圆中的基本概念及定理(习题及答案)
初中圆的所有公式定理
初中圆的所有公式定理圆是初中数学中非常重要的一个概念，它是由平面上所有到定点距离相等的点组成的图形。
在初中数学中，我们学习了许多关于圆的公式和定理，下面就让我们来一一了解。
一、圆的基本概念圆是由平面上所有到定点距离相等的点组成的图形。
其中，定点叫做圆心，到圆心距离相等的点叫做圆上的点，距离叫做半径。
二、圆的周长和面积公式1. 周长公式：C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径，π≈3.14。
2. 面积公式：S=πr²，其中S表示圆的面积，r表示圆的半径，π≈3.14。
三、圆的弧长和扇形面积公式1. 弧长公式：L=α/360°×2πr，其中L表示圆的弧长，α表示圆心角的度数，r表示圆的半径，π≈3.14。
2. 扇形面积公式：S=α/360°×πr²，其中S表示扇形的面积，α表示圆心角的度数，r表示圆的半径，π≈3.14。
四、圆的切线和切点定理1. 切线定理：如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线垂直。
2. 切点定理：如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直。
五、圆的切线长度定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直，且切线长度等于圆心到直线的距离。
六、圆的切线角定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线夹角等于圆心角的一半。
七、圆的切线定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直。
八、圆的切线长度定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直，且切线长度等于圆心到直线的距离。
九、圆的切线角定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线夹角等于圆心角的一半。
十、圆的切线定理如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直。
以上就是初中圆的所有公式定理，它们是我们学习圆的基础，掌握好这些公式和定理，对于我们后续的学习和应用都有很大的帮助。
2020年中考数学一轮复习基础考点及题型专题23 圆(解析版)
专题23 圆考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一与圆有关的概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．⏜，读作弧AB．在同圆或等弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 弦心距、半径、弦长的关系：（考点）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 三角形的外接圆1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 2）三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.圆内接四边形概念：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。
小学圆的练习题及答案
小学圆的练习题及答案小学圆的练习题及答案小学生学习数学时，圆是一个重要的几何概念。
掌握圆的性质和计算方法对于学生的数学学习至关重要。
本文将为大家提供一些小学圆的练习题及答案，帮助学生们巩固对圆的理解和应用。
一、圆的基本概念1. 圆的定义是什么？答案：圆是由平面上距离一个固定点（圆心）相等的所有点组成的集合。
2. 圆由哪些要素构成？答案：圆由圆心、半径和圆周组成。
3. 如何计算圆的周长？答案：圆的周长等于直径乘以π（圆周率）。
公式为：周长= 2πr （其中r为半径）。
二、圆的性质1. 圆的直径和半径有什么关系？答案：直径是通过圆心的一条线段，它的两个端点同时也是圆的边界上的点。
半径是从圆心到圆上的任意一点的线段。
直径是半径的两倍。
2. 圆的直径和周长有什么关系？答案：圆的周长等于直径乘以π（圆周率）。
公式为：周长= πd （其中d为直径）。
3. 如何计算圆的面积？答案：圆的面积等于半径的平方乘以π（圆周率）。
公式为：面积= πr² （其中r为半径）。
三、圆的计算题1. 已知一个圆的半径为5cm，求其周长和面积。
答案：周长= 2πr = 2π × 5 = 10π ≈ 31.42cm；面积= πr² = π × 5² ≈78.54cm²。
2. 已知一个圆的直径为12cm，求其周长和面积。
答案：周长= πd = π × 12 ≈ 37.68cm；面积= πr² = π × (12/2)² = 36π ≈ 113.04cm²。
3. 已知一个圆的周长为18π cm，求其半径和面积。
答案：周长= 2πr，所以18π = 2πr，解得r = 9cm；面积= πr² = π × 9² = 81π ≈ 254.34cm²。
四、应用题1. 一个圆的直径是20cm，求其周长和面积。
2020-2021沪科版九年级数学24.2圆的基本性质-知识点+习题同步练习提升 (1)
圆的基本性质记忆导图 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧对称、旋转对称对称性：轴对称、中心角形顶点的距离相等定理：三角形外心到三、圆的内接三角形三角形的外接圆、外心圆的作法圆的确定几者之间的关系圆心角的概念距间的关系圆心角、弧、弦、弦心弦心距垂径定理的推论垂径定理垂径分弦点在圆外点在圆内点在圆上点与圆的位置关系半圆、等圆弓形特殊弦：直径普通弦：小于直径的弦弦等弧优弧劣弧或弧圆弧圆、圆心、半径圆的相关概念圆的基本性质 考点1 圆的相关概念1、圆的定义（1）线段OA 绕着它的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的封闭曲线，叫做圆。
（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
（3）固定的端点O 叫做圆心。
（4）线段OA 的长为r 叫做半径。
2、圆弧（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
（2）大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个字母表示。
（3）小于半圆的弧叫做劣弧。
（4）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
3、弦（1）连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（2）经过圆心的弦叫做直径。
