2017-2018北京海淀首师大附中育新学校高一上期中数学真题卷
首都师范大学附属育新学校2017-2018学年度第一学期中考试试题（卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．请把答案填写在后面的相应表格之中）1．设集合{}1,2,3,4U =，{}1,2A =，{}2,4B =，则()U A B = ð（）． A ．{}1,2B ．{}2,3,4C ．{}3,4D ．{}1,2,3,4【答案】B【解析】∵集合{}1,2,3,4U =，{}1,2A =，{}2,4B =， ∴{}3,4U A =ð，{}()2,3,4U A B = ð． 故选B ．2．设0.914y =，0.4828y =， 1.5312y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）．A ．312y y y >>B ．213y y y >>C ．123y y y >>D ．132y y y >>【答案】D【解析】由题意，0.9 1.8142y ==，0.48 1.44282y ==， 1.51.53122y -⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴132y y y >>． 故选D ．3．122536⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是（）． A ．56B ．65C ．56-D ．56±【答案】A【解析】12255366⎛⎫== ⎪⎝⎭． 故选A ．4．若指数函数(1)x y a =+在(,)-∞+∞上是减函数，那么（）． A ．01a << B ．10a -<< C ．1a =- D ．1a <-【答案】B【解析】若指数函数(1)x y a =+在(,)-∞+∞上是减函数，则011a <+<，即10a -<<． 故选B ．5．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）． A ．3y x =-B ．||y x =C ．y x =D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】A【解析】A 项，3y x =-是奇函数，且在R 上是减函数，故A 正确；B 项，||y x =是偶函数，且在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，故B 错误；C 项，y x =是奇函数，在R 上是增函数，故C 错误；D 项，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是非奇非偶函数，在R 上是减函数，故D 错误．故选A ．6．在同一坐标系中，函数3xy =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象之间的关系是（）．A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】A【解析】133xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以函数3x y =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称．故选A ．7．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程32220x x x +--= A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5【答案】C【解析】由(1.4065)0f <，(1.4375)0f >，可知，方程32220x x x +--=的一个近似根为1.4． 故选C ．8．已知函数()f x ax b =+的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由函数y ax b =+的图象可知，1a >，1b <-，()x g x a b =+的图象可看成x y a =的图象向下平移b -个单位得到，故()g x 的图象单调递增，且当0x =时，(0)10g b =+<，只有B 项的图象符合要求． 故选B ．9．已知()f x 为R 上的奇函数，且对任意的x ∈R ，都有()(4)f x f x =+，且满足(1)1g >，(3)f a =，则（）．A ．1a >B ．2a >C ．1a <-D ．2a <-【答案】C【解析】∵()f x 为R 上的奇函数，且对任意的x ∈R ，都有()(4)f x f x =+， ∴(3)(1)(1)f f f =-=-，即(1)(3)f f =-， 又(1)1f >，(3)f a =，则1a ->，即1a <-． 故选C ．10．某种放射性物质的质量(kg)M 随时间t （年）的变化规律是0.0010e t M M -=，其中0M 为该物质的初始质量，如果计算中ln 2的近似值取0.693，那么这种放射性物质的半衰期．．．（质量变为初始质量的一半所需要的时间）约为（）． A ．347年 B ．693年C ．1386年D ．2772年【答案】B【解析】由已知可得0.001001e 2t M M -=，即0.0011e 2t -=，可得ln 20.001t =，即ln20.6936930.0010.001t ===． 故选B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把答案填写在后面的相应表格之中）11．函数y __________． 【答案】[0,)+∞【解析】要使函数y 210x -≥，解得0x ≥，故函数y [0,)+∞．12．已知2,0()10,0x x f x x <⎧=⎨⎩≥，则((2))f f -=__________．【答案】100【解析】∵2,0()10,0xx f x x <⎧=⎨⎩≥， ∴2((2))(2)10100f f f -===．13．已知函数2()f x x mx =++对于任意的实数x ，总有(1)(4)f x f x +=-，则实数m 的值为__________． 【答案】5-【解析】已知2()f x x mx =++对任意的实数x ，总有(1)(4)f x f x +=-，则函数()f x 关于直线52x =对称，即522m -=，故5m =-．14．若函数21,1(),1x x x f x a x ⎧+-⎪=⎨>-⎪⎩≤在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】∵21y x =+在1x -≤时，单调递减，∴若21,1(),1x x x f x a x ⎧+-⎪=⎨>-⎪⎩≤在R 上是单调函数，则2101(1)1a a -<<⎧⎨-+⎩≥，解得112a <≤， 故实数a 的取值范围是：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭．15．某商品进货单价为每个8元，按10元一个销售时，每天可售出50个．如果该商品每个提高销售价1元，其每天销售量就要减少5个，为获取最大利润，则该商品的最佳售价应为每个__________元． 【答案】14【解析】设该商品的售价为x 元，利润为y 元，则2(8)[505(10)](8)(1005)5(14)180y x x x x x =---=--=--+，当14x =时，y 取得最大值，故为获取最大利润，则该商品的最佳售价应为每个14元．16．给出下列四种说法：（1）函数()f t t =与函数()log x a g x a =，(0,1)a a >≠是同一个函数； （2）函数3y x =与3x y =的值域相同．（3）函数11221x y =+-与2(12)2x xy x +=⋅均是奇函数；（4）函数2(1)y x =-与21y x =-在(0,)+∞上都是增函数． 其中正确说法的序号是__________．【答案】（1）（3）【解析】对于（1），函数()f t t =定义域为R ，函数()log x a g x a x ==，且定义域为R ，两者对应关系和定义域都相同，表示的是同一个函数，故（1）正确； 对于（2），函数3y x =的值域是R ，函数3x y =的值域是(0,)+∞， 所以函数3y x =与3x y =的值域不相同，故（2）错误；对于（3），令1121()2212(21)x x x f x +=+=--，则2121()2(21)2(12)x x x x f x ---++-==--，所以()()f x f x -=-，所以11221x y =+-为奇函数； 令2(12)1()(222)2x x x x g x x x-+==++⋅，则1()(222)x xg x x --=-++，所以()()g x g x -=-， 所以2(12)2x xy x +=⋅是奇函数，故（3）正确；对于（4），函数2(1)y x =-在(,1)-∞上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，故（4）错误．综上所述，正确说法的序号是：（1）（3）．三、解答题（本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 设全集是实数集R ，集合{}|42A x x =-<<，{}|11B x m x m =-<<+． （1）当2m =，求A B ，B R ð．（2）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围． 【答案】见解析．【解析】（1）由已知可得，当2m =时，集合{}{}|11|13B x m x m x x =-<<+=<<， 又集合{}|42A x x =-<<，∴{}|43A B x x =-<< ，{|1B x x =R ≤ð或}3x ≥． （2）若A B =∅ ，则12m -≥或14m +-≤， 解得：3m ≥或5m -≥，故实数m 的取值范围是(,5][3,)-∞-+∞ ． 18．（本小题满分10分）（1）计算1552log 10log 0.252)-++．（2）已知17xx +=，分别求式子221x x+的值．【答案】见解析．【解析】（1）1552log 10log 0.252)-++55log 100log 0.25=+5log 25=22=．（2）已知17x x +=，两边平方得，2149x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即221249x x ++=， 故22147x x+=，因为212725xx =+-=-=，= 19．（本小题满分10分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21x f x =+． （1）求函数()f x 的解析式． （2）画出函数()f x 的图象．（3）若()3f a ≤，求a 的取值范围． 【答案】见解析．【解析】（1）当0x <时，0x ->，则1()2112xxf x -⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭，∵()f x 是奇函数，∴1()()12xf x f x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，又(0)0f =，∴11,02()0,021,0xxx f x x x ⎧⎛⎫--<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪+>⎪⎪⎩．（2）（3）易知(1)3f =，所以不等式()3f a ≤等价于()(1)f a f ≤， 由（2）图象可知，1a ≤，即a 的取值范围是(,1]-∞． 20．（本小题满分12分）已知函数1()4f x x x a=++，（其中a 为常数），且函数的图象关于原点成中心对称图形． （1）求函数()4y f x =-的零点．（2）证明：函数()f x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数．