北京市中央民族大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题
1.2 空间向量的基本定理(精讲)(解析版)
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底{a，b，c} 中基向量与基底{e，f ，g} 基向量对应相等
【答案】C
【解析】 A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以 A 错.
B 项，空间基底有无数个, 所以 B 错. D 项中因为基底不唯一，所以 D 错.故选 C .
c
22
D．
1
a
1
b
c
22
【解析】O 为 A1C1 的中点，
AO
AA1
A1O
AA1
1 2
A1C1
AA1
1 2
A1B1 A1D1
AA1
1 2
AB AD
c
1
ab
2
c
1
a
1
b
．
22
故选： B ．
【一隅三反】
1．（2019·甘肃靖远。高二期末（理））如图，在三棱锥 P ABC 中，点 D ，E ，F 分别是 AB ，PA ，CD
【答案】C
【解析】: AB，AC，AD 共面，排除 A AB，AA1，AB1 共面，排除 B AC1，A1C，CC1 共面，排除 D D1A1，D1C1，D1D
三个向量是不共面的，可以作为一个基底.故选：C
空间向量基底.不共面的三个向量构成空间向量的基底
【一隅三反】
1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
2．（2018·全国高二课时练习）设向量 a, b, c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( )
A．{a b,b a,a}
B．{a b,b a,b}
2019-2020学年北京市首都师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年北京市首都师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题 1．复数21i i=+ A ．1i - B ．1i --C ．1i +D ．1i -+【答案】C 【详解】21i i =+2i(1i)1i 2-=+ ,选C. 2．双曲线221416x y -=的渐近线方程是（ ）A ．2y x =±B ．4y x =±C ．12y x =±D ．14y x =±【答案】A【分析】双曲线的焦点在x 轴上时，渐近线方程为by x a=±；焦点在y 轴上时，渐近线方程为ay x b=±.故首先要判断双曲线的焦点位置，再求解. 【详解】双曲线221416x y -=的焦点在x 轴上，故渐近线方程为b y x a =±,其中2,4a b ==，所以渐近线方程为2y x =±.故选：A【点睛】对于椭圆和双曲线，焦点位置有两种情况，所以首先要判断焦点位置，再用相关知识求解.3．某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外进行体育锻炼的时间（单位：分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[)[)[]0,5,5,10,35,40...,，做出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用直方图计算出各不同锻炼时间的学生人数分布，结合各选项确定符合人数分布的茎叶图即可.【详解】由直方图知：⨯⨯=人；[0,5):200.0151⨯⨯=人；[5,10):200.0151⨯⨯=人；[10,15):200.0454⨯⨯=人；[15,20):200.0252⨯⨯=人；[20,25):200.0454⨯⨯=人；[25,30):200.0353⨯⨯=人；[30,35):200.0353⨯⨯=人.[35,40):200.0252∴结合各选项的茎叶图知：只有B符合.故选：B.4．若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（ ） A ．37B ．45C ．67D ．1213【答案】D【分析】根据题意，设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A ，“一件是一等品，另一件不是一等品”为事件B ，分别求得P （AB ）和P （A ）的值，再利用条件概率的计算公式运算求得结果．【详解】解：根据题意，设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A ，“一件上一等品，另一件不是一等品”为事件B ，则P （A ）＝12628C C -=115132828-=，P （AB ）1126281228C C C ==， 则P （B |A ）()()1213P AB P A ==； 故选D ．【点睛】本题主要考查条件概率的求法，解答此题的关键是条件概率公式的灵活运用，属于基础题．5．在2nx ⎫⎪⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ） A ．112- B ．112 C ．1120- D ．1120【答案】B【分析】由二项式系数最大为第5项，根据二项式系数的对称性可知n 值，进而由二项式展开项通项公式确定常数项对应的r 值，求常数项即可. 【详解】由题设知：只有第5项的二项式系数为4n C 最大， ∴由对称性知：8n =，而展开式通项884331882()(2)r rr r r rr T C x C x x--+=⋅⋅-=-⋅⋅，∴2r时，常数项为2238(2)112T C =-⋅=.故选：B.6．双曲线C 的左右焦点分别为1F ，2F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为 AB．1+ C．1D．2+【答案】B【详解】试题分析：∵2y 4x =，∴焦点为(1,0)，即1c =，∵212212A A pAF F F x x ===+=+，∴1A x =， 即(1,2)A ，∴1AF =，则22a =，即1a =，∴21c ea．【解析】抛物线的标准方程及几何性质．7．直线():110l mx m y +--=（m 为常数），圆()22:14C x y -+=，则下列说法中：①当m 变化时，直线l 恒过定点()1,1-；②直线l 与圆C 有可能无公共点；③对任意实数m ，圆C 上都不存在关于直线l 对称的两点；④若直线l 与圆C 有两个不同交点,M N ，则线段MN 的长的最小值为 ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】由直线系方程可确定①定点，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断②，根据特殊情况1m =判断③，当圆心到直线的距离最大时，MN 的长最小求长度判断④.【详解】①：由直线方程得()10m x y y +--=，当01x y y +=⎧⎨=-⎩时方程恒成立，即过定点(1,1)-，错误；②：由题设，圆心为(1,0)，半径为2，而圆心到直线的距离：12d =≤<，错误；③：由②知：当1m =时，直线l 为1x =过圆心，显然此时圆上存在关于直线l 对称的点，错误；④：由②知：当1d =，即0m =时，MN 的长最小，此时直线l ：1y=-代入圆的方程得1x =±MN =正确.∴只有④正确. 故选：A.8．如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有 A ．50种 B ．51种 C ．140种 D ．141种【答案】D【详解】试题分析：小明共有6次选择，因为第一天和第七天均吃3个水果，所以在这6次选择中“多一个”和“少一个”的次数应相同、“持平”次数为偶数．当6次选择均为“持平”时，共有661C =种方案；当6次选择中有4次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各一次，共有246430A C =种方案；当6次选择中有2次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各2次，共有22264290C C C =种方案；当6次选择中有0次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各3次，共有336320C C =种方案.综上可得小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有1309020141+++=种方案,故D 正确. 【解析】排列组合，考查分类讨论思想.二、双空题9．复数12z i -=-，则z 的虚部是______，z =_________.【答案】2【分析】根据共轭复数的概念，结合已知z -可写出z 的代数形式，进而可得其虚部、模. 【详解】由已知，根据共轭复数得：12z i =+，∴z 的虚部是2，||z ==故答案为：2三、填空题10．随机变量()2~500,X N σ，且()490510=0.95P X ≤≤，则()510P X >=____.【答案】0.025【分析】利用正态分布的对称性，有1(490510)(510)2P x P X -≤≤>=即可求概率.【详解】由题设知：正态分布曲线关于500X =对称， ∴1(490510)(510)0.0252P x P X -≤≤>==.故答案为：0.025.11．若椭圆的方程为221102x y a a +=--，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________.【答案】4或8【分析】先由椭圆方程表示出焦距，再由题意列出方程，求解即可.【详解】因为221102x y a a +=--是椭圆的方程，所以100a ->且a 20->，所以210a <<,由椭圆的方程可得()2c 102122a a a =---=-，又2c 4=，所以1224a -=，解得4a =或8a =. 故答案为4或8【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，由椭圆的长半轴、短半轴以及半焦距之间的关系即可求解，属于基础题型.12．甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为_______（用数字作答） 【答案】80.【分析】分甲、乙排在丙左侧或右侧两种情况：先将甲、乙排在丙左侧排好，应用插空法依次将丁、戊插入队列中，最后根据对称性得到甲、乙排在丙右侧的排法，两种情况的排法加总.【详解】1、将甲、乙排在丙左侧有22A 种排法，即3人形成4个空， 2、将丁在4个空中插入有14C 种，即4人形成5个空， 3、将戊在5个空中插入有15C 种. ∴共有21124540A C C =种；将甲、乙排在丙右侧时，根据对称性也有40种，所以一共有80种排法. 故答案为：80.13．盒子里有五个大小一样，质地均匀的球，其中三个是红球，两个是黑球，现从中每次抽取一个球，每次抽取后均放回，直到抽出两次红球为止，但至多抽取四次，则恰好第四次停止的概率为__________. 【答案】44125【分析】先求出两次停止和三次停止的概率，再利用对立事件求出恰好第四次停止的概率.【详解】盒子里有五个大小一样，质地均匀的球，其中三个是红球，两个是黑球，现从中每次抽取一个球，每次抽取后均放回， 每次抽出红球的概率为：35， 直到抽出两次红球为止，但至多抽取四次，包括两次停止，三次停止和四次停止.两次停止的概率为：13395525P =⨯=’ 三次停止的概率为：223332336555555125P =⨯⨯+⨯⨯=， ∴恰好四次停止的概率为：12936441125125125P P --=--=. 故答案为：44125. 【点睛】概率的计算：①古典概型、几何概型直接套公式计算；②互斥事件同时发生的概率用概率加法、相互独立事件同时发生的概率用概率的乘法.③正面计算情况比较多的可以求其对立事件的概率.14．点()1,1A 为圆224x y +=内一点，,P Q 为圆上的动点，且=90PAQ ∠︒，则线段PQ 中点的轨迹方程为_______.【答案】2210x y x y +---=.【分析】由题设，设线段PQ 中点为00(,)B x y ，则||||||BP BQ BA ==且222||||||OP OB BA =+，即可写出中点B 的轨迹方程.【详解】由题设，若线段PQ 中点为00(,)B x y ，由=90PAQ ∠︒，∴||||||BP BQ BA ==，而22222||||||||||4OP OB BP OB BA =+=+=， ∴22220000(1)(1)4x y x y ++-+-=，整理得22000010x y x y +---=， ∴线段PQ 中点的轨迹方程为2210x y x y +---=. 故答案为：2210x y x y +---=.【点睛】关键点点睛：利用圆、直角三角形的性质，根据动点到定点距离的平方和为定值求轨迹.四、解答题15．某校组织知识竞赛。
2023北京高二(上)期末数学汇编：空间直线、平面的垂直
