(完整)圆幂定理讲义(带答案)

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圆幂定理

STEP 1:进门考

理念：1。检测垂径定理的基本知识点与题型。

2。垂径定理典型例题的回顾检测。

3. 分析学生圆部分的薄弱环节.

(1）例题复习。

1.（2015•夏津县一模）一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好都落在量角器

的圆弧上，且AB∥MN．若AB=8cm，则量角器的直径MN=cm．

【考点】M3：垂径定理的应用；KQ:勾股定理；T7：解直角三角形．

【分析】作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E,首先求得CD的长，即OE的长，在直角△A OE中，利用勾股定理求得半径OA的长,则MN即可求解．

【解答】解：作CD⊥AB于点D,取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E．

在直角△ABC中，∠A=30°，则BC=AB=4cm，在直角△BCD中,∠B=90°﹣∠A=60°，

∴CD=BC•sinB=4×=2(cm), ∴OE=CD=2,

在△AOE中，AE=AB=4cm,

则OA===2（cm），则MN=2OA=4（cm）．故答案是：4．

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【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中,常用的方法是转化为解直角三角形．

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2.（2017•阿坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）

A．2cm B．cm C．2cm D．2cm

【考点】M2：垂径定理;PB：翻折变换(折叠问题）．

【分析】通过作辅助线,过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．

【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA,

∵OA=2OD=2cm，∴AD===（cm）,

∵OD⊥AB，∴AB=2AD=2cm．故选:D．

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键．

3.（2014•泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3，a）（a＞3），半径为3,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）

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A ．4

B ．

C ．

D ．

【考点】M2：垂径定理;F8：一次函数图象上点的坐标特征；KQ:勾股定理．

【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．

【分析】PC⊥x 轴于C ，交AB 于D ，作PE⊥AB 于E ，连结PB ，由于OC=3，PC=a ，易得D 点坐标为（3，3)，则△OCD 为等腰直角三角形,△PED 也为等腰直角三角形．由PE⊥AB ，根据垂径定理得AE=BE=AB=2

，在Rt△PBE 中,利用勾股定理可计算出PE=1,则PD=PE=,所以

a=3+． 【解答】解:作PC⊥x 轴于C,交AB 于D ，作PE⊥AB 于E ，连结PB ，如图，

∵⊙P 的圆心坐标是（3，a ）， ∴OC=3，PC=a ，

把x=3代入y=x 得y=3， ∴D 点坐标为(3,3）， ∴CD=3,

∴△OCD 为等腰直角三角形， ∴△PED 也为等腰直角三角形，

∵PE⊥AB, ∴AE=BE=AB=×4

=2， 在Rt△PBE 中，PB=3, ∴PE=， ∴PD=PE=, ∴a=3+． 故选：B ．

【点评】

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考

查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．

4.（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A （13，0)，直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．

【考点】FI:一次函数综合题．

【专题】16 :压轴题．

【分析】根据直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4)，求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长,再利用勾股定理求出BD,即可得出答案．

【解答】解：∵直线y=kx﹣3k+4=k（x﹣3）+4, ∴k（x﹣3）=y﹣4，

∵k有无数个值, ∴x﹣3=0,y﹣4=0,解得x=3，y=4，

∴直线必过点D（3，4），∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，

∵点D的坐标是（3，4）, ∴OD=5，

∵以原点O为圆心的圆过点A(13，0），∴圆的半径为13,

∴OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24; 故答案为:24．

【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质,关键是求出BC最短时的位置．

STEP 2：新课讲解

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1、熟练掌握圆幂定理的基本概念。

2、熟悉有关圆幂定理的相关题型，出题形式与解题思路。

3、能够用自己的话叙述圆幂定理的概念。

4、通过课上例题,结合课下练习。掌握此部分的知识。

一、相交弦定理 ➢ 基本题型： 【例1】 (2014秋•江阴市期中)如图，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，

若AP=3，BP=4，CP=2,则CD 长为（ ）

A ．6

B ．12

C ．8

D ．不能确定

【考点】M7：相交弦定理．

【专题】11 ：计算题．

【分析】由相交线定理可得出AP •BP=CP •DP ，再根据AP=3，BP=4，CP=2，可得出PD 的长,从而得出CD 即可．

【解答】解：∵AP •BP=CP •DP ，

∴PD=，

∵AP=3,BP=4，CP=2，

∴PD=6,

相交弦定理 (1）相交弦定理:圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相

等．(经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．

几何语言：若弦AB 、CD 交于点P,则PA•PB=PC•PD （相交弦定理）

(2）推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成

的两条线段的比例中项．

几何语言：若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P,则PC 2=PA•PB （相交弦定

理推论）．