定积分微元法及其应用
定积分的几何应用
一、微元法
微元法也称微元分析法, 它是定积分应用的基础, 给出了用定积分方法解决各种求和问题的一般方法. 定积分作为一种数学方法, 研究的是某些量的计算问 题. 记所研究的量为 Q , 量 Q 如果符合下列条件:
(1) Q 是与一个变量 x 的变化区间[a, b]有关的量;
(2) Q 对于区间 [ a , b ] 具有可加性, 也就是说, 如果把区间 [ a , b ] 分成许多部分区间, 则 Q 相应地 分成许多部分量, 而 Q 等于所有部分量之和;
以 x 为积分变量, x [ a , b ] 取 [ x, x+dx ] [ a , b ], 在[ x , x + dx]上立体的体积可以近似看成以 y (x) 为底面
半径, 高为 dx 的小圆柱体的体积, 见图5-17, 则体积
元素为 dV = [ f ( x ) ] 2 dx. 旋转体的体积为
(3) Q = dQ ( x ) + o ( x ).
则整体量 Q
b
Q(x)dx.
a
微元法或微元分析法遵循如下三个步骤:
第一步: 确定整体量 Q 的变化区间, 比如 Q ( x ) 的变化区间为[ a , b ] .
第二步: 对具有可加性的 Q ( x ) , 考察增量 Q ( x ) , 如能写成 Q ( x) = dQ ( x ) + o ( x ) .
a2
x2
dx
2 ab2 a2 x2 dx 0 a2
2
b2 a2
a2x13x30a
4 ab2. 3
特殊地, 当 a = b 时, 得球的体积 V 4 a 3 . 3
例5 求曲线 y = sin x ( 0 x ) 及 x 轴所围成的
定积分的应用之微元法
定积分应用的微元法： 定积分应用的微元法
) (一 在 区间 [a,b] 上任取一 个微小 区间 [x, x + dx] ，然后写 出 值， 为 在 个 这 小区 上的 分 ∆F 的 似 ，记 dF = f (x)dx (称 F 间 部 量 近 值 为 的微元) 的微元);
[ 上积分（无限累加） d ，即得 （二） 将微元 F 在a,b] 上积分（无限累加） 即得 ，
各部分量之和， 各部分量之和，即F = ∑F . i
上的分布是不均匀的， (2) 所求量 F 在区间 [a,b] 上的分布是不均匀的， 比. 也 是说 F 的 与 就 ， 值 区间 [a,b] 的 不 正 .（ 则 长 成 比 否 的 得， 了） 话 F使 初 方 ， 用 等 法即 求 ， 勿 可 得 而 需用 分 法 ） 积 方 了 .
y = x2 , 得交点（ 解方程组 2 得交点（0，0）及（1，1）. y = x,
选择积分变量，写出面积微元， (2) 选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作 dA均可 习惯上 x 均可， 取竖条， 取 为积分变量， 围为[0 [0， ， 取竖条 即 x 为积分变量， 变化范 ， 围为 ， [0 1]， 1]，于是 2
n i=1
第三步：写出整体量 F 的近似值，F = ∑∆F ≈∑ f (ξi )∆xi ； 的近似值， 第三步： i
i=1
n
第四步： 极限， 第四步：取λ = max{∆xi } →0时的∑ f (ξi )∆xi 极限，则得
i=1
n
F = lim∑ f (ξi )∆xi = ∫ f (x)dx .
b
a b
y
y = f ( x)
y y = f ( x)
微元法及定积分的几何应用
y
y f (x)
dV [ f ( x)]2 dx
旋转体的体积为 o
V b [ f (x)]2 dx a
a
x
x dx
bx
A( x) [ f ( x)]2
例1 连接坐标原点 O 及点P(h, r )的直线、直线
x h及 x 轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴
旋转构成一个底半径为 r、高为 h 的圆锥体，
3
O
ax
类似地, 如果旋转体是由连续曲线 x ( y)、
直线 y c 、y d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴
旋转一周而成的立体，体积为 y
dd x ( y)
o
c
x
例3 求由抛物线 y 2 x2 ,直线 x 1及 x 轴所围 图形,绕 x 轴及 y 轴旋转而成的旋转体的体积.