4、弓形由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
5、半圆、等圆（1）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（2）能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。
考点2 点与圆的位置关系平面上一点P 与⊙O （半径为r ）的位置关系有以下三种情况：（1）点P在⊙O上⇔OP=r；（2）点P在⊙O内⇔OP<r；（3）点P在⊙O外⇔OP>r。
考点3垂径分弦1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
2、推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
②弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。
③平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦。
④平行弦夹的弧相等。
241圆中的基本概念及定理(练习题)
24.1圆中的基本概念及定理（练习题）1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是（ ）A ．CM =DMB ．CB⌒=BD ⌒ C ．∠ACD =∠ADC D ．OM =MD2. 如图，⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC，若AB =，则⊙O 的半径为（ ）AB．C．2D3. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为__________mm ．，桥拱高CD =4m ，则拱桥的直径为__________．第1题图 第2题图第3题图 第4题图 5. 如图，⊙O的两条弦AB ，CD 互相垂直，垂足为E ，且AB =CD ，已知CE =1，ED =3，则⊙O 的半径是__________．6. 在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，油面宽AB 为6分米．如果再注入一些油后，油面AB 上升1分米，油面宽变为8分米，则圆柱形油槽的直径MN 为（ ） A ．6分米B ．8分米C ．10分米D ．12分米7. 已知：O ⊙的半径为13cm ，弦∥，=AB CD AB 24cm ，=CD 10cm ，则，AB CD 之间的距离为（ ） A ．17cm B ．7cm 或12cm C ．12cm D ．17cm 或7cm 8. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB =40°，则∠A 的度数为（ ）A ．60°B ．50°C ．40°D ．30° 9. 如图，∠AOB =100°，点C 在⊙O 上，且点C 不与A ，B 重合，则∠ACB 的度数为（ ）A ．50°B ．80°或50°C ．130°D ．50°或130°第5题图 第6题图 第8题图 第9题图10. 如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB ，垂足为E ，连接OB ，CB ．已知⊙O 的半径为2，AB =BCD =________．11. 如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若∠BAD =50°，则∠ACD =________．12. 一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角∠ACB =45°，则这个人工湖的直径AD 为（ ）A BC D R MOCBA BOAA．B．C．D．13.如图，点D为边AC上一点，点O为边AB上一点，AD=DO．以O为圆心，OD长为半径作半圆，交AC于另一点E，交AB于F，G两点，连接EF．若∠BAC=22°，则∠EFG=__________．第10题图第11题图第12题图第13题图14.如图，已知四边形A B C D内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD的度数为__________．15.如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M16.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块第14题图第15题图第16题图第17题图17.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB⌒），点O是这段弧的圆心，C是AB⌒上一点，OC⊥AB，垂足为D，若AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是___________m．18.如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，若∠B=40°，则∠ACD=____________．19.如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5，BE=1，CD=则∠AED=___________．20．如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D．弧AB等于弧AF，BF和AD相交于E．证明：AE=BE．A BAADBOECADE COECODBABDCOA。
第08讲 圆的基本概念
第8讲 圆的基本概念圆是第一个最简单、最完美的图形.——普罗克洛斯（希腊数学家）知识方法扫描圆的基本概念包括圆的定义；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；垂径定理；与圆有关的角(圆心角、圆周角、弦切角、圆内角、圆外角、圆内接四边形的对角）及其之间的关系；弧的度数与其所对的圆心角、圆周角的关系等。
根据圆的对称性质，常作出垂直于弦的直径作为辅助线；当出现了直径时，常作出直径所对的圆周角——直角。
经典例题解析例 1 (1992年太原市初中数学竞赛试题)已知点B 在线段AC 上。
分别以AB,BC,AC 为直径作⊙O 1,⊙O 2,⊙O 。
过点B 作直线交⊙O 于P,Q,交⊙O 1和⊙O 2于R,S 。
求证:PR=QS 。
证明 连结AR,CS. 作OM ⊥PQ 于M PM=QM.. 因 AB ，BC 分别是⊙O 1,⊙O 2的直径，故AR ⊥PQ ，CS ⊥PQ 。
于是AR ∥CS ∥OM 。
而AO=OC ，由平行线等分线段定理，RM=SM 。
所以 PM-RM=QM-SM ， 即PR=QS 。
