《导数与微分》课件
高中物理课件-高数第二章-导数与微分--课件
例2．已知 f x0 存在，求
lim f x0 ah f x0 bh
h0
h
3、导数的意义
函数 y f x在点x0 处的导数f x0
是因变量 y在点x0处的变化率,它反
映了 在点x0 处因变量随自变量的变
化而变化的快慢程度。
（二）导函数
1、定义：如果函数 y f x 在开区间
四、基本求导法则与导数公式
(一)常数和基本初等函数的导数公式
1. C 0
2. x x1
3. sin x cos x
4. cos x sin x
5. ta n x sec2 x 6. cot x csc2 x
7. sec x sec x tan x 8. csc x csc x cot x
则
k0
lim xx0
f
x f x0 就是曲线C
x x0
在 M0 x0, y0 点处切线的斜率。
二、导数的定义 (一)函数在一点处的导数
1、定义：设函数 y f x在点x0的某个
邻域内有定义,当自变量 x在x0 处取得
增量 x（点 x0
时 , 相应地函数
x 仍在该邻域内）
y 取得增量
chx shx
thx
1 ch2
x
arshx 1 archx 1
1 x2
x2 1
arthx
1
1 x2
例18．求
y cos x2 sin 1 arctan thx x
的导数。
例19．
y sin nxsinn xn为常数，求y
§2-3 高阶导数
（一）二阶导数
1、定义：把 y f x 的导数叫做函数
x xx0 x0
《高数四导数与微分》课件
以通过对弦的长度进行微分得到。
微分在近似计算中的应用
泰勒级数展开
微分可以用来将一个复杂的函数 展开成泰勒级数，从而可以用简 单的多项式来近似复杂的函数。 这在近似计算中非常有用。
误差估计
通过微分，可以估计函数值近似 值的误差大小。例如，在求函数 在某一点的近似值时，可以通过 微分来估计误差的大小。
常数函数的导数
对于常数函数y=c，其导 数为dy/dx=0。
幂函数的导数
对于函数y=x^n，其导数 为dy/dx=nx^(n-1)。
指数函数的导数
对于函数y=a^x，其导数 为dy/dx=a^x*ln(a)。
对数函数的导数
对于函数y=log_a(x)，其 导数为dy/dx=(1/x*ln(a)) 。
复合函数的导数
01 复合函数求导法则
对于复合函数y=f(g(x))，其导数为 dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
02 链式法则
对于复合函数y=f(g(x))，其导数为 dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
03 幂函数的链式法则
对于幂函数u=g(x)=x^n，其导数为 du/dx=nx^(n-1)。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率，即函 数图像上某一点处的切线与x轴正方向 的夹角的正切值。
详细描述
对于可导函数f(x)，其在任意点x处的 导数f'(x)表示函数图像上该点处的切 线斜率。具体来说，当函数在某点x处 可导时，该点的切线斜率即为f'(x)。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是描述物理量随时间变化的速率，如速度、加速度等。
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03
高数导数与微分 ppt课件
(sec) tan x sec x
(csc) cot x cscx
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9
• 对数函数 • 指数函数
( log a
x)
1 x
log
a
e
(ln x) 1 (a e时) x
(a x ) a x ln a
(ex ) ex
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10
导数的几何意义
• 函数 y = f(x)在点x0处的导数 f (x0) 表示曲 线 y = f(x)上点M（x0,f(x0)）的切线斜率 k,k = tan = f (x0 )
1处的连续性与可导性。
连续性 左极限=右极限=函数值
可导性 左导数=右导数
ppt课件
17
第二节函数的和、差、积、商求导法则
一、函数的和、差、积、商的导数
定理2-2 （导数的四则运算的法则） 若函数u = u(x),v
= v(x)都是 x 的可导函数，则
（1）u v也是x的可导函数，且（u v） u v
导，且( y) 0 ，那么它的反函数 y f (x) 在对
应的区间内可导，且有
dy dx
1 dx
,
或f
(
x)
1
( y)
dy
ppt课件
21
结论概括：反函数的导数等于它的原函数导 数的倒数 例2-21 求 y arcsinx 的导数 例2-22 求 y arctanx 的导数
ppt课件
22
基本初等函数的导数公式
lim y
x0 x
f (x0 x) f (x0 ) 存在，则称函数
x
y=
f(x)在点x0处可导，并称此极限为函数y =
f(x)在点x0处的导数，记做 f (x0) ，即
微积分课件(导数与微分2)资料
设函数 f ( x)在点x0可导,即
lim y x0 x
f ( x0 )
y x
f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim
x 0
y
lim [
x 0
f
(
x0
)x
x]
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1) x 11
1 x2
.
