定积分的几何应用例题与习题

定积分的几何应用例题与习题

11cos ,(0),2

4

L π

π

ρθθθΓ=+≤≤

=

Γ、曲线的极坐标方程求该曲线在所对应的点处的切线的

直角坐标方程，并求曲线、切线L 与x 轴所围图形的面积。212122,1,1

(1)2y ax y x S x S a a S S x ===<+、设直线与抛物线所围成的面积为它们与直线所围成的

面积为并且试确定的值，使达到最小，并求出最小值；

（）求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。

{}0

3(,)01,01:(0)

(),()(0)

x

xoy D x y x y L x y t t S t D l S t dt x =≤≤≤≤+=≥≥⎰、设平面上有正方形及直线若表示正方形位于直线左下部分的面积试求

4

、0)x y e

x x -=≥求由曲线与轴所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积V

3

3

2cos (0,)42sin 11)5x a t

a t y a t a πππ⎧=⎪>≤≤⎨=⎪⎩5、求由曲线与直线y=x 及y 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得立体的全表面积。(S=(

6.0,(0)02

(),()()

()()(1)(2)lim

()

()()()

2,lim 1

()

()x x

t t e e y x x t t y x V t S t x t F t S t S t V t F t S t S t V t F t -→+∞→+∞+===>=====曲线与直线及围成一曲边梯形，该曲边梯

形绕轴旋转一周得一旋转体，其体积为侧面积为，在处的底面积为求的值；计算极限22333

(sin )(1cos )3,

(2)5,

(3)6x y a t t a t a V a V a ππππ--≤≤===7、求由摆线x=,y=的一拱(0t 2)与横轴所围成的平面图形的面积，及该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积。（1）A 222

222

23

A x y x y x A x V ππ+≤≥==

-8、设平面图形由及所确定，求图形绕直线旋转一周所得旋转体的体积。

''2''''9.(),()()(),()(),(0)0,()0.

()

(1)();(2)()()()0,(0)12

(1) ()1.

1

(2) 0()0,0()0,x f x g x f x g x g x f x f g x f x F x y F x y F x g x x x b b y F x e x F x x F x ===≠=====>==-+><<>设函数可微，且求：作出函数曲线的图形；(3)计算由曲线及直线

和围成的面积.

当时，曲线上凸；当时，曲线下20012

(1())2ln 2ln(21).

1

b b x y S F x dx dx b b e =±=-==+-++⎰⎰凹，所以(0,0)为拐点，且为其水平渐近线.

(3)

0000220)ln (,)1(,)231

11

1,,1)(2)(3)62

2

x x y a y x y a x y x x x V a e S e V e

π

=>==

=-

=

10.已知曲线与曲线处有公共切线，求

（）常数及切点；

（）两曲线与轴围成的平面图形的面积；

（）两曲线与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积（）切点（

2

2

2

2

11.(1)(0)(01),2lim ?221

,

lim 2

(1)

x x x

x x x y e

x x x x xe e x e ξθθθθθ+

+

→→=>=<<=-+=

=-对于指数曲线试在原点与之间找一点使这点左右两边有阴影部分的面积相等，并写出的表达式。（）求

2(0,0)010,104

9

?

5

,2,0

3y ax bx c x y x y x a b c a b c =++≤≤≥===-==12、抛物线通过点，且当时，它和直线及所围的

图形的面积是，问这个图形绕轴旋转而成的旋转体的体积为最小值时，，与的

值应为多少(1,0)6

P y x x V π

==

13、过点作抛物线轴围成一平面图形（如图），求此图形绕轴旋转所成旋转体的体积。

22214.(0,0)14,1875

y ax a x y x A o A y ax a x a V =>≥=-===

最大设曲线与交于点，过坐标原点和点的直线与曲线围成一平面图形，问为何值时，该图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？

15、设曲线方程为)0(≥=-x e y x

(1)把曲线x

e

y -=，x 轴，y 轴和直线)0(>=ξξx 所围成平面图形绕x 轴旋转一周，

得一旋转体，求此旋转体体积)(ξV ；并求满足)(lim 21

)(ξξV a V +∞

→=

的a ； (2)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求

出该面积.

（1）1

ln 2.2

a =

（2）（1，1

-e ），最大面积 11

2222

1--=⋅=

e e S . min ln 1,322ln 23ln3)

y x x x ====+-16.求由曲线直线及曲线上方任一直线围成面积的最小值（A

3152726432;;47x y x y x S V πΓ=Γ≥⎡

⎤=+==⎢⎥⎣⎦

17.过点（，）作曲线：的切线L,(1)求L 的方程；

（2）求与L 所围平面图形D 的面积；

（3）求图形D 的x 0的部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积。

22222223x y x y x x V ππ+≤≥=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦

18.求由与所围区域绕旋转一周所得旋转体的体积。

2

sin 0)2()sin 2y x x x x x xdx π

πππππ=≤≤=-=⎰19.求由曲线（和轴所围成的平面图形绕直线旋转所生成的旋转体的体积。解：V=

21

20.,,(0),2

1

106b a a b x dx a b y x ax y bx S =≤≤=+=⎛=-= ⎝⎭

⎰最大最小已知满足求曲线与直线所围区域的面积的

最大值与最小值

（此题用多元函数条件极值做，S （，）））