【答案】见解析．【解析】（1）已知函数1()4f x x x a =++，且函数的图象关于原点成中点对称图形， 故()()0f x f x +-=，即1144()0x x x a x a++-+=+-+， 解得：0a =，∴1()4f x x x=+，令()40y f x =-=即1440x x+-=，即24410x x -+=， 解得：12x =， ∴函数()4y f x =-的零点是12． （2）证明：设1x ，2x 是区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是任意两个实数，且12x x >，则1212122212121114()()444()x x f x f x x x x x x x x x -⎛⎫-=+-+=-⋅ ⎪⎝⎭，由1212x x >>，得1214x x >，120x x ->， ∴121212144()0x x x x x x --⋅>，即1)2()()f x f x >，∴函数()f x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数．21．（本小满分14分）设a ∈R ，函数2()4f x x ax =++．（1）若()f x 在[2,)+∞上是单调函数，求a 的取值范围． （2）若方程()0f x =在区间(0,3)上恰有一解，求a 的取值范围． （3）求()f x 的区间[1,2]上是最小值()g a ． 【答案】见解析．【解析】（1）函数2()4f x x ax =++的图象关于直线2a x =-对称，若()f x 在[2,)+∞上是单调函数， 则22a-≤，即4a -≥，∴a 的取值范围是[4,)-+∞．（2）若方程()0f x =在区间(0,3)上恰有一解，则(0)(3)0f f ⋅<， 即4(934)0a ++<，解得133a <-， ∴a 的取值范围是：13,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．（3）分情况讨论：当12a-≤时，即当2a -≥时，函数()f x 在[1,2]上单调递增，∴()(1)145g a f a a ==++=+， 当122a<-<时，即当42a -<<-时，函数()f x 在1,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,22a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴222()442444a a a a g a f ⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 当22a-≥时，即4a -≤时，函数()f x 在[1,2]上单调递减，∴()(2)42428f a f a a ==++=+，综上所述，25,2()4,42428,4a a ag a a a a +-⎧⎪⎪=-+-<<-⎨⎪+-⎪⎩≥≤．。
北京市首师大附中2017-2018学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年北京市首师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤22．若角α满足条件sin2α＜0，cosα﹣sinα＜0，则α在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若log a＜1，则a的取值范围是（）A．0＜a＜B．a＞C．＜a＜1 D．0＜a＜或a＞14．已知函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式是（）A．g（x）=2﹣x+3+x﹣3 B．g（x）=2﹣x﹣3+x﹣3 C．g（x）=2﹣x+3+x+3 D．g（x）=2﹣x﹣3+x+35．在平行四边形ABCD中，若，则必有（）A．B．或C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形6．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f （x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）9．cos70°cos335°+sin110°sin25°=______．10．若=（2，3），=（﹣1，1），则在方向上的正射影的数量为______．11．已知三个向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A、B、C三点共线，则k=______．12．已知α∈（，π），β∈（﹣，0），且sinα=，cosβ=，则α﹣β的值为______．13．已知tanθ=3，则=______．14．使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是______．三、解答题（共4小题，满分44分）15．已知=（1，2），=（﹣3，2），当k为何值时：（1）k+与﹣3垂直；（2）k+与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？16．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的周期；（2）求函数f（x）在[﹣，]的取值范围．17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．（1）若x∈[2，6]时，f（x）max=f（2）=2，f（x）min=f（6）=﹣2且f（x）在[2，6]上单调递减，求ω，φ的值；（2）若φ=且函数f（x）在[0，]上单调递增，求ω的取值范围；（3）若φ=0且函数f（x）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，求ω的取值范围．18．如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“X﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1；③y=x2+2x﹣3是否为“X﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（x）=是“X﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A 与B．2017-2018学年北京市首师大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，两个集合有公共元素，得到两个集合中所包含的元素有公共的元素，得到a与﹣1的关系．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，∴两个集合有公共元素，∴a要在﹣1的右边，∴a＞﹣1，故选C．2．若角α满足条件sin2α＜0，cosα﹣sinα＜0，则α在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角；二倍角的正弦．【分析】由sin2α＜0，确定2α的象限，确定α的象限范围，根据cosα﹣sinα＜0，判定α的具体象限．【解答】解：∵sin2α＜0，∴2α在第三、四象限或y的负半轴．2kπ+π＜2α＜2kπ+2π，k∈Z，∴kπ+＜α＜kπ+π，k∈Z∴α在第二、四象限．又∵cosα﹣sinα＜0，∴α在第二象限．故选：B．3．若log a＜1，则a的取值范围是（）A．0＜a＜B．a＞C．＜a＜1 D．0＜a＜或a＞1【考点】指、对数不等式的解法．【分析】运用对数函数的单调性，分a＞1，0＜a＜1两种情况，注意先求交集，再求并集即可．【解答】解：log a＜1=log a a，当a＞1时，不等式即为a＞，则有a＞1成立；当0＜a＜1时，不等式即为a＜，即有0＜a＜．综上可得，a的范围为a＞1或0＜a＜．故选D．4．已知函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式是（）A．g（x）=2﹣x+3+x﹣3 B．g（x）=2﹣x﹣3+x﹣3 C．g（x）=2﹣x+3+x+3 D．g（x）=2﹣x﹣3+x+3【考点】函数的图象与图象变化．【分析】欲求g（x）的解析式，只须根据：“f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g （x）的图象”将x→x﹣3由f（x）的解析式即可得到．【解答】解：∵函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，∴x→x﹣3，又∵f（x）=2﹣x+x∴g（x）=f（x﹣3）=2﹣x+3+x﹣3．故选A．5．在平行四边形ABCD中，若，则必有（）A．B．或C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形【考点】向量在几何中的应用；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先由向量的加法运算法则知知对角线相等，再由矩形定义求解．【解答】解：在平行四边形ABCD中，∵∴平行四边形的对角线相等由矩形的定义知：平行四边形ABCD是矩形．故选C6．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．【解答】解：由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，由当x=时，y=1＞0，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f （x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得函数y=f（x）是周期为2的偶函数，数形结合可得函数y=f（x）与y=log5x 的图象的交点个数．【解答】解：由题意可得函数y=f（x）是周期为2的偶函数，再根据x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，可得函数y=f（x）的图象，数形结合可得函数y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数为4，故选B．8．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】建立坐标系可得=（λ﹣μ，μ），A，B选项可举反例说明，通过P 的位置的讨论，结合不等式的性质可得0≤λ+μ≤3，进而可判C，D的正误，进而可得答案．【解答】解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），E（﹣1，1），故=（1，0），=（﹣1，1），所以=（λ﹣μ，μ），当λ=μ=1时，=（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ=2，但P不是BC的中点，故A 错误；当λ=1，μ=0时，=（1，0），此时点P与B重合，满足λ+μ=1，当λ=，μ=时，=（0，），此时点P为AD的中点，满足λ+μ=1，故满足λ+μ=1的点不唯一，故B错误；当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，当P∈BC时，有λ﹣μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，当P∈AD时，有λ﹣μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，综上可得0≤λ+μ≤3，故C正确，D错误．故选C二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）9．cos70°cos335°+sin110°sin25°=．