圆幂定理

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圆幂定理：过一个定点P的任何一条直线 圆幂定理：过一个定点P的任何一条直线 与圆相交， 与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两 =d 条线段的乘积为定值 O P − r . （等于点P到圆心的距离与半径的平方差 等于点 到圆心的距离与半径的平方差 的绝对值） 的绝对值）
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已知： 是 的直径CB的延长线上的一点 已知：P是⊙O的直径 的延长线上的一点， 的直径 的延长线上的一点， PA和⊙O相切于 ，若PA＝15，PB＝5。 相切于A， 和 相切于 ＝ ， ＝ 。 的值；（ （1）求tan∠ABC的值；（ ）弦AD使 ） ∠ 的值；（2） 使 的长。 ∠BAD＝∠P，求AD的长。 ＝ ， 的长
圆幂定理
我们把圆的切线上某一点与切点之间 的线段的长叫做这点到圆的切线长 这点到圆的切线长。 的线段的长叫做这点到圆的切线长。
A
O·
P
B
切线与切线长的区别与联系： 切线与切线长的区别与联系： （1）切线是一条与圆相切的直线； 切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。 （2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
A
O P B D C
E
证明：（1）连结AB
A
O P B D C
∵PA切⊙O于A,∴∠PAB＝∠AEB
E
∴PA＝PD （2）由切割线定理,
又PA＝PD，PC＝2PD 由相交弦定理， BD·DC＝AD·DE
已知在Rt△ 已知在 △ABC中，∠C＝90°，∠A的外 中 ＝ ° 的外 角平分线交BC的延长线于 的延长线于D交 角平分线交 的延长线于 交△ABC的外接 的外接 圆O于E，DF切⊙O于F， 于 ， 切 于 ， 求证： 求证： AB ⋅ AC＝DF －DA 。
A
圆幂定理求AE·ED的值 的值 圆幂定理求 即等于r 即等于 2-OE2
C 连接CD正相似，可得AE与ED的比
O B P
E
3; 4 1 0
D
如图已知： 外一点， 如图已知：点C是⊙O外一点，过C作⊙O的 是 外一点 作 的 切线CB和 ，切点分别为B、 ， 切线 和CD，切点分别为 、D，连BO并延 并延 长交⊙ 于点 于点E， 的延长线于A， 长交⊙O于点 ，交CD的延长线于 ，若 的延长线于
C P A O B P C A O B
D
运动观点看本质
• • • • • 切线长定理 相交弦定理 相交弦定理推论 切割线定理 割线定理
本质一样 圆幂定理
几个定理得统一
相交弦定理 C B A •P D PA•PB=PC•PD PA²=PC•PD PA=PC 割线定理 切割线定理 切线长定理
PA•PB=PC•PD
B
• 相交弦定理推论 如果弦与直径垂直相交， 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的 比例中项。 2
PC = PA·PB
• 如图，PAB和PCD是⊙O的 两条割线。 求证：PA·PB＝PC·PD
D C P A B O
PA·PB＝PC·PD ＝
• 切割线定理推论（割线定理） 从圆外一 点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆 的交点的两条线段长的积相等。
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E
连接BE，证明三角形 ABE与三角形ACD相似
A O D C F
B
提 供了新的方法。 供了新的方法。
A
• 相交弦定理 圆内的两条相交 弦，被交点分成的两条线段长 的积相等。
D
O
C
P
B
PA·PB=PC·PD
• 切割线定理 从圆外一点引圆的 切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例 中项。
T O
PT2= PA·PB
P A B
A P C O
D
• 如图，CD是弦，AB是直 径，CD⊥AB，垂足为P。 求证：PC2＝PA·PB
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它 从圆外一点引圆的两条切线， 们的切线长相等， 们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 B 条切线的夹角。 条切线的夹角。
。
O
1 2
A
P
几何语言: 几何语言 PA、PB分别切⊙O于A、B 、 分别切 分别切⊙ 于 、 PA = PB ∠1=∠2 ∠
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等 切线长定理为证明线段相等、 线段相等
统一叙述为：过一点P（无论点P在圆内 还是在圆外） 在圆内， 统一叙述为：过一点 （无论点 在圆内，还是在圆外） 的两条直线，与圆相交或相切（ 的两条直线，与圆相交或相切（把切点看成两个重合 交点” 于点A、 、 、 ， 的“交点”）于点 、B、C、D，PA•PB=PC•PD 。
(1)经过⊙O内或外一点 作两条直线交⊙O于 经过⊙ 内或外一点 作两条直线交⊙ 于 内或外一点P作两条直线交 经过 A,B,C,D四点 得到了如图所示的六种不同情 四点,得到了如图所示的六种不同情 四点 在六种情况下,PA,PB,PC,PD四条线段在 况.在六种情况下 在六种情况下 四条线段在 数量上满足的关系式可用同一个式子表示.请 数量上满足的关系式可用同一个式子表示 请 先写出这个式子，然后只就图②给予证明； 先写出这个式子，然后只就图②给予证明；
• 如图，在⊙O中，P是弦AB上一点，OP⊥PC， PC交⊙O于C。求证：PC2＝PA·PB
C A D P O B
• 如图，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B， AC切小圆于C，交大圆于D、E。AB=12，AO=15， AD=8，求两圆的半径。
B
A D C
O
E
• 如图，⊙O和⊙O′都经过点 A、B，PQ切⊙O于P，交 ⊙O ′于Q、M，交AB的延 长线于N。 求证：PN2＝NM·NQ
Q
A
O' M
O B N P
• 如图，C为AB的中点， BCDE是以BC为一边的正方 形，以B为圆心，BD为半径 的圆与AB及其延长线相交于 H、K。 求证：AH·AK=2AC2。
DELeabharlann AH CB
K
学会用半径加减或加减半径
• 如图，已知PAB是⊙O的割线，PO＝14cm， PA＝4cm，AB＝16cm。求⊙O的半径。
A
A
(P) D O B C P A
A P
D D
A
C
C
P
C
B
D O
D
P C
O
D
O
O
P
B
P
C
(D) O
BC
O
B
A (B)
A (B)
PA⋅ PB＝r －OP (P在圆内 )
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PA⋅ PB＝OP －r (P在圆外 )
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PA⋅ PB＝OP －r =0(P在圆上 )
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定 值 OP − r 称 做 点 P对 圆 O的 " 幂 "
∠C 1 ＝ ，求m的值。 AD＝m·AE，且 tan 的值。 ＝ ， 的值 2 3
A E D
连接OD
3
O
B
C
如图， 切 如图，PA切⊙O于A，割线 于 ，割线PBC交⊙O于B、 交 于 、 C两点，D为PC的中点，且AD延长线交 两点， 为 的中点 的中点， 两点 延长线交 2 BE ＝DE ⋅ EA。 ⊙O于E，又 于 ， 求证：（ ） 求证：（1）PA=PD； ：（ ； 2 （ 2 ）2BD ＝AD ⋅ DE。