高中数学—— 圆幂定理

B
PC PD ?
C
P
图2 24
D
O
AB
图2 25
一 与圆有关的比例线段 切割线定理
从圆外一点引圆的一条割线与一条切线， 切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段 的等比中项
已知：如图，从⊙O外一点P引⊙O的割线 PBA与切线PC，与⊙O分别交于点A、B与
2 求证： PA· PB ＝ PC C
已知：如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条 割线PBA与PDC，与⊙O分别交于点A、B 与 C、 D 求证：PA· PB＝PC· PD
PD PA PB PC
A
B
O
· C
P
D
探究 在图2 24 中, 使割线 PB 绕 P 点运动到切线位置
P
D C A
O
图2 25, 是否还有PA PB
A
O
圆内接四边形的一个
B
C
E
外角等于它的内对角。
6 D
A 5
O
7
4 3 B 2
E
C 1
综上：
性质定理： 圆的内接四边 形的对角互补，并且任何 一个外角都等于它的内角 的对角。（内对角）
判定定理：
如果一个四边形对角互补，那么 这个四边形的四点共圆； 如果四边形的一个外角等于它的 内对角，那么这个四边形的四个 顶点共圆。
A
O B
图5
E D
C
已知:B D 180
反证法：以Ｄ在圆外为例 A 证明四点共圆：通常三 点做圆，证明第四点就 在这个圆上；或者两个 三点做圆，两圆一致 B D’
0
求证:四边形ABCD内接于圆
D
C
例3如图7，⊙1和⊙O2都经过A、B两点，经过 点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D 经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于 点F．求证：CE∥DF． D A C O 1
· ·
O2 B
图7
E
F
例2 如图6，已知AD是△ABC的外角 ∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D延 长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB， FC． （1）求证：FB＝FC； （2）若AB是△ABC的外接圆的直径， ∠EAC ＝120°，BC＝6，求AD的长．
F B
图6
A
C
E
C
D
例1 如图5，AB是⊙O的直径，C是⊙O 外一点，且AC＝AB，BC交⊙O于点D． 已知BC＝4，AD＝6，AC交⊙O于点E， 求四边形ABDE的周长．
A
B
O
PC PA PB PC
P ·
C
练习：
做诊断练习的1、2，
学力练习的1 答案： 4
9
2 3
二 圆内接四边形 若一个多边形各顶点都在同一 个圆上，那么，这个多边形叫做圆 内接多边形，这个圆叫做这个多边 形的外接圆。
D E C B
O
B
C
A
A F
O
D E
如图，四边形ABCD为 圆内接四边形；⊙O为 四边形ABCD外接圆。
（二）
一 与圆有关的比例线段
（1）相交弦定理
（2）割线定理
（3）切割线定理
圆幂定理
二 圆内接四边形
一 与圆有关的比例线段 相交弦定理
圆的两条相交弦，被交点分成两段的积相等
已知：如图，⊙O的两条弦AB、CD相交
于圆内一点P， 求证：PA· PB＝PC· PD
D B P
PD PA PB PC
A
A
O
D
B
C
如图：圆内接四边形ABCD中， ∵ 弧BCD和弧BAD所对的 D 圆心角的和是周角
∴∠A＋∠C＝180°A 同理∠B＋∠D＝180°
B
O
C
圆内接四边形的对角互补。
如果延长BC到E，那么 ∠DCE＋∠BCD ＝ 180°
A
O
D
B
C
E
又 ∠A ＋∠BCD＝ 180°
所以∠A＝∠DCE
因为∠A是与∠DCE相邻的内 角∠DCB的对角，我们把 ∠A叫做∠DCE的内对角。 D
C
DC,PAO源自探究 使圆的两条相交弦的交点
B
图2 23
D C
再到圆外图 2 24 , 结论 1 是否 还能成立?
B
P 从圆内运动到圆上 图 2 23 ,
P
A
O
图2 24
一 与圆有关的比例线段
割线定理
从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条 割线与圆的交点的两条线段的积相等