例2 (1997年陕西省初中数学竞赛试题)已知⊙O 的半径为R, C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点,弧AC 的度数为96°,弧BD 的度数36°, 动点P 在AB 上, 求PC ＋PD 的最小值.解 设D ′是D 点关于直径AB 的对称点,连接CD 交AB 于P.由圆的对称性可知,点D ′在圆上,∴PD ′＝PD,于是PD ′＋PC ＝PD ＋PC.因两点间的连线中, 线段最短, 所以, 此时点P, 使PC ＋PD 最小,且最小值为PC ＋PD ′, 即线段CD ′的长。
连接CO, D ′O,作OM ⊥CD ′于M.∵弧AC 的度数为96°,弧BD 的度数36°，∴弧CD 的度数为180°―96°―36°＝48°, 弧CD ’的度数为48°＋36°×2＝120°, ∴∠COD′＝120°,∠COM ＝21∠COD′＝60°.在Rt △COM 中, CO ＝R, ∴CM ＝CO ·sin60°＝23R ， ∴CD ′＝2CM ＝3R, ∴PC ＋PD 的最小值为3R. 例3．（2006年“信利杯”全国初中数学竞赛广西赛区初赛试题）如图A 、B 、P 、C 是⊙O 上的四个点，∠APC=∠CPB=600，判断△ABC 的形状，并证明你的结论。
圆的基本概念与相关定理
圆的基本概念与相关定理圆是数学中非常重要的几何图形之一，它具有独特的形状和性质。
在本文中，我们将介绍圆的基本概念以及与之相关的定理。
通过深入理解圆，我们能够更好地应用它们解决实际问题，并在数学学习中掌握圆的性质。
一、圆的基本概念圆是由平面上与一个确定点的距离恒定的所有点组成的集合。
这个确定点被称为圆心，与圆心距离相等的点构成的线段被称为半径，圆内部的区域被称为圆的内部，圆外部的区域被称为圆的外部。
基于这些概念，我们可以得出以下结论：1. 圆的半径相等的两个圆是相等的。
2. 圆的直径是通过圆心，并且等于两个半径的和。
3. 圆的弧是连接圆上两个点的一段弧线。
4. 圆的圆周角是以圆心为顶点的角，其对应的弧长与半径之比等于360°与2π的比值。
二、圆的相关定理圆的特性使其具有许多重要的定理，下面我们将介绍其中一些常见的定理：1. 圆心角定理在圆的圆周上，相交弦对应的圆心角相等。
2. 弧长定理相等的圆心角所对应的弧长相等。
3. 切线定理如果一条直线与一个圆相切，那么与切点相连的半径垂直于切线。
4. 弦切角定理圆内一条弦上的切线和这条弦所对应的角相等。
5. 直径角定理直径所对的圆心角是直角。
6. 弧的交角定理相交弦所对应的弧的交角等于这两个弧所对应的圆心角的一半。
通过学习和应用这些定理，我们可以解决各种与圆相关的问题，比如计算弦长、弧长、角度等。
总结：通过本文，我们了解了圆的基本概念和一些相关的定理。
深入理解圆的性质和定理，不仅可以帮助我们解决数学问题，还可以在解决实际问题时提供有效的思路。
因此，在学习数学时，我们应该注重圆的概念和定理的理解，并善于运用它们。
通过对圆的学习，我们不仅能够提高数学水平，还能够培养我们的逻辑思维能力和问题解决能力。
圆作为数学中的重要概念之一，在几何学、物理学等领域都具有重要的应用价值。
希望大家能在学习中对圆有更深入的认识，进一步掌握和应用圆的性质与定理。
这将有助于我们在数学学习中取得更好的成绩和提高思维能力。
九年级秋季班-第9讲：圆的基本性质-教师版
圆的基本性质是初中数学九年级下学期第一章第一节的内容．需要掌握点与圆的位置关系，理解圆心角、弧、弦、弦心距的概念和掌握它们之间的关系，重点是这四者关系的灵活运用，以及垂径定理及其推论的应用．1、圆的概念圆：平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形．圆心：以上概念中的“定点”；以点O为圆心的圆称为“圆O”，记作O．半径：联结圆心和圆上任意一点的线段；以上概念中的“定长”是圆的半径长．2、点与圆的位置关系设一个圆的半径长为R，点P到圆心的距离为d，则有以下结论：当点P在圆外时，d > R；当点P在圆上时，d = R；当点P在圆内时，0d R≤<．反之亦然．3、相关定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．三角形的三个顶点确定一个圆．经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形．圆的基本性质内容分析知识结构模块一：圆的确定知识精讲ABCD O【例1】 在平面直角坐标系内，A （3-，tan30-︒），B （2a a，0），A 的半径为4，试说明点B 与A 的位置关系．【难度】★ 【答案】点B 在A 外．【解析】由题意得33A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，，()10B ，，所以()22373313AB ⎛⎫=--+-= ⎪ ⎪⎝⎭， 因为4AB >，所以点B 在A 外．【总结】本题考察了点与圆的位置关系，设一个圆的半径长为R ，点P 到圆心的距离为 d ，则有以下结论：当点P 在圆外时，d > R ；当点P 在圆上时，d = R ；当点P 在 圆内时，0d R ≤<．反之亦然．【例2】 过一个点可以画______个圆，过两个点可以画______个圆，过三个点可以画______个圆．【难度】★【答案】无数；无数；一或零．【解析】不共线的三点才可以确定一个圆．【总结】本题考察了圆的确定，不共线的三点可以确定一个圆．【例3】 已知，如图，在O 中，AB 、BC 为弦，OC 交AB 于点D ．求证：（1）ODB OBD ∠>∠；（2）ODB OBC ∠>∠．【难度】★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵OA OB =，∴OAB OBA ∠=∠，∵ODB OAB AOD ∠=∠+∠，∴ODB OBA AOD ∠=∠+∠，∴ODB OBD ∠>∠．（2）∵OC OB =，∴OBC OCB ∠=∠，∵ODB OCB DBC ∠=∠+∠，∴ODB OBC DBC ∠=∠+∠，∴ODB OBC ∠>∠．【总结】本题考查了圆的性质，利用外角是解决问题的关键．例题解析【例4】 如图，O 的半径为15，O 到直线l 的距离OH = 9，A 、B 、C 为直线l 上的三个点，AH = 9，BH = 12，CH = 15，请分别说明点A 、B 、C 与O 的位置关系．【难度】★★【答案】A 在O 内；B 在O 上；C 在O 外． 【解析】连接OP ，∵15OP =，9OH =，∴2212PH OP OH =-=，∵9AH HP =<，∴A 在O 内； ∵12BH HP ==，∴B 在O 上； ∵12CH HP =<，∴C 在O 外．【总结】本题考查了点与圆的位置关系．【例5】 若A （a ，27-）在以点B （35-，27-）为圆心，37为半径的圆上，求a 的值．【难度】★★ 【答案】2或72-．【解析】∵A 点在B 上，∴37BA =，即()()2235272737a ++-+=，解得12a =，272a =-．【总结】本题考查了点与圆的位置关系，注意此题有两种解．【例6】 如图，作出AB 所在圆的圆心，并补全整个圆． 【难度】★★ 【答案】如图所示．