定积分在几何学上的应用09414
b a 2 2 [ a 2 x 1 3 x 3 ] a a 3 4 a 2 b
8
此题也可利用椭圆的参数方程求解
x a cost
y
b sin
t
则
V2 a y2dx 2
2
ab2sin3tdt
0
0
2ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a
时,
就得半径为a
的球体的体积
4 3
a3 .
并与底面交成角 ,计算这平面截圆柱体所得
立体的体积.
R
解 取坐标系如图 底圆方程 x2y2R2
O
x
垂直于x轴的截面为直角三角形.
R
h hy
x
底y R2 x2, 高 h R2x2tan,
截面面积 A(x)1(R2x2)tan,
2
立体体积V 2 R1(R2x2)tandx 2R3tan.
02
3
14
可否选择y作积分变量? R
则旋转椭球体的体积为
V a a y 2 d V a a a a y b a 2 2 2 d ( a 2 x a x a 2 ) d b a 2 2 ( a 2 x x 2 ) d xx
b a 2 2 [ a 2 x 1 3 x 3 ] a a 3 4 a 2 b
a2(t sint)2asintdt
a2(tsint)2asintdt
2
0
a3 2 (t sin t )2 sin tdt 令u t
0
2 (t2sit n 2 ts2 itn s3 it) n d t63a3. 0
12
2. 平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体, 但却知道该立体
直线 yc,yd及 y 轴所围成的曲边梯形绕
y 轴旋转一周而成的立体, 体积为多少?
体积元素
y
dV[( y)]2dy
旋转体的体积
d
x(y)
V d[(y)]2dy c
c
O
x
4
旋转体的体积： V a b [ f ( x ) 2 d ] x
例 求yx2在[0,1]上绕 x轴旋转形成的 . 体积
9
解（2）若椭圆 绕y轴旋转 (只需用右半) 椭圆
y b 积分区间: x [a,a].
a
O
ax 微分元素:
b
dVx2dyab22 (b2y2)dy.
V bd Va 2 b(b 2 y 2 )dy4a 2 b .
b
b 2 b
3
10
例 求摆线 x a (t sti)n y , a (1 cto ) 的一s拱
此时截面面积函数是什么?
O
如何用定积分表示体积?
作一下垂直于y轴的截面是 矩形
y
R
(x, y)
x
截面长为 2 x , 宽为 ytan.
截面面积 A(y)2xytan2y R2y2tan
V
R
A(y)dy
R
2y
R2y2tan dy
0
0
2R3tan.
3 15
二、平面曲线的弧长
y
1. 平面曲线弧长的概念x 轴旋转一周而源自的立体,体积为多少?采用元素法
y
yf(x)
取积分变量为x, x[a,b],
在[a, b]上任取小区间
O
[x,xdx],取以dx为底的
a x xdx b
x
小曲边梯形绕 x 轴旋转而
成的薄片的 体积元素 dV[ f (x)]2dx
旋转体的体积 V b[f(x)]2dx a 3
(2) 如果旋转体是由连续曲线 x(y),
h r 2 2 [ 1 3 x 3 ] 0 h 1 3 h 2 r
h r 2 2 [ 1 3 x 3 ] 0 h 1 3 h 2 r 7
椭球体的体积公式推导：
例 计算由椭圆 x2 而成的旋转体的体积。a2
y2 b2
1
所成的图形分别绕x,
y
轴旋转
解（1） 若 椭 圆 绕 x 轴 旋 转 ( 只 需 用 上 半 椭 圆 )
与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的
旋转体的体积.
y
解 绕 x轴旋转的旋转体体积
V x
2a y2(x)dx 变量代换
O
2a x
2x 0aa(tsitn)
0
02a2(1cot)s2a(1co t)d ts
a 32 (1 3 cto 3 s c2 o t c s3 o t)d ts52a3. 0
y
y x2
解 取积分变量为x, x[0,1]
体积元素
o
1
x
dVy2dx x4dx
V 1 x4dx
0
5
5
例 求抛物 yx线 2和y x所围成图 y轴形绕
旋转所得旋转体的体积 .
y y x
解 两曲线的交点为 (0,0)和(1,1). 1
• (1,1)
绕y轴旋转
1
V (
y)2dy 1(y2)2dyO
0
0
1
(
y
y4
)dy
0
y x2
x
3 10
6
圆锥体的体积公式推导：
例 连接坐标原点O及点P(h, r)的直线、直线xh及x轴 围成一个直角三角形 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、 高为h的圆锥体 计算这圆锥体的体积
解 解 直 角 三 角 形 斜 边 的 直 线 方 程 为 y r x
V 0 h ( h r x ) 2 d h x
上垂直于一定轴的各个截面面积, 那么,这个立体
的体积也可用定积分来计算.