o a xi1 i xi b x
Ai ：第i个小曲边梯形面积
定积分的定义表达式：
b
f (x)dx
a
n
lim 0
i 1
f (i ) xi
1、分割： [a,b] 分成n个小区间
[xi1, xi ] xi xi xi1
曲边梯形面积： A n Ai i 1
2、平行截面面积为已知的立体的体积
一个立体,夹在平面x a 和x b 之间,被垂直于 x 轴的平面所截的截面积为 A( x) ,则该立体的体积为
A(x)
a
x x+d
x
bx
例1 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中
心, 并与底面交成角 ,计算这平面截圆柱体所
得立体的体积.
解 建立坐标系如图,
第十讲 微元法思想与定积分应用
y
y f2(x)
oa
A
A
y f1( x)
b xoa
bx
b
A a f ( x)dx
b
A a[ f2( x) f1( x)]dx
极坐标情形
r ( )
d
r 1( )
r 2( )
o
x
o
x
A 1 [ ( )]2 d 2
A
123
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
133
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
143
小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限．
分、粗、和、精 ２．定积分的思想和方法：
分割 求和 取极限
化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
积零为整
dx的乘积，就把 f ( x)dx 称为量U 的元素且记作
dU ，即dU f ( x)dx ；
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b ，
即为所求量U ．
5、定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积
直角坐标情形
y
y f (x)
y f (x)
y
A?
oa
bx
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
定积分中微元法及其应用研究
定积分中微元法及其应用研究作者：李阳来源：《现代盐化工》2019年第02期摘; ;要：解决定积分的应用问题常用“分割，近似求和，取极限”来导出所求量的积分形式，在积分学中微元法这一方法能够把复杂的问题简单化。
着重讨论微元法的思想和微元法在几何中的应用，令学者对定积分中微元法有进一步了解，然后介绍这一方法如何将实际问题抽象转化为定积分，并且讨论了微元法在物理学、经济学、几何学等方面的应用。
关键词：定积分;微元法;应用探析积分学中的定积分模块在物理、经济、几何等其他学科技术中都有广泛的应用。
在高等数学中，在适当的情况下运用定积分中的微元法能令一些实际问题简单化，并且就现代关于微元法在定积分中应用的研究情况来看，微元法在定积分的应用方面至关重要。
微元法不仅在数学、物理、经济方面都有应用，在化工、经济、生物、医學等领域亦有广泛应用，如生物群落量的计算、心脏输出量的测定、人口统计、单位时间内的血流量、化学反应物的生成等。
3; ; 结语阐述了定积分中微元法在生活中的应用，这一思想方法能够将实际问题简单化，体现微元法这一思想方法的广泛应用性。
随着学者对积分学深入的研究，正确了解并掌握微元法这一思想方法对数学学科的研究具有重作用。
[参考文献][1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2004.[2]同济大学，浙江大学.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2004.[3]刘隆复，马驷良，陈守东.数学分析习题讲义[M].吉林：吉林大学出版社，1986.[4]戴启润.大学物理[M].郑州：郑州大学出版社，2008.[5]吴汉华.定积分的微元法及其应用[J].漳州职业技术学院学报，2006，8（3）：101-104.[6]王志强，刘彩霞.积分微元法及其应用研究[J].湖北第二师范学院学报，2009，26（8）：9-10.。
定积分的应用：定积分的微元法
step3:
计 算A
b
f(x)dx
a
பைடு நூலகம்
这种方法称为定积分的微元法。
构造微元的基本思想及解题步骤
1. 构造微元的基本思想 无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。 元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、
“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须 是无穷小量之间的代替。将局部 [x,xd]x [a,b]上所对 应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成
定积分 b f (x)dx ． a
2. 在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤： ①选取适当的坐标系；
②确定积分变量和变化范围；
③在[x, xdx]上求出微元解析式（积分式）。
④把所求的量表示成定积分
b a
f
( x )dx.