【解析】在AB 上任意作两条弦，分别做两条弦的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心．【总结】本题考查了不共线三点定圆的作法．HOlP【例7】 如图，CD 是半圆的直径，O 是圆心，E 是半圆上一点，且45EOD ∠=︒，A 是DC 延长线上一点，AE 与半圆交于B ，若AB = OC ，求EAD ∠的度数．【难度】★★★ 【答案】15EAD ∠=︒．【解析】∵AB OC =，OC OB =，∴AB OB =，∴EAD BOA ∠=∠， ∴2OBE BOA EAD EAD ∠=∠+∠=∠，∵OB OE =，∴E OBE ∠=∠，∴2OEB EAD ∠=∠， ∵345EOD OEA EAD EAD ∠=∠+∠=∠=︒， ∴15EAD ∠=︒．【总结】本题考查了同一个圆中半径处处相等及三角形外角的应用．【例8】 已知，如图，AB 是O 的直径，半径OC AB ⊥，过OC 的中点D 作EF // AB ．求证：12ABE CBE ∠=∠．【难度】★★★ 【答案】详见解析． 【解析】连接OE ，∵OC AB ⊥，EF //AB ， ∴OC EF ⊥，OBE DEB ∠=∠，∵OB OE =，∴OBE OEB ∠=∠，∴OBE OEB DEB ∠=∠=∠，∵D 为OC 的中点，∴1122OD OC OE ==，∴30OED ∠=︒，∴1152ABE OED ∠=∠=︒，∴451530CBE CBO ABE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴12ABE CBE ∠=∠．【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形性质的综合运用．AB CDEOABC D E F O【例9】已知：AB是O的直径，点P是OA上任意一点，点C是O上任意一点．≤≤．求证：PA PC PB【难度】★★★【答案】详见解析．==，【解析】当P与O重合时，可得PA PC PB当P与O不重合时，连接OC，则OA = OC = OB，=-=-<，∴PA OA OP OC OP PC=+=+>，PB OP OB OP OC PC≤≤．综上可知PA PC PB【总结】本题考查了圆中半径处处相等，并利用三角形的三边关系解决问题．A BCO1、 圆心角、弧、弦、弦心距的概念圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角； 弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径； 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距． 2、 半圆、优弧、劣弧半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 优弧：大于半圆的弧叫做优弧． 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．如图，以A 、C 为端点的劣弧记作AC ，读作“弧AC ”； 以A 、C 为端点的优弧记作ABC ，读作“弧ABC ”． 3、 等弧和等圆能够重合的两条弧称为等弧，或者说这两条弧相等．若AB 与''A B 是等弧，记作''AB A B ．半径相等的两个圆一定能够重合，我们把半径相等的两个圆称为等圆． 4、 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．5、 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等．模块二：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系知识精讲ABCO【例10】 下列命题中真命题的个数是（ ）① 相等的圆心角所对的弧也相等；② 在同圆中，如果两条弦相等，那么所对的弧也相等； ③ A 、B 是O 上任意两点，则AO + BO 等于O 的直径长； ④ 三角形的外心到三角形三边的距离相等． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★ 【答案】A ．【解析】① 需说明是在同圆或等圆中，故①错误；② 一条弦对两条弧，所以需要说明是优弧还是劣弧，故②错误； ③ 易知AO 、BO 均为圆的半径，所以AO BO +为直径，故③正确； ④ 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故④错误．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．【例11】 一条弦把圆分成1 : 3两部分，则弦所对的圆心角为______°． 【难度】★ 【答案】90．【解析】∵一条弦把圆分成1 : 3两部分，∴整个圆分为四等分，则劣弧的度数为360490︒÷=︒， ∴弦所对的圆心角为90︒．【总结】本题考查了同圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．【例12】 如图，在O 中，AB AC =，70B ∠=︒，则BAC ∠=______． 【难度】★ 【答案】40︒．【解析】∵在O 中，AB AC =，∴C B ∠=∠，∵70B ∠=︒，∴18040BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．【总结】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的应用．例题解析ABCDO【例13】 如图，已知O 的半径是6，30BOD ∠=︒，BD BC =，CD =______．【难度】★★ 【答案】6．【解析】∵BD BC =，30BOD ∠=︒，∴30BOD BOC ∠=∠=︒，∴60COD ∠=︒，∵OC OD =，∴OCD ∆是等边三角形， ∴6CD =．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的应用．【例14】 如图，1O 和2O 是等圆，P 是12O O 的中点，过点P 作直线AD 交1O 于点A 、B ，交2O 于点C 、D ．求证：AB = CD ．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】作1O E AB ⊥于E ，2O F CD ⊥于F ，∵P 是12O O 的中点，∴1PEO ∆≌2PFO ∆，∴12O E O F =， ∵1O 和2O 是等圆，∴AB CD =．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的应用．【例15】 已知，如图，AB 、CD 是O 的直径，弦AE // CD ，联结CE 、BC ．求证：BC = CE ． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】∵OA OE =，∴A OEA ∠=∠，∵AE //CD ，∴BOC A ∠=∠，EOC OEA ∠=∠， ∴BOC EOC ∠=∠，∴BC CE =．