2023北京高一（上）期末数学汇编空间直线、平面的垂直一、单选题 1．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点E 是11D C 的中点，F 是侧面11ADD A 的中心，则F 到平面1EB C 的距离为（ ）AB C ．32D 2．（2023秋·北京平谷·高二统考期末）已知平面α，β，直线m ，n ，下列命题中真命题是（ ） A ．若m α⊥，m β⊥，则αβ⊥ B ．若m n ∥，m α⊥，则n α⊥ C ．若m α⊥，n β⊥，则αβ∥D ．若m α，αβ∥，n β⊂，则m n ∥3．（2023秋·北京密云·高二统考期末）设m ，n 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥B ．若//m α，//n α，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥4．（2023秋·北京西城·高二统考期末）在长方体1111ABCD A B C D −中，13,2,1AB BC AA ===，则二面角1D BC D −−的余弦值为（ ）A B C D 5．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）如图，平面α⊥平面β，l αβ=，A ，B 是直线l 上的两点，C ，D是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，4DA =，6AB =，8CB =，若平面α内的动点P 满足APD BPC ∠=∠，则四棱锥P ABCD −的体积的最大值为（ ）A ．24B ．C ．48D ．6．（2023秋·北京石景山·高二统考期末）在直四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 为直角梯形，1,,1,2,3,2AB CD AD AB CD AD AB DD ⊥====//，点M 在该四棱柱表面上运动，且满足平面1DD M ⊥平面1AAC ．当线段DM 的长度取到最大值时，直线DM 与底面ABCD 所成角的正弦值是（ ）A ．13B ．23C D 7．（2023秋·北京通州·高二统考期末）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥平面ABCD ，2AB AP ==，点E ，F 分别是PC ，PD 的中点，则点C 到平面AEF 的距离为（ ）A．2B C ．32D ．28．（2023秋·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，M ，N 分别为111,BD B C 的中点，P 为正方体1111ABCD A B C D −表面上的动点．下列叙述正确的是（ ）A ．当点P 在侧面11AA D D 上运动时，直线CN 与平面BMP 所成角的最大值为2πB ．当点P 为棱11A B 的中点时，CN ∥平面BMPC ．当点P 在棱1BB 上时，点P 到平面CNMD ．当点P NC ∉时，满足MP ⊥平面NCP 的点P 共有2个9．（2023秋·北京怀柔·高二统考期末）在长方体1111ABCD A B C D −中，AB =BC 11AA =，则直线1AC 与平面11BB C C 内直线所成的角中最小角为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°二、填空题10．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，11AB BB ==，BC =90ABC ∠=︒，CH xCB =，1(01,01)CP yCB x y =<≤≤≤．记(,)f x y AH HP =+，给出下列四个结论：①对于任意点H ，都存在点P ，使得平面AHP ⊥平面11A B P ； ②(,)f x y③满足(,)3f x y =的点P 有无数个；④当(,)f x y 取最小时，过点A ，H ，P其中所有正确结论的序号是________．11．（2023秋·北京西城·高二统考期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，2,AB E =为棱1DD 的中点，F 是正方形11CDD C 内部（含边界）的一个动点，且1//B F 平面1A BE .给出下列四个结论：①动点F 的轨迹是一段圆弧；②存在符合条件的点F ，使得11B F A B ⊥； ③三棱锥11B D EF −的体积的最大值为23；④设直线1B F 与平面11CDD C 所成角为θ，则tan θ的取值范围是⎡⎣.其中所有正确结论的序号是__________.12．（2023秋·北京石景山·高二统考期末）正方体1111ABCD A B C D −的棱长是1，则点1A 到平面11BB D D 的距离为_________．13．（2023秋·北京西城·高二北京师大附中校考期末）已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，点M ，N分别是棱BC ，C 1D 1的中点，点P 在平面1111D C B A 内，点Q 在线段A 1N 上，若PM =PQ 长度的最小值为____.三、解答题14．（2023秋·北京顺义·高二统考期末）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，12AC CC CB ===，且AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，E 为AB 中点．(1)求证：1BC AC ⊥； (2)求证：1//BC 平面1ACE 15．（2023秋·北京·高二清华附中校考期末）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，侧面11AAC C ⊥底面ABC ，D 为AC 中点，12AC AA ==，AB BC =(1)求证：1B C ∥平面1A BD ； (2)求证：平面1BDA ⊥平面11AAC C ；(3)若1=B C ，求三棱柱111ABC A B C 的体积．参考答案1．A【分析】连接1A D ，证明1//A D 平面1CEB ，进而将其转化为D 到平面1EB C 的距离，再根据等体积法求解即可.【详解】解：连接1A D ，因为F 是侧面11ADD A 的中心， 所以1F A D ∈，因为，由正方体的性质知1111//,A B CD A B CD =， 所以，11A B CD 是平行四边形， 所以11//A D CB ，因为1A D ⊄平面1CEB ，1CB ⊂平面1CEB 所以1//A D 平面1CEB ，所以，F 到平面1EB C 的距离与D 到平面1EB C 的距离相等， 设D 到平面1EB C 的距离为h1CEB 中，11EB CE B C ==112CEB S =⨯=△因为111111133D EB C BE CEB C CED D V V S h S B C −−==⋅⋅=△△，113111423323CED S B C ⨯⨯===⋅△，解得h所以，F 到平面1EB C 故选：A2．B【分析】根据线面垂直和面面垂直的性质与判定定理、线面平行的判定定理和性质依次判断选项即可. 【详解】对于A ：m α⊥，m β⊥，//αβ∴，故A 错误，对于B ：//m n ，m α⊥，n α∴⊥，由平行线中的一条直线垂直于一个平面， 则另一条也垂直于这个平面可知，故B 正确； 对于C ：m α⊥，n β⊥若m β⊂，由面面垂直判定定理可知αβ⊥，故C 错误；对于D ：//,//,m n ααββ⊂，//m n ∴或m 与n 互为异面直线或m 与n 相交，故D 错误. 故选：B . 3．A【分析】根据空间线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A 选项，根据线面垂直的定义可知，若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥，A 选项正确. B 选项，若//m α，//n α，则,m n 可能平行，所以B 选项错误. C 选项，若m α⊥，m n ⊥，则n 可能含于平面α，所以C 选项错误. D 选项，若//m α，m n ⊥，则n 可能含于平面α，所以D 选项错误. 故选：A 4．D【分析】画出长方体1111ABCD A B C D −，1D CD ∠为二面角1D BC D −−所成的平面角，求出1cos D CD ∠的值即可得出答案.【详解】长方体1111ABCD A B C D −中，13,2,1AB BC AA ===，1CD ∴BC CD ∴⊥，BC ⊥平面11DCC D ,1CD ⊂平面11DCC D ,1BC CD ∴⊥,又平面1D BC平面BCD BC =，∴1D CD ∠为二面角1D BC D −−所成的平面角，11cos CD D CD CD ∠== 所以二面角1D BC D −−. 故选：D.5．C【分析】根据已知可得36ADCB S =，则当四棱锥的高h 最大，即PAB 的高PE 最大即可.根据面面垂直的性质得出线线垂直关系结合APD BPC ∠=∠，可得2BP AP =.设APB θ∠=，AP m =，在APB △根据余弦定理结合面积公式得出h =由三边关系得到26m <<，即可得到4h ≤，代入体积公式即可求出结果.【详解】在平面β内，由DA l ⊥，CB l ⊥，可得//DA BC .又4DA =，8CB =，所以四边形ADCB 为直角梯形，()()114863622ADCB S AD BC AB =⨯+⨯=⨯+⨯=.要使四棱锥P ABCD −的体积的最大值，则只要四棱锥的高h 最大即可. 因为平面α⊥平面β，l αβ=，过点P 向l 作垂线交l 于E ，根据面面垂直的性质可得，PE α⊥，则PE h =.又PE 是PAB 的高，且由DA l ⊥，CB l ⊥可知，DA α⊥，CB α⊥， 又AP α⊂，PB β⊂，所以DA AP ⊥，BC PB ⊥. 在Rt PAD △中，tan AD APD AP∠=.在Rt PBC 中，tan BCBPC BP ∠=.又APD BPC ∠=∠，所以AD BCAP BP =，所以4182AP AD BP BC ===，即2BP AP =. 设APB θ∠=，AP m =，在APB △中，由余弦定理可得22222536cos 24AP BP AB m AP BP mθ+−−==⋅.因为sin 0θ>，所以sin θ=则1sin 2PABSPA PB θ=⋅=，又132PABS AB h h =⋅=，所以，h . 根据三角形三边关系可得66PA PB AB PA PB AB +>=⎧⎨−<=⎩，即366m m >⎧⎨<⎩，所以26m <<，2436m <<.所以，当220m =时，h =4=. 又四棱锥P ABCD −的体积为113644833ADCB V S h =⨯⋅≤⨯⨯=，所以，四棱锥P ABCD −的体积的最大值为48. 故选：C. 6．B【分析】根据直四棱柱的几何关系，利用面面垂直的判定定理找出点M 在四棱柱表面上的运动轨迹，再根据线段DM 的长度取到最大值时确定具体位置，根据几何法做出直线DM 与底面ABCD 所成的角，即可求得其正弦值.【详解】根据几何体特征，四棱柱1111ABCD A B C D −是直四棱柱，所以1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1AC DD ⊥，要满足平面1DD M ⊥平面1AAC ，作DE AC ⊥于E ，延长DE 交BC 于G ，交AB 的延长线于F ， 作1//GH DD 交11B C 于H ，连接1D H ，如下图所示；又因为1DEDD D =，所以AC ⊥平面1DD E ，即AC ⊥平面1DD HG而AC ⊂平面1AAC ，所以平面1DD HG ⊥平面1AAC ， 又因为点M 在该四棱柱表面上运动，所以点M 的轨迹是线段1,,DG G HD H ； 又因为底面ABCD 为直角梯形，1,,1,2,3,2AB CD AD AB CD AD AB DD ⊥====//， 所以ADCFAD ，即CD ADAD FA=，得4FA =，所以1FB =； 又,1FB CD CD =//，所以DCG FBG ≅，即G 为线段,BC DF 的中点，DF =DG =，易知，当线段DM 的长度取到最大值时，点M 于点H 重合， 此时，HDG ∠即为直线DM 与底面所成的角，12GH DD ==，3DH ，2sin 3GH HDG DH ∠== 所以，线段DM 的长度取到最大值时，直线DM 与底面ABCD 所成角的正弦值是23. 故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用几何体特征，充分利用空间想象根据面面垂直的判定定理找出满足题意的动点的轨迹，再根据轨迹形状确定线段最长时的具体位置，找出线面角即可求得结果. 7．B【分析】易证PD ⊥平面AEF ，得到PF 为点P 到平面AEF 的距离，再根据E 是PC 的中点，得到点C 与点P 到平面AEF 的距离相等求解.【详解】解：在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥平面ABCD ， 所以CD AD ⊥，CD PA ⊥，又AD PA A ⋂=， 所以CD ⊥平面P AD ，又PD ⊂平面P AD ， 所以CD PD ⊥，因为点E ，F 分别是PC ，PD 的中点，所以//CD EF ，所以PD EF ⊥， 又PA AD =，则AF PD ⊥，且EF AF F =，所以PD ⊥平面AEF ，所以PF 为点P 到平面AEF 的距离， 又因为E 是PC 的中点，所以点C 与点P 到平面AEF 的距离相等，即PF所以点C 到平面AEF 故选：B 8．C【分析】NC 与MB 不可能垂直，故选项A 错误；平移NC 与平面相交于一点H ，故选项B 错误；利用体积相等即可求出点P 到平面CNM C ，当点P NC ∉时，满足MP ⊥平面NCP 的点P 共有1个.当点P 为平面11BCC B 的中心时，故判断选项D 【详解】由于线面角的最大值为2π， NC 与MB 不可能垂直，故直线CN 与平面BMP 所成角的最大值达不到2π.选项A 错误；取DC 的中点为H ，11A B 的中点为Q ,连接11AC ,11B D 相交于点O ，连接,OH ON , //ON HC 且ON HC =故//OH NCH ∈平面1HBQD ,OH ⊄面1HBQD ，故CN不能与平面BMP 平行，故选项B 错误；P CNM M PNC V V −−=M 到平面PNC 的距离始终为12，故当点P 运动到点1B 时，PNC △取得最小值为1111224⨯⨯=，故111132243P CNM M PNC PNCCNMV V SS h −−==⨯==⋅322MC MN ==NC ,12228MNCS==故h ，故选项C 正确. 当点P NC ∉时，满足MP ⊥平面NCP 的点P 共有1个.当点P 为平面11BCC B 的中心时，故选项D 错误 故选：C.9．B【分析】设l 是平面11BB C C 内任一直线，n 是l 的一个方向向量.当//l BC 或l 与BC 重合时，11B C A ∠即等于线线角，在11Rt AB C △中，求出即可；当l 与BC 不平行且不重合时. 设BA a =，BC b =，1BB c =，则{},,a b c 可以作为空间向量的一个基底.则1AC a b c =−++，根据平面向量基本定理以及共线向量可得到l 的一个方向向量1n mb c =+.设线线角为θ，则11cos cos ,AC n θ==.令2t ⎛⎫=，用判别式法求出102t ≤≤，即可得到0cos θ≤. 【详解】如图，连接1AB .设l 是平面11BB C C 内任一直线，n 是l 的一个方向向量.①当//l BC 或l 与BC 重合时，11B C A ∠即等于直线1AC 和l 所成的角.又111B C AB ⊥，11B C =12AB ==，则在11Rt AB C △中，11111tan AB B C A B C ∠== ②当l 与BC 不平行且不重合时.设BA a =，BC b =，1BB c =，则{},,a b c 可以作为空间向量的一个基底， 且3a =，2b =，1c =，,,a b c 两两垂直，则11AC BA BC BB a b c =−++=−++，且16AC =根据平面向量基本定理，可知,λμ∃∈R ，1n BC BB λμ=+，显然0μ≠， 则1n BC BB λμ=+与向量11n BC BB λμ=+共线，所以11n BC BB λμ=+也是l 的一个方向向量. 设m λμ=，则11n mBC BB mb c =+=+. 设直线1AC 和l 所成的角为θ，则11cos cos ,AC n θ=.()()221121AC n a b c mb c mb c m ⋅=−++⋅+=+=+，16AC =()222222121n mb c m b c m =+=+=+，所以12n m =， 则111111cos ,6AC nAC n AC n ⋅==⋅. 