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】根据诱导公式和两角差的余弦公式计算即可．【解答】解：cos70°cos335°+sin110°sin25°=cos70°cos25°+sin70°sin25°=cos（70°﹣25°）=cos45°=，10．若=（2，3），=（﹣1，1），则在方向上的正射影的数量为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的关系进行化简，结合向量投影的定义进行求解即可．【解答】解：∵=（2，3），=（﹣1，1），∴在方向上的正射影的数量||cos＜，＞===，故答案为：11．已知三个向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A、B、C三点共线，则k=﹣2或11．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】先求出和的坐标，利用和共线的性质x1y2﹣x2y1=0，解方程求出k的值．【解答】解：由题意可得=（4﹣k，﹣7），=（6，k﹣5），由于和共线，故有（4﹣k）（k﹣5）+42=0，解得k=11或k=﹣2．故答案为：﹣2或11．12．已知α∈（，π），β∈（﹣，0），且sinα=，cosβ=，则α﹣β的值为．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】根据αβ的取值范围，利用同角三角函数的基本关系分别求得cosα和sinβ，由两角差的和正弦公式求得sin（α﹣β），根据α﹣β∈（，），即可求得α﹣β的值．【解答】解：由α∈（，π），β∈（﹣，0），sinα=，cosβ=，∴α﹣β∈（，），cosα＜0，sinβ＜0，cosα=﹣=﹣=﹣，sinβ=﹣=﹣=﹣，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ，=×﹣（﹣）（﹣），=﹣，∴α﹣β=．13．已知tanθ=3，则=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角公式以及平方关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可．【解答】解：tanθ=3，则====．故答案为：．14．使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是a≤﹣2．【考点】其他不等式的解法．【分析】利用公式1=cos2x+sin2x，进行代换，可得cos2x+（1﹣a）cosx﹣a2≤0，然后利用换元法和二次函数的性质列出性质进行求解．【解答】解：1﹣cos2x+acosx+a2≥1+cosx⇒cos2x+（1﹣a）cosx﹣a2≤0，令t=cosx，∵x∈R，∴t∈[﹣1，1]，t2+（1﹣a）t﹣a2≤0，由题意知a＜0∴．故答案为a≤﹣2．三、解答题（共4小题，满分44分）15．已知=（1，2），=（﹣3，2），当k为何值时：（1）k+与﹣3垂直；（2）k+与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？【考点】平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．【分析】（1）由题意可得k+和﹣3的坐标，由k+与﹣3垂直可得它们的数量积等于0，由此解得k的值．（2）由k+与﹣3平行的性质，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k的值．再根据k+和﹣3的坐标，可得k+与﹣3方向相反．【解答】解：（1）由题意可得k+=（k﹣3，2k+2），﹣3=（10，﹣4），由k+与﹣3垂直可得（k﹣3，2k+2）•（10，﹣4）=10（k﹣3）+（2k+2）（﹣4）=0，解得k=19．（2）由k+与﹣3平行，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k=﹣，此时，k+=﹣+=（﹣，），﹣3=（10，﹣4），显然k+与﹣3方向相反．16．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的周期；（2）求函数f（x）在[﹣，]的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）化简函数f（x）为Asin（ωx+φ）的形式，求出最小正周期；（2）由x∈[﹣，]求出相位的取值范围，再计算f（x）的取值范围即可．【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+=sin2x﹣+=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），…由T=得，最小正周期T=π；…（2）∵x∈[﹣，]，∴﹣≤2x﹣≤π，…∴﹣1≤sin（2x﹣）≤1，…函数f（x）在[﹣，]的取值范围：[﹣1，1]．17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．（1）若x∈[2，6]时，f（x）max=f（2）=2，f（x）min=f（6）=﹣2且f（x）在[2，6]上单调递减，求ω，φ的值；（2）若φ=且函数f（x）在[0，]上单调递增，求ω的取值范围；（3）若φ=0且函数f（x）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，求ω的取值范围．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的最值．【分析】（1）根据正弦型函数f（x）的图象与性质，结合题意求出周期T，即可得出ω的值，再根据f（x）的最值求出φ的值；（2）根据φ=时函数f（x）在[0，]上单调递增，列出不等式求出ω的取值范围；（3）根据φ=0时f（x）为奇函数，结合正弦函数的图象与性质即可求出满足条件的ω的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），当x∈[2，6]时，f（x）max=f（2）=2，f（x）min=f（6）=﹣2，∴T=2（6﹣2）=8=，∴ω=，∴f（x）=2sin（x+φ）；把（2，2）代入f（x）得2=2sin（+φ），∴cosφ=1；∵|φ|＜，∴φ=0；（2）当φ=时，函数f（x）=2sin（ωx+）在[0，]上单调递增，∴≤ωx+≤ω+，∴ω+≤，解得ω≤1；又ω＞0，∴ω的取值范围是（0，1]；（3）当φ=0时，f（x）=2sinωx，∵f（x）为奇函数，要使f（x）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，只需f（x）=0在（0，π]上恰有9个根，∴T≤π＜5T，即•≤π＜5•，解得9≤ω＜10，即ω的取值范围是[9，10）．18．如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“X﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1；③y=x2+2x﹣3是否为“X﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（x）=是“X﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】（Ⅰ）根据“X﹣函数”的定义即可判断所给的3个函数是否为“X﹣函数”；（Ⅱ）由题意，对任意x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x），利用不等式求出a的取值范围；（Ⅲ）（1）根据题意，判断对任意的x≠0，x与﹣x恰有一个属于A，另一个属于B；（2）用反证法说明（﹣∞，0）⊆B，（0，+∞）⊆A；（3）用反证法说明0∈A，即得A、B．【解答】解：（Ⅰ）①、②是“X﹣函数”，③不是“X﹣函数”；﹣﹣﹣﹣（说明：判断正确一个或两个函数给1分）（Ⅱ）由题意，对任意的x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）≠0；因为f（x）=sinx+cosx+a，所以f（﹣x）=﹣sinx+cosx+a，故f（x）+f（﹣x）=2cosx+2a；由题意，对任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠﹣cosx；﹣﹣﹣又cosx∈[﹣1，1]，所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；﹣﹣﹣（Ⅲ）（1）对任意的x≠0，（i）若x∈A且﹣x∈A，则﹣x≠x，f（﹣x）=f（x），这与y=f（x）在R上单调递增矛盾，（舍去），（ii）若x∈B且﹣x∈B，则f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），这与y=f（x）是“X﹣函数”矛盾，（舍去）；此时，由y=f（x）的定义域为R，故对任意的x≠0，x与﹣x恰有一个属于A，另一个属于B；（2）假设存在x0＜0，使得x0∈A，则由x0＜，故f（x0）＜f（）；（i）若∈A，则f（）=+1＜+1=f（x0），矛盾，（ii）若∈B，则f（）=＜0＜+1=f（x0），矛盾；综上，对任意的x＜0，x∉A，故x∈B，即（﹣∞，0）⊆B，则（0，+∞）⊆A；（3）假设0∈B，则f（﹣0）=﹣f（0）=0，矛盾，故0∈A；故A=[0，+∞），B=（﹣∞，0]；经检验A=[0，+∞），B=（﹣∞，0），符合题意．﹣﹣﹣2018年9月28日。
北京海淀十一学校2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题Word版(解析版)
2017-2018学年北京海淀十一学校高一上学期期中考试数学试题数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．设集合，集合，则 ________. 2．命题：2,0x x ∀∈≥R 的否定是 ． 3．满足条件的集合有__________个． 4．函数y x =的定义域为_________. 5．已知函数，，并且函数的最小值为，则的取值范围是__________． 6．设，，能表示从集合到集合的函数关系的是__________． A ． B ． 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号C．D．7．函数的零点有__________个．8．__________．9．已知条件，条件，则是的__________．10．函数的最大值为_________.11．写出函数的单调递增区间__________．12．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为．13．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为__________．（），；（），；（），；（），．14．若函数（常数，）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式__________．15．已知奇函数，当时，有，则时，函数__________．16．已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．17．已知函数224,0()4,0x x xf xx x x⎧+≥=⎨-<⎩，2(2)(),f a f a->则实数a的取值范围是_____________。
北京市2017-2018学年高一上期中数学真题试题