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的应用．FABCDPEA BCDEOOABC【例16】 如图，O 是ABC ∆的外接圆，AO 平分BAC ∠，AOB BOC ∠=∠，判断ABC∆的形状，并说明理由．【难度】★★ 【答案】等边三角形．【解析】∵AO 平分BAC ∠，∴BAO CAO ∠=∠，∵OA OC OB ==，∴ABO BAO CAO ACO ∠=∠=∠=∠， ∴AOB AOC ∠=∠，∵AOB BOC ∠=∠，∴AOB AOC BOC ∠=∠=∠， ∴AB BC CA ==，∴ABC ∆是等边三角形．【总结】本题考查同圆中相等的圆心角所对的弦相等．【例17】 已知，如图，AB 是O 直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM AB ⊥，DN AB ⊥．求证：AC BD =．【难度】★★★ 【答案】详见解析．【解析】连接OC 、OD ，则OC OD =，∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点，∴OM ON =， ∵CM AB ⊥，DN AB ⊥，∴OCM ∆≌ODN ∆， ∴COM DON ∠=∠，∴AC BD =．【总结】本题考查了同圆中相等的圆心角所对的弧相等．【例18】 如图，以点O 为圆心的圆弧上依次有四个点A 、B 、C 、D ，且AOB COD ∠=∠．求证：四边形ABCD 是等腰梯形．【难度】★★★ 【答案】详见解析． 【解析】连接AC 、BD ，∵AOB COD ∠=∠，∴AB CD =，∵12ACB AOB ∠=∠，12CAD COD ∠=∠，∴ACB CAD ∠=∠，∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是等腰梯形．【总结】本题综合性较强，主要考查了同一条弦所对的圆周角和圆心角的关系，老师可以选择性的讲解．ABCDO NM OABCD1、 垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧． 2、 相关结论（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧．（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦． （3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧．（4）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦．（5）如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦．总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立．【例19】 O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长为______． 【难度】★ 【答案】8．【解析】∵O 的直径为10，∴5OB =，∵OM AB ⊥，∴OM 平分AB ， ∴224BM OB OM =-=，∴28AB BM ==． 【总结】本题考查了垂径定理的运用．模块三：垂径定理知识精讲例题解析ABCDE F O【例20】 在半径为2的O 中，弦AB 的长为22，则弦AB 所对的圆心角AOB ∠=____°． 【难度】★ 【答案】90．【解析】作OD AB ⊥于D ，则2AD BD ==，∵2OB =，∴222OD OB BD =-=，∴45BOD ∠=︒，∴90AOB ∠=︒．【总结】本题考查了垂径定理的运用．【例21】 如图，O 是ABC ∆的外接圆，圆心O 在这个三角形的高CD 上，点E 和点F分别是边AC 和BC 的中点． 求证：四边形CEDF 是菱形．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】∵CD AB ⊥，且CD 过圆心，∴AD BD =，∴CA CB =，∵点E 和点F 分别是边AC 和BC 的中点，∴12CE AC =，12DE AC =，12CF BC =，12DF BC =，∴CE DE DF CF ===，∴四边形CEDF 是菱形．【总结】本题考查了垂径定理的运用即菱形的判定．【例22】 如图，一根横截面为圆形的输水管道，阴影部分为有水部分，此时水面宽AB为0.6米，污水深CD 为0.1米，求圆形的下水管道的直径．【难度】★★ 【答案】1米．【解析】连接OB ，设圆半径为R ，则0.1OD R =-， 10.32BD AB ==，由222OD BD OB +=得()2220.10.3R R -+=，解得0.5R =， 所以下水管道的直径为1米．【总结】本题考查了垂径定理以及勾股定理的综合运用．A BD O【例23】 如图，在O 中，弦CD 、EF 的延长线相交于点P ，G 、H 分别是CD 、EF 的中点，GH 与PC 、PE 分别相交于Q 、R 两点，试判断PQR ∆的形状，并证明所得到的结论．【难度】★★ 【答案】等腰三角形． 【解析】连接OG 、OH ，∵G 、H 分别是CD 、EF 的中点， ∴OG CD ⊥，OH EF ⊥，∵OH OG =，∴H G ∠=∠，∴GQC HRE ∠=∠，∴PQR PRQ ∠=∠， ∴PQR ∆是等腰三角形．【总结】本题考查了垂径定理的运用．【例24】 如图，P 是O 的弦AB 的中点，PC OA ⊥，垂足为C ，求证：PA PB AC AO =． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】连接OP ，∵P 是O 的弦AB 的中点，∴OP AB ⊥，∵PC OA ⊥，∴ACP ∆∽APO ∆，∴PA AOAC PA =，∵PA PB =， ∴PA AOAC PB=，即PA PB AC AO =． 【总结】本题考查了垂径定与相似三角形的综合运用．CDEFG O PQROP ABCABCDH O【例25】 位于本市浦东临港新城的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小智和小方沿湖边选取A 、B 、C 三根木柱，使得A 、B 之间的距离与A 、C 之间的距离相等，并测得BC 长240米，A 到BC 的距离为5米，如图所示．请你帮他们求出滴水湖的半径．【难度】★★ 【答案】1442.5米．【解析】连接OA 交BC 于D 点，连接OC ，∵A 、B 之间的距离与A 、C 之间的距离相等， ∴OA BC ⊥，BD DC =，设半径为R ，则5OD R =-，120DC =，由222OD DC OC +=，∴()2225120R R -+=，解得：1442.5R =， 所以滴水湖的半径为1442．5米．【总结】本题考查了垂径定理的运用．