令222441126m m t m ⎛⎫++==+，整理可得()21244610t m m t −−+−=， 该方程有解，即()()()()22441246114420tt t t ∆=−−−−=−−≥， 解得102t ≤≤，即2102≤≤，即1110cos ,2AC n ≤≤=， 所以0cos 2θ≤≤. 因为0,90，cosθ在0,90⎡⎤⎣⎦上单调递减，所以当cos θθ取最小值为45. 又11tan 1B C A ∠>，即1145BC A ∠>.综上所述，直线1AC 与平面11BB C C 内直线所成的角中最小角为45.故选：B.10．①②③④【分析】过点H 作01HP B C ⊥，根据线面垂直判定定理，面面垂直判定定理证明平面0AHP ⊥平面110A B P ，由此判断①；作展开图，利用平面几何结论判断②，③；确定过点A ，H ，P 作三棱柱的截面，解三角形计算截面面积，判断命题④.【详解】因为三棱锥111ABC A B C 为直三棱锥，所以1BB ⊥平面111A B C ，又11A B ⊂平面111A B C ，所以111BB A B ⊥，又90ABC ∠=︒，所以11190A B C ∠=︒，所以1111A B B C ⊥，1111BB B C B =，111,BB B C ⊂平面11BB C C ，所以11A B ⊥平面11BB C C ，对于任意点H ，过点H 作01HP B C ⊥，垂足为0P ，因为11A B ⊥平面11BB C C ，0HP ⊂平面11BB C C ，所以110A B HP ⊥，又1111B C A B B =，111,B C A B ⊂平面110A B P ，所以0HP ⊥平面110A B P ，又0HP ⊂平面0AHP ，所以平面0AHP ⊥平面110A B P ；所以对于任意点H ，都存在点P ，使得平面AHP ⊥平面11A B P ；命题①正确；将ABC 绕BC 翻折到平面1BB C 内，则AH HP +的最小值为点A 到直线1B C 的距离，又11AB BB ==，BC =90ABC ∠=︒，190B BC ∠=，所以112AC CB AB ===，所以点A 到直线1B C (,)f x y当(,)f x y 取最小时，P 为1B C 的中点，因为1AB C 为等边三角形，点B 为线段1AB 的中点，所以H 为1AB C 的重心，故13BH BC =，在平面11BCC B 中，延长HP 交11B C 于点M ，因为1PC PB =，11,PB M PCH B PM HPC ∠=∠∠=∠，所以1PB M PCH ≅，故123B M CH ==，取1B M 的中点Q ，N 为11AC 的中点，则1//MN AQ ，因为1//BH B Q ，1=BH B Q ，所以四边形1BB QH 为平行四边形，所以11//,HQ BB HQ BB =，又1111,//AA BB AA BB =，所以1//AQ AH ，所以//MN AH ，故过点A ，H ，P 的三棱柱的截面为梯形AHMN ，又AH 112MN AQ =， MH =，AN =在下图中过点M 作MG AH ⊥，设,HG x AG y ==，因为222MH HG AG =+，()222AN AG MN NG =−+，所以22243x y MH +==，222x y ⎫=+⎪⎪⎝⎭，所以x =y所以四边形AHNM 的面积2MN AH S AG +=⋅=故过点A ，H ，P当HB 时，32AH ≥，则12AH HP AH HB AH +≤+≤， 在下图中过点H 作HR BC ⊥，垂足为R ，则AH HP AH HR +≥+，又2AH HR AH HC +<+<，23AH ≥，故对于任意的点H ，当HB 时，都存在对应的点P ，满足3AH HP +=，故满足(,)3f x y =的点P 有无数个；命题③正确；故答案为：①②③④.【点睛】对于求空间中的线段和的距离最小值的问题，一般通过转化为平面图形中的线段和问题加以解决. 11．②③④【分析】对于①，利用线线平行可证得平面1//A BE 平面1MNB ，进而知动点F 的轨迹；对于②，利用垂直的性质的可判断；对于③，利用三棱锥的体积公式可求得；对于④，利用线面角的定义结合三角形可求解；【详解】对于①，分别取1CC 和11D C 的中点,N M ，连接MN ，1MB ，1NB ，由正方体性质知1//MN A B ，11//NB EA ，1,MN NB ⊂/平面1A BE ，11,A B EA ⊂平面1A BE ，所以1,//MN NB 平面1A BE ,又1,MN NB ⊂平面1MNB ，1MN NB N =，所以平面1//A BE 平面1MNB ， 当F 在MN 上运动时，有1//B F 平面1A BE ，故动点F 的轨迹是线段MN ，故①错误； 对于②，当F 为线段MN 中点时，11MB NB =，1B F MN ∴⊥， 又1//MN A B ，11B F A B ∴⊥，故②正确；对于③，三棱锥11B D EF −的体积11111233D EF D EF V S B C S =⋅=， 又1max 12112D EF S =⨯⨯=所以三棱锥的体积的最大值为23，故③正确； 对于④，连接11,B F C F ，则1B F 与平面11CDD C 所成角11FC B θ=∠，则12tan C F θ=，11C F ≤≤，所以tan θ的取值范围是⎡⎣，故④正确； 故正确结论的序号是①③④，故答案为：②③④12【分析】连接11AC 交11B D 于O .判断出点1A 到平面11BB D D 的距离即为1AO ，即可求得.【详解】在正方体1111ABCD A B C D −中，有正方体的结构可知：面11BB D D ⊥面1111D C B A 且面11BB D D ⋂面111111A B C D B D =.连接11AC 交11B D 于O .因为1111D C B A 为正方形，所以1111AC B D ⊥，所以11AC⊥面11BB D D . 所以点1A 到平面11BB D D 的距离即为1AO .在正方形1111D C B A 中，111A B =，所以11AC ==111122A C O A ==.131【分析】取11B C 的中点O ，连接,OM OP ，得到MO OP ⊥，求得11A N OP =，得到点P 在以O 为圆心，1为半径的半圆上，在平面图形1111D C B A 中，求得1A NO S ，结合11322A N OH ⋅=，即可求解. 【详解】如图所示，取11BC 的中点O ，连接,OM OP ，则MO ⊥平面1111D C B A ，所以MO OP ⊥，因为PM =1111ABCD A B C D −的棱长为2，N 是11D C 的中点，所以11A N OP ==，所以点P 在以O 为圆心，1为半径的位于平面1111D C B A 内的半圆上， 单独画出平面1111D C B A 及相关点、线，如图所示，所以点O 到1A N 的距离减去半径就是PQ 长度的最小值， 连接1,AO ON ，作1OH A N ⊥交1A N 于H ， 则11113221111212222A NO S =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=，所以11322A N OH ⋅=，解得OH所以PQ 1.1.14．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）先由线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面11ACC A ，，再由线面垂直的性质定理即可证明线线垂直；（2）利用面面平行的判定定理先证明平面1//A EC 平面1C FB ，再由面面平行的性质定理即可证明线面平行.【详解】（1）1AA ⊥底面ABC 且BC ⊂平面ABC ， 1AA BC ∴⊥，又AC BC ⊥且1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ， BC ∴⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ， 1BC AC ∴⊥ （2）取11A B 的中点F ，连接1,FB FC ，因为,E F 分别为11,AB A B 的中点可知1//EB A F ，1=EB A F ， 所以四边形1EBFA 是平行四边形，所以1//FB A E ，因为FB ⊄平面1A EC ，1A E ⊂平面1A EC ，所以//FB 平面1A EC ，同理可得1//C F 平面1A EC ，又因为1C F BF F ⋂=，1,C F BF ⊂平面1C FB ，所以平面1//A EC 平面1C FB ，又因为1BC ⊂平面1C FB ，所以1BC //平面1ACE 15．(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析【分析】（1）作出辅助线，证明线线平行，从而得到线面平行； （2）由题干中的面面垂直得到线面垂直，进而得到平面1BDA ⊥平面11AAC C ； （3）求出ABC S ，证明出1A D ⊥底面ABC ，利用柱体体积公式进行求解.【详解】（1）连接1AB ，交1A B 于点E ，连接DE ，因为四边形11AA B B 为平行四边形， 所以E 为1AB 的中点，因为D 为AC 的中点，所以DE 为1AB C 的中位线，所以DE //1B C ，因为1B C ⊄平面1A BD ，DE ⊂平面1A BD ， 所以1B C ∥平面1A BD ；（2）因为AB BC =D 为AC 的中点， 所以BD ⊥AC ，因为侧面11AAC C ⊥底面ABC ，交线为AC ，BD ⊂平面ABC ， 所以BD ⊥侧面11AAC C ，因为BD ⊂平面1BDA ，所以平面1BDA ⊥平面11AAC C ；（3）因为2AC =，AB BC ==D 为AC 中点，所以1AD DC ==，BD =因为BD ⊥AC ，所以11222ABC S AC BD =⋅=⨯因为1=B C ，所以112DE B C == 因为BD ⊥侧面11AAC C ，1A D ⊂平面11AAC C ， 所以BD ⊥1A D ，故12A B DE ==由勾股定理得：1A D =又12AC AA ==，所以22211A D AD AA +=，故1A D AD ⊥， 因为BD AD D ，,BD AD ⊂平面ABC ， 所以1A D ⊥底面ABC ，所以三棱柱111ABC A B C 的体积为1ABC V S A D =⋅=。
2019-2020学年北京市中央民族大学附属中学高二上学期期末考试数学试题
2019-2020学年北京市中央民族大学附属中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题 1．复数11ii+-的模为（ ） A ．i B ．1C ．2iD ．2【答案】B根据复数除法运算,化简可得复数,进而求得模. 解：复数11ii+-,由复数除法运算化简可得 ()()()211111i i i i i i ++==--+ 所以复数的模为1i = 故选:B点评：本题考查了复数除法的运算,求复数的模,属于基础题. 2．已知数列{a n }满足12n n a a +-=，1=1a ，则4a 的值为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C根据递推公式可知数列{}n a 为等差数列,结合首项即可求得通项公式,进而求得4a 的值.解：因为数列{}n a 满足12n n a a +-=, 所以数列{}n a 为等差数列,公差为2d = 又因为1=1a所以()11221n a n n =+-⨯=- 所以42417a =⨯-= 故答案为:C点评：本题考查了等差数列的定义及通项公式的求法,通项公式基本量的计算,属于基础题.3．已知椭圆方程为221=432x y +，则椭圆的长轴长为（ ）A B ．2C ．D ．4【答案】D将椭圆的方程化为标准方程,即可求得a ,进而得长轴长. 解：椭圆方程为221=432x y +化为标准方程可得22=134x y +所以椭圆交点在y 轴上,且2a = 所以长轴为24a = 故选:D点评：本题考查了将一般方程化为椭圆的标准方程,椭圆几何性质的简单应用,属于基础题.4．已知()sin 2f x x x =⋅，则'2f π⎛⎫⎪⎝⎭为（ ） A ．π- B ．2π-C ．2π D ．π【答案】A根据导数运算,求得()'f x ,代入即可求解. 解：因为()sin 2f x x x =⋅所以由导数运算公式可得()'sin 22cos2f x x x x =+ 所以sin 22'2cos 2222f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=⨯⨯⨯⎭+ 0cos πππ=+=-故选:A点评：本题考查了导数的乘法运算公式,复合函数求导的简单应用,求导数的值,属于基础题.5．公比2q =的等比数列{}n a 满足354a a +=，则46a a +＝（ ） A ．8 B ．10C ．12D ．16【答案】A根据等比数列通项公式及公比,即可由35a a +的值求得46a a +的值. 解：因为数列{}n a 为等比数列,公比2q =所以3456,a q a a a q ==⋅⋅ 所以3654a a a a q q =⋅+⋅+()35q a a =⋅+248=⨯=故选:A点评：本题考查了等比数列通项公式及性质的简单应用,属于基础题.6．已知(),4,2a x =-r ，()3,,5b y =-r ，若a b ⊥r r ，则22x y +的取值范围为（ ）A ．[)2,+∞B ．[)3,+∞C ．[)4,+∞D ．[)5,+∞【答案】C根据向量的坐标与垂直关系,可得,x y 的等量关系.由22x y +可知其意义为(),x y 到原点距离平方,即可由点到直线距离公式求解.解：(),4,2a x =-r,()3,,5b y =-r ,且a b ⊥r r由向量数量积的运算可得34100a b x y ⋅=--=rr22x y +的意义为(),x y 到原点距离平方由点到直线距离公式可知原点到直线34100x y --=的距离为2d ==因为点到直线的距离为最短距离,所以22x y +的最小值为4即22xy +的取值范围为[)4,+∞故选:C点评：本题考查了空间向量垂直的坐标关系,向量数量积的运算.点到直线距离公式的应用,两点间距离公式的理解,属于基础题.7．若0b a <<，则下列不等式中正确的是（ ） A ．11a b> B ．a b >C ．2b aa b+> D ．a b +>【答案】C由0b a <<,取特殊值代入选项检验即可排除错误选项.对于正确选项,予以证明即可. 解：因为0b a << 令1,2a b =-=-对于A,111111221,a b ==-=-=--,所以11a b>错误; 对于B, 1,212a b -===-=,所以a b >错误;对于C, 由0b a <<,则0,0b a a b >>,由基本不等式可知22b a b aa b a b+>⋅=因为b a ≠,所以不能取等号,所以C 正确;对于D,()()()()123,221222a b ab +=-+-=-=-⨯-=,所以2a b ab +>错误.