…外………内……绝密★启用前北京市2017-2018学年高一上期中数学真题试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4U=，集合{}1,2A=，{}2,3B=，则()UA B⋃=ð（）．A．{}1,3,4B．{}3,4C．{}3D．{}42．设，，，且，则（）A．B．C．D．3．不等式2230x x+-≥的解集为（）．A．{|1x x≤-或3}x≥B．{|13}x x-≤≤C．{|3x x≤-或1}x≥D．{|31}x x-≤≤4．已知()22,1{,122,2x xf x x xx x+≤-=-<<≥，若()3f x=，则x的值是（）．A．B．1或C．1，D．15．已知定义在R上的函数()f x的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数()f x一定存在零点的区间是（）．A．(),1-∞B．()1,2C．()2,3D．()3,+∞…………○…………订………要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题…………○…………订………6．设0.94a=，）．A．a b>B．a b=C．a b<D．a、b的大小无法确定7．下列函数中，既是奇函数，又是在区间()0,+∞上单调递增的函数为（）．A．1y x-=B．22x xy-=-C．lgy x=D．8．已知函数()(),0{,0f x xyg x x>=<是偶函数，()log af x x=的图象过点()2,1，则()y g x=在区间(),0-∞上对应的图象大致是（）．A．B．C．D．9．定义在R上的偶函数()f x满足：对任意的1x，[)()2120,x x x∈+∞≠，有()()2121f x f xx x-<-，则（）．A．()()()321f f f<-<B．()()()123f f f<-<C．()()()213f f f-<<D．()()()312f f f<<-10．设函数()133,1{1log,1x xf xx x-≤=->，则满足()3f x≤的x的取值范围是（）．A．[]1,3-B．[]0,3C．D．[)0,+∞第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题11．函数 的定义域为__________．12．函数()3xf x a =+（0a >且1a ≠）的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是__________．13．计算： ．14．已知幂函数()y f x =的图象过点()4,2，则()f x =__________； ()2log 4f =__________．15．比较三个数0.76， 60.7， 0.7log 6的大小（用“<”号连接）：__________． 16．若函数234y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m 的取值集合为 ． 17．已知函数()()2,0{21,0x a x f x a R x x -≤=∈->，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是__________．18．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是__________．19．函数()f x 是奇函数，且是在[]1,1-上单调递增的函数，又()11f -=-． ①则()f x 在[]1,1-上的最大值为__________．②若()221f x t at ≤-+对任意[]1,1x ∈-及任意[]1,1a ∈-都成立，则实数t 的取值范围是__________． 三、解答题20．已知集合{|3}A x a x a =≤≤+， {|1B x x =<-或5}x >，全集U R =．（2）若U A C B ⊆，求实数a 的取值范围．21．已知()f x 的定义域为{|0}x R x ∈≠，且()f x 是奇函数，当0x >时()2f x x bx c =-++，若()()13f f =， ()22f =．（1）求b 、c 的值．（2）求()f x 在0x <时的表达式． （3）解不等式()2f x <-． 22 （1）求函数()f x 的定义域．（2）判断()f x 在定义域上的单调性，并用单调性定义证明你的结论． （3）求函数()f x 的值域．23．已知函数()()2lg 1f x x a x a ⎡⎤=+--⎣⎦．（1）求函数()f x 的定义域．（2）若()f x 为偶函数，求实数a 的值．24．设函数()f x 的定义域为R ，如果存在函数()g x ，使得()()f x g x ≥对于一切实数x 都成立，那么称()g x 为函数()f x 的一个承托函数． 已知函数()2f x ax bx c =++的图象经过点()1,0-．（1）若1a =， 2b =，写出函数()f x 的一个承托函数（结论不要求注明）． （2）判断是否存在常数a ， b ， c ，使得y x =为函数()f x 的一个承托函数，且()f x 的一个承托函数？若存在，求出a ， b ， c 的值；若不存在，说明理由．参考答案1．D【解析】全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2A =， {}2,3B =，{}123A B ⋃=，，,所以(){}4U C A B ⋃=.故选D. 2．D 【解析】当 时，选项A 错误； 当 时，选项B 错误； 当 时，选项C 错误； ∵函数 在 上单调递增， ∴当 时， ． 本题选择D 选项.点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便． 3．C【解析】2230x x +-≥整理得()()130x x -+≥，解得3x ≤-或1x ≥. 所以不等式2230x x +-≥的解集为{|3x x ≤-或1}x ≥. 故选C. 4．A【解析】由()22,1{,12 2,2x x f x x x x x +≤-=-<<≥，若()3f x =，则1{23x x ≤-+=或212{3x x -<<=或2{ 23x x ≥=.解得：故选A. 5．C【解析】定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，由图知满足()()230f f <， 根据零点存在定理可知()f x 在()2,3一点存在零点. 故选C.点睛: 本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.如果函数()y f x =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有()()·0f a f b <,那么函数()y f x =在区间[a,b]内有零点,即存在(),c a b ∈,使得()0f c =,这个c 也就是方程()0f x =的实数根.但是反之不一定成立. 6．A【解析】0.91.842a ==，又因为()2xf x =为增函数，所以 1.81.522>，即a b >.故选A. 7．B【解析】易知： 1y x -=， 22x xy -=-为奇函数， lg y x =和点对称，所以非奇非偶，排除C,D ；.故选B. 8．B【解析】()log a f x x =的图象过点()2,1，且还恒过点()1,0 因为()(),0{,0f x x yg x x >=<是偶函数，所以()y g x =在区间(),0-∞上对应的图象和()log a f x x =的图象关于y 轴对称，所以()y g x =过点()2,1-和()1,0-.观察图象只有B 满足， 故选B. 9．A【解析】试题分析：∵对任意（12x x ≠），有()()21210f x f x x x -<-，∴函数在[)0,+∞上单调递减，∴()()()321f f f <<，∵函数是偶函数，∴()()22f f -=，∴()()()321f f f <-<． 考点：函数的奇偶性与单调性． 10．D【解析】函数()133,1{1log ,1x x f x x x -≤=->，由()3f x ≤，得11{33x x -≤≤或31{1log 3x x >-≤.解得01x ≤≤或1x > 故选D.点睛: 分段函数，就是对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则的函数.它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集, 求值时需在定义域的前提下,解不等式，最后需要求并集. 11．【解析】函数 有： ，解得 .所以函数 的定义域为 . 故答案为; .点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)． 12．()0,4【解析】函数()3xf x a =+（0a >且1a ≠）有()003134f a =+=+=.所以图象一定过定点()0,4P . 故答案为： ()0,4. 13．8故答案为：8.14． 1【解析】设幂函数()af x x =，由()442af ==，解得()22log 4log 21f ==.15．60.70.7log 60.76<<，得60.70.7log 60.76<<.16．332m ≤≤ 【解析】因为函数的对称轴为x=32,开口向上，并且定义域为【0，m 】,值域为[-25,44-],可知当x=0,函数值为-4，结合图像可知， 332m ≤≤，故答案为332m ≤≤。
北京师大附中2018年10月2018～2019学年度高一第一学期期中考试数学试卷及参考答案教师专用
2018年10月2018～2019学年度北京师大附中高一上学期期中考试数学试题数学注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
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写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1.已知集合 ＝ ＝ ,则 A. B. ＝ C. ＝ D. ＝2.若函数()()()222331f x a a x a x =--+-+的定义域和值域都为R,则关于实数a 的下列说法中正确的是A.1a =-或3B.1a =-C.3a >或1a <-D.13a -<<3.下列函数中,在区间 ＋ 上是增函数的是 A. ＝ B. ＝ C. ＝ ＋ D. ＝4.给定四个函数:① ＝ ＋；② ＝；③ ＝ ＋ ；④ ＝＋,其中是奇函数的有A.1个B.2个C.3个D.4个5.函数 ＝ 在R 上为增函数,且 ＋ ,则实数m 的取值范围是 A. B. ＋C. ＋D. ＋6.函数2y ax bx =+与()0y ax b ab =+≠的图象可能是A.B.C.D.7.A. B. C. D.8. 是区间 ＋ 上的偶函数并且在区间 ＋ 上是减函数,则下列关系中正确的是 A. B. C. ＝ D.二者无法比较 9.设,则A. B. C. D.二、解答题10.已知函数 ＝ ＋的定义域为A, ＝ ＋ 的值域为B 。
(1)求A,B ；(2)设全集 ＝ ,求11.已知集合 ＝ ＝ ＋ (1)若 ＝ ,求a 的取值范围； (2)若 ＝ ,求a 的取值范围。
12.已知函数 ＝ ＋ ＋ (1)当a ＝1时,求函数 的值域。
(2)若函数 在区间 上是单调函数,求实数a 的取值集合。
【精品】2017-2018学年北京师大附中高一(上)期中数学试卷
