圆幂定理的应用
2-3-4圆幂定理
141+ = 第四讲 圆幂定理在圆锥曲线中的应用圆幂定理在圆中的应用【例 1】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A (-1 ，0)，点 P 是圆O : x 2 + y 2 = 4上的任意一点，过点B (1 ，0)作直线 BT 垂直于 AP ，垂足为T ，则2PA + 3PT 的最小值是．【例 2】(2015 全国 1 文)已知过点 A (0 ，1)且斜率为 k 的直线l 与圆C : (x - 2)2 + ( y - 3)2 = 1交于 M 、N .(1) 求 k 的取值范围；(2) OM ⋅ ON = 12,其中O 为坐标原点，求| MN |.圆幂定理在椭圆上的推广x 2 y 2 1 【例 3】（2019•陆良县月考）已知椭圆C : a 2 + b 2 = 1(a > b > 0)的左右焦点分别为 F 1， F 2，离心率为 2， 椭圆C 上的点 M (1 ， 3)到点 F ， F 的距离之和等于 4． 2 1 2（1）求椭圆C 的标准方程；2 （2）是否存在过点 P (2 ，1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点 A ， B ，满足 PA ⋅ PB = PM？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【例 4】（2017•南京二模）在平面直角坐标系中，焦点在 x 轴上的椭圆C : x 8 y 2 b 21经过点(b ，2e )，其中 2142 AP TBe 为椭圆C 的离心率．过点T (1 ，0)作斜率为 k (k > 0)的直线l 交椭圆C 于 A ， B 两点( A 在 x 轴下方）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点 M ， N ，求 AT ⋅ BT 的值；MN 2（Ⅲ）记直线l 与 y 轴的交点为 P ，若 = 2 ，求直线l 的斜率 k ．5。
圆幂定理+讲义2023年九年级数学中考复习【附解析】
圆幂定理九年级数学中考复习一、圆幂的定义：一点P对半径为r的圆O的幂=22OP r-二、圆幂定理：是相交弦定理、切割线定理、割线定理（切割线定理推论）的统称。
1、相交弦定理：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则··PAPB PC PD=()PAC PBD∆∆∽2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线(PA)长是割线和这点到割线（PD）与圆交点的两条线段长的比例中项²·PA PC PD=()PAC PDA∆∆∽3、割线定理（切割线定理的推论）：例如如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B 与C、D，则·PA PB PC PD⋅=总结：平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。
22··PA PB PC PD r OP==-222·PA PC PD OP r==-22·PA PB PC PD OP r⋅==-例题讲解【例1】如图，在圆O 中，M 、N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ， 若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为( )A ．83B ．3C ．103D ．52【例2】如题图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于 点P ，若6PA =，9AE =，3PC =，:2:1CE ED =，则BE = ．【例3】如图，点P 为弦AB 上一点，连接OP ，过P 作PC OP ⊥，PC 交O 于点C ，若 6AP =，3PB =，则PC 的长为( )A ．4B ．5C ．23D ．32【例4】如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，交AC 于点Q ．若 QP QO =，则QC QA的值为( )A ．231B ．23C 32D 32+【例5】如图，PA 切圆于点A ，直线PCB 交圆于C ，B 两点，切线长42PA =4PC =， 则AB AC等于( )A 2B ．22C ．2D ．以上结果都不对 【例6】如图，AT 切O 于T ，若6AT =，3AE =，4AD =，2DE =，则BC 等于()A ．3B ．4C ．6D ．8【例7】如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，A 为大圆上任意一点，过A 作小圆的割线 AXY ，若4AX AY ⋅=，则图中圆环的面积为( )A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π【例8】如图，在ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切．若4AB =， 5BE =，则DE 的长为( )A ．3B ．4C ．154D ．165【例9】如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，AB 、DC 的延长线交于点P ，若C 是PD 的中点，且6PD =，2PB =，那么AB 的长为( )A ．9B ．7C ．3D ．92【例10】已知：P 为O 外一点，PQ 切O 于Q ，PAB 、PCD 是O 的割线，且PAC BAD ∠=∠．求证：22PQ PA AC AD -=．【例11】圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．喜欢思考的天天在了解这个定理之后尝试给出证明，下面是他的部分证明过程：已知：如图①，点P为O外一点，切线PA与圆相切于点A，割线PBC与圆相交于点B、C．求证：2=⋅．PA PB PC证明：如图，连接AB、AC、BO、AO，PA切O于点A，∠+∠=︒．PAB BAO∴⊥，即90PA AO⋯阅读以上材料，完成下列问题：（1）请帮助天天补充完成以上证明过程；（2）如图②，割线PDE与圆交于点D、E，且4PE=，求DE的长．==，7PB BC挑战训练【挑战训练1】如图，已知：PA切O于A，若AC为O的直径，PBC为O的割线，E 为弦AB的中点，PE的延长线交AC于F，且45FPB∠=︒，点F到PC的距离为5，则FC 的长为()。