综上可知,C 为正确选项. 故选:C点评：本题考查了不等式性质,由条件判断不等式是否成立,基本不等式求最值,属于基础题.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，在正方形11DD C C 中有一动点P ，满足1PD PD ⊥，则直线PB 与平面11DD C C 所成角中最大角的正切值为（ ）A ．1B ．2C ．312+ D ．512+ 【答案】D根据题意,可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点.由BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角可知当PC 取得最小值时,PB 与平面11DD C C 所成的角最大.而连接圆心E 与C 时,与半圆的交点为P,此时PC 取得最小值.设出正方体的棱长,即可求得PC ,进而求得tan BPC ∠.解：正方体1111ABCD A B C D -中,正方形11DD C C 内的点P 满足1PD PD ⊥ 可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点,设圆心为E,如下图所示:当直线PB 与平面11DD C C 所成最大角时,点P 位于圆心E 与C 点连线上此时PC 取得最小值.则BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角设正方体的边长为2,则1PC EC EP =-=,2BC =所以1tan2BC BPC PC ∠===故选:D点评：本题考查了空间中动点的轨迹问题,直线与平面夹角的求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.二、填空题9．双曲线22149y x -=的渐近线方程是______. 【答案】23y x =±双曲线22149y x -=的渐近线方程为22049y x -=，整理后就得到双曲线的渐近线方程．解：Q 双曲线22149y x-=，∴双曲线22149y x -=的渐近线方程为22049y x -=， 即2.3y x =±故答案为2.3y x =±点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．10．复数()()342z i i =+⋅-的虚部为_____. 【答案】5根据复数乘法运算化简,即可得复数的虚部. 解：复数()()342z i i =+⋅- 由复数乘法运算化简可得()()342z i i =+⋅-26384i i i =-+-105i =+由复数定义可得虚部为5 故答案为:5点评：本题考查了复数代数形式的乘法与加减运算,复数的概念,属于基础题.11．函数()2x x f x e=的极大值点为_____.【答案】2先求得导函数,并令()'0f x =求得极值点.再由极值点两侧函数的单调性,即可判断出极大值,进而得极大值点.解：函数()2x x f x e=则()()()2222'x x xx x x x xe e f x e e -==-令()'0f x =解得0,2x x ==当(),0x ∈-∞时,()'0f x <,函数()f x 单调递减 当()0,2x ∈时,()'0f x >,函数()f x 单调递增 当()2,x ∈+∞时,()'0f x <,函数()f x 单调递减 由以上可知,()f x 在2x =处取得极大值 故答案为:2点评：本题考查了利用导数求函数的极值点,注意判断极值点左右两侧函数的单调性,属于基础题. 12．已知不等式x bx a-≤-0的解为23x ≤<，则2+a b 的值为_____. 【答案】7根据不等式中分母不为0,分子可以为0,可分别求得,a b 的值,代入即可求解. 解：因为不等式x bx a-≤-0的解为23x ≤<, 由不等式解集中等号端取2可知2b = 所以3,2a b ==则23227a b +=+⨯= 故答案为:7点评：本题考查了不等式解集性质及应用,分式不等式中分子可以为0,分母不为0,属于基础题.13．过抛物线2y ax =（0a ≠）的焦点做平行于x 轴的直线与抛物线相交于A B 、两点，O 为坐标原点，OAB ∆面积为12，则a =_____.【答案】12±将抛物线方程化为标准方程,求得焦点坐标.可得直线AB 的方程及AB 的长.由面积即可求得a 的值.解：抛物线2y ax =（0a ≠） 化为标准方程可得21x y a=所以焦点坐标为10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭则直线AB 的方程为14y a=代入抛物线方程可得2214x a=,所以12x a =± 则1AB a=由题意可得111242OAB S AB a ∆=⨯⨯= 代入可得1111242OAB S a a ∆=⨯⨯= 解得12a =±故答案为: 12±点评：本题考查了抛物线标准方程及性质的简单应用,属于基础题.14．如图所示，为a 为某一值时()31f x x =+和()239g x x x a =-++在同一直角坐标系下的图象，当两函数图象在y 轴右侧有两个交点时，a 的范围为_____.【答案】()4,1-构造函数()()()h x f x g x =-,代入后求得()'h x .根据函数()h x 的单调性,可得极大值与极小值.由题意可知函数()h x 有两个正的零点,结合三次函数图像可得关于a 的不等式,解不等式组即可求得a 的取值范围. 解：令()()()h x f x g x =-代入可得()()()3232139391h x x x x a x x x a =+--++=+-+-则()()()2'369331h x x x x x =+-=+- 当3x <-时,()'0h x >,()h x 单调递增 当31x -<<时, ()'0h x <,()h x 单调递减 当1x >时,()'0h x >,()h x 单调递增所以()32391h x x x x a =+-+-在3x =-处取得极大值,在1x =处取得极小值 因为两函数图象在y 轴右侧有两个交点 即()32391h x x x x a =+-+-有两个正的零点结合三次函数图像可知只需满足()()0010h h ⎧>⎪⎨<⎪⎩即1040a a ->⎧⎨--<⎩,解得41a -<<即()4,1a ∈- 故答案为:()4,1-点评：本题考查了函数零点与函数交点关系,构造函数法分析函数的交点情况,三次函数图像与性质的应用,属于中档题.三、解答题15．已知数列{}n a 为公差1d =的等差数列，数列{}n b 为公比2q =的等比数列，数列{}n c 满足n n n c a b =+，且有112a b =>，244.a a b ⋅=（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）2n a n =+，132n n b -=⋅；（2）21532322n n T n n =++⋅- （1）令112t a b =>=,结合等差数列与等比数列的通项公式,代入等式244.a a b ⋅=.即可求得11,a b .即可求得{}n a 和{}n b 的通项公式.（2）因为n n n c a b =+,利用等差数列求和公式与等比数列求和公式,分别求得{}n a 和{}n b 的前n 项和,合并即可求得{}n c 的前n 项和nT.解：（1）由题意可得1d =,2q =,可令112t a b =>=,244.a a b ⋅= 可得()()11312131a a b ++⨯⨯= ,即有()()138t t t ++=, 解得3t =（1t =舍去）, 即113a b ==则由等差数列通项公式可得312n a n n +-=+=, 由等比数列通项公式可得132n n b -⋅=； （2）1232n n n n c a b n -++⋅=+=,前n 项和()()13423632n n T n -++⋯+++++⋯+⋅=()()312132212n n n -=+++- 21532322n n n =+⋅-+. 点评：本题考查了等差数列通项公式与等比数列通项公式的简单应用,等差数列与等比数列求和公式的应用,分组求和法,属于基础题.16．函数()32f x x mx nx -=-在()22f ，（）处切线方程为58y x =-.（1）求()f x 的解析式（2）求122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最值. 【答案】（1）()322f x x x x =-+；（2）最小值0，最大值2（1）先求得导函数,将切点代入切线方程求得切点坐标.根据导数几何意义及切点坐标,得方程组,解方程组即可求得,m n 的值,得()f x 的解析式;（2）根据导函数,求得极值点.判断函数在区间上的单调性,并比较端点值,即可求得最大值和最小值.解：（1）()32f x x mx nx -=-, 则()232f x x mx n -'=-由在()22f ，（）处切线方程为58y x =-,可得切点为()22， 结合导数的几何意义可得()28422'(21245f m n f m n ⎧=--=⎨=--=⎩,解方程组可得,12n m =-=， , 所以()322f x x x x =-+（2）由（1）可知()()()2341311f x x x x x '=+=---,当112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,()0f x <′,函数单调递减, 当(]12x ∈，时()0f x >′,函数单调递增,故当1x =时,函数取得最小值()10f =, 由于()112228f f ⎛⎫=>=⎪⎝⎭ 故当2x =时函数取得最大值()22f =.点评：本题考查了导数的几何意义,利用导数求函数的最值,属于基础题.17．在直三棱柱111ABC A B C -中，5BA BC ==，18AC AA ==，D 为线段AC 的中点.（1）求证：1BD A D ⊥：（2）求直线1A D 与平面1BC D 所成角的余弦值； （3）求二面角1C BC D --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）45；（3）6525（1）由直三棱柱的定义可得1AA BD ⊥,再根据等腰三角形性质可得BD AC ⊥,再由线面垂直的判定可得BD ⊥平面11ACC A ,即可证明1BD A D ⊥.（2）取线段11A C 的中点为1D ,分别取1DB DC DD ，，作为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,利用向量数量积运算求得平面BC 1D 的法向量,即可由线面夹角的求法求得直线1A D 与平面1BC D 所成角的余弦值.（3）由平面BC 1D 的法向量和平面1BCC 的法向量,即可利用法向量法求得二面角1C BC D --的余弦值.解：（1）证明：由直三棱柱111ABC A B C -,可得1AA ⊥底面ABC , ∴1AA BD ⊥.∵5BA BC ==,D 为线段AC 的中点. ∴BD AC ⊥,又1=AC AA A ⋂, ∴BD ⊥平面11ACC A , ∴1BD A D ⊥.（2）取线段11A C 的中点为1D ,分别取1DB DC DD ，，作为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,如下图所示:()()()()11000,0,48,300,048D A B C -，，，，，，，, ()10,48DA =-u u u u r ，,()300DB =u u u r ，，,()1048DC =u u u u r ，，, 设平面BC 1D 的法向量为(),,n x y z =r,则•100n DB n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u u v v ,代入可得30480x y z =⎧⎨+=⎩,令2y =可得021x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩即()02,1n =-r，. ∴直线1A D 与平面1BC D 所成角的余弦值|1114c 5,os 580n DA n DA n DA ⋅===⋅⋅u u u u r r u u u u r r u u uu r r |. （3）()040C ，，,()1008CC =u u u u r，，,()340BC =-u u u r ，，. 设平面1BCC 的法向量为(),,m a b c =u r,则100m CC m BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v v u u u v v ,代入可得80340c a b =⎧⎨-+=⎩,令4a =,解得430a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩即()430m =u r，，. ∴65,55m n cos m n m n⋅===⋅⋅u r r u r r u r r ＜＞. 由图可知,二面角1C BC D --为锐二面角 ∴二面角1C BC D --65.点评：本题考查了由线面垂直判定线线垂直,空间向量法求线面夹角、面面夹角,对计算能力要求较高,属于中档题.18．已知椭圆的方程为22221x y a b+=（0a b >>），其离心率12e =，12F F 、分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上的点（P 不在x 轴上），12PF F ∆周长为6.过椭圆右焦点2F 的直线L 与椭圆交于A B 、两点，O 为坐标原点，OAB ∆. （1）求椭圆的标准方程： （2）求直线L 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（2）220x y ±-= （1）根据椭圆的离心率和12PF F ∆周长,可求得,a c .再由椭圆中,,a b c 的关系,即可求得2b ,进而得椭圆的标准方程.（2）根据椭圆的标准方程,可得右焦点坐标,设出直线方程和()()1122,,,A x y B x y .联立直线与椭圆方程,可得关于y 的一元二次方程.由韦达定理表示出12y y +,12y y ,即可求得12y y -.由OAB ∆m 的方程组,解方程即可求得m 的值,代入直线方程即可得解. 解：（1）由离心率12c e a ==,则2,a c = 由12PF F ∆周长为6,可得226a c +=, 则21a c ==，,2223b a c =-=,所以椭圆的标准方程：22143x y +=；（2）由（1）可知椭圆的右焦点()210F ，,设直线L 的方程1x my =+,()()1122,,,A x y B x y联立方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去x ,整理得()234690m my ++-=,则122634m y y m +=-+,122934y y m =-+,所以12y y -==OAB ∆面积1211122OABS OF y y ∆=⨯⨯=⨯=﹣. 