2017-2018学年北京师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={﹣2，0，2}，则（）A．N?M B．M∪N=M C．M∩N={2}D．M∩N={0，2}2．（4分）若函数f（x）=（a2﹣2a﹣3）x2+（a﹣3）x+1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是（）A．a=﹣1或3 B．a=﹣1 C．a＞3或a＜﹣1 D．﹣1＜a＜33．（4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．g（x）=﹣2x C．h（x）=﹣3x+1 D．4．（4分）给定四个函数；；y=x3+1；其中是奇函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（4分）函数y=f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（﹣m+9），则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（0，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）6．（4分）函数y=ax2+bx与y=ax+b，（ab≠0）的图象只能是（）A．B．C．D．7．（4分）设a=，b=，c=lg，则a，b，c之间的关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜b＜c8．（4分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（e，+∞）B． C．（2，3） D．（e，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分9．（4分）设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）＜0的解集是．10．（4分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．11．（4分）若函数f（x）=x2+px+3在（﹣∞，1]上单调递减，则p的取值范围是．12．（4分）log425﹣2log410+log45?log516的值是．13．（4分）函数f（x）=的定义域为．14．（4分）计算：=．三、解答题：请写出解题步骤（共24分）15．（6分）已知函数的定义域为A，g（x）=x2+1的值域为B．（1）求A，B；（2）设全集U=R，求A∩（?U B）16．（6分）已知集合A={x|2a﹣1＜x＜2﹣a}，B={x|x2﹣x﹣6≥0}（1）若A∩B=?，求a的取值范围；（2）若A∪B=B，求a的取值范围．17．（6分）计算：．18．（6分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c最小值为﹣1，且f（2﹣x）=f（2）+f （x）．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2m，m+1]上单调，求m的取值范围．2017-2018学年北京师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={﹣2，0，2}，则（）A．N?M B．M∪N=M C．M∩N={2}D．M∩N={0，2}【分析】由M与N求出两集合的并集，交集，并判断出包含关系即可．【解答】解：∵M={0，1，2，3，4}，N={﹣2，0，2}，∴M∪N={﹣2，0，1，2，3，4}；M∩N={0，2}，N?M，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（4分）若函数f（x）=（a2﹣2a﹣3）x2+（a﹣3）x+1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是（）A．a=﹣1或3 B．a=﹣1 C．a＞3或a＜﹣1 D．﹣1＜a＜3【分析】分类讨论，二次项系数等于0时，二次项系数不等于0时，两种情况进行分析．【解答】解：若a2﹣2a﹣3≠0，则f（x）为二次函数，定义域和值域都为R是不可能的．若a2﹣2a﹣3=0，即a=﹣1或3；当a=3时，f（x）=1不合题意；当a=﹣1时，f（x）=﹣4x+1符合题意．故选：B．【点评】本题考查函数的值域和定义域，体现分类讨论的数学思想方法．3．（4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．g（x）=﹣2x C．h（x）=﹣3x+1 D．【分析】f（x）=在区间（0，+∞）上是增函数，g（x）=﹣2x、h（x）=﹣3x+1和s（x）在区间（0，+∞）上都是减函数．【解答】解：在A中，f（x）=在区间（0，+∞）上是增函数，故A正确；在B中，g（x）=﹣2x在区间（0，+∞）上是减函数，故B错误；在C中，h（x）=﹣3x+1在区间（0，+∞）上是减函数，故C错误；在D中，s（x）在区间（0，+∞）上是减函数，故D错误．故选：A．【点评】本题考查函数的单调性的判断，考查函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．（4分）给定四个函数；；y=x3+1；其中是奇函数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用奇函数的定义，对每个函数进行验证，可得结论．【解答】解：∵，∴是奇函数；∵定义域不关于原点对称，∴不是奇函数；∵（﹣x）3+1≠﹣（x3+1），∴不是奇函数；函数的定义域为{x|x≠0}，=，∴是奇函数综上，奇函数的个数为2个故选：B．【点评】本题考查函数奇偶性的判定，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（4分）函数y=f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（﹣m+9），则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．（0，+∞）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）【分析】由题意根据函数的单调性的定义可得2m＞﹣m+9，由此解得m的范围．【解答】解：∵函数y=f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（﹣m+9），∴2m＞﹣m+9，解得m＞3，故选：C．【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，属于基础题．6．（4分）函数y=ax2+bx与y=ax+b，（ab≠0）的图象只能是（）A．B．C．D．【分析】从直线的斜率与截距入手，找出ab的符号，再验证抛物线的对称轴是否适合．【解答】解：A、B中，从直线上看，a、b为正值，∴抛物线的对称轴为＜0，故AB不符合；C、D中，从直线上看，a＜0，b＞0，∴＞0，C，D都适合，但是点（，0）都适合y=ax2+bx与y=ax+b，∴两个函数的图象都过点（，0），只有D适合．故选：D．【点评】本题主要考查函数图象与函数的性质，常见的一次函数与二次函数的性质要熟记．7．（4分）设a=，b=，c=lg，则a，b，c之间的关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜b＜c【分析】分别根据幂函数的单调性和对数函数的性质计算出a，b，c的取值范围即可得到结论．【解答】解：∵幂函数y=x在定义域上单调递增，∴，即b＞a＞0，∵c=lg＜0，∴c＜a＜b．故选：A．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用幂函数的单调性和对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．8．（4分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（e，+∞）B． C．（2，3） D．（e，+∞）【分析】判断函数的单调性以及函数的连续性，利用零点判定定理推出结果即可．【解答】解：函数是单调增函数，也连续函数，因为f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，可得f（2）f（3）＜0，所以函数的零点所在区间为（2，3）．故选：C．【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，注意函数的单调性与连续性的判断．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分9．（4分）设奇函数f（x）的定义域为[﹣5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）＜0的解集是{x|﹣2＜x＜0或2＜x≤5} ．【分析】由奇函数图象的特征画出此抽象函数的图象，结合图象解题．【解答】解：由奇函数图象的特征可得f（x）在[﹣5，5]上的图象．由图象可解出结果．故答案为{x|﹣2＜x＜0或2＜x≤5}．【点评】本题是数形结合思想运用的典范，解题要特别注意图中的细节．10．（4分）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．【分析】先求，，故代入x＞0时的解析式；求出=﹣2，，再求值即可．【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查分段函数的求值问题，属基本题．求f（f（a））形式的值，要由内而外．11．（4分）若函数f（x）=x2+px+3在（﹣∞，1]上单调递减，则p的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【分析】求出二次函数的对称轴方程，由二次函数的减区间，可得在对称轴的右边，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x2+px+3在的对称轴为x=﹣，在（﹣∞，﹣]递减，由题意可得﹣≥1，解得p≤﹣2．故答案为：（﹣∞，﹣2]．【点评】本题考查二次函数的性质：单调性，考查运算能力，属于基础题．12．（4分）log425﹣2log410+log45?log516的值是1．【分析】利用对数、运算法则、换底公式直接求解．【解答】解：log425﹣2log410+log45?log516=+=﹣1+2=1．故答案为：1．【点评】本题考查对数式化简求值，考查对数、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、是基础题．13．（4分）函数f（x）=的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1} ．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，且分式的分母不等于0联立不等式组得答案．【解答】解：由，得0＜x≤2且x≠1．∴函数f（x）=的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1}．故答案为：{x|0＜x≤2且x≠1}．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．14．（4分）计算：=5．【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：=4+1=5．故答案为：5．【点评】本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．三、解答题：请写出解题步骤（共24分）15．（6分）已知函数的定义域为A，g（x）=x2+1的值域为B．（1）求A，B；（2）设全集U=R，求A∩（?U B）【分析】（1）利用函数的定义域能求出集合A，利用函数g（x）=x2+1的值域能求出集合B．（2）由A={x|﹣1≤x＜2}，B={y|y≥1}，求出C U B={y|y＜1}，由此能求出A∩（C U B）．【解答】解：（1）∵函数的定义域为A，∴A={x|}={x|﹣1≤x＜2}，∵g（x）=x2+1的值域为B．∴B={y|y=x2+1}={y|y≥1}．（2）∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={y|y≥1}．∴C U B={y|y＜1}，A∩（C U B）={x|﹣1≤x＜1}．【点评】本题考查集合的求法，考查补集、交集的求法，考查函数性质、交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．16．（6分）已知集合A={x|2a﹣1＜x＜2﹣a}，B={x|x2﹣x﹣6≥0}（1）若A∩B=?，求a的取值范围；（2）若A∪B=B，求a的取值范围．【分析】（1）求出B={x|x≥3或x≤﹣2}，由A∩B=?，当A=?时，2a﹣1≥2﹣a，当A≠?时，列出不等式组，由此能求出a的取值范围．（2）由A∪B=B，A?B，当A=?时，2a﹣1≥2﹣a，A≠?时，或，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|2a﹣1＜x＜2﹣a}，B={x|x2﹣x﹣6≥0}={x|x≥3或x≤﹣2}，A∩B=?，∴当A=?时，2a﹣1≥2﹣a，解得a≥1，当A≠?时，，解得﹣．综上，a的取值范围是[﹣，+∞）．（2）∵A∪B=B，∴A?B，当A=?时，2a﹣1≥2﹣a，解得a≥1，A≠?时，或，解得a≤﹣．综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集、并集、补集、子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．17．（6分）计算：．【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：==第11页（共12页）。