【例26】 如图，弦CD 垂直于O 的直径AB ，垂足为H ，且22CD =，3BD =，则AB 的长为_______．【难度】★★ 【答案】3．【解析】由题意得2DH =，221BH DB DH =-=，设半径为R ，则1OH R =-，由222OD OH HD =+，∴()()22212R R =-+，解得32R =，∴23AB R ==．【总结】本题考查了垂径定理的运用．BCOD【例27】 已知O 的半径4r =，AB 、CD 为O 的两条弦，AB 、CD 的长分别是方程()24341630x x -++=的两根，其中AB > CD ，且AB // CD ，求AB 与CD 间的距离．【难度】★★★【答案】232+或232-．【解析】∵()24341630x x -++=，解得：143x =，24x =．∵AB >CD ，∴43AB =，4CD =，当AB 、CD 圆心同侧时，作OE AB ⊥于E ，并延长交CD 于F ，∵AB // CD ，∴OF ⊥CD ，∴222OE OB BE =-=，2223OF OD DF =-=， ∴232EF OF OE =-=-，当AB 、CD 圆心两侧时，同理可得232EF OF OE =+=+， ∴AB 与CD 间的距离是232+或232-．【总结】本题考查了垂径定理的运用，做题的关键是要分情况讨论．【例28】 已知，如图，1O 与2O 交于A 、B ，过A 的直线分别交1O 与2O 于M 、N ，C 是MN 的中点，P 是12O O 的中点． 求证：PA PC =．【难度】★★★ 【答案】详见解析．【解析】作1O E AM ⊥，2O F AN ⊥，作PH MN ⊥于H ，则12////O E PH O F ，且E 、F 分别为AM 、AN 的中点，∴12AE AF EF MN +==，∵C 是MN 的中点，∴12NC MN =，∴EF NC =，∴EC FN AF ==，∵P 是12O O 的中点，∴EH FH =， ∴HC HA =，∴PA PC =．【总结】本题考查了垂径定理的运用．ABCP N ME FH【例29】 如图，已知四边形ABCD 外接圆O 的半径为2，对角线AC 与BD 的交点为E ，AE = EC ，2AB AE =，且23BD =，求四边形ABCD 的面积．【难度】★★★ 【答案】23．【解析】∵AE EC =，2AB AE =，∴222AB AE AE AC ==⋅，∴AB AE AC AB=，又EAB BAC ∠=∠，∴ABE ∆∽ACB ∆， ∴ABE ACB ∠=∠，∵ADB ACB ∠=∠，∴ABE ADB ∠=∠，∴AB AD =， 连接AO 交BD 于H ，连接BO ，∵AB AD =，∴AO BD ⊥，∴3BH DH ==， ∵2OB =，∴1OH =，∴1AH =，∴132ABD S BD AH ∆=⋅⋅=，∵E 为AC 中点，∴ABE CBE S S ∆∆=，ADE CDE S S ∆∆=，即ABD CBD S S ∆∆=， ∴223ABD ABCD S S ∆==四边形， ∴四边形ABCD 的面积是23．【总结】本题考查了垂径定理的运用及图形的分割，综合性较强，解题时注意认真观察．A BC DE OH【例30】 如图，在半径为2的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），OD BC ⊥，OE AC ⊥，垂足分别为D 、E ．（1）在DOE ∆中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由．（2）设BD = x ，DOE ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．【难度】★★★【答案】（1）DE 长度不变，2DE =；（2）()2244024x x x y x -+-=<<．【解析】（1）连接AB ，∴2222AB OA OB =+=，∵OD BC ⊥，OE AC ⊥， ∴D 、E 分别为BC 、AC 中点，∴122DE AB ==．（2）作DF OE ⊥于F ，由（1）易得1452DOE AOB ∠=∠=︒，由题意得24OD x =-，∴28222ODx DF OF -===，2222EF DE EF x =-=， ∴28222x xOE OF EF -+=+=，∴()221440224x x x y DF OE x -+-=⋅⋅=<<．【总结】本题考查了垂径定理、勾股定理及中位线定理的综合运用，综合性较强．OABCDEFABCDEO【习题1】已知O 半径为5，若点P 不在O 上，则线段OP 的取值范围为_______________．【难度】★【答案】05OP ≤<或5OP >．【解析】∵点P 不在O 上，∴当点P 在O 内时，05OP ≤<；当点P 在O 外时， 5OP >，综上可知05OP ≤<或5OP >． 【总结】本题考查了点与圆的位置关系．【习题2】 如图，AB 是直径，BC CD DE ==，40BOC ∠=︒，则AOE ∠=_____．【难度】★ 【答案】60︒．【解析】∵BC CD DE ==，∴BOC COD DOE ∠=∠=∠， ∵40BOC ∠=︒，∴180360AOE BOC ∠=︒-∠=︒． 【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．【习题3】如图，为方便三个村庄居民子女的上学问题，上级镇政府决定在A 、B 、C 三个村庄旁边造一所学校，要求它到各村庄的距离相等，请你在图中画出学校的位置．（保留作图痕迹）【难度】★ 【答案】如图所示．【解析】作线段AB 、AC 的中垂线的交点P 即为学校位置． 【总结】本题考查了不共线的三点可以确定一个圆．随堂检测A BC D EFOAB CD E O【习题4】如图，AB CD =，OE AB ⊥，OF CD ⊥，25OEF ∠=︒，求EOF ∠的度数．【难度】★★【答案】130︒．【解析】∵AB CD =，OE AB ⊥，OF CD ⊥，∴OE OF =，∴OEF OFE ∠=∠，∵25OEF ∠=︒， ∴1801802130EOF OEF OFE OEF ∠=︒-∠-∠=︒-∠=︒．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．【习题5】如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，60A ∠=︒，以点B 为圆心，AB 为半径画圆，交AC 于点D ，交BC 于点E ．求证：（1）2AD DE =；（2）D 是AC 的中点．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）连接BD ，∵BA BD =，60A ∠=︒，∴ABD ∆是等边三角形，∴60ABD ∠=︒，∵90B ∠=︒，∴30DBC ∠=︒，∴2ABD DBC ∠=∠， ∴2AD DE =；（2）由（1）得60ADB ∠=︒，DB DA =，∵ADB DBC C ∠=∠+∠，∴30C ∠=︒，∴DB DC =，∴DA DC =， ∴D 是AC 的中点．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．