微元法及定积分的几何应用教案
定积分的应用元素法教案
上连续, 则对应于小区间
的体积元素为
dV A(x) d x 因此所求立体体积为
b
V a A(x) d x
A( x)
ax
bx
特别 , 当考虑连续曲线段
轴旋转一周围成的立体体积时, 有
V bπ[ f (x)]2 dx a
y
y f (x)
当考虑连续曲线段
O ax b x
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,
b
A a f (x) dx
y y f1(x) y f2 (x)
右下图所示图形面积为
b
A a f1(x) f2 (x) dx
O axxdx b x
例1. 计算两条抛物线 图形的面积 .
解: 由
得交点 (0, 0) , (1, 1)
1
AdA (
x x2)dx
0
1 3
在第一象限所围
y
y2 x y x2
O
x
例2. 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围图形 的面积 .
解: 由
得交点
(2, 2) , (8, 4)
y
ydy y
y2 2x (8, 4)
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
A
d
A4
2
(
y
4
1 2
y
2
)
d
y
O
yx4 x
(2, 2)
18
例3. 求椭圆
所围图形的面积 .
0
0
几个常见极坐曲线
a
ra
0 2
x2 y2 a2
r a sin 0
x2 (y a)2 a2 24
定积分的计算和应用教案
定积分的计算和应用教案一、引言定积分是微积分的重要概念之一，广泛应用于各个领域。
在本教案中，我们将介绍定积分的计算方法以及它在实际问题中的应用。
二、定积分的计算方法1. Riemann和定积分Riemann和定积分是定积分最基础的计算方法之一。
它通过将区间分成若干小区间，并在每个小区间上取样点来逼近曲线下的面积。
2. 积分基本公式积分基本公式是定积分的重要工具，它包括线性性质、分部积分、换元积分等。
通过运用这些公式，我们可以简化计算过程，提高效率。
3. 定积分的几何意义定积分的几何意义是指定积分可以表示曲线下的面积。
我们可以通过划分区间，近似求解曲线与x轴之间的面积，从而得到定积分的几何意义。
4. 定积分的数值计算定积分的数值计算可以通过数值积分方法来实现，其中包括梯形法则、辛普森法则等。
这些方法可以在计算机上进行快速计算，提高计算精度和效率。
三、定积分在实际问题中的应用1. 曲线长度的计算定积分可以用来计算曲线的长度。
通过将曲线分割成小线段，计算每个小线段的长度并求和，即可得到曲线的总长度。
2. 平面图形的面积定积分可以用来计算平面图形的面积。
通过将图形分成若干小区域，计算每个小区域的面积并求和，即可得到图形的总面积。
3. 物体的质量和质心定积分可以用来计算物体的质量和质心。
通过将物体分成若干小部分，计算每个小部分的质量和质心的位置，并求和，即可得到物体的总质量和质心的位置。
4. 动力学问题定积分在动力学问题中有广泛的应用。
例如，通过计算物体在某段时间内受到的力的积分，可以求解物体的位移、速度、加速度等动力学参数。
四、案例分析以汽车行驶过程中的路程计算为例，通过定积分来计算车辆在不同时间段内的行驶路程。
通过将时间段分割成若干小时间段，计算每个小时间段内的速度，并将速度与时间段长度相乘求和，即可得到总行驶路程。
五、总结本教案介绍了定积分的计算方法和应用，包括Riemann和定积分、积分基本公式、定积分的几何意义和数值计算方法等。
最新微元法及定积分的几何应用教案
教案教学目的与要求：1.正确理解和掌握定积分微元法的基本思想；2.掌握用定积分解决平面图形面积的问题；3.培养学生分析问题解决问题的能力和数形结合的观念重点：1、微元法及其基本思想；2、求平面图形的面积 难点：微元法的基本思想教学内容与教学组织设计（45分钟）：第6.5节：定积分的几何应用1 复习定积分的概念，引入微元法的思想 ………………………..15分钟定积分的概念⎰badx x f )(01lim ()ni i i f x λξ→==∆∑.教学安排 课 型：理论 教学方式：讲授 教学资源多媒体、板书授课题目（章、节） 第6.5节：定积分的几何应用通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼，可得用定积分计算某个量U 的步骤: (1) 选取积分变量，并确定它的变化区间[,]a b ；(2) 求微元：将区间[,]a b 分成若干小区间，取其中的任一小区间[,]x x dx +，求出它所对应的部分量的近似值：()U f x dx ∆≈ (()f x 为[,]a b 上的连续函数 )则称()f x dx 为量U 的微元，且记作()dU f x dx =；(3) 列积分：以U 的微元dU 作被积表达式，以[,]a b 为积分区间，得()baU f x dx =⎰.这个方法叫做微元法。