北京师大附中2017-2018学年上学期高一年级期中考试数学试卷(word)
北京师大附中2017-2018学年上学期高一年级期中考试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合}2,1,0{=A ，}3,2{=B ，则集合=B AA. }3,2,1{B. }3,2,1,0{C. }2{D. }3,1,0{2. 下列函数中，在其定义域内是减函数的是A. 3x y =B. 2x y =C. 1+-=x yD. xy 2= 3. 若0<a ，10<<b ，则有A. 2ab ab a >>B. a ab ab >>2C. 2ab a ab >>D. a ab ab >>2 4. “a=0”是“21)(x ax x f -=为奇函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5. 下列不等式中，不正确的是A. 21≥+x xB. 012>++x xC. 254522≥++x x D. 若3>x ，则531≥-+x x 6. 函数q px x x f ++=2)(满足对任意的x ，均有)1()1(x f x f -=+，那么)0(f ，)1(-f ，)1(f 的大小关系是A. )0()1()1(f f f <-<B. )1()1()0(f f f <-<C. )1()0()1(-<<f f fD. )1()0()1(f f f <<-7. 若函数22)(23--+=x x x x f 的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程02223=--+x x x 的一个近似根（精确到0.1）为 A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.58. 已知)(x f 为定义在[-1，1]上的奇函数，且)(x f 在[0，1]上单调递减，则使不等式0)31()(<-+x f x f 成立的x 的取值范围是A. )21,(-∞ B. )21,0[ C. 21,31[ D. ),21(+∞ 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
最新题库北京市首都师大附中高一上学期数学期中试卷带答案
10．（ 5 分）已知函数
【解答】 解：∵函数
∴ f（ ） =
=﹣2，
=f（﹣ 2）=
．
故答案为： ．
，则 ，
=
．
11．（5 分）若函数 y=x2﹣3x﹣4 的定义域为 [ 0，m] ，值域为 [ ﹣ ，﹣4] ，则 m 的取值范围是 [ ，3] ． 【解答】 解：∵ f（x）=x2﹣3x﹣ 4=（x﹣ ）2﹣ ， ∴ f（ ） =﹣ ，又 f（0）=﹣4， 故由二次函数图象可知： m 的值最小为 ； 最大为 3． m 的取值范围是： ≤m≤ 3． 故答案 [ ，3]
则有 f（n）=﹣ n2+4n=
=﹣5，解可得 n=5 或﹣ 1（舍）即 5 是它的均值
点，②正确，
对于③，函数 f（ x）=log2x 在区间 [ a，b] 都是平均值函数， 则 log2x=
恒成立，明显错误，③错误； 对于④，若函数 f（ x）=﹣x2+mx+1 是区间 [ ﹣1，1] 上的平均值函数，
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
9．（5 分）若点
在幂函数 y=f（x）的图象上，则 f（ 4） =
．
10．（ 5 分）已知函数
，则
=
．
11．（5 分）若函数 y=x2﹣3x﹣4 的定义域为 [ 0，m] ，值域为 [ ﹣ ，﹣4] ，则 m
13．（5 分）已知关于 x 的方程 ax2+x+2=0 的两个实根一个小于 0，另一个大于 1， 则实数 a 的取值范围是 （﹣ 3，0） ． 【解答】 解：关于 x 的方程 ax2+x+2=0 对应的二次函数 f（x）=ax2+x+2 若 a＞0，即图象开口向上， ax2+x+2=0 的两个实根一个小于 0，另一个大于 1，只需 f（0）＜ 0，且 f（ 1）＜ 0， 即 2＜0 且 a+3＜ 0，则 a∈?； 若 a＜0，即图象开口向下， ax2+x+2=0 的两个实根一个小于 0，另一个大于 1，只需 f（0）＞ 0，且 f（ 1）＞ 0， 即 2＞0 且 a+3＞ 0，则﹣ 3＜a＜0． 综上可得 a 的范围是（﹣ 3， 0）． 故答案为：（﹣ 3，0）．
北京市首师大附属育新学校2017-2018学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年北京市首师大附属育新学校高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分，在后面答题区域的表格内填写正确的答案）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，则B∩∁U A（）A．{5，6}B．{3，4，5，6} C．{1，2，5，6} D．∅2．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=x2+3x B．y=（x﹣1）2C．g（x）=2﹣x D．y=log0.5（x+1）3．设a=（）0.2，b=1.30.7，c=（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c4．已知集合A={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且A⊆B，则实数a的取值范围（）A．a＜﹣2 B．a＞2 C．a≤﹣2 D．a≥25．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m恰有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．[0，1]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）6．函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A． B． C．D．7．已知实数a，b满足等式2014a=2015b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b，其中不可能成立的关系式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣]=2，则f（）的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，在后面答题区域的表格内填写正确方为有效共10小题，每小题4分，满分40分）9．若函数f（x）=﹣x2+4ax在（﹣∞，﹣2]上单调递增，则实数a的取值范围是______．10．已知函数y=3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P，则P点的坐标为______．11．若函数f（x）=是奇函数，则a+b=______．12．函数f（x）=x2﹣x+a，则f（m）______f（1﹣m）（填“＜”“＞”或“=”）13．用“二分法”求函数f（x）=x3﹣3x+1的一个零点时，若区间[1，2]作为计算的初始区间，则下一个区间应取为______．14．已知函数f（x）=x5+ax﹣8，且f（﹣2）=10，则f（2）=______．15．函数f（x）=的值域是______．16．函数f（x）=x2+2ax+a2在区间[﹣1，2]上的最大值是4，则实数a的值为______．17．设2a=5b=m，且+=2，m=______．三、解答题（本大题共4小题，满分36分要求写出必要的解题步骤和文字说明）19．计算下来各式：（1）化简：a••；（2）求值：log535+2log0.5﹣log5﹣log514+5．20．已知函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若f（x）＞0，求x的取值范围．21．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC 在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．22．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，a，b，c是常数且a≠0，满足条件：f（0）=3，f（3）=6，且对任意的x∈R有f（1+x）=f（1﹣x）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）问是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]，[2m，2n]？若存在，求出m，n；若不存在，说明理由．2017-2018学年北京市首师大附属育新学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分，在后面答题区域的表格内填写正确的答案）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，则B∩∁U A（）A．{5，6}B．{3，4，5，6} C．{1，2，5，6} D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U及A，求出A的补集，找出B与A补集的交集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，∴∁U A={5，6}，则B∩∁U A={5，6}，故选：A．2．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=x2+3x B．y=（x﹣1）2C．g（x）=2﹣x D．y=log0.5（x+1）【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据基本初等函数的图象与性质，对选项中的函数单调性进行分析、判断即可．【解答】解：对于A，函数f（x）=x2+3x在（0，+∞）上是单调增函数，满足条件；对于B，函数y=（x﹣1）2在（0，1）是单调减函数，在（1，+∞）上是单调增函数，不满足条件；对于C，函数g（x）=2﹣x=在（﹣∞，+∞）上为单调减函数，不满足条件；对于D，函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是单调减函数，不满足条件．