3。局 部 A if(量 i) A i,且误 o ( x i)差为
实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第 二步，因此求解可简化如下：
step1: 选取积分变量及积分 区间（如x属于[a, b]）
step2: 取微区间[x, x+dx]
求出 D A f(x)dx(局 部 量 )
并 记 d A f( x ) d x 称 为 面 积 元 素
通过对不均匀量如曲边梯形的面积变速直线运动的路程的分析采用分割近似代替求和取极限四个基本步骤确定了它们的值并由此抽象出定积分的概念我们发现定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具
定积分的微元法
通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线 运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、 取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象 出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不 均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量 可以通过定积分来求值呢？
微元法与定积分的应用
如果 f (x) 在 [a, b] 上有正有负，那么它的面积 A 的微元应是以 | f (x) | 为高，dx 为底的矩形面积，
即 dA= | f (x) |dx .
于是，总有
b
A a | f ( x) | dx.
y
f (x)
Oa
x x+dx
bx
dA
例 1 求由曲线 y = x3 与直线 x = - 1，x = 2 及 x 轴所围成的平面图形的面积．
dA
( x2
-
x1 )dy
( y
4) -
y2 2
dy,
y
4
于是
A
4 -2
(
y
4)
-
y2 2
dy
y + dy y
18.
如果选择 x 为积分变量， -2
那么它的表达式就比上式复杂.
y2 = 2x
(2,-2) A
B (8,4) y = x-4
x
例 4 求椭圆 x = a cos t，y = b sin t 的面积，其
n i 1
f ( xi )x
1
b
f (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)dx,
b-a a
即
y 1
b
f ( x)dx.
b-a a
例 5 求从 0 至 t 秒到这段时间内自由落体的 平均速度．
解 因为自由落体的速度为 v = gt， 所以，
v 1 t gudu 1 gt.
t-0 0
2
例 6 求 y = lnx 在 [1, 2] 上的平均值.
中 a > 0，b > 0. 解 因为图形关于 x 轴、y
第五讲定积分的微元法定积分在几何中的应用(一).
第五讲 定积分的微元法 定积分在几何中的应用(一)一、定积分的微元法由引入定积分概念的两个实例不难看出， 可用定积分所求的量 A 具有以下 三个特点：1、量A 是分布在区间［a,b ］上的整体量，即A 与区间［a,b ］有关，在［a,b ］上连续分布。
3、量A 在区间［a,b ］上的分布是非均匀的。
现在来讨论如何用定积分解决一些实际问题。
复习求曲边梯形面积的方法，给出微元法的概念。
设f(x)在区间［a,b ］上连续，且f(x) 0，求以曲线取近 似 计算每 个小 区 间 上 面 积 A i 的 近 似 值 A if( i ) x i2、量A 具有可加性，即整体量等与部分量的和:nA i ；i1f (X )为曲边的［a,b ］上的曲边梯形的面积A .把这个面积A 表示为定积分A a bf (x)dx，求面积A 的思路是“分割、 取近似、求和、取极限”即: 1、分割 将［a,b ］分成n 个小区间，相应地把曲边梯形分成n 个小曲边梯形,其面积记作 A(i 1,2,,n),则 A A ；i12、(x i 1ix n ) ；3、求和求和得A 的近似值A nf( i )i1x i ；4、 n取极限 取极限得 A limi1f( i ) x ibf(x)dx ．为了以后使用方便，可把上述四步概括为下面两步， 设所求量为A ，区间yA 「为[a,b],1、无限细分，化整为零A f x dx ;2、连续求和，积零为整xbbbdA dA x d f x dx f x dx ， A dA dA x faaaa由此不难看出，f x dx 实际上就是量A 在点x 出的微分，将dA f x dx 称为量A 的微元，上述方法称为微元分析法，简称为微元法。