微元法实质：找出U 的微元dU 的微分表达式dU=f(x)dx 。
3 求平面图形的面积 …………………………………..17分钟类型一：D1型区域 （教师主导并详细讲解）如图1，由曲线()y f x =及直线x a =、()x b a b =<与x 轴所围成的曲边梯形面积A. 讲解：（板书）(1) 选变量：选x 为积分变量(2) 求微元：在区间微元[,]x x dx +上，取x ξ=，则 ()dA f x dx = 图1 (3) 列积分：()baA f x dx =⎰练习：（学生自主根据微元法进行分析，然后教师讲解）如图2，求由曲线 ()y f x = 与 ()y g x = 及直线 x a =、()x b a b =<且()()f x g x ≥所围成的图形面积A 。
微元法及其应用说课教案
微元法及其应用课程名称：适应对象：一、教学目标1.1 知识目标①理解微元法的思想、方法；②掌握微元法适应性条件；③掌握微元法在几何和电工学中的应用；④了解微元法思想的形成与发展。
1.2 能力目标①培养学生从具体几何、电工问题中抽象、提炼出数学问题并建立积分模型的能力；②培养学生探究发现的基本能力。
1.3 情感目标①增强学生的应用意识和探究精神；②体验数学与专业学习的密切联系，激发学生的数学学习热情。
二、内容定位2.1 学习任务分析学生已有的相关知识：定积分的概念和性质，Newton-Leibniz公式及定积分的简单计算，定积分的几何意义及求简单平面图形的面积，积累了初步用定积分解决问题的经验。
存在的问题：虽然已初步掌握了定积分的基本思想，但对其理解不深刻，所以，要理解建立在定积分思想基础上的微元法思想会有一定的难度；同时，学生数学应用能力不强，知识迁移能力较弱，所以，如何根据不同问题的特点确定所求“总量”的微元，是学生学习的另一个难点。
课型：建立在学生已经学完定积分基本理论基础上的一次实践课。
2.2 教学重点与难点重点：①理解微元法的思想、方法和应用步骤；②掌握微元法在几何和电工方面的简单应用。
难点：①微元法思想的理解；②合理选择积分变量，求出“总量”的微元。
三、教学进程安排3.1 教学基本流程3.2 教学过程设计1. 教学环节1：情境设疑(幻灯)曲线弧长、旋转体体积、水压力、变力做功和平均功率等问题的图片。
(教师)本次课的任务为定积分的应用。
(幻灯)设疑1，如何描述应用定积分理论解决实际问题的基本过程？(教师)让学生对定积分应用有一个整体认识，形成整体概念。
(幻灯)设疑2，上述过程中最核心的步骤是哪一步？(教师)强调利用积分思想建立实际问题的积分模型的重要性。
(幻灯)设疑3，试通过回顾用定积分定义求曲边梯形面积、变速直线运动物体路程，总结定积分的基本思想和方法？注意：结合曲边梯形面积求解的几何演示（幻灯）。
5.6定积分的几何应用
x
9
例13. 求由y = x2及x = y2所围图形绕y轴旋转一周所 生成立体的体积。
y y2 = x (1,1)
y = x2
O
x
10
A f ( x ) dx
a b
dA f 2 ( x) f1 ( x) dx
曲边梯形的面积
A f 2 ( x ) f 1 ( x ) dx
a
5
b
例1. 计算两条抛物线y = x2，y2 = x所围图形的面积。 解：由 得交点 (0 , 0) , (1 , 1) y
1 y2 = x
A Ai f ( i )x i
n
n
（4）取极限
A lim f ( i )x i
0 i 1
i 1
n i 1
记作
a f ( x )dx
2
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在实际应用时，A f ( x )x dA
称dA为面积元素。
然后把dA在[a, b]上作定积分，
y
dA
y f ( x)