第一节 导数的概念
例3 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 3
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x h) sin 2
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4
所求切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
2
法线方程为
y 2 1 ( x 1), 42
即 2x 8 y 15 0.
第一节 导数的概念
四、函数可导性与连续性的关系
h0
2h
cos x
2
即 (sin x) cos x
(sin x) x cos x x
3
3
1 2
第一节 导数的概念
例4 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x
《微积分》(上下册) 教学课件 02.第2章 导数与微分 高等数学第一章第3-5节
1
记作
f
(
x),
y,
d2y dx2
或
d
2 f (x) dx2
.
二阶导数的导数称为三阶导数,记作
f ( x),
y,
d3y dx3 .
三阶导数的导数称为四阶导数, 记作
f (4)(x),
y(4) ,
d4y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f (n)(x),
10
一、微分的概念
实例 半径为 x的0 金属圆板受热后面积的改变量.
设半径由x0变到x0 x,
圆板的面积 A x02,
A (x0 x)2 x02
2x0 x (x)2.
(1)
(2)
(1) x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
11
再例如
设函数 y x3在点 x0处的改变量为x时, 求函数的 改变量 y.
§2.3 高阶导数
问题 变速直线运动的加速度.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)；
因为加速度a是速度v对时间t的变化率，所以
a(t) v(t) s(t).
定义 如果f (x)的导函数f (x)在点x处可导,即
( f (x)) lim f (x x) f (x)
x0
x
存在,则称( f (x))为f (x)在点x处的二阶导数.
dt dx
3a sin2 t cost 3a cos2 t(sint
)
tan t，
dt
d2y dx2
d (dy) dx dx
d ( tan t ) dx
《高等数学教案》课件
《高等数学教案》PPT课件第一章：导数与微分1.1 导数的概念引入导数的定义解释导数的几何意义举例说明导数的计算方法1.2 基本函数的导数计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数总结常用函数的导数公式1.3 微分的概念与应用引入微分的定义解释微分的几何意义举例说明微分的计算方法介绍微分在实际问题中的应用第二章：积分与微分方程2.1 积分的概念引入积分的定义解释积分的几何意义举例说明积分的计算方法2.2 基本函数的积分计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的积分总结常用函数的积分公式2.3 微分方程的概念与解法引入微分方程的定义解释微分方程的意义举例说明微分方程的解法介绍微分方程在实际问题中的应用第三章：级数与极限3.1 级数的概念引入级数的定义解释级数的收敛性与发散性举例说明级数的计算方法3.2 幂级数的概念与应用引入幂级数的定义解释幂级数的收敛区间与收敛半径举例说明幂级数的计算方法介绍幂级数在实际问题中的应用3.3 极限的概念与性质引入极限的定义解释极限的意义举例说明极限的计算方法介绍极限在实际问题中的应用第四章：向量与矩阵4.1 向量的概念与运算解释向量的几何意义举例说明向量的运算方法4.2 矩阵的概念与运算引入矩阵的定义解释矩阵的意义举例说明矩阵的运算方法4.3 向量空间与线性变换引入向量空间的概念解释线性变换的意义举例说明线性变换的性质介绍向量空间与线性变换在实际问题中的应用第五章：概率与统计5.1 概率的基本概念引入概率的定义解释概率的意义举例说明概率的计算方法5.2 随机变量的概念与分布引入随机变量的定义解释随机变量的意义举例说明随机变量的分布方法5.3 统计的基本概念与方法解释统计的意义举例说明统计的计算方法介绍统计在实际问题中的应用第六章：多变量微积分6.1 多元函数的概念引入多元函数的定义解释多元函数的意义举例说明多元函数的计算方法6.2 偏导数与全微分引入偏导数的定义解释偏导数的意义举例说明偏导数的计算方法介绍全微分的概念与应用6.3 多重积分的概念与应用引入多重积分的定义解释多重积分的意义举例说明多重积分的计算方法介绍多重积分在实际问题中的应用第七章：常微分方程7.1 常微分方程的概念引入常微分方程的定义解释常微分方程的意义举例说明常微分方程的解法7.2 线性微分方程与非线性微分方程引入线性微分方程与非线性微分方程的定义解释线性微分方程与非线性微分方程的区别与联系举例说明线性微分方程与非线性微分方程的解法7.3 