圆幂定理及其应用
圆幂定理及证明
圆幂定理是平面几何中的一个定理。
所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
目录
1基本定义
2相关定理
1基本定义编辑本段
圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)的统一。
圆幂=PO^2-R^2。
2相关定理编辑本段
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·P D。
统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。
2-3-4圆幂定理
141+ = 第四讲 圆幂定理在圆锥曲线中的应用圆幂定理在圆中的应用【例 1】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A (-1 ，0)，点 P 是圆O : x 2 + y 2 = 4上的任意一点，过点B (1 ，0)作直线 BT 垂直于 AP ，垂足为T ，则2PA + 3PT 的最小值是．【例 2】(2015 全国 1 文)已知过点 A (0 ，1)且斜率为 k 的直线l 与圆C : (x - 2)2 + ( y - 3)2 = 1交于 M 、N .(1) 求 k 的取值范围；(2) OM ⋅ ON = 12,其中O 为坐标原点，求| MN |.圆幂定理在椭圆上的推广x 2 y 2 1 【例 3】（2019•陆良县月考）已知椭圆C : a 2 + b 2 = 1(a > b > 0)的左右焦点分别为 F 1， F 2，离心率为 2， 椭圆C 上的点 M (1 ， 3)到点 F ， F 的距离之和等于 4． 2 1 2（1）求椭圆C 的标准方程；2 （2）是否存在过点 P (2 ，1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点 A ， B ，满足 PA ⋅ PB = PM？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【例 4】（2017•南京二模）在平面直角坐标系中，焦点在 x 轴上的椭圆C : x 8 y 2 b 21经过点(b ，2e )，其中 2142 AP TBe 为椭圆C 的离心率．过点T (1 ，0)作斜率为 k (k > 0)的直线l 交椭圆C 于 A ， B 两点( A 在 x 轴下方）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点 M ， N ，求 AT ⋅ BT 的值；MN 2（Ⅲ）记直线l 与 y 轴的交点为 P ，若 = 2 ，求直线l 的斜率 k ．5。
圆幂定理及应用(复习课教案)
练 习 题 １ 如 图 １ 圆 ０ 中 ， ＡＢ、 ： ， 弦 ＣＤ 相 交 于 点 尸， ＰＣ ＝ ＰＤ ， ＰＡ 一 ３ 尸Ｂ 一 ４ 求 Ｃ 的 ， ， Ｄ
长．
图 ５ 图 ６
练 习题 ２ 变 式 题 ）如 图 ２ 圆 ０ 中 。 ＡＢ （ ， 弦 与 半 径 Ｏ 交 于 点 尸 ， ＯＰ ＝ ＰＣ． ＰＡ 一 ３ Ｃ 且 若 ，
２ 教 学 指 导 思 想
变 ， 能 直 接 利 用 相 交 弦定 理 时 ， 要 构 造 相 交 不 需
弦．
“ ＧＸ” ２字 诀 教 学 原 则 ３
积极前进 ． 环上升 ； 化形式 ， 重实质 ； 循 淡 注 开 门见 山 ， 当集 中 ； 做 后 说 ， 生 共 做 ． 适 先 师
教材： ＧＸ 教 材 《 何 》 三 册 几 第 １ 教 学 目 标
１ １ 重 难 点
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｂ
（ ）相 交 弦定 理 、 割 线 定 理 的 基 本 运 用 ． １ 切 （ ）圆 幂 定 理 ， 似 三 角 形 与 圆 有 关 的 角 ２ 相 等知识 的综舍运 用．
维普资讯
《 学 教 学 通 讯 ￣ ０ ２年 第 １期 （ 第 １ ６期 ） 数 ２０ 总 ４
霞庆
・３ １・
画 寄 瘪 四 癌嗣 （ 缉 国 锄 图 ）
（ 川 省 绵 阳 市 实验 中学 ６ １ ０ ） 粱庆 凤 四 ２ ０ ０ （ Ｊ 省 绋 阳 市 涪 域 区教 师进 修 学校 ６ １ ０ ） 刘 待 富 四 １ １ ２ ０ ０
Ｐ Ａ
（ ）“ 相 交 弦 定 理 ”及 “ 割 线 定 理 ”为 ２ 以 切 基 础 知 识 ， 展 循 环 复 习 ， 着“ 极 前 进 ， 环 开 本 积 循
圆幂定理及运用
D
D
圆幂定理及运用
一、圆幂定理研究与证明
1、如图，AB 、CD 是⊙O 两条弦，相交于点P 。
求证：P A ·PB ＝PC ·PD
2、PT 是⊙O 的切线，PAB 是⊙O 的割线。
求证：PT 2＝P A ·PB
3、PAB 、PCD 是⊙O 的割线。
求证：P A ·PB ＝PC ·PD
二、圆幂定理的运用
1、已知：如图，⊙O 的弦AB 与CD 相交于点P ，AP ＝6，BP ＝3，CP ＝2，求CD 的长。
变式1：若AP ＝6，BP ＝3，CD ＝11，求CP 的长
变式2：已知P 为⊙O 内一点，OP ＝2，过P 作任一弦AB ，若PA ＝2，PB ＝。
