圆幂定理及其证明#(优选.)
圆（圆幂定理、根轴，托勒密定理、帕斯卡定理、牛顿定理Ⅰ、Ⅱ）
圆（圆幂定理、根轴，托勒密定理、帕斯卡定理、牛顿定理
Ⅰ、Ⅱ）
一、圆幂定理、根轴
1. 圆幂定理：
圆幂定理为以下三个定理的统称，即
相交弦定理（Ⅰ:AP·PB=CP·PD）
割线定理（Ⅱ：PA·PB=PC·PD）
切割线定理（Ⅲ：PA2=PC·PD）
2. 根轴：
到两圆幂相等的点的集合为一条垂直于两圆圆心连线的直线且：若两圆相交则根轴为公共弦所在直线
若两圆相切则根轴为公切线
同心圆无根轴
二、几条重要的定理
1. 托勒密定理
凸四边形 ABCD 中有
AC · BD ≥ AB · CD + AD · BC
等号当且仅当四边形 ABCD 是圆内接四边形时成立
2. 帕斯卡定理
圆内接六边形三组对边所在直线交点共线
3. 牛顿定理Ⅰ
圆外切四边形的对角线交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重
合
4. 牛顿定理Ⅱ
圆外切四边形两条对角线中点和该圆圆心，三点共线
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圆幂定理及运用
D
D
圆幂定理及运用
一、圆幂定理研究与证明
1、如图，AB 、CD 是⊙O 两条弦，相交于点P 。
求证：P A ·PB ＝PC ·PD
2、PT 是⊙O 的切线，PAB 是⊙O 的割线。
求证：PT 2＝P A ·PB
3、PAB 、PCD 是⊙O 的割线。
求证：P A ·PB ＝PC ·PD
二、圆幂定理的运用
1、已知：如图，⊙O 的弦AB 与CD 相交于点P ，AP ＝6，BP ＝3，CP ＝2，求CD 的长。
变式1：若AP ＝6，BP ＝3，CD ＝11，求CP 的长
变式2：已知P 为⊙O 内一点，OP ＝2，过P 作任一弦AB ，若PA ＝2，PB ＝。
求⊙O 的半径
2、已知：如图，AB ＝4，BP ＝2，CP ＝4。
求CD 的长
变式1：AB ＝4，BP ＝2，CD ＝1。
求CP 的长
变式2：若PT 是⊙O 的切线。
求PT 的长
变式3：连结PO ，若PO ＝5，求⊙O 的半径
3、如图，若⊙O 的半径OA ＝5，P 在OA 上，PA ＝2，MN 过点P ，MP ：PN ＝1：2.求弦心距OQ 的长
4、过⊙O 外一点P 的一条割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，PO 交⊙O 于C ，AB ＝7，PA ＝4，⊙O 的半径为10，求PO 的长。
A
P。
(完整版)圆幂定理
一、圆幂定理：平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理、割线定理（切割线定理推论）的统一。
1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与
圆交点的两条线段长的比例中项LA·LB=LC·LD=LT²
2、割线定理（切割线定理的推论）：例如如果交点为L的两条相交直线与圆O相交于
A、B与C、D，则LA·LB=LC·LD。
3、相交弦定理：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则PA·PB=PC·PD
二、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，
等于它所夹的弧所对的圆周角度数。
（∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC）
1、弦切角：角的顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
五大圆幂定理证明
五大圆幂定理证明五大圆幂定理是指：1. 圆内接正多边形的边数是多边形周长与直径之比的平方。
2. 圆外切正多边形的边数是多边形周长与直径之比的平方。
3. 任意一个正n边形的内切圆半径等于半径与n之和的1/n。
4. 任意一个正n边形的外接圆半径等于半径的n倍。
5. 任意一个正n边形的周长等于n倍的外接圆周长。
下面给出五大圆幂定理的证明：1. 周长与直径之比的平方设正n边形的周长为P，直径为d，则n个边的长度之和为2P/n。
因为每个边上的弧长等于周长除以360度，所以每个边的长度为(2P/n)/360度。
因为正n边形的每个内角都相等，所以内角和为(180度/n) * n，即180度。
因此，每个边所对的圆心角为180度除以n，即36度。
又因为圆周角的大小与圆心角的大小成正比，所以每个圆周所对的圆心角为36度，即每个圆周的长度为2πr，其中r为圆的半径。
因此，每个边的长度等于2πr * (2/360) * n，即πr/3。
因此，直径d等于πr/3，周长P等于3πr，所以正n边形的边数n等于周长P除以直径d的平方，即n=3P/d²。
2. 外切正多边形的边数是周长与直径之比的平方证明同上，只是将周长P替换为周长与直径之比的平方P/d²。
3. 内切圆半径等于半径与n之和的1/n设正n边形的边长为a，内接圆的半径为r，则内接圆的周长为2πr，因为内接圆与正n边形相切，所以内接圆的周长等于正n边形的周长除以n，即2πr=P/n。
因此，πr=P/n，即r=P/nπ。
又因为内接圆的半径等于边长a与半径r之差的一半，即r=a-(a/2r)=a*(1-1/n)，所以a=2r/n。
因此，内切圆半径等于半径与n之和的1/n，即r=P/2nπ/(n-1)。
4. 外接圆半径等于半径的n倍设正n边形的边长为a，外接圆的半径为R，则外接圆的周长为2πR，因为外接圆与正n边形相切，所以外接圆的周长等于正n边形的周长除以n，即2πR=P/n。
圆幂定理及其证明
圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理 （切割线定理推论）以及他们推论 如图，AB 、CD 为圆0的两条任意弦。