常微分方程的应用介绍常微分方程在物理、工程等领域的应用举例说明常微分方程解决实际问题的方法第八章：数值计算方法8.1 数值计算方法的概念引入数值计算方法的定义解释数值计算方法的意义举例说明数值计算方法的计算过程8.2 数值积分与数值微分引入数值积分与数值微分的定义解释数值积分与数值微分的意义举例说明数值积分与数值微分的计算方法8.3 常微分方程的数值解法引入常微分方程的数值解法的定义解释常微分方程的数值解法的意义举例说明常微分方程的数值解法第九章：概率与统计（续）9.1 描述统计与推断统计引入描述统计与推断统计的定义解释描述统计与推断统计的意义举例说明描述统计与推断统计的方法9.2 假设检验与置信区间引入假设检验与置信区间的定义解释假设检验与置信区间的意义举例说明假设检验与置信区间的计算方法9.3 回归分析与相关分析引入回归分析与相关分析的定义解释回归分析与相关分析的意义举例说明回归分析与相关分析的方法第十章：高等数学在实际问题中的应用10.1 高等数学在物理学中的应用介绍高等数学在经典力学、电磁学等物理学领域中的应用举例说明高等数学解决物理学问题的方法10.2 高等数学在工程学中的应用介绍高等数学在土木工程、机械工程等工程领域中的应用举例说明高等数学解决工程学问题的方法10.3 高等数学在经济学、生物学等领域的应用介绍高等数学在经济学、生物学等领域中的应用举例说明高等数学解决经济学、生物学等领域问题的方法重点解析第一章：导数与微分重点：理解导数和微分的定义及其几何意义，掌握基本函数的导数和微分计算。
电子课件-《高等数学及应用(第3版)》-B10-3160 第二章 导数与微分
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2．1 导数的概念
节菜单
2.1 导数的概念 2.2 导数的运算法则 2.3 函数的微分及其应用
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2．1 导数的概念 例题解析
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2.1 导数的概念 2.2 导数的运算法则 2.3 函数的微分及其应用
2.2
3.了解函数微分的简单应用.
2.3
导数的概念 导数的运算法则 函数的微分及其应用
教学重点
1. 函数微分的概念. 2. 会求函数的微分.
教学难点 函数微分的概念及几何意义. 教学方法 讲练结合法
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同济七版NUAA高数课件 第二章 导数与微分 隐函数的导数 由参数方程所确定函数的导数
sin cos
t) t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解
dy dx
dt dx
sin t 1 cos t
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
1.
2
例4
求摆线
x y
a(t a(1
sin cos
t) t)
在t
2
处的切线
方程 .
当 t 时, x a( 1), y a.
2
2
所求切线方程为 y a x a( 1)
sec2 t 3a cos2 t sin t
sec4 t 3a sin t
例6
设y
y(x)是由求由方程
x arctan t 2 y ty2 et
5
所确定，求
dy dx
.
解
dx dt
1 1 t2
,
dy
dy dx
dt dx
(y2
et )(1 t 2 ) 2 2ty
dt
dt dx
dt
dt
若函数
x y
(t )二阶可导, (t )
d 2 y d dy
dx 2
() dx dx
d dt
(t ) (t )
dt dx
(t)(t) (t)(t) 1
2(t)
(t )
即
d2y dx 2
(t
)
(t) (t 3(t)
)
(t
)
.
例3
求摆线
x y
a(t a(1
2
2
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点. 22
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'
(0)
f ' (0)
f
'
(0)
lim
x0
f ( x) f (0)
x2 2x 3 3
lim
2
x0
x0
x0
f
'
(0)
lim
x0
ax b 3 x0
lim
x0
ax x
a
a
2
导数与微分
§2-2 导数的运算法则 一、导数的四则运算
导数与微分
第二章
导数与微分
导数与微分 §２-１导数的概念
导数与微分１
一、导数的定义 问题的提出
１、变速直线运动的速度 已知物体的运动方程S=S(t),求t时刻的瞬时 速度。
(t0
)
lim
t 0
S lim
t0 t
lim S(t0 t) S(t0 )
t 0
t
在x 0处，要求 lim f ( x) lim f ( x) f (0) 3
x0
x0
lim f ( x) lim ( x2 2x 3) 3
x0
x0
lim f ( x) lim (ax b) b f (0) 3
x0
x0
在x
0处可导，必须f
x
2!