第五章
第六节 定积分的几何应用
一、微元法基本思想 二、平面图形的面积
三、体积
1
一、微元法基本思想
1. 回顾曲边梯形的面积问题
具体步骤 “四步曲”
y
y f ( x)
o a
b x
（1）分割 把原曲边梯形分成 n个窄曲边梯形, 第i个窄曲边梯形面积记为Ai ; （2）代替 Ai f ( i )x i i [ x i 1 , x i ] （3）求和
(1,1)
取y为积分变量, 变化范围为[0,1] 得面积元素
y+dy y
第五讲定积分的微元法定积分在几何中的应用(一).
第五讲 定积分的微元法 定积分在几何中的应用(一)一、定积分的微元法由引入定积分概念的两个实例不难看出， 可用定积分所求的量 A 具有以下 三个特点：1、量A 是分布在区间［a,b ］上的整体量，即A 与区间［a,b ］有关，在［a,b ］上连续分布。
3、量A 在区间［a,b ］上的分布是非均匀的。
现在来讨论如何用定积分解决一些实际问题。
复习求曲边梯形面积的方法，给出微元法的概念。
设f(x)在区间［a,b ］上连续，且f(x) 0，求以曲线取近 似 计算每 个小 区 间 上 面 积 A i 的 近 似 值 A if( i ) x i2、量A 具有可加性，即整体量等与部分量的和:nA i ；i1f (X )为曲边的［a,b ］上的曲边梯形的面积A .把这个面积A 表示为定积分A a bf (x)dx，求面积A 的思路是“分割、 取近似、求和、取极限”即: 1、分割 将［a,b ］分成n 个小区间，相应地把曲边梯形分成n 个小曲边梯形,其面积记作 A(i 1,2,,n),则 A A ；i12、(x i 1ix n ) ；3、求和求和得A 的近似值A nf( i )i1x i ；4、 n取极限 取极限得 A limi1f( i ) x ibf(x)dx ．为了以后使用方便，可把上述四步概括为下面两步， 设所求量为A ，区间yA 「为[a,b],1、无限细分，化整为零A f x dx ;2、连续求和，积零为整xbbbdA dA x d f x dx f x dx ， A dA dA x faaaa由此不难看出，f x dx 实际上就是量A 在点x 出的微分，将dA f x dx 称为量A 的微元，上述方法称为微元分析法，简称为微元法。
二、定积分在几何中的应用(一)平面图形的面积1、直角坐标系下面积的计算在dx 0时，将A 从a 到b 连续求和，则有：A f(x)dx. y n由于A 与区间［a,b ］有关，且在［a,b ］上连续分布,上限函数的定义则有：A x f x dx ，从而， x有积分axb X1、当平面图形是由曲线f(x)及直线xb 、y 0所围成时;bb细分区间［a,b ］，从中任取一小区间［x,x dx ］(dx x )，并求出相应于这个小区间的部分量a oA 的近似值///Jx X dx b Xx dx ；xxxf x dxd f x dx f x dxacbf x dx .d2、当平面图形是由曲线 伞yy iX 、y 2 f 2 x 及直线x a 、x b 所围成时;yy i f i xy 2 To xb x若y i y 2时，则有：A f 2 xf i xdxb bf 2 x dxf i aax dx般地,f 2 xf l x dxacf i x af 2 xd dxcf 2 bxf i x dxdf i x f 2 x dx3、当平面图形是由曲线 X i f i y 、 X 2 f 2 y 及直线yd 所围成时;d则：A 2 y 1 y dy .cx 例1、计算由两条抛物线y 2x例2、计算抛物线y22x与圆x2寸8所围平面图形的面积。
定积分的简单应用参考教案
定积分的简单应用教学目标：1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法，以及利用定积分求一些简单的旋转体的体积；4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。
教学重点：几种曲边梯形面积的求法。
教学难点：定积分求体积以及在物理中应用。
教学过程： 一、问题情境1、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义是什么？3、微积分基本定理是什么？ 二、数学应用（一）利用定积分求平面图形的面积 例1、求曲线],[sin 320π∈=x x y 与直线,,320π==x x x 轴所围成的图形面积。