圆幂定理浙教版八年级上册
圆幂定理浙教版八年级上册圆幂定理是几何学中一个重要的定理，出现在我国初中数学教材的八年级上册。
它涉及到圆、线段、角度等几何元素，为我们解决实际问题提供了有力的工具。
下面，我们将详细介绍圆幂定理的相关内容。
一、圆幂定理的定义及意义圆幂定理是指：在同一个圆中，相交弦（非直径）的长度乘以其所对的圆心角的正弦值，等于两弦端点与圆心构成的直角三角形的面积的两倍。
用数学公式表示为：AC × sinA = 2 × △ABC的面积。
这个定理在实际应用中具有很大的价值，可以帮助我们快速计算几何图形的面积、周长等参数。
二、圆幂定理的应用1.求解弦心距：已知弦长和弦所对的圆心角，可以利用圆幂定理求解弦心距。
2.求解三角形面积：已知三角形的一条边和对应的角度，可以利用圆幂定理求解三角形面积。
3.求解圆的半径：在已知弦长和弦所对的圆心角的情况下，可以利用圆幂定理求解圆的半径。
4.求解扇形面积：已知扇形的半径和圆心角，可以利用圆幂定理求解扇形面积。
三、圆幂定理的证明证明圆幂定理的方法有很多，这里我们以向量法为例进行证明。
设圆心为O，弦AB的两端点分别为A、B，圆心角为AOB，弦心距为OC。
根据向量加法、减法及数乘运算，我们可以得到以下关系：1.OA × OB = OC × OA + OC × OB2.OC × OA = △AOC的面积× 23.OC × OB = △BOC的面积× 2将上述三个式子相加，可以得到：OA × OB +OC × OA + OC × OB = 2 × (△AOC的面积+ △BOC的面积)根据向量数量积的性质，我们知道：OA × OB = △AOB的面积× R（R为圆的半径）将上式代入前面的等式，可以得到：△AOB的面积× R + OC × OA + OC × OB = 2 × (△AOC的面积+△BOC的面积)整理后，我们可以得到圆幂定理的公式：AC × sinA = 2 × △ABC的面积四、总结与拓展圆幂定理是几何学中的一个基本定理，掌握它有助于我们更好地解决实际问题。
圆幂定理
圆幂定理廖述美 知识要点相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. 即若弦AB 、CD 交于点P ，则PA·PB=PC·PD . 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项.即若PT 切⊙O 于点T ，PAB 是⊙O 的割线，则PT2=PA·PB割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.即若割线AB 、CD 与⊙O 分别交于A 、B 、C 、D ，则PA·PB=PC·PD .圆幂定理：相交弦定理、切割线定理、割线定理统称圆幂定理. 经典例题例1. 如图，⊙O 和⊙O ′都经过点A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q ，M ，交AB的延长线于N.求证：2PN NM NQ =∙例2.如图，两个以O 为圆心的同心圆，AB 切大圆于B ，AC 切小圆于C ，交大圆于D ，E ，AB ＝12，AO ＝20，AD ＝8， 求两圆的半径.例3.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A，B是大圆上任意两点，过A，B作小圆的割线AXY和BPQ.求证：AX·AY=BP·BQ破题分析相交弦定理练习1：如图，圆中两条弦AB,CD相交于圆内一点P,已知PA=PB=4，PC=14PD,求CD的长。
切割线定理2：两圆相交于A,B两点，P为两圆公共弦AB上任一点,从P引两圆的切线PC,PD,求证PC=PD3：E 是圆内两弦AB 和CD 的交点，直线EF//CB,交AD 的延长线于F,切圆于G 求证(1) EFA DFE (2)EF=FG基础题1．如图1，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是半圆的三等分点，则∠C ＋∠E ＋∠D ＝( )A ．135°B ．110°C ．145°D ．120° 2．如图2，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D ，连结AD ，那么( )A ．∠BAD ＋∠CAD ＝90°B ．∠BAD ＞∠CADC ．∠BAD ＝∠CADD ．∠BAD ＜∠CAD3、如图3，PAB 、PC 分别是圆O 的割线和切线（C 为切点），若3PA AB ==，则PC 的长为A ．62B ．6C ．32D ．3（如图1） （如图2） （如图3）ABC OP4、 如图4，已知⊙O 的直径5AB =，C 为圆周上一点，4=BC ，过点C 作⊙O 的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则CD =___________．