二、定积分在几何中的应用(一)平面图形的面积1、直角坐标系下面积的计算在dx 0时，将A 从a 到b 连续求和，则有：A f(x)dx. y n由于A 与区间［a,b ］有关，且在［a,b ］上连续分布,上限函数的定义则有：A x f x dx ，从而， x有积分axb X1、当平面图形是由曲线f(x)及直线xb 、y 0所围成时;bb细分区间［a,b ］，从中任取一小区间［x,x dx ］(dx x )，并求出相应于这个小区间的部分量a oA 的近似值///Jx X dx b Xx dx ；xxxf x dxd f x dx f x dxacbf x dx .d2、当平面图形是由曲线 伞yy iX 、y 2 f 2 x 及直线x a 、x b 所围成时;yy i f i xy 2 To xb x若y i y 2时，则有：A f 2 xf i xdxb bf 2 x dxf i aax dx般地,f 2 xf l x dxacf i x af 2 xd dxcf 2 bxf i x dxdf i x f 2 x dx3、当平面图形是由曲线 X i f i y 、 X 2 f 2 y 及直线yd 所围成时;d则：A 2 y 1 y dy .cx 例1、计算由两条抛物线y 2x例2、计算抛物线y22x与圆x2寸8所围平面图形的面积。
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定积分微元法及其应用
摘要：积分学中的定积分在几何、物理、经济管理等方面有着极其广泛的应用。
由于定积分的微元法通常往往能使一些实际问题简单化，因此，定积分的微
元法在定积分的应用方面至关重要。
本文首先简介定积分的微元法适用的所求量
以及定积分微元法在应用中的步骤，重点介绍积分微元法在几何、物理、经济管
理及日常生活等方面的应用。
关键词：定积分：微元法：应用
一、定积分的微元法适用的所求量
定积分的微元法是将实际问题设法转化为定积分问题的一种方法，通常，如
果所求量满
足三条：1.关于某一个区间有关；2.在区间上具有可加性，
即当把区间分成任意n个小区间时，相应的所求量也分成n个小部分，且所求量等于n个小部分之和，即；3.在上任取一个小区间，所求量的部分量能够近似表示成（即
所求量的微分元素），那么所求量就可以用定积分的微元法来求，即。
二.定积分微元法在应用中的步骤
定积分微元法就是将所研究的所求量进行无限细分，从中抽取某一微小部分
进行探探讨，通过分析，研究找出所求量的整体变化规律的方法。
通常利用定积
分微元法解决一些具体问题时，采用将所研究的所求量细分成很多微小的“元素”，而这些微小的“元素”具有相同的几何形态或物理规律，因此，我们仅需
要分析和研究其中的一个微小部分，利用所学的数学或物理的理论知识进行处理，以期达到用一个定积分表达式来求所求量的效果。
用定积分微元法将实际问题中的所求量抽象为定积分的步骤也基本相同，分
为3步，
1.根据题意，建立适当坐标系，画出草图（使得后面的选积分变量、确定积
分区间、寻找所求量的微分元素比较直观）；由于函数关系的建立是由所建立的
坐标系来决定的，坐标系的建立是否恰当，往往直接影响到寻找微分元素的难易
以及定积分计算的繁简程度。
因此，建立坐标系时，既要考虑到较易寻找所求量
的微分元素，还要考虑到后面的定积分的计算要相对较简单。
2.选取积分变量，并确定其变化区间。
积分变量选择的是否恰当，往往
直接决定着定积分的计算是简单还是繁琐。
因此，积分变量的选择是十分重要的。
在具体应用中，如果定积分的计算十分繁琐，甚至无法计算，这时，可以考虑更
换一下积分变量来处理解决。
3.在区间任取小区间，根据所学的数学或物理知识，求出所求量在上的微分元素，，这里选取所求量的微分元素需要满足条件：是比高阶的无穷小。
这是因为对于小区间上所求量的部分量，如果能够找到与成线性关系的表达式，使得，那么，
就有，由于我们要求的是所求量的精确值，而此式给出的是用的近似值累加的近似值，这时误差也将累加，要想使积分和的极限为所求量
的精确值，必须要求累加的误差的极限为零，这样就得到所求量的微分元素
需要满足条件：。
因此，第三步是定积分微元法步骤
中最关键的一步，也是最困难的一步，要通过具体的实例去探讨来掌握。
4.求定积分，即得到所求量。
三、定积分微元法的应用
定积分微元法在几何、物理、经济管理及日常生活等方面都有广泛应用，下
面将利用实际问题来探讨微元法在这些方面的应用。
1.