求⊙O 的半径
2、已知：如图，AB ＝4，BP ＝2，CP ＝4。
求CD 的长
变式1：AB ＝4，BP ＝2，CD ＝1。
求CP 的长
变式2：若PT 是⊙O 的切线。
求PT 的长
变式3：连结PO ，若PO ＝5，求⊙O 的半径
3、如图，若⊙O 的半径OA ＝5，P 在OA 上，PA ＝2，MN 过点P ，MP ：PN ＝1：2.求弦心距OQ 的长
4、过⊙O 外一点P 的一条割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，PO 交⊙O 于C ，AB ＝7，PA ＝4，⊙O 的半径为10，求PO 的长。
A
P。
圆幂定理解析
圆幂定理解析
圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）的统一，例如如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B与C、D，则PA·PB=PC·PD。
圆幂定理是一个总结性的定理。
根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
则有AE·CE＝BE·DE。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
则有PA²＝PC·PD。
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，
则有PA·PB=PC·PD。
从上述定理可以看出，两条线的位置从内到外，都有着相似的结论。
经过总结和归纳，便得出了圆幂定理。
点对圆的幂
定义：P点对圆O的幂定义为OP²—R²。
性质：
点P对圆O的幂的值，和点P与圆O的位置关系有下述关系：点P在圆O内→P对圆O的幂为负数；
点P在圆O外→P对圆O的幂为正数；
点P在圆O上→P对圆O的幂为0。
注意：以上关系除正向应用通过点和圆的位置关系判断点对的圆的幂的符号，还可以逆向应用，通过点对圆的幂的符号反推点和圆的位置关系。
在某些书中，点P对圆O的幂表示为|OP²—R²|。
初三数学秋季版(同步提高)第24讲---圆幂定理及应用(教案)
1学科教师辅导讲义学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师：授课类型 T 相交弦定理C 切割线定理T 相交弦定理与切割线定理综合星级 ★★ ★★★★★★授课日期及时段教学内容相交弦定理（1）会在相应的图中确定相交弦定理的条件和结论 （2）能用圆幂定理解决有关问题四【知识点梳理】1、相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理。
其可统一地表示为：过定点的弦被该点内分（或外分）成的两条线段的积为定值（该点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值）。
如图，即22r OP PB PA -=•＝定值。
相交弦定理通常是通过相似三角形而得到的，所以，研究圆中一些线段的比例关系总离不开相似三角形。
相交弦定理揭示了与圆相关的线段间的比例，应用较多，特别是在处理有关计算、作比例中项、证明角相等、四点共圆等问题时是重要的理论依据。
2板块一：相交弦定理相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．如图，弦AB 和CD 交于O ⊙内一点P ，则PA PB PC PD ⋅=⋅．相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．1、如下左图，在O ⊙中，弦AB 与CD 相交于点P ，已知3cm 4cm 2cm PA PB PC ===，，，那么PD = cm ．OPDCBA2、如下中图，在O ⊙中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM MC =，若 1.54AM BM ==，，则OC 的长为( )A ．26B ．6C ．23D ．22MO CBA3、如下右图，在O ⊙中，P 为弦AB 上一点，PO PC ⊥，PC 交O ⊙于C ，那么( )A ．2OP PA PB =⋅ B ．2PC PA PB =⋅ C ．2PA PB PC =⋅D ．2PB PA PC =⋅OP C BA4、在△ABC 中，AM 、AD 分别是其中线和角平分线，⊙ADM 交AB 于L ，交AC 于N 。
圆中的重要模型-圆幂定理模型(学生版)
圆中的重要模型--圆幂定理模型圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。
可能是在19世纪由德国数学家施泰纳(Steiner)或者法国数学家普朗克雷(Poncelet)提出的。
圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。
模型1.相交弦模型条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。
结论：△CAE∼△BDE⇒ECEB=EAED⇒EC⋅ED=EB⋅EA。