【习题6】如图，AB 为O 直径，E 为BC 的中点，OE 交BC 于点D ，BD = 3，AB =10，则AC =______．【难度】★★ 【答案】8．【解析】∵AB 为O 直径，E 为BC 的中点，∴OD BC ⊥，BD CD =，∴224OD OB BD =-=， ∵OA OB =，∴28AC OD ==．【总结】本题考查了垂径定理及三角形中位线．AB CD ECDEFO【习题7】 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中的CD ），点O 是CD 的圆心，其中CD = 600米，E 为CD 上一点，且OE CD ⊥，垂足为F ，EF = 90米，求这段弯路的半径．【难度】★★ 【答案】545米．【解析】∵点O 是CD 的圆心，OE CD ⊥，∴13002DF CD ==，设O 的半径为R ，则90OF R =-，由222OD OF FD =+得()22290300R R =-+，解得545R =， ∴这段弯路的半径为545米．【总结】本题考查了垂径定理的应用．【习题8】如图，在ABC ∆中，70A ∠=︒，O 截ABC ∆的三边所得的弦长都相等，求BOC ∠的度数．【难度】★★★ 【答案】125︒．【解析】作OE AB ⊥、OF BC ⊥、OG AC ⊥，∵O 截ABC ∆的三边所得的弦长都相等， ∴OE OF OG ==，∴OB 平分ABC ∠，OC 平分ACB ∠， ∵70A ∠=︒，∴110ABC ACB ∠+∠=︒，∴115522OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=︒，∴18055125BOC ∠=︒-︒=︒．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理、角平分线的逆定理及三角形的内角和．ABCOEFG【习题9】 已知，如图，ABC ∆是等边三角形，AB 是O 的直径，AE EF FB ==，CE 、CF 交AB 于点M 、N ． 求证：AM = MN = NB ．【难度】★★★ 【答案】详见解析． 【解析】连接OE 、OF ，∵AE EF FB ==，∴60AOE EOF FOB ∠=∠=∠=︒， ∵ABC ∆是等边三角形，∴CAO AOE ∠=∠，∴OE //AC ，∴OM OEMA AC=． ∵AC BC =，O 是AB 中点， ∴1302ACO ACB ∠=∠=，∴12OA AC =，∴12OE AC =．∴2AM OM =，∴23AM OA =，13OM OA =， 同理23BN OB =，13ON OB =，∵OA OB =，∴23OM ON OA +=，∴AM MN NB ==．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及平分线分线段成比例．【习题10】 如图，AB 为O 的直径，CD 为弦，过点C 、D 分别作CN CD ⊥、DM CD ⊥，分别交AB 于点N 、M ，请问图中的AN 与BM 是否相等，说明理由．【难度】★★★【答案】AN 与BM 相等． 【解析】作OH CD ⊥交CD 于H ，则CH DH =，∵CN CD ⊥、DM CD ⊥， ∴CN ∥OH ∥DM ，∴ON OM =， ∵OA OB =，∴OA ON OB OM -=-， ∴AB BM =．【总结】本题考查了垂径定理及梯形的中位线．ABCDON M HABCE FN MO【作业1】在下列命题中，正确的个数是（ ） ① 圆心角相等，则它们所对的弦必相等；② 经过线段的两个端点及线段所在直线外一点可以确定一个圆； ③ 直径平分弦，则必垂直于弦；④ 如果同圆中，两条弦互相平分，那么这两条弦都是直径． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【难度】★ 【答案】B ．【解析】① 需说明是在同圆或等圆中，故①错误；② 不共线的三点可以确定一个圆，故②正确； ③ 直径平分非直径的弦，则必垂直于弦，故③错误； ④ 如果同圆中，直径垂直于弦，则必然平分弦，故④错误．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及垂径定理．【作业2】在ABC ∆中，90C ∠=︒，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AC = 7，BC = 4．若以点C 为圆心，BC 为半径作圆，判断点D 、E 与C 的位置关系．【难度】★【答案】点D 在C 外；点E 在C 内．【解析】∵AC = 7，BC = 4，90C ∠=︒，∴2265AB AC BC =+=，∵4C R =，1652DC AB R ==>，∴点D 在C 外； 1722EC AC R ==<，∴点E 在C 内． 【总结】本题考查了点与圆的位置关系．课后作业【作业3】已知直线a 和直线外两点A 、B ，经过A 、B 作一圆，使它的圆心在直线a上．【难度】★ 【答案】如图所示．【解析】作线段AB 的中垂线于直线a 的交点P 即为圆心． 【总结】本题考查了线段的垂直平分线的作法．【作业4】已知O 外一点A 和圆上的点最大距离为23厘米，最小距离为10厘米，则O 的半径为______厘米．【难度】★★【答案】132．【解析】点A 与圆心的连心线所在的直线与圆的交点即为点A 到圆上的最大距离和最小距离，所以半径()13231022R =-÷=厘米．【总结】本题考查了点与圆的位置关系．【作业5】 如图，在O 中，2AB BC =，试确定AB 与2BC 的大小关系．【难度】★★ 【答案】2AB BC <．【解析】取AB 中点E ，∵2AB BC =，∴AE EB BC ==，∵AE EB AB +>， ∴2AB BC <．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．AB COE【作业6】如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的O 交于点G 、B 、F 、E ，GB = 8厘米，AG = 1厘米，DE = 2厘米，则EF = ______厘米．【难度】★★ 【答案】6．【解析】连接OE ，作OH DC ⊥于H 点，∵GB = 8厘米，AG = 1厘米，DE = 2厘米， ∴4OE =厘米，3EH =厘米， ∴26EF EH ==厘米．【总结】本题考查了垂径定理的应用．【作业7】已知点A （1，0），B （4，0），P 是经过A 、B 两点的一个动圆，当P与y 轴相交，且在y 轴上两交点的距离为3时，求圆心P 的坐标．【难度】★★【答案】5522⎛⎫ ⎪⎝⎭，或5522⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【解析】设()P x y ，∵P 是经过A 、B 两点的一个动圆，∴P 在线段AB 的中垂线上，∵A （1，0），B （4，0），∴52x =且P 在x 轴上两交点的距离为3，∵P 与y 轴相交，且在y 轴上两交点的距离为3， ∴P 在x 轴上与y 轴上截得的两条弦相等．