微元法及定积分的几何应用
定积分的几何应用
一、微元法
微元法也称微元分析法, 它是定积分应用的基础, 给出了用定积分方法解决各种求和问题的一般方法. 定积分作为一种数学方法, 研究的是某些量的计算问 题. 记所研究的量为 Q , 量 Q 如果符合下列条件:
(1) Q 是与一个变量 x 的变化区间[a, b]有关的量;
(2) Q 对于区间 [ a , b ] 具有可加性, 也就是说, 如果把区间 [ a , b ] 分成许多部分区间, 则 Q 相应地 分成许多部分量, 而 Q 等于所有部分量之和;
以 x 为积分变量, x [ a , b ] 取 [ x, x+dx ] [ a , b ], 在[ x , x + dx]上立体的体积可以近似看成以 y (x) 为底面
半径, 高为 dx 的小圆柱体的体积, 见图5-17, 则体积
元素为 dV = [ f ( x ) ] 2 dx. 旋转体的体积为
(3) Q = dQ ( x ) + o ( x ).
则整体量 Q
b
Q(x)dx.
a
微元法或微元分析法遵循如下三个步骤:
第一步: 确定整体量 Q 的变化区间, 比如 Q ( x ) 的变化区间为[ a , b ] .
第二步: 对具有可加性的 Q ( x ) , 考察增量 Q ( x ) , 如能写成 Q ( x) = dQ ( x ) + o ( x ) .
a2
x2
dx
2 ab2 a2 x2 dx 0 a2
2
b2 a2
a2x13x30a
4 ab2. 3
特殊地, 当 a = b 时, 得球的体积 V 4 a 3 . 3
例5 求曲线 y = sin x ( 0 x ) 及 x 轴所围成的
5.6定积分的几何应用
y y
y = f (x)
o a x o a
b
b x b x
dVx = π [ f (x)]2 dx
旋转体的体积为 Vx = ∫ π y dx = ∫ π[ f (x)]2dx
2 a a b
当考虑连续曲线段 x = ϕ( y) (c ≤ y ≤ d) 轴旋转一周围成的立体体积时, 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时 有 V = d π [ϕ( y)]2dy = ∫ πx2dy ∫ c
a b
dA= f2(x) − f1(x)dx
曲边梯形的面积
A= ∫ f2(x) − f1(x)dx
a
5
b
计算两条抛物线y 所围图形的面积。 例1. 计算两条抛物线 = x2，y2 = x所围图形的面积。 所围图形的面积 解：由 得交点 (0, 0) , (1, 1) y
1 y2 = x
(1,1)
为积分变量, 取y为积分变量 变化范围为 为积分变量 变化范围为[0,1] 得面积元素
y(x)
y
2πa
Vx = ∫ π y dx
2
0
2πa
=π∫
2π
利用对称性 t 3 π 3 3 π 6t = 2π a ∫ (1− cost) dt = 16π a ∫ sin dt (令u= ) = 0 0 2 2 π 3 5 3 1 π 3 2 6 = 5π 2a3 π 0 = 32 a ∫ sin udu= 32π a ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 6 4 2 2
= 2π ∫ ab sin t dt
2 3
4 2 = 2π ab ⋅ ⋅ 1 = π ab2 3 3 4 3 特别当b 就得半径为a 特别当 = a 时, 就得半径为 的球体的体积 π a . 3
微元法及定积分的几何应用
y
y f (x)
dV [ f ( x)]2 dx
旋转体的体积为 o
V b [ f (x)]2 dx a
a
x
x dx
bx
A( x) [ f ( x)]2
例1 连接坐标原点 O 及点P(h, r )的直线、直线
x h及 x 轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴
旋转构成一个底半径为 r、高为 h 的圆锥体，
3
O
ax
类似地, 如果旋转体是由连续曲线 x ( y)、
直线 y c 、y d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴
旋转一周而成的立体，体积为 y
dd x ( y)
o
c
x
例3 求由抛物线 y 2 x2 ,直线 x 1及 x 轴所围 图形,绕 x 轴及 y 轴旋转而成的旋转体的体积.
o a xi1 i xi b x
Ai ：第i个小曲边梯形面积
定积分的定义表达式：
b
f (x)dx
a
n
lim 0
i 1
f (i ) xi
1、分割： [a,b] 分成n个小区间
[xi1, xi ] xi xi xi1
曲边梯形面积： A n Ai i 1
2、平行截面面积为已知的立体的体积
一个立体,夹在平面x a 和x b 之间,被垂直于 x 轴的平面所截的截面积为 A( x) ,则该立体的体积为
A(x)
a
x x+d
x
bx
例1 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中
心, 并与底面交成角 ,计算这平面截圆柱体所
得立体的体积.