1(2023·广东广州·九年级校考期中)如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PD=4，两圆组成的圆环的面积是．2(2023·江西景德镇·九年级校考期末)如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D．已知CD=2，AD=3，BD=4，那PB=．3(2023·江苏·九年级专题练习)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦AB，CD交于点P，求证：．(2)如图②，已知AB是⊙O的直径，AB与弦CD交于点P，且AB⊥CD于点P，过D作⊙O的切线，交BA的延长线于E，D为切点，若AP=2，⊙O的半径为5，求AE的长．模型2.双割线模型条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。
结论：△CEG∼△CHF⇒ECCH=CGCF⇒EC⋅FC=GC⋅HC4(2023·浙江·九年级假期作业)如图：PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA∙PB=30，PC=3，则CD的长为()A.10B.7C.510D.35(2023·四川成都·九年级校考阶段练习)如图，PAB为⊙O的割线，且PA=AB=3，PO交⊙O于点C，若PC=2，则⊙O的半径的长为．6(2022·河南洛阳·统考一模)我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点(即直线与圆相交)时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整．已知：如图①，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条割线，一条交⊙O 于A 、B 点，另一条交⊙O 于C 、D 点．求证：PA ⋅PB =PC ⋅PD ．证明一：连接AD 、BC ，∵∠A 和∠C 为BD 所对的圆周角，∴．又∵∠P =∠P ，∴，∴．即PA ⋅PB =PC ⋅PD ．研究后发现，如图②，如果连接AC 、BD ，即可得到学习过的圆内接四边形ABDC ．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二．证明二：连接AC 、BD ，模型3.切割线模型条件：如图，CB 是圆O 的切线，CA 是圆O 的割线。
圆幂定理及其应用之一
圆幂定理及其应用之一编者注：本专题本来我打算放到后面写，但是昨天和今天通过考试及学生提问，我发现很多学生对圆幂的概念不清，产生了极大的错误，所以先写一篇概念，以正视听。
“yuan”幂“yang”幂老婆看到这篇文章的标题，第一反应是“杨幂定理”！不过读起来确实有点像，虽然圆幂定理在数学中是很著名的定理，不过在当今中国应该还是没有杨幂的名气大。
言归正传，作为第一篇，本篇主要写关于圆幂的三个概念：点对圆的幂、两圆根轴、三圆根心。
众所周知，如图，半径为r的圆O内相交于E两弦AB、CD，有相交弦定理：AE*BE＝CE*DE=r^2-OE^2,同样对半径为r的圆O外点E，ET为圆切线，EAB、ECD为割线，则有切割线定理[1]：ET^2＝EA*EB＝EC*ED=OE^2- r^2。
为了把他们统一起来，我们引入点E对半径为r的圆O的幂[2] 为：由定义知:E在圆内时，p(E)<>E在圆上时，p(E)=0；E在圆外时，p(E)>0，即为过E的圆的切线长的平方。
从而圆幂的范围为：若过E的任意直线交圆O于A、B两点，则容易证明：圆幂定理：用向量（或者有向线段）的乘积表示圆幂的目的就是为了将切割线定理和相交弦定理中的正负号统一起来。
这里需要特别强调的是：刚开始接触圆幂概念的人会觉得很奇怪，为什么要引入一个负值呢，明明两个线段的乘积为正的，为什么要画蛇添足，引入有向线段的乘积来表示圆幂呢？所以很多竞赛教材都将圆幂定义成这恰恰是画蛇添足！还有些教材觉得加不加绝对值无所谓，都是合理的。
事实上，定义中绝对不能加绝对值！！至于原因，请允许我先买个关子，一会儿讲到根轴的时候再说明。
在解析几何中，点E（a,b）对圆O：的幂，不难用定义得到这样定义圆幂其实更简单明了，就是将点的坐标带入圆的解析式中即可。
对一个圆而言，每个点都有一个圆幂。
下面自然的问题是对两个圆呢？最简单的问题是：对两个圆的幂相等的点轨迹是什么？当然很多人知道这就是所谓的两圆的根轴，是一条与两圆连心线垂直的直线，若两圆相交，根轴即为两圆公共弦。
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[文件] sxc3jja0008.doc
[科目] 数学
[年级] 初三
[章节]
[关键词] 圆/圆幂定理/应用
[标题] 圆幂定理及其应用
[内容]
教学目标
1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解决有关问题；
2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方法；
3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的
观点的教育.