5、如图5，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，3,1PA PB ==， 则圆O 的半径为 ，C ∠=6、如图6，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦C D A B ⊥于点E ，已知O 的半径为3，2PA =，则PC =_________，OE =_________.（如图4） （如图5） （如图6）7．如图7，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 与B ，CD 切⊙O 与D ，交BA 的延长线于E ．若AB ＝3，ED ＝2，则BC 的长为______．8. 如图8，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，P 是BA 延长线上的点，连结PC交O ⊙于F ，如果713P F F C ==，，且::2:4:P A A E E B =，那么CD 的长是 ．9. 如图9，BC 是半圆O ⊙的直径，EF BC ⊥于点F ，5BFFC=．已知点A 在CE 的延长线上，AB 与半圆交于D ，且82AB AE ==，，则AD 的长为_____________．O F EDCBAPABCDEFO（如图7） （如图8） （如图9）AB PCO ·PCBA D EO lOAD CB10．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，(Ⅰ)求∠AOD的度数；(Ⅱ)若AO＝8 cm，DO＝6 cm，求OE的长．11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．(1)求证：BC是⊙O切线；(2)若BD＝5，DC＝3，求AC的长．12．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD ⊥AB 于E ，连结AC 、OC 、BC ．(1)求证：∠ACO ＝∠BCD ；(2)若BE ＝2，CD ＝8，求AB 和AC 的长．提高题1、如图1:PA 切O 于点A ，4PA =，PBC 过圆心O ，且与圆相交于B 、C 两点，:1:2AB AC =，则O 的半径为 ．2、如图2，在圆内接四边形ABCD 中, 对角线, AC BD 相交于点E ．已知23BC CD ==，2AE EC =，30CBD ∠=，则CAB ∠= ，AC 的长是 ．3、如图3，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC =4，AB =6，则MP ·NP = ．（如图1） （如图2） （如图3）C D M NOBAP BCOAP4、如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径,M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM>MC.连接DE，DE＝15,求EM的长．5.如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．挑战极限1．如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点，若∠CED=x°，∠ECD=y°，⊙B的半径为R，则⋂DE的长度是（）(题目进行过改编)A．()9090Rx-πB．()9090Ry-πC．()180180Rx-πD．()180180Ry-π2．（2012武汉中考题）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3.0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是．考点：切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；锐角三角函数的定义。
圆幂定理三大结论证明
圆幂定理是解决圆与直线之间的关系的重要定理，其三大结论证明如下：两条相交的弦所对应的弧所构成的圆周幂相等。
证明：设两条相交的弦AB、CD所对应的弧为a、b，交点为E。
则AE·EB=CE·ED，即AE·(AE+EB)=CE·(CE+ED)，化简得AE²-CE²=ED·CE-EB·AE，即(AE+CE)(AE-CE)=ED·CE-EB·AE，因为AE+CE=AD，所以AD·BD=ED·CE-EB·AE，即AD·BD=AB·EC，故得证。
一条切线与圆相交所得的切线段的平方等于这条切线外部点到圆的距离的平方。
证明：设切线与圆相交于点A、B，圆心为O，连接OA、OB，垂直于切线的直线与切线相交于点C，连接OC，过点B作圆的直径DE，则OC垂直于DE，且OC=OD，OE是半径，故OE ²=OC·OD。
因为OC²=OB²+BC²，所以OE²=OB²+BC²-OD²，即OB²=OE²-BC²，故得证。
直线段在圆内部或圆上所作的两条割线所对应的线段的乘积等于这条直线段与其所在圆的距离的平方减去圆的半径的平方。
证明：设直线段为AB，圆心为O，半径为r，与直线段相交于点C、D，连接OC、OD、OE，过点E作圆的直径EF，则OC·OD=(OE-CE)·(OE+DE)=OE²-CE·DE，因为CE·DE=AE·BE，所以OC·OD=OE²-AE·BE，故AE·BE=OB²- r²，即得证。
(完整版)圆幂定理
一、圆幂定理：平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理、割线定理（切割线定理推论）的统一。
1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与
圆交点的两条线段长的比例中项LA·LB=LC·LD=LT²
2、割线定理（切割线定理的推论）：例如如果交点为L的两条相交直线与圆O相交于
