初中数学中被删掉的有用知识圆幂定理及其应用

圆幂定理及其应用

教学目标

1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解决有关问题；

2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方法；

3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的

观点的教育.

教学重点和难点

相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题是难点.

教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

1.根据图7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容.

2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系?

提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程，从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理.

(1)如图7-163，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例：

一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，CD 是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164)

二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165)

(2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外

一点P，成为两条割线，则有PA·PB＝PC·PD，这就是我们学过

的切割线定理的推论(割线定理).(图7-166)

(3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点

旋转，使C，D两点在圆上逐渐靠

近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB＝PC·PD

＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.(图7-167)

(4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2＝PB2，可

得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168)

至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和切线长定理之间有着密切的联系.

3.启发学生理解定理的实质.

经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169.

观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R)

在图(1)中，PA·PB＝PC·PD＝PE·PF

＝(R-OP)(R+OP)

＝R2-OP2；

在图(2)中，PA·PB＝PT2＝OP2-OT2

＝OP2-R2

在图(3)中，PA·PB＝PC·PD＝PT2

＝OP2-R2.

教师指出，由于PA·PB均等于｜OP2-R2｜，为一常数，叫做点P关于⊙O的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理.

二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行)

例1 如图7-170，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆

于D，E，AB＝12，AO＝15，AD＝8，求两圆的半径.

分析：结合图形和已知条件，根据勾股定理容易求出大圆的半径OB.求OC也可考虑用上述方法，但AC未知，此时则可根据切割线定理先求出AE，再利用垂径定理便可求出AC，于是问题得解.

(由学生讨论、分析，得出解决)

例2 如图7-171，在以O为圆心的两个同心圆中，A，B是

大圆上任意两点，过A，B作小圆的割线AXY和BPQ.

求证：AX·AY=BP·BQ

分析：在平面几何比较复杂的图形中，往往都是由几个简单

的图形组合而成的.但本题

不直接含有这样的图形，我们应考虑通过添加适当的辅助线来构

造出这样的图形，以此为出

发点，师生共同探索，得出以下几种不同的辅助线的添法.

方法1 在图7-172中，过点A，B分别作小圆的切线AC，BD，C，D为切点.这时就出现了切割线定理的基本图形，于是有

AC2＝AX·AY，BD2＝BP·BQ.

再连结CO，AO，DO，BO，

易证Rt△AOC≌△Rt△BOD，得出AC＝BD

所以AX·AY＝BP·BQ.

方法2 在图7-173中，作直线XP交大圆于E，F，分别延

长AY，BQ，交大圆于C，D.这样就出现了相交弦定理的基本图形.于

是有

AX·XC＝EX·XF，BP·PD＝FP·PE.

易证AX＝CY，BP＝DQ，EX＝FP.

所以AX·XC＝AX·AY，BP·PD＝BP·BQ，EX·XF＝FP·PE.

所以AX·AY＝BP·BQ.

方法3 如图7-174，由于点O是圆内的特殊点，考虑过O点的特殊割线，作直线AO 交小圆于E，F，作直线BO交小圆于C，D，则出现了割线定理的基本图形.于是有

AX·AY＝AE·AF，BP·BQ＝BC·BD.

易证AE＝BC，AF＝BD，

所以AE·AF＝BC·BD.

从而AX·AY＝BP·BQ.

通过对以上方法的分析，将“和圆有关的比例线段”这一节的几个定理紧密结合起来，沟通了知识间的联系，最后可启发学生联想基本图形，思考还有哪些辅助线的作法来证明此

题?

三、练习

练习1 已知P为⊙O外一点，OP与⊙O交于点A，割线PBC与⊙O

交于点B，C，且PB＝BC.如果OA＝7，PA＝2，求PC的长.

练习2 如图7-175，⊙O和⊙O′都经过点A和B，PQ切⊙O于P，

交⊙O′于Q，M，交AB的延长线于N.求证：PN2＝NM·NQ.

四、小结

用投影重新打出圆幂定理的基本图形(如图7-176)，让学生观

察并说出相应的定理.

教师指出：以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的.

五、习题

1、求证：相交两圆的公共弦的延长线上任一点到两圆所作的切线长相等。

已知：如图5，⊙O1和⊙O2相交于点A、B，P为BA延长线上任意一点，且PC、PD与⊙O1和⊙O2分别切于C、D两点。求证：PC=PD。