答案： 2332320=-=⎰ππo x xdx S |cos sin ＝ 变式引申：1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。
答案：33233323132231=-+=--⎰|))x x x dx x x S （－＋（＝ 2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3和N （3，0 略解：42+-=x y / ，切线方程分别为34-=x y 62+-=x y ，则所求图形的面积为49346234342233232＝＝dx x x x dx x x x S )]()[()]()[(-+--+-+-+---⎰⎰3、求曲线x y 2log =与曲线)(log x y -=42以及x 轴所围成的图形面积。
略解：所求图形的面积为dy dy y f y g S y ⎰⎰⨯-=-11224)()()(【＝e e y y 210224224log |)log -=⨯-=（4、在曲线)0(2≥=x x y 上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为121.试求：切点A 的坐标以及切线方程.略解：如图由题可设切点坐标为),200x x （为2002x x x y -=，切线与x 轴的交点坐标为),(020x，则由题可知有121220200220200-+=⎰⎰x x dx x S x x x ( 10=∴x ，所以切点坐标与切线方程分别为12),1,1(A -=x y总结：1、定积分的几何意义是：a x x f y b a ==与直线上的曲线在区间)(],[、x b x 以及=轴所围成的图形的面积的代数和，即轴下方轴上方－x x ba S S dx x f =⎰)(.因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数］［０ π2,sin ∈=x x y 的图像与x 轴围成的图形的面积为4,而其定积分为0.2、求曲边梯形面积的方法与步骤：（1） 画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（2） 对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； （3） 确定被积函数；（4） 求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。
微元法及定积分的几何应用教案
教案教学目的与要求：1.正确理解和掌握定积分微元法的基本思想；2.掌握用定积分解决平面图形面积的问题；3.培养学生分析问题解决问题的能力和数形结合的观念重点：1、微元法及其基本思想；2、求平面图形的面积 难点：微元法的基本思想教学内容与教学组织设计（45分钟）： 第6.5节：定积分的几何应用1 复习定积分的概念，引入微元法的思想 ………………………..15分钟 定积分的概念 ⎰ba dx x f )(01lim ()ni i i f x λξ→==∆∑.教学安排课 型：理论 教学方式：讲授 教学资源多媒体、板书 授课题目（章、节）第6.5节：定积分的几何应用通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼，可得用定积分计算某个量U 的步骤:(1) 选取积分变量，并确定它的变化区间[,]a b ；(2) 求微元：将区间[,]a b 分成若干小区间，取其中的任一小区间[,]x x dx +，求出它所对应的部分量的近似值：()U f x dx ∆≈ (()f x 为[,]a b 上的连续函数 )则称()f x dx 为量U 的微元，且记作()dU f x dx =；(3) 列积分：以U 的微元dU 作被积表达式，以[,]a b 为积分区间，得()b a U f x dx =⎰.这个方法叫做微元法。
微元法实质：找出U 的微元dU 的微分表达式dU=f(x)dx 。