教学重点和难点
相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题是难点.
教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
1.根据图7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容.
2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系?
提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程，
从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理.
(1)如图7-163，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例：
一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，CD是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164)
二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165)
(2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一
点P，成为两条割线，则有PA·PB＝PC·PD，这就是我们学过的
切割线定理的推论(割线定理).(图7-166)
(3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋
转，使C，D两点在圆上逐渐靠
近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB＝PC·PD
＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.(图7-167)
(4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2＝PB2，可得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168)
至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和
切线长定理之间有着密切的联系.
3.启发学生理解定理的实质.
经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169.
观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R)
在图(1)中，PA·PB＝PC·PD＝PE·PF
＝(R-OP)(R+OP)
＝R2-OP2；
在图(2)中，PA·PB＝PT2＝OP2-OT2
＝OP2-R2
在图(3)中，PA·PB＝PC·PD＝PT2
＝OP2-R2.
教师指出，由于PA·PB均等于｜OP2-R2｜，为一常数，叫做点P关于⊙O的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理.
二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行)
例1 如图7-170，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D，E，AB＝12，AO＝15，AD＝8，求两圆的半径.
分析：结合图形和已知条件，根据勾股定理容易求出大圆的半径OB.求OC也可考虑用上述方法，但AC未知，此时则可根据切割线定理先求出AE，再利用垂径定理便可求出AC，于是问题得解.
(由学生讨论、分析，得出解决)
例2 如图7-171，在以O为圆心的两个同心圆中，A，B是大
圆上任意两点，过A，B作小圆的割线AXY和BPQ.
求证：AX·AY=BP·BQ
分析：在平面几何比较复杂的图形中，往往都是由几个简单
的图形组合而成的.但本题
不直接含有这样的图形，我们应考虑通过添加适当的辅助线来构造出这样的图形，以此为出
发点，师生共同探索，得出以下几种不同的辅助线的添法.
方法1 在图7-172中，过点A，B分别作小圆的切线AC，BD，C，D为切点.这时就出现了切割线定理的基本图形，于是有
AC2＝AX·AY，BD2＝BP·BQ.
再连结CO，AO，DO，BO，
易证Rt△AOC≌△Rt△BOD，得出AC＝BD
所以AX·AY＝BP·BQ.
方法2 在图7-173中，作直线XP交大圆于E，F，分别延
长AY，BQ，交大圆于C，D.这样就出现了相交弦定理的基本图形.于
是有
AX·XC＝EX·XF，BP·PD＝FP·PE.
易证AX＝CY，BP＝DQ，EX＝FP.
所以AX·XC＝AX·AY，BP·PD＝BP·BQ，EX·XF＝FP·PE.
所以AX·AY＝BP·BQ.
方法3 如图7-174，由于点O是圆内的特殊点，考虑过O点的特殊割线，作直线AO交小圆于E，F，作直线BO交小圆于C，D，则出现了割线定理的基本图形.于是有
AX·AY＝AE·AF，BP·BQ＝BC·BD.
易证AE＝BC，AF＝BD，
所以AE·AF＝BC·BD.
从而AX·AY＝BP·BQ.
通过对以上方法的分析，将“和圆有关的比例线段”这一节的几个定理紧密结合起来，沟通了知识间的联系，最后可启发学生联想基本图形，思考还有哪些辅助线的作法来证明此题?
三、强化练习
练习1 已知P为⊙O外一点，OP与⊙O交于点A，割线PBC与⊙O
交于点B，C，且PB＝BC.如果OA＝7，PA＝2，求PC的长.
练习2 如图7-175，⊙O和⊙O′都经过点A和B，PQ切⊙O于P，
交⊙O′于Q，M，交AB的延长线于N.求证：PN2＝NM·NQ.
四、小结
用投影重新打出圆幂定理的基本图形(如图7-176)，让学生观
察并说出相应的定理.
教师指出：以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的.
五、布置作业
课本p.133习题7.4A组13、14题.
思考题：课本p.130.想一想，p.134B组6题
板书设计
课堂教学设计说明
这份教案为1课时.课本没有给出“圆幂定理”这一名称，而是以“和圆有关的比例线
段”的形式出现的，教学时可根据学生的程度而定.圆幂定理十分重要，它是进行几何论证
、计算和作图常用定理，但是应用难度较大，所以在教学时应时刻注意启发学生进行思考，培
养学生的发散思维能力.
例题和练习题可根据学生实际选用.。