相交于点 P ,连接 AD 、BC ,则/ D= ZB , AP PD PC BP AP BP PC PD （2） 切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。
圆幕定理圆幕的定义：一点P 对半径 R 的圆0的幕定义如下： OP 2 R 2 所以圆内的点的幕为负数，圆外的点的幕为正数，圆上的点的幕为零。
的统称。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
Z A= Z C 。
所以△ APD S /BPC 。
所以如图，PT 为圆切线，PAB 为割线。
连接 TA , TB ，则Z PTA= ZB （弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA “△□BT ，所以 TPT PAPT2PA PBPB PT（3）割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有PA PB=PC PD。
这个证明就比较简单了。
可以过P做圆的切线，也可以连接CB和AD。
证相似。
存在：PA PB PC PD进一步升华（推论）：过任意在圆0外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B （可重合，即切线），L2与圆交于C、D。
贝U PA PB=PC PD。
若圆半径为r，则2 2 2 2PC PD （PO R）（PO R） PO R | PO R | （一定要加绝对值，原因见下）为定值。
这个值称为点P到圆O的幕。
（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）2 2 2 2若点P在圆内，类似可得定值为R PO | PO R |故平面上任意一点对于圆的幕为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。
（这就是圆幕”的由来）。
圆幂定理及其证明[1]
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补充：圆幂定理圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。
图１ 图２ 图３ 图４ 一、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
（如图，弦AB 和CD 交于O ⊙内一点P ，则PA PB PC PD ⋅=⋅）．1、证 明：如图１，AB 、CD 为圆O 的两条任意弦。
相交于点P ，连接AD 、BC ，则∠D=∠B ， ∠A=∠C 。
所以△APD ∽△BPC 。
所以AP PDAP BP PC PD PC BP=⇒⋅=⋅ 2、练习：如图２，在O ⊙中，弦AB 与CD 相交于点P ，已知3cm 4cm 2cm PA PB PC ===，，，那么PD = cm ．二、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。
（如图，PT 是O 的切线，PB 是O 的割线，则有PT ２＝ＰＡ ＰＢ）1、证明：如图３，PT 为圆切线，PAB 为割线。
连接TA ，TB ，则∠PTA=∠B （弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA ∽△PBT ，所以2PT PAPT PA PB PB PT=⇒=⋅ 2、练习如图４，PC 是半圆的切线，且PB OB =，过B 的切线交PC 与D ，若6PC =，则O ⊙半径长= ，:CD DP =__________．三、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
（从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD ）1、证明：这个证明就比较简单了。
可以过P 做圆的切线，也可以连接CB 和AD 。
证相似。
存在：PA PB PC PD ⋅=⋅2、练习如下图，过点P 作O ⊙的两条割线分别交O ⊙于点A B 、和点C D 、，已知32PA AB PC ===，，则PD 的长是( )A ．3B ．7.5C ．5D ．5.5。
圆幂定理
圆幂定理定义圆幂=PO^2-R^2|所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。
统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。
（推论）过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B （可重合，即切线），L2与圆交于C、D。
则PA·PB=PC·PD。
若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （要加绝对值，原因见下）为定值。
这个值称为点P到圆O的幂。
（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2| 故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于A、B，那么PA·PB等于圆幂的绝对值。
（这就是“圆幂”的由来）证明圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统一归纳为圆幂定理）问题1相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等。