解 建立坐标系如图,
第十讲 微元法思想与定积分应用
y
y f2(x)
oa
A
A
y f1( x)
b xoa
bx
b
A a f ( x)dx
b
A a[ f2( x) f1( x)]dx
极坐标情形
r ( )
d
r 1( )
r 2( )
o
x
o
x
A 1 [ ( )]2 d 2
A
123
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
133
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
143
小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限．
分、粗、和、精 ２．定积分的思想和方法：
分割 求和 取极限
化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
积零为整
dx的乘积，就把 f ( x)dx 称为量U 的元素且记作
dU ，即dU f ( x)dx ；
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b ，
即为所求量U ．
5、定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积
直角坐标情形
y
y f (x)
y f (x)
y
A?
oa
bx
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
最新微元法及定积分的几何应用教案
教案教学目的与要求：1.正确理解和掌握定积分微元法的基本思想；2.掌握用定积分解决平面图形面积的问题；3.培养学生分析问题解决问题的能力和数形结合的观念重点：1、微元法及其基本思想；2、求平面图形的面积 难点：微元法的基本思想教学内容与教学组织设计（45分钟）：第6.5节：定积分的几何应用1 复习定积分的概念，引入微元法的思想 ………………………..15分钟定积分的概念⎰badx x f )(01lim ()ni i i f x λξ→==∆∑.教学安排 课 型：理论 教学方式：讲授 教学资源多媒体、板书授课题目（章、节） 第6.5节：定积分的几何应用通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼，可得用定积分计算某个量U 的步骤: (1) 选取积分变量，并确定它的变化区间[,]a b ；(2) 求微元：将区间[,]a b 分成若干小区间，取其中的任一小区间[,]x x dx +，求出它所对应的部分量的近似值：()U f x dx ∆≈ (()f x 为[,]a b 上的连续函数 )则称()f x dx 为量U 的微元，且记作()dU f x dx =；(3) 列积分：以U 的微元dU 作被积表达式，以[,]a b 为积分区间，得()baU f x dx =⎰.这个方法叫做微元法。
微元法实质：找出U 的微元dU 的微分表达式dU=f(x)dx 。
3 求平面图形的面积 …………………………………..17分钟类型一：D1型区域 （教师主导并详细讲解）如图1，由曲线()y f x =及直线x a =、()x b a b =<与x 轴所围成的曲边梯形面积A. 讲解：（板书）(1) 选变量：选x 为积分变量(2) 求微元：在区间微元[,]x x dx +上，取x ξ=，则 ()dA f x dx = 图1 (3) 列积分：()baA f x dx =⎰练习：（学生自主根据微元法进行分析，然后教师讲解）如图2，求由曲线 ()y f x = 与 ()y g x = 及直线 x a =、()x b a b =<且()()f x g x ≥所围成的图形面积A 。
微元法与定积分的应用
如果 f (x) 在 [a, b] 上有正有负，那么它的面积 A 的微元应是以 | f (x) | 为高，dx 为底的矩形面积，
即 dA= | f (x) |dx .
于是，总有
b
A a | f ( x) | dx.
y
f (x)
Oa
x x+dx
bx
dA
例 1 求由曲线 y = x3 与直线 x = - 1，x = 2 及 x 轴所围成的平面图形的面积．
dA
( x2
-
x1 )dy
( y
4) -
y2 2
dy,
y
4
于是
A
4 -2
(
y
4)
-
y2 2
dy
y + dy y
18.
如果选择 x 为积分变量， -2
那么它的表达式就比上式复杂.
y2 = 2x
(2,-2) A
B (8,4) y = x-4
x
例 4 求椭圆 x = a cos t，y = b sin t 的面积，其
n i 1
f ( xi )x
1
b
f (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)dx,
b-a a
即
y 1
b
f ( x)dx.
b-a a
例 5 求从 0 至 t 秒到这段时间内自由落体的 平均速度．
解 因为自由落体的速度为 v = gt， 所以，
v 1 t gudu 1 gt.
t-0 0
2
例 6 求 y = lnx 在 [1, 2] 上的平均值.