y ' lim y nx n1 x0 x
即： (x n )' nxn1
导数与微分
对于n为任意实数时，上式也成立。
例7：正弦函数 y sin x 的导数
y sin(x x) sin x 2cos(x x) sin x
2
2
y
2 c os(x
x
解：A lim x 0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
f ' ( x0 )
导数与微分
求a,
b的值，使函数
x
2
2x
3 __
x
0
ax b ______ x 0
在(, )内连续、可导。
解：在(, 0)、(0, ), f ( x)为多项式，连续、可导。
f
' (x0 ) 0 0
逆命题不成立。
例：例3 p24 结论：连续是可导的必要条件，但不是充分条 件。即可导一定连续，连续不一定可导。
三、导数的基本公式 ：
导数与微分
例4：常数函数的导数 y C
设自变量增量 x ，恒有 y C C 0
则 y 0
x
因此 lim y lim 0 0 x0 x x0
y' C' 0
导数与微分
例5：幂函数 y x n （n为正整数）的导数
y (x x)n xn [xn nxn1x n(n 1) xn2 (x)2 L (x)n ] xn 2!
y nxn1 n(n 1) xn2 x (x)n1
x0 x x0
x
记为：y' xx0 f ' (x0 ) y' ( x0 )
dy dx xx0
变化率：函数在点 x0 的变化速度。
定义2：导函数的概念： 如果函数f(x) 在区间 (a,b) 内都可导，则区间 (a,b) 内每一点
x，都有一个导数值与之对应，就定义了一个新的函数，即函 数 f(x) 在区间 (a,b) 内对 x 的导函数derived function。
x)2 b] (ax02 x
b)
2ax0
f ( x) x , x x0
解：f
' ( x0 )
lim
x 0
x0 x x
x0 1 2 x0
设f ' ( x0 )存在，A表示什么。
lim f ( x0 x) f ( x0 ) A
x 0
log
a
(1
x
)
x x
x
y'
(loga
x)'
1 x
log
a
e
1 x ln a
特别地，当 a e 时，有
(ln x)' 1 x
导数与微分
例：用导数定义求导数。
f ( x) ax2 b(a, b是常数)，x x0
解：f
' ( x0 )
lim [a( x0
x 0
导数与微分
左导数和右导数
lim
x 0
f (x0 x) x
f (x0 )
f ' ( x0 )
lim
x 0
f (x0 x) f (x0 ) x
f ' ( x0 )
f’(x0) 存在的充分必要条件是左右导数存在 并相等。
导数与微分
几何意义：f ' (x0 ) 是曲线在点 (x0 , y0 ) 的切线斜率。
定理1 如果u 、v都是x的可导函数，则函数
y u v 也是x的可导函数，
y ' (u v)' u ' v '
可以推广到有限多个函数的代数和。
x)
sin
x 2
x
2 x
导数与微分
y' (sin x)' lim y cosx x0 x
(cos x)' sin x
例6：对数函数 y log a x(a 0, a 1) 的导数
y
log a
(1
x ) x
导数与微分
y x
1 x
二、可导与连续的关系
函数在点 x0
连续，指
lim y 0
x0
存在。
,可导是
lim
x0
y x
定理：如果y=f(x) 在点x0处可导，则它在点x0 处一定连续。
导数与微分
lim y
x0
lim y x lim y lim x
x0 x
x0 x x0
物理意义：各种物理量的变化率。如：速度、加 速度、电流、角加速度、感应电动势等。
求 求导方法：
y
（1）求出函数的增量
B
M T
y f (x0 x) f (x0 )
Mo A αφ
x0
△y dy △x X0+△x x
导数与微分
２、作出比值： y
x
y
３、求出 x 0 时 x 的极限。
导数与微分
２、 质量非均匀分布的细杆线密度 已知质量m=m(x),求某点的线密度。
( x0 )
பைடு நூலகம்
lim
x 0
lim
x0
m x
抽象为数学概念： 平均变化率：y 当 x 0 时的极限称为x0
处的导数。 x
导数与微分
导数 derivative 定义1 p24
lim y lim f (x0 x) f (x0 )