证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。
∴△PAC∽△PDB，∴PA:PD=PC:PB，PA·PB=PC·PD问题2割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有PA·PB=PC·PD，当PA=PB，即直线AB重合，即PA切线时得到切线定理PA^2=PC·PD 证明：（令A在P、B之间，C在P、D之间）因为ABCD为圆内接四边形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC与三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项几何语言：∵PT 切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT^2=PA·PB（切割线定理）推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PBA、PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）问题3过点P任作直线交定圆于两点A、B，证明PA·PB为定值（圆幂定理）。
数学圆幂定理
数学圆幂定理圆幂定理，是平面几何中的一个重要定理，它描述了一个点到一个圆或两个圆的幂的关系。
圆幂定理有多种形式和推广，是解决几何问题的有力工具。
圆幂定理的基本形式是：如果一条直线同时切割两个圆，那么这条直线上的任意一点到两个圆的切线段的乘积是一个常数，这个常数叫做这个点到两个圆的幂。
数学上，可以用公式表示为：$$PA \cdot PB = PC \cdot PD$$其中，$P$是直线上的任意一点，$A$和$B$是直线分别与第一个圆的两个交点，$C$和$D$是直线分别与第二个圆的两个交点，如下图所示：!圆幂定理的基本形式圆幂定理的一个特殊情况是：如果一条直线同时切割一个圆，那么这条直线上的任意一点到圆的切线段的平方是一个常数，这个常数叫做这个点到这个圆的幂。
数学上，可以用公式表示为：$$PA^2 = PB^2$$其中，$P$是直线上的任意一点，$A$和$B$是直线与圆的两个切点，如下图所示：!圆幂定理的特殊情况圆幂定理的一个推广是：如果一条直线同时切割两个圆，那么这条直线上的任意一点到两个圆的切线段的比值是一个常数，这个常数叫做这个点到两个圆的幂比。
数学上，可以用公式表示为：$$\frac{PA}{PC} = \frac{PB}{PD}$$其中，$P$是直线上的任意一点，$A$和$B$是直线分别与第一个圆的两个切点，$C$和$D$是直线分别与第二个圆的两个切点，如下图所示：!圆幂定理的推广圆幂定理的一个应用是：如果一个三角形的外接圆和内切圆相切于一点，那么这个点到三角形的三条边的垂线段的乘积是一个常数，这个常数叫做这个三角形的幂积。
数学上，可以用公式表示为：$$PH \cdot PK \cdot PL = rR^2$$其中，$P$是外接圆和内切圆的切点，$H$，$K$，$L$是$P$到三角形的三条边的垂足，$r$是内切圆的半径，$R$是外接圆的半径，如下图所示：!圆幂定理的应用圆幂定理是一个简单而深刻的定理，它揭示了点和圆之间的一种基本的几何关系，它可以用来解决很多关于圆和三角形的几何问题，也可以推导出很多其他的几何定理，是平面几何中的一个重要的基础知识。
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圆幂的定义
假设平面上有一圆O，其半径为R，有一点P在圆O外，则OP^2-R^2即为P点到圆O的幂；
若P点在圆内，则圆幂为R^2-OP^2；
综上所述，圆幂为|OP^2-R^2|。
圆幂恒大于或等于零。
圆幂的由来
过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。
则PA·PB=PC·PD。
若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （要加绝对值，原因见下）为定值。
这个值称为点P到圆O的幂。
（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）
若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2|
故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于A、B，那么PA·PB等于圆幂的绝对值。
圆幂定理
定理内容
过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有。
[1]
圆幂定理的所有情况
考虑经过P点与圆心O的直线，设PO交⊙O与M、N，R为圆的半径，则有
圆幂定理的证明
图Ⅰ：相交弦定理。
如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。
相交于点P，连接AB、BD，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以。
所以有：
，即：
图Ⅱ：割线定理。
如图，连接AD、BC。
可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以有
，同上证得
图Ⅲ：切割线定理。
如图，连接AC、AD。
∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有∠PAC=∠D，又因为∠P为公共角，所以有
易证
图Ⅳ：PA、PC均为切线，则∠PAO=∠PCO=直角，在直角三角形中：OC=OA=R，PO为公共边，因此
所以PA=PC，所以
综上可知，
是普遍成立的。
证明完毕
最新文件仅供参考已改成word文本。
方便更改。