69∘
C.21∘
D.48∘或69∘
5. 已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（）
A.7㎝
B.9㎝
C.12㎝或者9㎝
D.12㎝
6. 等腰直角三角形的底边长为5，则它的面积是（）
A.25
B.12.5
C.10
D.6.25
7. 如图，△ABC中，∠ABC=90∘，∠C=30∘，AD是角平分线，DE⊥AC于E，AD、BE相交于点F，则图中的等腰三角形有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
8. 一个角是60∘的等腰三角形是（）
A.等腰直角三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.上述都正确
9. 以下关于等边三角形的判定：
①三条边相等的三角形是等边三角形；
①有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形；
①有两个角为60∘的三角形是等边三角形
①三个角相等的三角形是等边三角形
其中正确的是（）
A.只有①①①
B.只有①①①
C.只有①①①
D.①①①①
10. 如图，在△ABC中，∠B=60∘，AB=9，BP=3，AP=AC，则BC的长为（）
A.8
B.7
C.6
D.5
11. 等腰三角形一腰上的高等于该三角形另一边长的一半．则其顶角等于（）
A.30∘
B.30∘或150∘
C.120∘或150∘
D.120∘、30∘或150∘
12. 等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是( )
A.140∘
B.20∘或80∘
C.44∘或80∘
D.140∘或44∘或80∘
二、填空题
13. 等腰三角形一腰的高等于腰长的一半，则其顶角的度数为________.
14. 如图，△ABC是边长为8的等边三角形，点D在BC的延长线上，做DF⊥AB，垂足为F，
若CD=6，则AF的长等于________.
15. 如图所示的图形由4个等腰直角形组成，其中直角三角形（1）的腰长为1cm，则直角
三角形（4）的斜边长为________．
16. 如图等边三角形ABC中，AB=3，D、E是BC上的两点，AD、AE把△ABC分割成周长相
等的三个三角形，则CD=________．
17. 如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100∘，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC上一
个动点．若△DEC是直角三角形，则∠BDE的度数是________．
三、解答题
18. 从①∠B=∠C；①∠BAD=∠CDA；①AB=DC；①BE=CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．
已知：________(只填序号)，
求证：△AED是等腰三角形.
19. 如图，BD//AC,BD=BC，点E在BC上，且BE=AC．求证：∠D=∠ABC．
20. 如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE=30∘，DE=4，求这个矩形的周长．
21. 如图，在△ABC中，∠ACB−∠B=90∘，∠BAC的平分线交BC于点E，∠BAC的外角∠CAD 的平分线交BC的延长线于点F，试判断△AEF的形状．
22. （1）如图①，△ABC是等边三角形，△ABC所在平面上有一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P有几个？在图中画出来． 25.
（2）如图①，正方形ABCD所在的平面上有一点P，使△PAB，△PBC，△PCD，△PDA都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P有几个？在图中画出来．
参考答案
13.【答案】30∘或150∘
14.【答案】1
15.【答案】4
16.【答案】−3+3√33
16
17.【答案】30∘或70∘
18.证明：选择的条件是：
①∠B=∠C①∠BAD=∠CDA（或①①，①①，①①）；
证明：在△BAD和△CDA中，
① {∠B=∠C,
∠BAD=∠CDA,
AD=DA,
① △BAD≅△CDA(AAS)，
① ∠ADB=∠DAC，
即在△AED中∠ADE=∠DAE，
① AE=DE，△AED为等腰三角形．
19.证明：∵BD//AC，
① ∠EBD=∠C，BD=BC，BE=AC，
① △EDB≅ABC(SAS)，
① ∠D=∠ABC
20.解：① 四边形ABCD是矩形，
① ∠A=∠B=90∘，AD=BC．
在Rt△ADE中，① ∠A=90∘，∠ADE=30∘，DE=4，
① AE=1
2
DE=2，AD=√3AE=2√3．
① DE⊥CE，∠A=90∘，
① ∠BEC=∠ADE=90∘−∠AED=30∘．
在Rt△BEC中，① ∠B=90∘，∠BEC=30∘，BC=AD=2√3， ① BE=√3BC=6，
① AB=AE+BE=2+6=8，
① 矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=2(8+2√3)=16+4√3．
21.解：△AEF是等腰直角三角形；理由如下：如图所示：
① AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，
① ∠EAC=1
2∠BAC，∠FAC=1
2
∠CAD，
① ∠BAC+∠CAD=180∘，
① ∠EAC+∠FAC=1
2
(∠BAC+∠CAD)=90∘，
即∠EAF=90∘，
① ∠ACB−∠B=90∘，
① ∠ACB=90∘+∠B，
① ∠1=90∘−∠B=∠B+∠BAC，
① ∠B=1
2
(90∘−∠BAC)，
① ∠4=∠B+∠AEF，
① AE平分∠DAC，
① ∠3=∠4=∠B+∠AEF，
① ∠BAC+∠3+∠4=180∘，
① 2(∠B+∠AEF)+∠BAC=2[1
2
(90∘−∠BAC)+∠AEF]+∠BAC=180∘，
① ∠AEF=45∘，
① ∠AFE=45∘，
① △AEF是等腰直角三角形．
22.【解答】（1）10个，如解图①，当点P在△ABC内部时，P是边AB．BC．CA的垂直平分
线的交点：当点P在△ABC外部时，P是以三角形各顶点为圆心，边长为半径的圆与三条垂
直平分线的交点每条垂直平分线上得3个交点，故具有这样性质的点P共有10个．
（2）9个，如解图①．两条对角线的交点是1个，以正方形各顶点为圆心，边长为半径画圆，在正方形里面和外面的交点一共有8个，故具有这样性质的
点P共有9个．。