解得214m =,即12m =±, 所以直线L 的方程为220x y ±-=.点评：本题考查了椭圆标准方程的求法,椭圆的几何性质及应用,直线与椭圆的位置关系,韦达定理及三角形面积的应用,属于中档题. 19．函数()()211ln 2f x x a x x x =+--， （1）若()f x 在定义城内为单调递增函数，求a 的取值范围；（2）当3a =时，关于x 的方程()0f x b +=在区间(]1,e 上有且只有一实数根，求b 的取值范围.【答案】（1）1a ≥；（2）2151222e e b --≤<- （1）求得导函数,并根据()f x 在定义城内为单调递增函数,分离参数a .并构造函数()2g x lnx x =+-,求得()g x ',由导函数求得()max g x ,即可求得a 的取值范围;（2）将3a =代入,可得()f x 的解析式.求得导函数()f x '.构造函数()()1ln h x f x x x ='=+-,并求得()h x ',可证明()0h x >在区间(]1,e 上恒成立,即()0f x >′在区间(]1,e 上恒成立,即可知()f x 在(]1,e 上单调递增.根据函数()f x 的最值即可求得b 的取值范围.解：（1）定义域()0+∞，, 由题意可得,()20f x x a lnx '=+--≥在()0+∞，上恒成立, 故2a lnx x ≥+-在()0+∞，上恒成立, 令()2g x lnx x =+-,0x > 则()1xg x x-'=,可知当01x <<时,()0g x '>,()g x 单调递增,当()1x ∈+∞，时,函数单调递减, 故()()11max g x g ==, 所以1a ≥；（2）3a =时,()212ln 2f x x x x x =+- ()1ln f x x x '=+-令()1ln h x x x =+-,则()111x h x x x-'=-=, 当(]1,x e ∈时,()0h x '>,函数()h x 单调递增, 故()()12h x h >=,即()0f x >′恒成立, 故()f x 在(]1,e 上单调递增,所以()()25112122f f x f e e e =<≤=+-（） 故2512122b e e -≤+-＜, 所以2151222e e b --≤-＜.点评：本题考查了由导数研究函数的单调性,利用函数的最值求参数的取值范围,构造函数法的应用,属于中档题.20．已知L +∈N ，数列A ：1a ，2a ，…n a 中的项均为不大于L 的正整数.k c 表示1a ，2a ，…n a 中k 的个数（12k L =⋯，）.定义变换T ，T 将数列A 变成数列()T A ：()1t a ，()2t a ，…()n t a 其中()12kc c c t k L n+++=⋅L .（1）若4L =，对数列A ：112334，，，，，，写出()14i c i ≤≤的值；（2）已知对任意的k （12k n =⋯，），存在A 中的项m a ，使得m a k =.求证：()i i t a a = （12i n =⋯，）的充分必要条件为i j c c =（,12i j L =⋯，）； （3）若L n =，对于数列A ：1a ，2a ，…n a ，令()()T T A ：12,n b b b ⋯，求证：()i i b t a =（12i n =⋯，）.【答案】（1）12342,1,2,1c c c c ====；（2）见解析；（3）见解析（1）根据定义,k c 表示1a ,2a ,…n a 中k 的个数,即可由数列A 得()14i c i ≤≤的值. （2）根据对任意的k （12k n =⋯，）,存在A 中的项m a ,使得m a k =,由充分必要条件的判定,分必要性与充分性两步分别证明即可.（3）设A ：1a ,2a ,…n a 的所有不同取值为12,m u u u ⋯,且满足：12m u u u <<⋯<.设12111212122212m r r m m mr A u u u u u u u u u L L L L ：，，，，，，，，，，，，.根据L n =,结合题意中的T 变换可得()()T T A ：()()()1111r t r t r t r 144L 424443个，，，,()()()2121212r t r r t r r t r r +++144444424444443L 个，，，,()()()m r t L t L t L L 144424443个，，，,即可证明()i i b t a =（12i n =⋯，）.解：（1）∵4L =,对数列A :112334，，，，，, ∴12342,1,2,1c c c c ====.（2）证明：由于对任意的正整数k （1k L ≤≤）,存在A 中的项m a ,使得m a k =.所以12,L c c c ⋯均不为零.必要性：()i i t a a =（1i n ≤≤）,由于()12kc c c t k L n+++=⋅L ,∴()111c t L n =⋅=；()1222c ct L n +=⋅=；()12333c c c t L n ++=⋅=；…；()12Lc c c t L L n+++=⋅L .通过解此方程组,可得i j c c =（,12i j L =⋯，）成立. 充分性：若i j c c =（,12i j L =⋯，）成立,不妨设i j h c c ==（,12i j L =⋯，）,可以得到.h L n ⋅= ∴()11h t L n =⋅=；()222h t L n =⋅=；()333h t L n =⋅=；…；()Lht L L L n=⋅=. ∴()i i t a a =（1i n ≤≤）成立.故()i i t a a =（12i n =⋯，）的充分必要条件为i j c c =（,12i j L =⋯，） （3）证明：设A ：1a ,2a ,…n a 的所有不同取值为12,m u u u ⋯,且满足：12m u u u <<⋯<.不妨设12111212122212m r r m m mr A u u u u u u u u u L L L L ：，，，，，，，，，，，，, 其中111121r u u u ==L =；221222r u u u ===L ； (12)m m mr u u u ==L =.又∵L n =,根据变换T 有：()()()()111112111u r c t u t u t u t u L r n=====⋅=L ；()()()()12221222212u u r c c t u t u t u t u L r r n+=====⋅=+L ；…；()()()()121212mm u u u m m mr m m c c c t u t u t u t u L r r r L n+++=====⋅=+++=L L L ；∴()T A ：()()()1111r t t t μμμL 14444244443个，，，,()()()2222r t t t μμμ144424443个，，,()()()m m m m r t t t μμμ144442444L 43个，，，,即()T A ：1111r r r r 43L 142个，,2121212r r r r r r r +++1444424L 4443个，，，,m r L L L L 14243个，，，, ∴()()T T A ：()()()1111r t r t r t r 144L 424443个，，，,()()()2121212r t r r t r r t r r +++144444424444443L 个，，，,()()()m r t L t L t L L 144424443个，，，,∵11212m r r r r r r +⋯<++⋯+<<,∴()11t r r =,()1212t r r r r +=+,…,()12m t r r r L +++=⋯. ∴112121211112r r r r r b b b r b b b r r +++========+L L L ，，,1211211212m m r r r r r r n m b b b r r r L --++++++++====+++=L L L L即()()T T A ：1111r r r r 14243L 个，，，,2121212r r r r r r r +++1444424L 4443个，，，,m r L L L L 14243个，，，, 从而()i i b t a =（12i n =⋯，）. 故()i i b t a =（12i n =⋯，）点评：本题考查了数列中的新定义,充分必要条件的证明,抽象数列的性质及应用,对思维能力要求高,属于难题.。
2019-2020学年北京市民大附中高二(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年北京市民大附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.在数列{a n}中，a n=n2−22n+10，则满足a m=a n(m≠n)的等式有()A. 8个B. 9个C. 10个D. 11个2.双曲线x2−4y2=4的焦点坐标为()A. (±√3,0)B. (0,±√3)C. (0,±√5)D. (±√5,0)3.对抛物线x2=12y，下列判断正确的是()A. 焦点坐标是(3,0)B. 焦点坐标是(0,−3)C. 准线方程是y=−3D. 准线方程是x=34.不等式的解集是(13,12)，则a+b的值是()A. −2B. 2C. 12D. 225.已知正实数a，b，c满足a2−2ab+9b2−c=0，则当abc 取得最大值时，3a+1b−12c的最大值为()A. 3B. 94C. 1D. 06.若a>b>c，且a+b+c=0，下列不等式恒成立的是()A. ac>bcB. ab>acC. a|b|>c|b|D. a2>b2>c27.各项均为正数的等比数列{a n}，其前n项和为S n，若a2−a5=−78，S3=13，则数列{a n}的通项公式a n=()A. 2nB. B、2n−1C. 3nD. 3n−18.已知椭圆x23+y24=1的上焦点为F，直线x+y−1=0和x+y+1=0与椭圆分别相交于点A，B和C，D，则AF+BF+CF+DF=()A. 2√3B. 4√3C. 4D. 8二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.双曲线y236−x228=1的渐近线方程是________．10.已知焦点在x轴上的椭圆x225+y2m=1(m>1)的左焦点为F(−4,0)，则m的值为______．11.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≤4，S5≥15，则a4的最小值为______ ．12.已知点A(4,−2)，抛物线y2=8x的焦点是F，点M在抛物线上，|MA|+|MF|最小值是______ ．13.若x，y∈(0,+∞)，且x+4y=1，则1x +1y的最小值为______．14.设F1，F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1 (a>0,b>0)的两个焦点，若双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分，则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知公差不为零的等差数列{a n}满足：a1=2且a22=a1a5(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记S n为数列{a2n−1}的前n项和，求S n．16. 某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：元)与日产里x(单位：吨)满足函数关系式C =3+x ，每日的销售额R(单位：元)与日产量x 满足函数关系式S ={3x +kx−8+ 5．(0<x <6)14 (x ≥6)，已知每日的利润L =S −C ，且当x =2时，L =3 (Ⅰ)求k 的值；(Ⅱ)当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大，并求出最大值．17. 已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0)，点F 1，F 2分别为其左右焦点，离心率为e ，直线l ：y =ex +a 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)证明：λ=1−e 2；(2)若λ=34，△MF 1F 2的周长为6，求椭圆C 的方程．18. 在等比数列{a n }中，a 3=9，a 4+9a 2=54．(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n =(2n +1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．19.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，其左、右顶点分别为A1(−2,0)，A2(2,0).过点D(1,0)的直线l与该椭圆相交于M、N两点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线A1M与NA2的斜率分别为k1，k2，试问：是否存在实数λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20.数列{a n}满足a1=1，前n项和为S n，S n+1=4a n+2，求a2017．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由a n =n 2−22n +10，a m =a n (m ≠n)， 则n 2−22n +10=m 2−22m +10， 化为：n +m =22，n ，m ∈N ∗．∴n =1，m =21；n =2，m =20；…；n =10，m =12.共10个等式． 故选：C ．由a n =n 2−22n +10，a m =a n (m ≠n)，可得：n +m =22，n ，m ∈N ∗，n ≠m.即可得出． 本题考查了数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2.答案：D解析：解：双曲线x 2−4y 2=4，标准方程为：x 24−y 2=1，可得a =2，b =1，c =√5，所以双曲线的焦点坐标：(±√5,0)． 故选：D ．利用双曲线方程，化为标准方程，然后求解双曲线的焦点坐标．本题考查双曲线的焦点坐标的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 3.答案：C解析：解：抛物线x 2=12y ，焦点坐标是(0,3)，准线方程是y =−3． 故选：C ．直接由抛物线的方程得出结论．