云南省民族大学附属中学2019届高三数学上学期期中试题文

云南省民族大学附属中学2019届高三数学上学期期中试题 文注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试卷上作答无效。

第Ⅰ卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{y |y ＝2x －1，x ∈A }，则A ∩B ＝A ．{1，3}B ．{1，2}C ．{2，3}D ．{1，2，3} 2．已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝A ．－2iB ．2iC ．－2D ．2 3．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于A ．32B ．23C ．－23D ．23或－234．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为A ．y ＝±12xB ．y ＝±22xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2x 5．阅读如右图所示的程序框图，输出的S 值为A ．0B ．1＋ 2C ．1＋22D ．2－16．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝A ．－34B ．34C ．－43D ．437．若(01)x ∈，，则下列结论正确的是A ．122lg xx x >> B ．122lg xx x >> C ．122lg xx x >> D ．12lg 2xx x >> 8．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A ．14＋2 2B ．14＋2 3C ．18D ．209．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为 A ．22 B ．23 C ．36 D ．2610．点P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，1260F PF ∠=︒，且12F PF ∆的三条边2||PF ，1||PF ，12||F F 成等差数列，则此椭圆的离心率是 A ．45 B ．34 C. 23 D ．1211．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|，|AB →|＝|AC →|＝3，则CB →·CA →的值为A ．3B ．－3C ．－92D ．9212．已知函数11()()2ln f x a x x x =--（a R ∈），()g x ax =-，若至少存在一个01[1]x e∈，，使得00()()f x g x >成立，则实数a 的取值范围为A ．(1)+∞，B ．[1)+∞，C ．(0)+∞，D ．[0)+∞，第Ⅱ卷二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x －y ＋1≥02x ＋y ＋2≥0表示的平面区域的面积是________．14．已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为 ． 15．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为 ．16．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，当n 为正奇数时，－n 2，当n 为正偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于 ．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2A ＋sin A sinB －6sin 2B ＝0．(1)求ab的值；(2)若cos C ＝34，求sin B 的值．18．（本题满分12分）某商场为吸引顾客消费，推出一项优惠活动．活动规则如下：消费每满100元可以转动如图1所示的圆盘一次，其中O 为圆心，目标有20元，10元，0元的三部分区域面积相等．假定指针停在任一位置都是等可能的．当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券．例如：某顾客消费了218元，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其共获得了30元优惠券．顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动．图1(1)若顾客甲消费了128元，求他获得的优惠券面额大于0元的概率； (2)若顾客乙消费了280元，求他总共获得的优惠券金额不低于20元的概率．19．（本题满分12分）如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60=∠ABC ，⊥PA 平面ABCD ，E 为PC 中点．(1)求证：平面BED ⊥平面ABCD ；(2)若90=∠BED ，求三棱锥BDP E -的体积．ADEP20．（本题满分12分）21．（本题满分12分）已知函数f (x )＝e x－ax (a ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若a ＝1，函数g (x )＝(x －m )f (x )－e x＋x 2＋x 在(2，＋∞)上为增函数，求实数m 的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数f (x )＝|3x ＋2|． (1)解不等式|x －1|＜f (x )；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n ＞0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a ＞0)恒成立，求实数a 的取值范围．2016级高三(上)期中考试数学(答案)(文)二．三．17．解 (1)因为sin 2A ＋sin A sinB －6sin 2B ＝0，sin B ≠0，所以⎝⎛⎭⎪⎫sin A sin B 2＋sin A sin B－6＝0，得sin A sin B ＝2或sin A sin B ＝－3(舍去)．由正弦定理得a b ＝sin Asin B＝2.(2)由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝34.①将ab＝2，即a ＝2b 代入①，得5b 2－c 2＝3b 2， 得c ＝2b .由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，得cos B ＝ 2b 2＋ 2b 2－b 22×2b ×2b ＝528，则sin B ＝1－cos 2B ＝148. 18．解 (1)设“甲获得优惠券”为事件A ．因为假定指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分区域的面积相等，所以指针停在20元，10元，0元区域内的概率都是13.2分顾客甲获得优惠券，是指指针停在20元或10元区域，所以甲获得优惠券面额大于0元的概率为P (A )＝13＋13＝23.5分(2)设“乙获得的优惠券金额不低于20元”为事件B ．因为顾客乙转动转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优惠券的金额为x 元，第二次获得优惠券的金额为y 元，则基本事件空间为Ω＝{(20,20)，(20,10)，(20,0)，(10,20)，(10,10)，(10,0)，(0,20)，(0,10)，(0,0)}，即Ω中含有9个基本事件，每个基本事件发生的概率都为19.8分而乙获得的优惠券金额不低于20元，是指x ＋y ≥20，所以事件B 中包含的基本事件有6个.10分所以乙获得的优惠券金额不低于20元的概率为P (B )＝69＝23.12分19．(1)证明：如图3，连接AC 交BD 于O 点，连接EO ，∵四边形ABCD 是菱形， AO CO =∴，∵E 为PC 中点， EO PA ∴ ，PA ⊥∵平面ABCD ，EO ⊥∴平面ABCD ，EO ⊂∵平面BED ，∴平面BED ⊥平面ABCD ．…………………………………（6分）(2)解：∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，BO DO ==∴ EO ⊥∵平面ABCD ，EO BD ⊥∴，BE DE =∴．90BED ∠=︒∵，EO ∴PA =∴E BDP P ABCD P ABD E BCD V V V V ----=--1111111323232BD AC PA BD AO PA BD CO EO =--=g g g g g g g g g g g g ．………………………………………………………………………………（12分）图321．解 (1)函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝e x－a .当a ≤0时，f ′(x )＞0，∴f (x )在R 上为增函数； 当a ＞0时，由f ′(x )＝0得x ＝ln a ，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0，∴函数f (x )在(－∞，ln a )上为减函数， 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )在(ln a ，＋∞)上为增函数． (2)当a ＝1时，g (x )＝(x －m )(e x－x )－e x＋x 2＋x ， ∵g (x )在(2，＋∞)上为增函数，∴g ′(x )＝x e x－m e x＋m ＋1≥0在(2，＋∞)上恒成立， 即m ≤x e x ＋1e x－1在(2，＋∞)上恒成立，令h (x )＝x e x ＋1e x－1，x ∈(2，＋∞)，h ′(x )＝（e x ）2－x e x－2e x（e x －1）2＝e x（e x－x －2）（e x －1）2. 令L (x )＝e x －x －2，L ′(x )＝e x－1＞0在(2，＋∞)上恒成立， 即L (x )＝e x－x －2在(2，＋∞)上为增函数， 即L (x )＞L (2)＝e 2－4＞0，∴h ′(x )＞0， 即h (x )＝x e x ＋1e x－1在(2，＋∞)上为增函数，∴h (x )＞h (2)＝2e 2＋1e 2－1，∴m ≤2e 2＋1e 2－1.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，2e 2＋1e 2－1. 22．解 (1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π). 4分(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以C (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线CD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.8分故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 10分23．解 (1)依题设，得|x －1|＜|3x ＋2|，所以(x －1)2＜(3x ＋2)2，则x ＞－14或x ＜－32，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞－14或x ＜－32.4分 (2)因为m ＋n ＝1(m ＞0，n ＞0)， 所以1m ＋1n＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝2＋m n ＋n m≥4，当且仅当m ＝n ＝12时，等号成立．令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x ＜－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x ＞a ，8分则x ＝－23时，g (x )取得最大值23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4.解得a ≤103.又a ＞0，因此0＜a ≤103.10分。