3 求平面图形的面积 …………………………………..17分钟 类型一：D1型区域（教师主导并详细讲解）如图1，由曲线()y f x =及直线x a =、()x b a b =<与x 轴所围成的曲边梯形面积A.讲解：（板书）(1) 选变量：选x 为积分变量(2) 求微元：在区间微元[,]x x dx +上，取x ξ=，则 ()dA f x dx = 图1(3) 列积分：()ba A f x dx =⎰练习：（学生自主根据微元法进行分析，然后教师讲解）如图2，求由曲线 ()y f x = 与 ()y g x = 及直线 x a =、()x b a b =<且()()f x g x ≥所围成的图形面积A 。
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教案
教学目的与要求：
1.正确理解和掌握定积分微元法的基本思想；
2.掌握用定积分解决平面图形面积的问题；
3.培养学生分析问题解决问题的能力和数形结合的观念
重点：1、微元法及其基本思想；2、求平面图形的面积 难点：微元法的基本思想
教学内容与教学组织设计（45分钟）：
第6.5节：定积分的几何应用
1 复习定积分的概念，引入微元法的思想 ………………………..15分钟
定积分的概念
⎰
b
a
dx x f )(0
1
lim ()n
i i i f x λξ→==∆∑. 教学安排 课 型：理论 教学方式：讲授 教学资源
多媒体、板书
授课题目（章、节） 第6.5节：定积分的几何应用
2 介绍微元法 …………………………………..5分钟
通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼，可得用定积分计算某个量U 的步骤: (1) 选取积分变量，并确定它的变化区间[,]a b ；
(2) 求微元：将区间[,]a b 分成若干小区间，取其中的任一小区间[,]x x dx +，求出它所对应的部分量的近似值：
()U f x dx ∆≈ (()f x 为[,]a b 上的连续函数 )
则称()f x dx 为量U 的微元，且记作()dU f x dx =；
(3) 列积分：以U 的微元dU 作被积表达式，以[,]a b 为积分区间，得()b
a
U f x dx =⎰
.
这个方法叫做微元法。
微元法实质：找出U 的微元dU 的微分表达式dU=f(x)dx 。
3 求平面图形的面积 …………………………………..17分钟
类型一：D1型区域 （教师主导并详细讲解）
如图1，由曲线()y f x =及直线x a =、()x b a b =<与x 轴 所围成的曲边梯形面积A. 讲解：（板书）
(1) 选变量：选x 为积分变量
(2) 求微元：在区间微元[,]x x dx +上，取x ξ=，则 ()dA f x dx = 图1 (3) 列积分：()b
a
A f x dx =
⎰
练习：（学生自主根据微元法进行分析，然后教师讲解）
如图2，求由曲线 ()y f x = 与 ()y g x = 及直线 x a =、()x b a b =<且
()()f x g x ≥所围成的图形面积A 。
利用微元法可得：
(1) 选变量：选x 为积分变量
(2) 求微元：在区间微元[,]x x dx +上，取x ξ=，
则 [()()]dA f x g x dx =- (3) 列积分：[()()]b
a
A f x g x dx =
-⎰
图2
归纳（D1型区域区域，根据微元法可得面积的计算式子）：
取x 为积分变量，积分区间为[,]a b ，被积函数为区域上方边界曲线函数减去下方边界曲线函数：()()f x g x -；
3 例题讲解 …………………………………………………10分钟
例1求由抛物线2
y x =与2
x y =所围成的面积. 解 题设曲线所围面积如图3所示,
由方程组
2
2
y x x y
⎧=⎨=⎩ 得二曲线的交点为(0,0),(1,1).
(1)选x 为积分变量，积分区间为[0,1]，上方边界曲线函数是y x =，下方边界曲线函数
是2
y x = 图3
故所求面积1
20()A x x dx =-⎰32
1
3023
3x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦1.3=
思考题：利用微元法，例题1是否有其他的解法？
4本节内容小结 …………………………………………………3分钟
（1）、微元法的基本思想；
（2）微元法的3个步骤；
（3）对D1型区域，如何计算区域面积。
作业：
1、预习并思考：如何对D2型区域求面积？如何用微元法求旋转体体积？
2、P206 EX-1,2
课后反思。