在几何中的应用
1.
过原点作对数曲线的切线,该切线与对数曲钱及轴围成的平面图形为
D。
（1）.求平面图形D的面积；（2）.求平面图形D绕直线旋转一周所形成旋转体的体积。
解：设所求面积为S，体积为V。
又设过原点作对数曲线的切线与曲线的切
点为，则切线方程为，又曲线得斜率为，在切点有，从而，，代入得，这样，就求得切点为，切线方程为。
（1）.选为积分变量，则它的变化区间为，在内任取小区间，则有，因此，（这里选为积分变量也可）。
（2）. 显然选为积分变量，则它的变化区间为，在内任取小区间，则有，因此。
2.在物理中的应用
例2. 半径为 R 的球沉人水中 , 顶部与水面平 , 球的比重为 l。
求将球从水中取出到刚离水面所做的功。
解：分析: 由于在球从水中取出的过程中, 球的所有微小的部分上升的总行程都是 , 又由于球的所有微小的部分在水中行程不做功, 因此，将球水平分割成许多微小的薄片,考虑这些微小的薄片在水面上移动所做的功的和。
建立直角坐标系如下：以轴在水平面上, 轴垂直于水平面、正方向向下的坐标系,则球的的剖面方程为: 。
选取积分变量为 , 则它的变化区间为
，在内任取小区间，则位于处的薄片的体积的微分元素为，又因为薄片在水面上移动的路程为: ，所以，所做的功的微分元素为：。
因此，。
3.在经济管理中的应用
例3.设鱼塘中有时，每千克鱼的捕捞成本为元，已知鱼塘中现有鱼一万公斤，试求从鱼塘中捕捞5千公斤鱼需要多少成本？
解：选为积分变量，则它的变化区间为 ,在内任取小区间，由于已经捕捞了鱼,此时,鱼塘现有鱼 ,再捕捞鱼的成本为
因此，捕捞5千公斤鱼的成本为（元）
4.在日常生活中的应用
例4.设某城市2020年的人口密度近似为，其中表示距离市中心公里区域内的人口数，单位为10万/。
试求距离市中心区域内的人口数。
分析：如果从市中心为起点引出一条极轴，在极轴上，从0到2之间任意分成n个小区间，则每个小区间就确定了一个以坐标原点为中心，分别以和为半径的圆环，我们估算一下在每个圆环中的人口数，然后，把他们相加就得到了人口总数。
由于对应于小区间圆环的面积为：，又当n很大时，很小，所以，人口密度可近似看作常数，这样，在此圆环内，人口数近似为：，由于此近似式的第二项当
时，为的高阶无穷小，因此，即为小区间上的微
分元素。
解：以市中心为坐标原点建立直角坐标系，选为积分变量，则它的变化区
间为，在内任取一个小区间，则，因此，距离市中
心区域内的人口数为。
结语：本文主要阐述了定积分微元法在几何、物理、经济管理方面的应用，
从中我们看到定积分的微元法通常往往能够将实际问题中的所求量简单化，随着
对积分学深入的学习和研究，正确了解并掌握微元法这一思想方法，对数学学科
的研究及其应用具有重要作用。
参考文献：
[1]王志强.刘彩霞.积分微元法及其应用研究[J]湖北第二师范学院学报2009.（8）.9-10
[2]李阳.定积分中微元法及其应用研究[J] 现代盐化工2019（2）.119-120．
[3]吴汉华.定积分的微元法及其应用[J].漳州职业技术学院学报，2006，8（3）：101-104.
[4]罗蕴玲.杨卓等.伴你学数学-高等数学及其应用导学[M]（第二版）.北京：高等教育出版社，2016.
4。