中 a > 0，b > 0. 解 因为图形关于 x 轴、y
高等数学(第三版)课件：定积分的应用
线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•
第五讲定积分的微元法定积分在几何中的应用(一).
第五讲 定积分的微元法 定积分在几何中的应用(一)一、定积分的微元法由引入定积分概念的两个实例不难看出， 可用定积分所求的量 A 具有以下 三个特点：1、量A 是分布在区间［a,b ］上的整体量，即A 与区间［a,b ］有关，在［a,b ］上连续分布。
3、量A 在区间［a,b ］上的分布是非均匀的。
现在来讨论如何用定积分解决一些实际问题。
复习求曲边梯形面积的方法，给出微元法的概念。
设f(x)在区间［a,b ］上连续，且f(x) 0，求以曲线取近 似 计算每 个小 区 间 上 面 积 A i 的 近 似 值 A if( i ) x i2、量A 具有可加性，即整体量等与部分量的和:nA i ；i1f (X )为曲边的［a,b ］上的曲边梯形的面积A .把这个面积A 表示为定积分A a bf (x)dx，求面积A 的思路是“分割、 取近似、求和、取极限”即: 1、分割 将［a,b ］分成n 个小区间，相应地把曲边梯形分成n 个小曲边梯形,其面积记作 A(i 1,2,,n),则 A A ；i12、(x i 1ix n ) ；3、求和求和得A 的近似值A nf( i )i1x i ；4、 n取极限 取极限得 A limi1f( i ) x ibf(x)dx ．为了以后使用方便，可把上述四步概括为下面两步， 设所求量为A ，区间yA 「为[a,b],1、无限细分，化整为零A f x dx ;2、连续求和，积零为整xbbbdA dA x d f x dx f x dx ， A dA dA x faaaa由此不难看出，f x dx 实际上就是量A 在点x 出的微分，将dA f x dx 称为量A 的微元，上述方法称为微元分析法，简称为微元法。
二、定积分在几何中的应用(一)平面图形的面积1、直角坐标系下面积的计算在dx 0时，将A 从a 到b 连续求和，则有：A f(x)dx. y n由于A 与区间［a,b ］有关，且在［a,b ］上连续分布,上限函数的定义则有：A x f x dx ，从而， x有积分axb X1、当平面图形是由曲线f(x)及直线xb 、y 0所围成时;bb细分区间［a,b ］，从中任取一小区间［x,x dx ］(dx x )，并求出相应于这个小区间的部分量a oA 的近似值///Jx X dx b Xx dx ；xxxf x dxd f x dx f x dxacbf x dx .d2、当平面图形是由曲线 伞yy iX 、y 2 f 2 x 及直线x a 、x b 所围成时;yy i f i xy 2 To xb x若y i y 2时，则有：A f 2 xf i xdxb bf 2 x dxf i aax dx般地,f 2 xf l x dxacf i x af 2 xd dxcf 2 bxf i x dxdf i x f 2 x dx3、当平面图形是由曲线 X i f i y 、 X 2 f 2 y 及直线yd 所围成时;d则：A 2 y 1 y dy .cx 例1、计算由两条抛物线y 2x例2、计算抛物线y22x与圆x2寸8所围平面图形的面积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
所以
5.2.2 、已知平行截面面积函数的立体体积
设所给立体垂直于 x 轴的截面面积为 A(x),
上连续, 则对应于小区间
的体积元素为
dV ? A(x)d x
因此所求立体体积为 b
V ? ?a A(x) d x
A(x)
ax
bx
特别 , 当考虑连续曲线段
轴旋转一周围成的立体体积时 , 有
? V ?
b
y
o
x
所以
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 平面图形的面积 直角坐标方程 2. 已知平行截面面面积函数的立体体积
旋转体的体积 绕 x 轴 : A(x) ? ? y2
3. 经济方面的应用
作业
P246 1（1),(2);(8) 5; 7；
例5.2.6. 求由曲线
所围成的图形分别
绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积。
2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上 任取 ?i ? [ xi?1 , xi ]
作以 [ xi?1 , xi ] 为底 , f (?i )
y
为高的小矩形 , 并以此小
矩形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
得
o a x1
? Ai ? f (?i )? xi (? xi ? xi ? xi?1 )
xi?1 xi
?