本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础． 4.答案：B解析： 【分析】本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题．根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求得a 、b 的值，再求a +b ． 【解答】解：不等式ax 2+bx +2<0的解集是(13,12)， ∴方程ax 2+bx +2=0的实数根为13和12， 由根与系数的关系知{2a=13×12−b a =13+12,解得a =12，b =−10， ∴a +b =2． 故选B ．解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，解决此类问题关键在于对代数式进行灵活配凑，属于中等题．由已知条件得出c=a2−2ab+9b2，代入abc，并在分式分子分母中同时除以ab，利用基本不等式可求出abc 的最大值，同时注意等号成立的条件a=3b，并得出c=12b2，代入3a+1b−12c并利用配方可求出该代数式的最大值．【解答】解：由a2−2ab+9b2−c=0，可得c=a2−2ab+9b2，∴abc =aba2−2ab+9b2=1a2+9b2−2abab=1ab+9ba−2≤2√ab⋅9ba−2=14，当且仅当ab =9ba时，即当a=3b时，等号成立，此时c=a2−2ab+9b2=(3b)2−2×3b×b+9b2=12b2，所以，3a +1b−12c=33b+1b−1212b2=−1b2+2b=−(1b−1)2+1≤1，当且仅当b=1时，等号成立，所以，3a +1b−12c的最大值为1．故选C．6.答案：B解析：∵a>b>c，且a+b+c=0，∴a>0，c<0，∴ab>ac，故选B．7.答案：D解析：解：各项均为正数，公比为q的等比数列{a n}，a2−a5=−78，S3=13，可得a1q−a1q4=−78，a1+a1q+a1q2=13，解得a1=1，q=3，则a n=a1q n−1=3n−1，n∈N∗，故选：D．设公比为q的等比数列{a n}，运用等比数列的通项公式，列方程，解方程即可得到首项和公比，即可得到所求通项公式．本题考查等比数列的通项公式的运用，注意运用方程思想，考查运算能力，属于基础题．8.答案：D解析：分析：利用直线过椭圆的焦点，转化为椭圆的定义去求解．本题主要考查了椭圆的方程和椭圆的性质，综合性较强．解：如图：两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF1，FD．由椭圆的对称性可知，四边形AFDF1(其中F1是椭圆的下焦点)为平行四边形，所以AF1=FD，同理BF1=CF．所以AF+BF+CF+DF=AF+BF+BF1+AF1=4a=8．9.答案：y=±3√77x解析：【分析】本题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题．根据双曲线的渐近线方程直接求解即可．【解答】解：由题知a=6，b=2√7，∴该(焦点在y轴)双曲线的渐近线方程为y=±ab x=±3√77x故答案为y=±3√77x．10.答案：9解析：【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，为基础题．利用已知条件列出关系式求解即可．【解答】解：焦点在x轴上的椭圆x225+y2m=1(m>1)的左焦点为F(−4,0)，可得25−m=16，解得m=9．故答案为：9．11.答案：7解析：解：∵S4=2(a1+a4)≤4，∴a1+a4=a3−2d+a3+d=2a3−d≤2，∵S5=5a3≥15，∴a3≥3，∵2a3−d≤2，∴d−2a3≥−2，又∵a3≥3，∴2a3≥6，∴d ≥4，∴a 4=a 3+d ≥7， ∴a 4的最小值是7． 故答案为：7．由S 4=2(a 1+a 4)≤4，可得2a 3−d ≤2.由S 5=5a 3≥15，可得a 3≥3，进而得出：d ≥4，即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12.答案：6解析： 【分析】本题考查抛物线的定义和性质的应用，解答的关键利用是抛物线定义，体现了转化的数学思想，属于基础题．求出焦点坐标和准线方程，设点M 到准线的距离为d =|PM|，则由抛物线的定义，把|MF|+|MA|转化为|MA|+|PM|，利用当P 、A 、M 三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值，可得结论． 【解答】解：由题意得F(2,0)，准线方程为x =−2， 过点M 作MP 垂直于准线，交准线于P 点， 设点M 到准线的距离为d =|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P 、A 、M 三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=4+2=6． 故答案为：6．13.答案：9解析：【分析】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘“1”法的运用和基本不等式等号成立的条件，考查运算能力，属于基础题．由题意可得1x +1y =(x +4y)(1x +1y )，展开后，运用基本不等式即可得到所求最小值． 【解答】解：x ，y ∈(0,+∞)，且x +4y =1， 则1x +1y =(x +4y)(1x +1y ) =1+4+xy +4y x≥5+2√x y⋅4y x=9，当且仅当x =2y =13时，等号成立， 则1x +1y 的最小值为9． 故答案为9．14.答案：3解析：解：双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分，可得2a=13⋅2c，则c=3a，即e=ca=3．故答案为：3．由题意可得2a=13⋅2c，结合离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．15.答案：解：(1)设等差数列{an}的公差为d，∵a1=2且a22=a1a5，∴(2+d)2=2(2+4d)，化简得：d2−4d=0，解得d=0或d=4．当d=0时，a n=2；当d=4时，a n=2+(n−1)⋅4=4n−2，∴a n=2或a n=4n−2，(2)由(1)得，当a n=2时，a2n−1=2，则S n=2n，当a n=4n−2时，a2n−1=8n−6，S n=n(2+8n−6)2=4n2−2n．解析：本题考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和公式应用，属于基础题．(1)设等差数列{a n}的公差为d，由题意和等差数列的通项公式列出方程，求出d的值，由等差数列的通项公式分别求出a n；(2)由(1)和等差数列的前n项和公式，分别求出a2n−1和S n．16.答案：解：(Ⅰ)由题意可得：L={2x+kx−8+2,0<x<611−x ,x≥6因为x=2时，L=3所以3=2×2+k2−8+2所以k=18(Ⅱ)当0<x<6时，L=2x+18x−8+2所以L=2(x−8)+18x−8+18=−[2(8−x)+188−x]+18≤−2√2(8−x)⋅188−x+18=6当且仅当2(8−x)=188−x即x=5时取等号当x≥6时，L=11−x≤5所以当x=5时，L取得最大值6所以当日产量为5吨时，毎日的利润可以达到最大值6．解析：(Ⅰ)根据每日的利润L =S −C 建立函数关系，然后根据当x =2时，L =3可求出k 的值； (Ⅱ)当0<x <6时，利用基本不等式求出函数的最大值，当x ≥6时利用函数单调性求出函数的最大值，比较两最大值即可得到所求．本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，同时考查了计算能力，属于中档题．17.答案：解：(1)证明：椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0)，直线l ：y =ex +a ，消去y 并化简可得x 2+2cx +c 2=0， 可得x =−c ，△=0，可知直线与椭圆相切， 切点坐标(−c,b 2a )，A(−a 2c,0)，B(0,a)，由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ .可得： λ=a 2−c 2a 2=1−e 2．(2)由{1−e 2=342a +2c =6，解得a =2，c =1，可得b 2=3， 所以所求椭圆方程为：x 24+y 23=1．解析：(1)判断直线与椭圆的位置关系，求出切点坐标，利用AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ .化简求解即可． (2)利用(1)以及△MF 1F 2的周长为6，求出椭圆的几何量，然后求解椭圆方程． 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． 18.答案：解：(1)等比数列{a n }的公比设为q ，a 3=9，a 4+9a 2=54， 则{a 1q 2=9a 1q 3+9a 1q =54，解得a 1=1，q =3， 故{a n }的通项公式为a n =a 1q n−1=3n−1; (2)由(1)可得b n =(2n +1)⋅3n−1，则S n =3+5×3+7×32+⋯+(2n +1)⋅3n−1，① 3S n =3×3+5×32+⋯+(2n +1)⋅3n ，②①−②得−2S n =3+2×3+2×32+⋯+2×3n−1−(2n +1)⋅3n =3+6(1−3n−1)1−3−(2n +1)3n =−2n ⋅3n ，故S n =n ⋅3n ．解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．(1)等比数列{a n }的公比设为q ，运用等比数列的通项公式，解方程可得所求首项和公比，即可得到所求通项公式；(2)可得b n =(2n +1)⋅3n−1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求． 19.答案：解：(Ⅰ)依题意可知a =2． ∵e =ca =√32，∴c =√3，得b =√a 2−c 2=1．∴椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1；(Ⅱ)设直线A 1M 的方程为y =k 1(x +2)，直线NA 2的方程为y =k 2(x −2)． 联立方程组{y =k 1(x +2)x 24+y 2=1，得(4k 12+1)x 2+16k 1x +16k 12−4=0． 解得点M 的坐标为(2−8k 124k 12+1,4k14k 12+1)， 同理，可解得点N 的坐标为(8k 22−24k 22+1,−4k24k 22+1).由M ，D ，N 三点共线，得4k 14k 12+12−8k 124k 12+1−1=−4k 24k 22+18k 22−24k 22+1−1，化简有(4k 1k 2+1)(k 2−3k 1)=0．∵k 1，k 2同号，∴4k 1k 2+1>0，则k 2=3k 1．故存在λ=3，使得结论成立．解析：(Ⅰ)由已知得a ，结合离心率得c ，再由隐含条件求得b 得答案；(Ⅱ)设直线A 1M 的方程为y =k 1(x +2)，直线NA 2的方程为y =k 2(x −2).分别联立直线方程和椭圆方程求得M ，N 的坐标，结合M ，D ，N 三点共线可得k 2=3k 1.说明存在λ=3，使得结论成立． 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 20.答案：解：∵S n+1=4a n +2， ∴a 1+a 2=4a 1+2， 解得a 2=5，由S n =4a n−1+2，S n+1=4a n +2得：a n+1=4a n −4a n−1， 故数列{a n+1−2a n }是以3为首项，以2为公比的等比即数列，∴a n+12n+1−a n 2n =34，∴数列{a n 2n }是以12为首项，，以34为公差的等差数列， ∴a n 2n=12+34(n −1)=34n −14，∴a n =(34−14)2n ，a 2017=(34×2017−14)×22017=6050×22015．解析：本题主要考查数列的递推关系，化简可得a n+1=4a n −4a n−1，从而求得数列{a n+1−2a n }是以3为首项，以2为公比的等比数列，数列{a n2n }是以12为首项，，以34为公差的等差数列，从而解出答案．。
中央民大附中2019—2020学年第一学期9月考试试题卷
1中央民大附中2019—2020学年第一学期9月考试试题卷年级高三科目数学时量 120 分钟总分 150 分一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1．函数( ) A ． B ． C ． D ． 2. 已知角α的终边经过点(3,4)-，则cos α= ( )A.35B. 35-C. 45D.45- 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是 ( ) A. 22y x x =+ B. 3y x = C.ln y x = D.2y x =4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )5. 3πα=是1cos 2α=的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．函数()2x f x e x =+-的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)7．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时，2121[()()][]0f x f x x x -⋅-<恒成立，设1((2),(3)2a fb fc f =-==，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c8. 一个国际象棋棋盘（由88⨯个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不1()1f x x =-[0,)+∞(1,)+∞[0,1)(1,)+∞[0,1)2确定）. “L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示. 现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则 ( ) A. 至多能剪成19块“L”形骨牌B. 至多能剪成20块“L”形骨牌C. 一定能剪成21块“L”形骨牌D. 前三个答案都不对二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 已知向量(1,2)=-a ，(2,)m =b ，若 ，则m =. 10．已知函数3()log ()f x x a =+的图象过点(2,1)，那么a =____． 11.o sin 225=_________12．能够说明“设a ,b 是任意非零实数．若1ba>，则b >a ”是假命题的一组整数．．a ,b 的值依次为________．13．函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，φ∈R )的部分图象如图所示，那么(0)f ＝________14. 已知函数()f x 定义域为R ，设()()1,()1() 1.f f x f x F x f x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，，①若22()1x f x x =+，则(1)_______f F =； (13题图)②若()e 1a xf x -=-，且对任意x ∈R ，()()f F x f x =，则实数a 的取值范围为__________ .三、解答题共6小题，共80分。