A( x) 表示过点x
Oa
A( x)
x•
且垂直于x轴的
xxdx
截面面积, A( x) 为x的已知连续函数.
bx
体积元素 dVA (x)dx
采用元素法
立体体积
b
V A(x)dx.
a
13
例 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心,
第二节 定积分在几何学上的应用
体积 平面曲线的弧长 典型例题
第六章 定积分的应用
1
一、体 积
1. 旋转体的体积 旋转体 由一个平面图形绕 这平面内一条直线 旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
2
(1) 如果旋转体是由连续曲线 y f(x),
直线 xa,xb及 x 轴所围成的曲边梯形绕
11
绕 y轴旋转的旋转体体积 可看作平面图OABC与OBC
摆线
x y
a(t sint) a(1cost)
分别绕 y轴旋转构成的旋转 体的体积之差.
y
2aC
B xx2(y)
V y
2a( B
x) 2 2
(
y)dy
x ( 2a(B ) 2 1
y)dy
oOxx1(ya)
A
2a x
0( A)
0(O )
M 2•
Mi
•
设A、B是曲线弧上
M 1•
的两个端点, 在弧上
•Mn1
B M n
插入分点
A M0
A M 0,M 1 , M i, ,M n 1,M nOB
x
并依次连接相邻分点得一内接折线, 当分点的数目
无限增加且每个小弧段都缩向一点时, 此折线的长
n
| Mi1Mi | 的极限存在, 则称此极限为曲线弧AB
高等数学定积分在几何上的应用
记作dA
o a x x dxb x
(2) 将这些面积元素在[a,b]上“无限累加”得
b
b
A lim f ( x)dx
a
f ( x)dx
dA
a
应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:
1) 选取积分变量, 确定它的变化区间[a,b];
2) 在区间[a, b]上任取一个小区间[x,x+dx], 并在小区 间上找出所求量F的微元 dF = f(x)dx (局部近似值) ;
曲边梯形的面积:
d
A c [( y) ( y)]dy
例1 求由 y2=x, y=x2 所围成的图形的面积
两曲线的交点 (0,0), (1,1)
选 x 为积分变量 x[0, 1]
面积微元: dA ( x x2 )dx
x y2
A
1
(
x x2 )dx
0
2
3
x2
1 x3
1
1.
3 0 30 3
例10 由yx3 x2 y0所围成的图形 分别绕x轴及y 轴旋转 计算所得两个旋转体的体积
绕 x 轴旋转所得旋转体的体积为
Vx
2
y2dx
0
2 x6dx
0
1 x7 2 128
7
07
绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为
Vy 22 8
8
x2dy
32
0
82
y 3dy
0
32 3 3 y5 8 64
高等数学定积分在几何上的应用
第二节 定积分在几何上的应用
本节主要内容: 一.定积分的微元法 二.定积分求平面图形的面积 三.定积分求体积 四.平面曲线的弧长
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分中的重要内容之一，经常被应用于实际问题的解决中。
本文将从三个方面来论述定积分的应用。
一、定积分在几何中的应用首先，定积分可以用于求曲线下面的面积。
以 y=f(x) 为例，若f(x)>0，则曲线 y=f(x) 与 x 轴的两点 a、b 组成的图形的面积为S=∫baf(x)dx这时，可以将曲线 y=f(x) 分成许多小块，每块宽度为Δx，高度为 f(xi)，从而可以得到其面积为ΔS=f(xi)Δx因此，当Δx 趋于 0 时，所有小块的面积之和就等于图形的面积，即∑ΔS→S因此，用定积分就可以求出图形的面积。
其次，定积分还可以用于求旋转体的体积。
以曲线 y=f(x) 在 x 轴上旋转360°为例，其体积为V=π∫baf(x)^2dx这里，π为圆周率。
最后，定积分还可以用于求某些奇特图形的长、面积等等。
二、定积分在物理中的应用物理中也有许多问题可以通过定积分来解决。
比如，运动问题中的速度、加速度，可以通过位移的变化来求得。
若某运动物体的速度为 v(t)，则其位移 s(t) 为s(t)=∫v(t)dt同样，若某运动物体的加速度为 a(t)，速度为 v(t)，则其位移为s(t)=∫v(t)dt=∫a(t)dt最后，定积分还可以用于求密度、质量等物理量。