故选：A．3．设a=（）0.2，b=1.30.7，c=（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵1＞a=（）0.2＞（），b=1.30.7＞1，则a，b，c的大小关系是b＞a＞c．故选：B．4．已知集合A={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且A⊆B，则实数a的取值范围（）A．a＜﹣2 B．a＞2 C．a≤﹣2 D．a≥2【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据集合间的包含关系运算，列出不等式，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x丨﹣2≤x≤2，x∈R}，B={x丨x≥a}，且A⊆B，∴a≤﹣2故选：C．5．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m恰有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．[0，1]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】作出f（x）的函数图象，根据图象判断m的值．【解答】解：令g（x）=0得f（x）=m，作出y=f（x）的函数图象如图所示：由图象可知当m＜0或m≥1时，f（x）=m只有一解．故选D．6．函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A． B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．【解答】解：函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=a x的图象向下平移个单位得到的．当a＞1时，函数y=a x﹣在R上是增函数，且图象过点（﹣1，0），故排除A，B．当1＞a＞0时，函数y=a x﹣在R上是减函数，且图象过点（﹣1，0），故排除C，故选D．7．已知实数a，b满足等式2014a=2015b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a=b，其中不可能成立的关系式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】不等式的基本性质．【分析】分别作出y=2014x，与y=2015x的函数图象．由于2014a=2015b，可得a＞b＞0，或a＜b＜0，或a=b=0，正确，即可得出结论．【解答】解：分别作出y=2014x，与y=2015x的函数图象．∵2014a=2015b，∴a＞b＞0，或a＜b＜0，或a=b=0，正确；因此只有：③，④不正确．故选：B．8．已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣]=2，则f（）的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】函数的值．【分析】首先，根据函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣]=2，得到f（x）﹣为一个常数，令f（x）﹣=n，则f（n）=2，求出n，可求出函数的解析式，即可得出结论．【解答】解：根据题意，得若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣]=2，得到f（x）﹣为一个常数，令f（x）﹣=n，则f（n）=2，∴2﹣=n，∴n=1，∴f（x）=1+，∴f（）=7，故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，在后面答题区域的表格内填写正确方为有效共10小题，每小题4分，满分40分）9．若函数f（x）=﹣x2+4ax在（﹣∞，﹣2]上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．【考点】二次函数的性质．【分析】根据f（x）的对称轴判断f（x）的单调性，得出（﹣∞，﹣2]与对称轴的关系，从而解出a的范围．【解答】解：f（x）=﹣（x﹣2a）2+4a2，∴f（x）的图象开口向下，对称轴为x=2a，∴f（x）在（﹣∞，2a]上单调递增，在（2a，+∞）上单调递减，∵在（﹣∞，﹣2]上单调递增，∴﹣2≤2a，解得a≥﹣1，故答案为：[﹣1，+∞）．10．已知函数y=3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P，则P点的坐标为（﹣1，3）．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】令2x+3=1，求得x的值，从而求得P点的坐标．【解答】解：令2x+3=1，可得x=﹣1，此时y=3．即函数y=3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点P的坐标为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．11．若函数f（x）=是奇函数，则a+b=1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意，a=f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1），求出a，b，即可得出结论．【解答】解：由题意，a=f（0）=0．f（﹣1）=﹣f（1），∴﹣1+b=﹣（1﹣1），∴b=1，∴a+b=1．故答案为：1．12．函数f（x）=x2﹣x+a，则f（m）=f（1﹣m）（填“＜”“＞”或“=”）【考点】二次函数的性质．【分析】方法一、运用作差法，化简整理，即可得到结论；方法二、求出二次函数的对称轴方程，即可所求结论．【解答】解法一、函数f（x）=x2﹣x+a，可得f（1﹣m）﹣f（m）=（1﹣m）2﹣（1﹣m）+a﹣（m2﹣m+a）=（1﹣m）（﹣m）﹣m（m﹣1）=m（m﹣1）﹣m（m﹣1）=0，则f（m）=f（1﹣m）．解法二、函数f（x）=x2﹣x+a的对称轴为x=，由m+（1﹣m）=1，可得f（m）=f（1﹣m）．故答案为：=．13．用“二分法”求函数f（x）=x3﹣3x+1的一个零点时，若区间[1，2]作为计算的初始区间，则下一个区间应取为（1.5，2）．【考点】二分法求方程的近似解．【分析】函数f（x）=x3﹣2x﹣1，确定f（1），f（2），f（1.5）的符号，根据零点存在定理，即可得到结论．【解答】解：由二分法由f（1）=1﹣3+1＜0，f（2）=8﹣6+1＞0，取区间[1，2]作为计算的初始区间取x1=1.5，这时f（1.5）=1.53﹣3×1.5+1=﹣0.125＜0，故x0∈（1.5，2）．故答案为：（1.5，2）．14．已知函数f（x）=x5+ax﹣8，且f（﹣2）=10，则f（2）=﹣26．【考点】函数的值．【分析】求出2a的值，代入f（2），求出f（2）的值即可．【解答】解：f（﹣2）=（﹣2）5﹣2a﹣8=10，则2a=﹣25﹣18，则f（2）=25+2a﹣8=25﹣25﹣18﹣8=﹣26，故答案为：﹣26．15．函数f（x）=的值域是[0，2）．【考点】函数的值域．【分析】先求出函数的定义域，进而结合指数函数的图象和性质分析被开方数的取值范围，进而得到答案【解答】解：若使函数的解析式有意义则4﹣2x≥0，解得x≤2此时0＜2x≤4则0≤4﹣2x＜40≤＜2故函数的值域是[0，2）故答案为：[0，2）16．函数f（x）=x2+2ax+a2在区间[﹣1，2]上的最大值是4，则实数a的值为0或﹣1．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】分二次函数f（x）的图象的对称轴比较靠近所给的闭区间的左侧、比较靠近所给的闭区间的右侧两种情况，分别利用二次函数的性质，结合函数的最大值为4，求得a的值，综合可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2ax+a2=（x+a）2在区间[﹣1，2]上的最大值是4，区间[﹣1，2]的中点为，二次函数f（x）的图象的图象的对称轴为x=﹣a，当﹣a＜时，即a＞﹣时，f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值为f（2）=4+4a+a2=4，a=0．当﹣a≥时，即a≤﹣时，f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值为f（﹣1）=1﹣2a+a2=4，求得a=﹣1，综上可得，a=0或a=﹣1，故答案为：0或﹣1．17．设2a=5b=m，且+=2，m=．【考点】指数函数与对数函数的关系；对数的运算性质．【分析】先解出a，b，再代入方程利用换底公式及对数运算性质化简即可得到m的等式，求m．【解答】解：∵2a=5b=m，∴a=log2m，b=log5m，由换底公式得，∴m2=10，∵m＞0，∴故应填其中错误的对数值是lg1.5．【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质即可判断出．【解答】解∵lg9=2lg3，适合，故二者不可能错误，同理：lg8=3lg2=3（1﹣lg5），∴lg8，lg5正确．lg6=lg2+lg3=（1﹣lg5）+lg3=1﹣（a+c）+（2a﹣b）=1+a﹣b﹣c，故lg6也正确．故答案为：lg1.5．三、解答题（本大题共4小题，满分36分要求写出必要的解题步骤和文字说明）19．计算下来各式：（1）化简：a••；（2）求值：log535+2log0.5﹣log5﹣log514+5．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算即可，（2）根据对数的运算法则计算即可．【解答】解：（1）a••==；（2）log535+2log0.5﹣log5﹣log514+5=1+log57﹣log0.50.5+log550﹣log57﹣log52+3=1+log57﹣1+2+log52﹣log57﹣log52+3=1﹣1+2+3=5．20．已知函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若f（x）＞0，求x的取值范围．【考点】对数函数的图象与性质；对数的运算性质．【分析】（1）求解函数f（x）的定义域（2）利用好定义f（x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x）．判断即可（3）利用单调性转化求解得出范围即可．【解答】解：函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．（1）∵﹣1＜x＜1∴函数f（x）的定义域（﹣1，1）（2）函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．∵f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x）．∴f（x）为奇函数（3）∵f（x）＞0，∴求解得出：0＜x＜1故x的取值范围：（0，1）21．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC 在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．（1）当t=4时，求s 的值；（2）将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）设直线l 交v 与t 的函数图象于D 点．由图象知，点A 的坐标为（10，30），故直线OA 的解析式为v=3t ，当t=4时，D 点坐标为（4，12），OT=4，TD=12，S=×4×12=24（km ）；（2）分类讨论：当0≤t ≤10时；当10＜t ≤20时；当20＜t ≤35时；（3）根据t 的值对应求S ，然后解答．