北京市人大附中2019-2020学年高二上学期期末考试文科数学试卷 Word版含解析
北京市人大附中2019-2020学年上学期期末考试高二文科数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．命题“∃x 0∈R ，≤0”的否定是（ ）A ．∃x 0∈R ，＞0B ．∃x 0∉R ，≤0 C ．∀x ∈R ，2x ＞0 D ．∀x ∈R ，2x ≤02．下列求导运算正确的是（ ）A ．（x 3）'=x 2B ．C ．（e x ）'=xe x ﹣1D ．（cosx ）'=sinx3．如果x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，+∞）4．“a ＞b ，c ＞d ”是“a+c ＞b+d ”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点为A （﹣1，0），右焦点为F 2（，0），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y=±xB ．y=±2xC ．y=±xD ．y=±x6．如图，直线l 是曲线y=f （x ）在x=4处的切线，则f ′（4）=（ ）A ．B ．3C ．4D ．57．函数f （x ）=2x 3﹣3x 2+a 的极大值为6，那么a 的值是（ ）A ．5B ．0C ．6D ．18．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y轴于点P ．若=2，则椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．若椭圆的中心在坐标原点，焦点为（1，0），且过（2，0）点，则椭圆的标准方程为______．10．已知函数f （x ）=sinx ，则f ′（）=______．11．已知椭圆+=1的焦点F 1、F 2在x 轴上，离心率为，若弦AB 经过焦点F 1，则△ABF 2的周长为______．12．函数f （x ）=（x ﹣3）e x 的单调递增区间是______．13．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，则|AB|=______．14．如图是函数y=f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y=f （x ）的极值点；②1是函数y=f （x ）的最小值点；③y=f （x ）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增．则正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知点M （3，﹣6）在以原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线C 上，直线l ：y=2x+1与抛物线C 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点．（1）求抛物线C 的方程；（2）求线段AB 的长．16．已知函数f （x ）=﹣x 3+3x 2+9x ﹣2（Ⅰ）求f （x ）的单调减区间；（Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣2，2]上的最值．17．已知椭圆D ： +=1的半焦距c=1，且a=b ．（1）求椭圆D 的标准方程；（2）过点M （0，m ）且斜率为的直线l 与椭圆D 有两个不同的交点P 和Q ，若以PQ 为直径的圆经过原点O ，求实数m 的值．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在曲线C 上，∠F 1AF 2 的平分线交x 轴于点M（I ）若点M 的坐标为（2，0），则|AF 2|=______；（II ）若|AF 1|+|AF 2|=24，则△F 1AF 2的面积为______．19．（I ）设函数f （x ）=x （x+1）（x+2），则f ′（0）=______；（II ）设函数f （x ）=x （x+1）（x+2）…（x+100），则f ′（0）=______．（只需列出式子即可）二、解答题（本大题共2小题，满分20分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆G： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为（，0）．（1）求G的方程；（2）直线y=kx+1与曲线G交于不同的两点A，B，若在x轴上存在一点M，使得|AM|=|BM|，求点M的横坐标的取值范围．21．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．北京市人大附中2019-2020学年上学期期末考试高二文科数学试卷参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．命题“∃x 0∈R ，≤0”的否定是（ ）A ．∃x 0∈R ，＞0B ．∃x 0∉R ，≤0C ．∀x ∈R ，2x ＞0D ．∀x ∈R ，2x ≤0【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到结论．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x ∈R ，2x ＞0，故选：C2．下列求导运算正确的是（ ）A ．（x 3）'=x 2B ．C ．（e x ）'=xe x ﹣1D ．（cosx ）'=sinx【考点】导数的运算．【分析】直接利用求导公式判断选项的正误．【解答】解：A ．（x 3）'=3x 2 故A 错误；B ．（lgx ）'= 故B 正确；C ．（e x ）'=e x 故C 错误；D ．（cosx ）'=﹣sinx 故D 错误；故选B3．如果x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（）A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，+∞）【考点】椭圆的标准方程．【分析】利用椭圆的定义求解．【解答】解：∵x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，把x 2+ky 2=2转化为椭圆的标准方程，得，∴，解得0＜k ＜1．∴实数k 的取值范围是（0，1）．故选：A ．4．“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据同向不等式两边可相加，由a＞b，c＞d能得到a+c＞b+d，而a+c＞b+d得不到a＞b，c＞d，比如a=b，c＞d的情况，所以a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分不必要条件．【解答】解：由a＞b，c＞d便得到a+c＞b+d，即a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分条件；而由a+c＞b+d得不到a＞b，c＞d，比如a=b，c＞d，满足a+c＞b+d，但不满足a＞b，即a＞b，c＞d不是a+c＞b+d的充分条件；∴a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分不必要条件．故选B．（，0），则双曲线的渐5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的几何量，即可求解双曲线的渐近线方程．（，0），【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2可得a=1，c=，所以b=．双曲线的渐近线方程为：y=．故选：A．6．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f′（4）=（）A．B．3 C．4 D．5【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由图得到f（4）=5，进一步得到直线l所经过的两点，由两点求斜率得到l的斜率，即曲线y=f （x）在x=4处的导数值．【解答】解：由图可知，f（4）=5，又直线过（0，3），（4，5），∴，即f′（4）=．故选：A．7．函数f（x）=2x3﹣3x2+a的极大值为6，那么a的值是（）A．5 B．0 C．6 D．1【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】令f′（x）=0，可得 x=0 或 x=6，根据导数在 x=0和 x=6两侧的符号，判断故f（0）为极大值，从而得到 f（0）=a=6．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣3x2+a，导数f′（x）=6x2﹣6x，令f′（x）=0，可得 x=0 或 x=1，导数在 x=0 的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值．f（0）=a=6．导数在 x=1 的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值．故选：C．8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y 轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用=2，得到a与c的关系，从而求出离心率．【解答】解：如图，由于BF⊥x轴，故xB =﹣c，yB=，设P（0，t），∵=2，∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．∴a=2c，∴e==，故选 D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．若椭圆的中心在坐标原点，焦点为（1，0），且过（2，0）点，则椭圆的标准方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据题意椭圆的焦点在x 轴上，a=2且c=1，进而求得b=，由此能求出椭圆的标准方程．【解答】解：由题意知椭圆的焦点在x 轴上，∵椭圆经过点（2，0），焦点为（1，0），∴a=2，c=1，可得b=．因此，椭圆的标准方程为．故答案为：．10．已知函数f （x ）=sinx ，则f ′（）= ． 【考点】导数的运算． 【分析】根据导数的运算法则计算即可． 【解答】解：f （x ）=sinx ， 则f ′（x ）=cosx ，则f ′（）=cos =，故答案为：11．已知椭圆+=1的焦点F 1、F 2在x 轴上，离心率为，若弦AB 经过焦点F 1，则△ABF 2的周长为 12 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的方程为+=1的焦点F 1、F 2在x 轴上，离心率为，知长半轴a=3，利用椭圆的定义知，△ABF 2的周长为4a ，从而可得答案．【解答】解：∵椭圆的方程为+=1的焦点F 1、F 2在x 轴上，离心率为，∴=∴a=3，又过焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，A ，B 与椭圆的另一个焦点F 2构成△ABF 2，则△ABF 2的周长l=|AB|+|AF 2|+|BF 2|=（|AF 1|+|AF 2|）+（|BF 1|+|BF 2|）=2a+2a=4a=12．故答案为：1212．函数f （x ）=（x ﹣3）e x 的单调递增区间是 （2，+∞） ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】首先对f （x ）=（x ﹣3）e x 求导，可得f ′（x ）=（x ﹣2）e x ，令f ′（x ）＞0，解可得答案．【解答】解：f ′（x ）=（x ﹣3）′e x +（x ﹣3）（e x ）′=（x ﹣2）e x ，令f ′（x ）＞0，解得x ＞2． 故答案为：（2，+∞）．13．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，则|AB|= 8 ．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）两点，故|AB|=x 1+x 2+2，由此易得弦长值．【解答】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）两点∴|AB|=x 1+x 2+2，又x 1+x 2=6∴∴|AB|=x 1+x 2+2=8故答案为8．14．如图是函数y=f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y=f （x ）的极值点；②1是函数y=f （x ）的最小值点；③y=f （x ）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增．则正确命题的序号是 ①④ ．