[
f
( x)]2
dx
a
y
y ? f (x)
当考虑连续曲线段
o ax
bx
绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时 ,
有
? V ? d ? [? ( y)]2dy c
y
d y x ? ? (y) c
ox
例5.2.4. 计算由椭圆
所围图形绕 x 轴旋转而
转而成的椭球体的体积 . 解: 利用直角坐标方程
y b
b
? A ? a f1(x) ? f2 (x) dx o a x x ? d x b x
例1. 求由正弦曲线
所围图形的面积 .
3?
解: S
?
?2 0
sin x d x
?
3?
?
?0
sin
xdx?
?2 ?
sin
x dx
?3
例2. 计算两条抛物线
所围图形的面积 .
解: 由
得交点 (0, 0) , (1, 1)
?i
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3) 近似和.
n
n
A ? ? ? Ai ? ? f (?i )? xi
i?1
i?1
4) 取极限. 令
则曲边梯形面积
n
? A
?
lim ?
? ? 0 i?1
Ai
n
? ?
lim
? ? 0 i?1
f
(? i )?
xi
y
o a x1 xi?1 xi
?i
机动 目录 上页 下页 返回 结束
近的似值
微分表达式
dU ? f (x) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
精确值
积分表达式
b
U ? ?a f (x) dx
这种分析方法成为 微元法 (或元素分析法 )
元素的几何形状常取为 : 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
第五章
第二节 定积分在几何上的应用
5.2.1、 平面面积的计算 5.2.2、已知平行截面面积函数的立体体积
? ? ?
1
Ad?A?0?
x ? x2 dx
?1 3
在第一象限所围
y y2 ? x (1,1) y ? x2
ox 1 x x?dx
类似地
yd
x ? ? ( y) y ? dy
y o
面积微元
dS ? ?? (y) ? ? ( y)?dy
x ? ? (y)
x
c
平面图形的面积
S
?
d
?c dS
?
d
?c
??
及直线 x ? a, x ? b (a ? b)所围成的图形的面积
b
S
?
?[ a
f
(x)
?
g ( x)]dx.
y
y ? f (x)
面积微元
dS
dS ? ?f (x)? g(x)?dx
o a x x ? dx b x
y ? g(x)
(4) 如所示图形面积为
y y ? f1(x) y ? f2 (x)
第五章 定积分的应用
一.定积分的微元法 二.定积分在几何上的应用 三.定积分在经济分析上的应用
第一节
第五章
定积分的微元法
定积分的微元法
复习（如图，求曲边梯形的面积）
1) 大化小. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? xn ? b 用直线 x ? xi将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形 ;
o x ax
则
V
?
a
2?0 ?
y2 dx
? ?
2?
b2 a2
a
(a
2
?
x2 ) dx
0
(利用对称性)
? 2?
b2 a2
???a 2 x
?
1 3
x3
? ??
a 0
?
4?
3
ab 2
例5.2.5 . 计算高为h、底半径为 r 的正圆锥体的体积。
y
解: 如图，建立 直角坐标方程
r
则直线方程为
h
任取截面，则体积元素为
微元法
1 、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间 [a , b]上的某分布 f (x) 有关的
一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 表示为
定积分定义
2 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
(
x
)
?
?
( x )?dy
例5.2.2. 计算抛物线 y 2 ? 2x 与直线 y ? x ? 4 所围图形
的面积 .
解: 由
得交点
(2, ? 2) , (8, 4)
y y?d y
y
y2 ? 2x
(8, 4)
为简便计算 , 选取 y 作积分变量 ,
则有
? ?
4
Ad?A ?
?2
(
y
?
4?
1 2
y2 ) dy
5.2.1、平面图形的面积
(1) 设曲线
与直线 y y ? f (x)
及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 则
dA ? f (x)dx
oa x b x
x ? dx
b
A ? ?a f ( x ) d x
（2） 若 y = f (x) 在 [a , b]上不都是非负的，则所围成
图形的面积为
（3） 由连续曲线 y ? f (x), y ? g (x)，g(x) ? f (x)
y
解: 作图， 求交点。
得交点：
且有
则绕x轴旋转而成的旋转体的体积
o
x
则绕y轴旋转而成的旋转体的体积
o
y? x? 4 x
(2, ? 2)
? 18
例5.2.3. 求椭圆
所围图形的面积 .
解: 利用对称性 , 有 d A ? y dx
a
A ? 4?0 y d x
其中 y ? b a2 ? x2 a
y b
o xx? dxa x
ห้องสมุดไป่ตู้
因此
b a2 ? x2 a
? 由定积分的计算，得 a 0
a2 ? x2 a2 ? x2 dx