【解答】解：设直线l 交v 与t 的函数图象于D 点，（1）由图象知，点A 的坐标为（10，30），故直线OA 的解析式为v=3t ，当t=4时，D 点坐标为（4，12），∴OT=4，TD=12，∴S=×4×12=24（km ）；（2）当0≤t ≤10时，此时OT=t ，TD=3t （如图1）∴S=•t •3t=当10＜t ≤20时，此时OT=t ，AD=ET=t ﹣10，TD=30（如图2）∴S=S △AOE +S 矩形ADTE =×10×30+30（t ﹣10）=30t ﹣150当20＜t ≤35时，∵B ，C 的坐标分别为（20，30），（35，0）∴直线BC 的解析式为v=﹣2t +70∴D 点坐标为（t ，﹣2t +70）∴TC=35﹣t ，TD=﹣2t +70（如图3）∴S=S 梯形OABC ﹣S △DCT =（10+35）×30﹣（35﹣t ）（﹣2t +70）=﹣（35﹣t ）2+675； （3）∵当t=20时，S=30×20﹣150=450（km ），当t=35时，S=﹣（35﹣35）2+675=675（km ），而450＜650＜675，∴N 城会受到侵袭，且侵袭时间t 应在20h 至35h 之间，由﹣（35﹣t ）2+675=650，解得t=30或t=40（不合题意，舍去）．∴在沙尘暴发生后30h 它将侵袭到N 城．22．已知二次函数f （x ）=ax 2+bx +c ，a ，b ，c 是常数且a ≠0，满足条件：f （0）=3，f （3）=6，且对任意的x ∈R 有f （1+x ）=f （1﹣x ）．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）问是否存在实数m ，n （m ＜n ），使f （x ）的定义域和值域分别是[m ，n ]，[2m ，2n ]？若存在，求出m ，n ；若不存在，说明理由．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）先求出函数的对称轴，得到关于a ，b ，c 的方程组，解出即可；（2）根据函数的单调性得到关于m ，n 的方程组，解出即可．【解答】解：（1）∵对任意的x ∈R 有f （1+x ）=f （1﹣x ），∴函数的对称轴是x=﹣=1①，又f （0）=3，f （3）=6，∴f （0）=c=3②，f （3）=9a +3b +c=6③，由①②③组成方程组解得：a=1，b=﹣2，c=3，∴f （x ）=x 2﹣2x +3；（2）f （x ）=x 2﹣2x +3=（x ﹣1）2+2，对称轴x=1，函数的最小值是2，由于函数f （x ）的定义域为[m ，n ]，值域为[2m ，2n ]，m ＜n ，．∴函数f （x ）在定义域为[m ，n ]上是增函数，∴f （m ）=2m ，f （n ）=2n ，即，解得：m=1，n=3，∴m=1，n=3．2016年10月2日。
北京大学附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(含解析)
图象的画法．依据阅读材料1 ，请写出 5 个不同类型的初等函数的解析式，并且注明其定义域． （1）__________；（ 2 ）__________；（ 3 ）__________；（ 4 ）__________；（ 5 ）__________．
【答案】（1 ） y = 2x +1 ， x R ；（ 2 ） y = x2 + x +1， x R ；（ 3 ） y = 2x ， x R ；（ 4 ） y = log2 x ， x (0,+) ；（ 5 ） y = x3 ， x R ．
【解析】一次函数为 y = ax + b(a 0) ，定义域是 R ；二次函数 y = ax2 + bx + c(a 0) ，定义域是 R ；
指数函数 y = ax （ a 0 且 a 1），定义域是 R ；对数函数 y = loga x ，定义域是 (0, +) ；
幂函数
y
=
xa
．常见的幂函数有
二、（共计 29 分，附加题 8 分）有关函数的图象以及函数图象的变换（教材 61 页探索与研究的拓展）． 已知函数： （1 ） f (x) = x2 ， f1(x) = (x +1)2 ， f2 (x) = (x −1)2 ， f3 (x) = x2 +1 ， f4 (x) = x2 −1 ． （ 2 ） g(x) = 2x ， g1(x) = 2x+1 ， g2 (x) = 2x+1 ， g2 (x) = 2x−1 ， g4 (x) = 2x −1 ． 依据上述条件，完成下列问题：
【解析】某种笔记本的单价是 5 元，买 x(x 1,2,3,4,5) 2 个笔记本需要 y 元，则 y = 5x ，x 1,2,3,4,5 ．
北京市海淀十一学校2017_2018学年高一数学上学期期中试题(含解析)
北京市海淀^一学校2017-2018学年高一数学上学期期中试题(含解析)一、填空题(本题共10题，每题2分，共20分)1 •设集合A={x|1 c x<；4}, B={X|X2_2X_3 < 0〉，则(g B) = ___________ . 【答案】Cx|3：：x【解析】•••集合B - :x | x2-2x -3 < 0； - \x| -1 < x < 3 ,e B -「x|x ：：：_1 或x 3,.又A - \x|1 ：：：x :：:4 /,AgB) =「x|3 :: x ：：：4?.2 •命题“R , x2> 0 ”的否定是____________ .【答案】x • R , x2：：： 0【解析】全称命题的否定是特称命题，故命题：“ -x・R , x2> 0 ”的否定是“ x R , x2：：：0”.3•满足条件{2,3}G A U{1,2,3,4}的集合A有________________ 个.【答案】3【解析】满足条件迈,3；二A u「1,2,3,4?的集合A有：迈,3? ,〈1,2,3? ,〈2,3,4?,故共有3个.4•函数的定义域为_______________________ .x【答案】〔-1,0 U(0,；)x 1 > 0【解析】要使函数有意义，则必须°,x式0解得x > -1且x =0 ,故函数的定义域是1-1,0 U(0, ；)•5.已知函数f(x)=x2-6x 8 , x・[1,a]，并且函数f (x)的最小值为f (a)，则a的取值范围是•【答案】1,3 1【解析】函数f(x)=x2-6x在(-：：,3)上单调递减，在(3,；)上单调递增，•••函数f(x)在x [1,a]时的最小值为f (a),••• 1 : a < 3,即a的取值范围是1,3 ].6•设A -〈x|0 w x w 2 , B =「y|1 < y < 2，能表示从集合A到集合B的函数关系的是【答案】D【解析】A项•当0 w x w 2时，0 w y w 2，故A项错误;B项.当0 w x w 2时，0 w y w 2，故B项错误；C项.当0 w x ：：2时，任取一个x值，有两个y值与之对应，故C项错误；D项•在0 w x w 2时，任取一个x值，在1 w y w 2时总有唯一确定的y值与之对应, 正确. 综上所述.故选D .2 17•函数f(x)=x —+1的零点有个.x【答案】12 1 2 1【解析】函数f(x)二X 1的零点个数等价于方程x 1 解的个数，x x1分别作出y二x 1和y=—的图象，x由图可知，两函数图象有且只有1个交点，1故函数f(x) =x 1的零点有且只有一个.x【答案】-15【解析】2log3 2 -log3 32 838 -51呗3= log3 4 —log3 32 Tog3 8 -5 5log5 34= log3 8-5 332= log31 -15= 〜15 .19.已知条件p:x w 1，条件q : — v1 y「P是q的___________x【答案】充分不必要条件【解析】由题意，—p:x 1 ,q : x ：： 0 或x 1，故一卩是q的充分不必要条件.x10.函数f(x)= ----------- (x》2)的最大值为____________ .x _1【答案】2x 1【解析】函数f(X)二丄V—,x -1 X —1•••函数f(x)在2；上单调递减，故当x > 2时，f(x)的最大值为f(2)=2 .二、填空题(本题共10题，每题3分，共30分)11•写出函数f (x) =—x2+2|x|的单调递增区间 _______________ 【答案】(-：：，-1)和(0,1)2[-X +2x, x > 0【解析】由题意，函数f(x)二-x 2|x| 2,「x —2x, XC0作出函数f(x)的图象如图所示：由图象知，函数f(x)的单调递增区间是(-：：,-1)和(0,1).212•若命题“孜乏R，使得x +(1-a)x+1c0 ”是假命题，则实数a的取值范围为__________________ . 【答案】[-1,3]【解析】若命题“x R，使得x2 (1 -a)x 1：： 0 ”是假命题，则对一x 三R，都有x2(1 -a)x • 1 > 0 ,•••二=(1 —a)2 -4 < 0 ,即a2 -2a -3< 0 ,解得-1 < a < 3,即实数a的取值范围为[—1,3].13•判断下列各组中的两个函数是同一函数的为______________ .(1) % 二坐5, y2=x—5 ； ( 2 ) y^.x—1 一x二1 , y^. (x 1)(x -1)；x(3) f (x) =x , g(x) ; ( 4 ) f (x) =#x4 _x3, F (x) =x*x -1 .【答案】(4 )x(x -5)的定义域是｛x|x H0｝，函数y2=x-5的定义域是R ,【解析】对于(1),函数% =x两个函数定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于(2 ),函数y =U x+1 Jx-1的定义域是｛x|x > 1，函数y2 = J(x +1)(x_1)的定义域是fx|x w -1或x > 1：，两个函数的定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于(3),函数f(x)=x , g(x)=F =|x|，两个函数的对应关系不相同，故这两个函数不是同一个函数；对于(4)，函数f(x)=Vx4-X3 =x &口，定义域为R，函数F(x)=x序二1定义域为R , 两个函数的定义域和对应关系都相同，故这两个函数是同一个函数.综上所述，各组中的两个函数表示同一个函数的是( 4 ).14.若函数f (x) =(x a)(bx 2a)(常数a , b，R )是偶函数，且它的值域为 -：：，4丨，则该函数的解析【答案】-,2式 f (x) = ___________________ .【答案】f(x)二_2x* 2 4【解析】T函数f(x) =(x a)(bx ・2a) =bx2(2a ab)x 2a2是偶函数，••• 2a ab =0，即a(b • 2) =0 ,--a = 0 或b = -2,又•••函数f(x)的值域为• 2 2…2a 4 , a 二 2 •故该函数的解析式f (x) - -2x2 4 •15.已知奇函数f (x)，当x < 0时，有f(x)=x2+x，则XA0时，函数f(x)= ______________________ 【答案】-x2 x【解析】•••当x < 0时，有f(x)=x2・x,•••当x 0 时，-x ：：：0,有 f (―X)=(—X)2(―x) =X2—X ,又•/ f(x)是奇函数，•••当x 0 时，f(X)= -f (-X)= -X x .16•已知偶函数f(x)在区间0,；上单调增加，则满足f(2x-1)・f -的x的取值范围是\3 470 3丿【解析】• f (x)是偶函数,•不等式f(2x”：f扌等价于口—2 又•/ f(x)在区间0,；上单调递增,• |2x—1|：：：-，解得3”x：：| ,3 3 34x 4x,x > 0 2一2，若f (2 —a ) >f (a)，则实数a的取值范围是4x - x ,x ：： 0【答案】(-2,1)x24x, x > 0f(x) 2的图象，如图所示,#x—x ,x £0故满足f…f- x的取值范围是乜3丿-,2.17.已知函数f (x)【解析】作出函数。