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【解答】解：根据导函数图象可知当x ∈（﹣∞，﹣2）时，f'（x ）＜0，在x ∈（﹣2，+∞）时，f'（x ）≥0则函数y=f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，故y=f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增正确，即④正确而在x=﹣2处左侧单调递减，右侧单调递增，则﹣2是函数y=f （x ）的极小值点，故①正确∵函数y=f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增∴当x=﹣2处函数取最小值，1不是函数y=f （x ）的最小值点，故②不正确；∵函数y=f （x ）在x=0处的导数大于0∴y=f （x ）在x=0处切线的斜率大于零，故③不正确故答案为：①④三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知点M （3，﹣6）在以原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线C 上，直线l ：y=2x+1与抛物线C 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点．（1）求抛物线C 的方程；（2）求线段AB 的长．【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线C 的方程；（2）将直线l ：y=2x+1与抛物线C 的方程y 2=12x 联立化简整理可得：4x 2﹣8x+1=0，即可求线段AB 的长．【解答】解：（1）依题意可设：抛物线C 的方程为y 2=2px （p ＞0）由点M （3，﹣6）在抛物线C 上可得：（﹣6）2=2p ×3=6p ，∴p=6．故所求抛物线C 的方程为y 2=12x ；（2）将直线l ：y=2x+1与抛物线C 的方程y 2=12x 联立化简整理可得：4x 2﹣8x+1=0∴x=1±由弦长公式可得：|AB|=•=．16．已知函数f （x ）=﹣x 3+3x 2+9x ﹣2（Ⅰ）求f （x ）的单调减区间；（Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣2，2]上的最值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）由函数f （x ）=﹣x 3+3x 2+9x ﹣2，通过求导得出f ′（x ）＜0，解出即可；（Ⅱ）f （x ）在[﹣1，2]上单调递增，在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f （2）和f （﹣1）分别是f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，求出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f （x ）=﹣x 3+3x 2+9x ﹣2∴f ′（x ）=﹣3x 2+6x+9．令f ′（x ）＜0，解得x ＜﹣1或x ＞3，∴函数f （x ）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．（Ⅱ）∵f （﹣2）=8+12﹣18﹣2=0，f （2）=﹣8+12+18﹣2=20，∴f （2）＞f （﹣2）．∵x ∈（﹣1，3）时，f ′（x ）＞0，∴f （x ）在[﹣1，2]上单调递增，又由于f （x ）在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f （2）和f （﹣1）分别是f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值．于是有f （x ）max =20，f （x ）min =﹣7．17．已知椭圆D ： +=1的半焦距c=1，且a=b ．（1）求椭圆D 的标准方程；（2）过点M （0，m ）且斜率为的直线l 与椭圆D 有两个不同的交点P 和Q ，若以PQ 为直径的圆经过原点O ，求实数m 的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可知：c=1，且a=b ＞0，又a 2=b 2+c 2，联立解出即可得出椭圆D 的标准方程．（2）由题意易知：直线l 的方程为y=x+m ．与椭圆方程联立可得：5x 2+4mx+2（m 2﹣1）=0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．由以PQ 为直径的圆经过原点O 可得： •=0，即x 1x 2+y 1y 2=0．利用根与系数的关系代入即可解出．【解答】解：（1）由题意可知：c=1，且a=b ＞0，又a 2=b 2+c 2，联立解得c=1，b=1，a=所求椭圆D 的标准方程为： +y 2=1．（2）由题意易知：直线l 的方程为y=x+m ．联立，化简整理可得：5x 2+4mx+2（m 2﹣1）=0，由△=﹣4×5×2（m 2﹣1）=40﹣8m 2＞0，可得：＜m ＜．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．∴x 1+x 2=，x 1x 2=．由以PQ 为直径的圆经过原点O 可得：OP ⊥OQ ．从而•=0，∴x 1x 2+y 1y 2=0．∴x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+=3x 1x 2+（x 1+x 2）+m 2=3×+m ×（﹣）+m 2=﹣=0，解得：m=，满足△＞0．故所求实数m 的值为．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在曲线C 上，∠F 1AF 2 的平分线交x 轴于点M（I ）若点M 的坐标为（2，0），则|AF 2|= 6 ；（II ）若|AF 1|+|AF 2|=24，则△F 1AF 2的面积为 54 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（I ）求得双曲线的a ，b ，c ，可得焦点坐标，运用角平分线性质定理可得==，由双曲线的定义可得|AF 1|﹣|AF 2|=6，进而可得所求；（II ）由双曲线的对称性，可设A 在右支上，运用双曲线的定义和直角三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（I ）双曲线C ：﹣=1的a=3，b=3，c==6，则F 1（﹣6，0），F 2（6，0），∠F 1AF 2 的平分线交x 轴于点M ，可得===，可得A在右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a=6，解得|AF2|=6；（II）由双曲线的对称性，可设A在右支上，可得|AF1|﹣|AF2|=6，且|AF1|+|AF2|=24，解得|AF1|=15，|AF2|=9，又|F1F2|=12，由92+122=152，可得AF2⊥F1F2，则△F1AF2的面积为×9×12=54．故答案为：6，54．19．（I）设函数f（x）=x（x+1）（x+2），则f′（0）= 2 ；（II）设函数f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+100），则f′（0）= 1×2×3×…×100 ．（只需列出式子即可）【考点】导数的运算．【分析】（Ⅰ）构造函数g（x）=（x+1）（x+2），则f（x）=xg（x），再根据导数的运算法则计算即可；（Ⅱ）构造函数g（x）=（x+1）（x+2）…（x+100），则f（x）=xg（x），再根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设g（x）=（x+1）（x+2），则f（x）=xg（x），则f′（x）=g（x）+xg′（x），∴f′（0）=g（0）+0×g′（0）=（0+1）（0+2）=2，（Ⅱ）g（x）=（x+1）（x+2）…（x+100），则f（x）=xg（x），则f′（x）=g（x）+xg′（x），∴f′（0）=g（0）+0×g′（0）=（0+1）×（0+2）×...×（0+100）=1×2×3× (100)二、解答题（本大题共2小题，满分20分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆G： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为（，0）．（1）求G的方程；（2）直线y=kx+1与曲线G交于不同的两点A，B，若在x轴上存在一点M，使得|AM|=|BM|，求点M的横坐标的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可知：e==，a=，b2=a2+c2，联立解出即可得出椭圆G的方程．（2）将直线l的方程y=kx+1与椭圆G的方程联立化简整理可得：（3k2+2）x2+6kx﹣3=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得线段AB中点N的坐标，再利用线段垂直平分线的性质、斜率计算公式即可得出．【解答】解：（1）由题意可知：e==，a=，b2=a2+c2，联立解得a=，c=1，b2=2．所求椭圆G的方程为： =1．（2）将直线l的方程y=kx+1与椭圆G的方程联立：，化简整理可得：（3k2+2）x2+6kx﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=，x1•x2=．设线段AB中点N的坐标为（x0，y）．则x0==，y=kx+1=．设x轴上M点坐标为（m，0），使得|AM|=|BM|，依题意可得：AB⊥MN．①当k=0时，直线l平行于x轴，易知：此时M点与坐标原点重合，其坐标为（0，0）；②当k≠0时，有kMN=﹣，∴===﹣，从而m=﹣=﹣，而≥2（k＞0），或≤﹣2（0＞k），故≤m＜0或0＜m≤．综上所述：实数m的取值范围是．即点M的横坐标的横坐标的取值范围是．21．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+ax﹣lnx（x＞0），，根据函数的定义域，确定f′（x）＞0和f′（x）＞0的范围，进而得到函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，则f'（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，进而对任意x∈（0，1]恒成立，进而将问题转化为函数的最值问题后，可得实数a的取值范围；（Ⅲ）设出切点坐标，利用导数法求出切线斜率（切点处的导函数值），进而利用点斜式方程结合切线过原点求出切线方程，通过证明t=1是方程t2+lnt﹣1=0的唯一的解，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+ax﹣lnx（x＞0），∴，又∵，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅱ）∵又∵f（x）在区间（0，1]上是减函数，∴f′（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，即对任意x∈（0，1]恒成立，∴对任意x∈（0，1]恒成立，令，，∴a≤g（x）min易知g（x）在（0，1]单调递减，∴g（x）=g（1）=﹣1．min∴a≤﹣1．（Ⅲ）设切点为M（t，f（t）），，∴过M点的切线方程为：y﹣f（t）=f′（t）（x﹣t），即又切线过原点，所以，，即t2+lnt﹣1=0，显然t=1是方程t2+lnt﹣1=0的解，设φ（t）=t2+lnt﹣1，则φ′（t）=2t+＞0恒成立，φ（t）在（0，+∞）单调递增，且φ（1）=0，∴方程t2+lnt﹣1=0有唯一解1．∴过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．。
【20套试卷合集】中央民族大学附属中学2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题（共60分）1. 命题“若A ∩B=A ，则A ⊆B 的逆否命题是（ ） A ．若A ∪B ≠A ，则A ⊇B B ．若A ∩B ≠A ，则A ⊆B C ．若A ⊆B ，则A ∩B ≠A D ．若A ⊇B ，则A ∩B ≠A 2．已知a ＞b ＞1，P=b a lg lg ⋅ ，Q=)lg (lg 21b a +，R=)2lg(b a +则P,Q,R 关系是（ ） A. P ＞Q ＞R B. Q ＞R ＞P C.P ＞R ＞Q D.R ＞Q ＞P 3．对于实数x,y ，条件px+y ≠8,条件qx ≠2或y ≠6，那么p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．都不对 4．下列命题中正确的个数是( )①∃x ∈R,x ≤0；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数； ③∃x ∈{x|x 是无理数}，x 2是无理数 A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．已知命题p3≥3,q3>4，则下列判断正确的是( )A ．p ∨q 为真，p ∧q 为真，⌝p 为假B ．p ∨q 为真，p ∧q 为假，⌝p 为真C ．p ∨q 为假，p ∧q 为假，⌝p 为假D ．p ∨q 为真，p ∧q 为假，⌝p 为假 6．△ABC 的两个顶点为A(-4,0)，B(4,0)，△ABC 周长为18，则C 点轨迹为( ) A ．192522=+y x (y ≠0) B. 192522=+x y (y ≠0)C. 191622=+y x (y ≠0)D. 191622=+x y (y ≠0)7．方程mx 2-my 2=n 中，若mn<0,则方程的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线8．若θ是任意实数，则方程x 2+4y 2sin θ=1所表示的曲线一定不是( ) A ．圆 B ．双曲线 C ．直线 D ．抛物线9．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，如果x 1+x 2=6，那么|AB|=( )A ．8B ．10C ．6D ．410．设F 1、F 2是双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2=90°，则△PF 1F 2的面积是( )A ．1B ．25C ．2D ．5 11．若不等式 x 2+px+q ＜0的解集为（-31,21）则不等式qx 2+px+1＞0的解集为（ ） A ．（-3,2） B ．（-2,3） C ．（-21,31） D ．R 12．关于x 的不等式0>-b ax 的解集是(1,+∞),则关于x 的不等式(b ax +)(2x -)>0的解集是 ( )A.()),2(1,+∞⋃∞-B.(-1,2)C. (1,2)D.()),2(1,+∞⋃-∞-二、填空题(共20分)13. 不等式3x 2-3x+20≤的解集是_____________14．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则离心率e=________。