∴x y =，∴52y =±，∴P 点坐标为5522⎛⎫ ⎪⎝⎭，或5522⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【总结】本题考查了垂径定理的应用．OABCD EF GHOP ABC【作业8】 已知，如图，在O 中，弦AB 的长是半径OA 的3倍，C 为AB 的中点，AB 、OC 相交于P ．求证：四边形OACB 为菱形．【难度】★★★ 【答案】详见解析．【解析】∵C 为AB 的中点，∴OC AB ⊥，AP PB =，∵弦AB 的长是半径OA 的3倍，∴32AP AO =，∴30PAO ∠=︒， ∴1122PO OA OC ==，即OP PC =，∵AP BP =，OC AB ⊥，∴四边形OACB 为菱形．【总结】本题考查了垂径定理的应用及菱形的判定．【作业9】已知：过圆O 内一点P 作弦AB 、CD ，且AB = CD ，在BD 上取两点E 、F ，且BE DF =．求证：直线PO 是EF 的垂直平分线．【难度】★★★ 【答案】详见解析．【解析】作OM AB ⊥，ON CD ⊥，∵AB = CD ，∴OM ON =，BM DN =， ∴POM ∆≌PON ∆，∴PM PN =，∴PB PD =，∵OB OD =，PO PO =，∴OPB ∆≌OPD ∆， ∴POB POD ∠=∠，∵BE DF =，∴BOE DOF ∠=∠， ∴POE POF ∠=∠，∴EOH FOH ∠=∠，∵OE OF =， ∴直线PO 是EF 的垂直平分线．【总结】本题考查了垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的综合应用．ABC D EFOPM NH【作业10】 如图，1O 与2O 交于A 、B ，M 为12O O 的中点，过点A 作EF AM ⊥分别交1O 与2O 于点E 、F ．若1290O AO ∠=︒，1212AO AO O O m ==（2m ≥），求EF 的长．【难度】★★★ 【答案】4．【解析】作1O C AE ⊥于C 点，并延长与2O A 的延长线交于G 点，作2O D AF ⊥于D 点，∵EF AM ⊥，M 为12O O 的中点，∴AC AD =，∴2O AD ∆≌GAC ∆，∴2AG AO =，∵1290O AO ∠=︒，∴1O AC ∆∽1O GA ∆，∴11O A AG O G AC ⋅=⋅， ∴121O A AO O G AC ⋅=⋅，∵1212AO AO O O m ==，∴121O O O G AC =⋅，∵1290O AO ∠=︒，2AG AO =，∴121O O O G =， ∴1AC =，∴44EF AC ==．【总结】本题考查了垂径定理及相似三角形性质的综合应用．ABEFMGC D。
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3 圆中的基本概念及定理（习题）
➢ 巩固练习
1. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径 OB
为 10，截面圆圆心 O 到水面的距离 OC 为 6，则水面宽 AB 的长为（ ）
A ．16
B ．10
C ．8 第 1 题图 2. 如图，AB 是⊙O 的弦，O
D ⊥AB 于点 D ，交⊙O 于点
E ，则
下列说法不一定正确的是（ ）
A ．AD =BD
B ．∠ACB =∠AOE
︵ ︵
C ． AE = BE
D ．OD =DE
3.
如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，若∠BOC =70°， 则∠A 的度数为（
） A ．70° B ．35° C ．30° D ．20° 第 3 题图
第 4 题图 4.
如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC =60°，若⊙O 的半径 OC 为 2，则弦 BC 的长为（
） A ．1
B ．
C ．2
D ． 2 3 5. 如图，若 AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°，则∠BCD =（
） A ．116°
B ．32°
C ．58°
D ．64°
D ．6
第 2 题图
︵
6.如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是AB 上的两点，若
∠ADC=120°，则∠BAC= ．
第6 题图第7 题图
7.如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且∠C=70°，则∠OAB=
．
8.如图，点O 为优弧ACB 所在圆的圆心，∠AOC=108°，若点
D 在AB 的延长线上，且BD=BC，则∠D= ．
第8 题图第9 题图
9.如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于A，B 两点，交y 轴的
正半轴于点C，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB=20°，则∠OCD= ．
10.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知
AB=16 m，半径OA=10 m，则中间柱CD 的高度为m．
第10 题图第11 题图
11.如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的
问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD 为
⊙O 的直径，弦AB⊥CD 于点E，若CE=1 寸，AB=10 寸，则直径CD 的长为．
12.如图，点A，B，C，D在⊙O 上，点O 在∠D 的内部，若
四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= ．
13.如图，∠PAC=30°，在射线AC 上顺次截取AD=3 cm，
DB=10 cm，以DB 为直径作⊙O，交射线AP 于E，F 两点，则线段EF 的长是cm．
➢思考小结
1.圆中处理问题的思路
①找圆心，连半径，转移边；
②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式；
③遇直径，找直角，由直角，找直径；
④由弧找角，由角看弧．
2.中考数学中涉及“一半”的相关内容
①直角三角形斜边中线等于斜边的一半；
②30°所对的直角边等于斜边的一半；
③三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；
④圆周角的度数等于它所对弧上圆心角度数的一半．
【参考答案】➢巩固练习
1. A
2. D
3. B
4. D
5. B
6. 30°
7. 20°
8. 27°
9. 65°
10. 4
11. 26 寸
12. 60°
13. 6。