A、B与C、D，则LA·LB=LC·LD。
3、相交弦定理：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则PA·PB=PC·PD
二、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，
等于它所夹的弧所对的圆周角度数。
（∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC）
1、弦切角：角的顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
圆幂定理解析
圆幂定理解析
圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）的统一，例如如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B与C、D，则PA·PB=PC·PD。
圆幂定理是一个总结性的定理。
根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
则有AE·CE＝BE·DE。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
则有PA²＝PC·PD。
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，
则有PA·PB=PC·PD。
从上述定理可以看出，两条线的位置从内到外，都有着相似的结论。
经过总结和归纳，便得出了圆幂定理。
点对圆的幂
定义：P点对圆O的幂定义为OP²—R²。
性质：
点P对圆O的幂的值，和点P与圆O的位置关系有下述关系：点P在圆O内→P对圆O的幂为负数；
点P在圆O外→P对圆O的幂为正数；
点P在圆O上→P对圆O的幂为0。
注意：以上关系除正向应用通过点和圆的位置关系判断点对的圆的幂的符号，还可以逆向应用，通过点对圆的幂的符号反推点和圆的位置关系。
在某些书中，点P对圆O的幂表示为|OP²—R²|。
数学圆幂定理
数学圆幂定理圆幂定理，是平面几何中的一个重要定理，它描述了一个点到一个圆或两个圆的幂的关系。
圆幂定理有多种形式和推广，是解决几何问题的有力工具。
圆幂定理的基本形式是：如果一条直线同时切割两个圆，那么这条直线上的任意一点到两个圆的切线段的乘积是一个常数，这个常数叫做这个点到两个圆的幂。
数学上，可以用公式表示为：$$PA \cdot PB = PC \cdot PD$$其中，$P$是直线上的任意一点，$A$和$B$是直线分别与第一个圆的两个交点，$C$和$D$是直线分别与第二个圆的两个交点，如下图所示：!圆幂定理的基本形式圆幂定理的一个特殊情况是：如果一条直线同时切割一个圆，那么这条直线上的任意一点到圆的切线段的平方是一个常数，这个常数叫做这个点到这个圆的幂。
数学上，可以用公式表示为：$$PA^2 = PB^2$$其中，$P$是直线上的任意一点，$A$和$B$是直线与圆的两个切点，如下图所示：!圆幂定理的特殊情况圆幂定理的一个推广是：如果一条直线同时切割两个圆，那么这条直线上的任意一点到两个圆的切线段的比值是一个常数，这个常数叫做这个点到两个圆的幂比。
数学上，可以用公式表示为：$$\frac{PA}{PC} = \frac{PB}{PD}$$其中，$P$是直线上的任意一点，$A$和$B$是直线分别与第一个圆的两个切点，$C$和$D$是直线分别与第二个圆的两个切点，如下图所示：!圆幂定理的推广圆幂定理的一个应用是：如果一个三角形的外接圆和内切圆相切于一点，那么这个点到三角形的三条边的垂线段的乘积是一个常数，这个常数叫做这个三角形的幂积。
数学上，可以用公式表示为：$$PH \cdot PK \cdot PL = rR^2$$其中，$P$是外接圆和内切圆的切点，$H$，$K$，$L$是$P$到三角形的三条边的垂足，$r$是内切圆的半径，$R$是外接圆的半径，如下图所示：!圆幂定理的应用圆幂定理是一个简单而深刻的定理，它揭示了点和圆之间的一种基本的几何关系，它可以用来解决很多关于圆和三角形的几何问题，也可以推导出很多其他的几何定理，是平面几何中的一个重要的基础知识。
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《奥数群英会》圆幂定理的应用20160517wed
班级________姓名_________学号__________
1.已知：如图，△ABC内接于⊙O，P为⊙O外一点，作∠CPD=∠A，使PD交⊙O于D、E
两点，并与AB、AC分别交于点M、N（1）求证DN·NE=MN·NP（2）若PD∥CB,求证PC为切线。
2.如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，外公切线AB切⊙O1于点A，切⊙O2于点B，BC为直
径，求证：从C到⊙O1的切线长等于BC
3.如图，⊙O1与⊙O2相交，公共弦为MN，外公切线为AB,CD，直线MN交AB于点P，
交CD于点Q，求证：PQ2=AB2+MN2
4.如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半
圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，求BN
NC
5.如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC，一圆过点C，且与AC相
交于F，与AB相切于AB的中点G，求证：AD⊥BF
6. 如图，圆内接四边形ABCD中，延长AB,DC交于F，延长AD,BC交于E，EM,FN为圆的切线，分别以E、F为圆心，EM、FN为半径作弧，两弧交于K。
求证：EK⊥FK。