三、定积分在工程中的应用定积分在工程中的应用也非常广泛。
比如，在流体力学中，对于一条管道中的液体，可以通过惯性和重力等因素，求出其中液体的流量和压力。
而这些流量和压力可以通过定积分计算得出。
在电学中，电量、电荷、电流和电势等都可以通过定积分来求解。
在结构设计中，定积分也常常被用来计算约束力、杠杆比例等。
总之，定积分在几何、物理和工程等领域中都有着广泛应用。
熟练地掌握定积分的方法和应用，对于科学研究和实际问题的解决都有着非常积极的帮助。
定积分在几何中的应用
2x
及x轴所围成图形的面积
思考：直线y＝x－4与曲线 y = 及 x轴所围成的图形是什么？ 1、各顶点的坐标是什么？
2x
y 4
C 2x y=
y ＝x －4
B (8,4)
2、如何将该图形的面积转化为 (0,0) O 曲边梯形的面积？ S＝S曲边梯形OABC－S三角形ABD. 3、该图形的面积用定积分怎样表示？
P58练习
练习、计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4所围
2
成的图形的面积.
解: 求两曲线的交点:
y2 2x (2, 2), (8, 4). y x 4
y 2x
S1 S1 2
y x4
8
y2 2 x
S2
S 2 S1 S 2 2
2 0 2 0
y2 x 2
思考题：在曲线y=x2 (x≥0)上某点A处作切线, 使之与曲线及x轴围成图形的面积为1/12. 求过点A的切线方程. y y=x2
则，切线的斜率 k＝2x0 设切点（x 0，x 0 ）
2
A x
y x0 2x0 ( x x0 )
2
即，y 2x0 ( x x0 ) x0
1 2 1 3 k 4 S kx x 4x dx ( kx x 2x 2 ) |0 0 2 3 ∴k=2，故直线 l的方程为 1 1； 1 2 y=2x 3 2 3 k k 4 k 4 2 k 4 k 4 36， 2 3 6
0 2
∴k=-10，故直线l的方程为y=-10x. 综上，直线l的方程为y=2x或y=-10x.
小结作业
P60习题1.7B组：1，2，3.
定积分在几何学上的应用
y o
y f ( x)
x x dx
x
取以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素， dV [ f ( x )]2 dx
旋转体的体积为
V [ f ( x )]2 dx
a
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b
【例 7】连接原点O 及点 P ( h, r ) 的直线、直线 x h 及 x 轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴旋转构成一个底半 径为 r 、高为 h 的圆锥体，计算圆锥体的体积． y r 【解】直线OP方程为 y x o h 取积分变量为 x ，x [0, h]
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2、【极坐标情形】 设由曲线 r ( ) 及射线 、
d
r ( )
围成一曲边扇形，求其面积．这
里， ( )在[ , ]上连续， ( ) 0 ． 且
d
1 dA [ ( )]2 d 面积元素 2 1 曲边扇形的面积 A [ ( )]2 d .
2
2
1
（其中 t1 和 t 2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[ t1 , t 2 ]（或[ t 2 , t1 ]）上 x (t ) 具有连续导数，
y (t )连续.
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x2 y2 【例 4 】 求椭圆 2 2 1的面积. a b x a cos t 【解】椭圆的参数方程
1、由直线x a , x b, x轴及y f ( x )(其中f ( x )在[a , b]上连续) 所围成的平面图形的面积, S | f ( x ) | dx。
a b
2、由直线x a , x b,曲线y f ( x )及曲线y g( x )所围 的平面图形面积(其中f ( x ), g( x )是[a , b]上的连续函数 ) 为 : S | f ( x ) g( x ) | dx
定积分在几何上的应用
定积分在几何上的应用
定积分就是求函数f(X）在区间[a,b]中图线下包围的面积。
即由y=0,x=a,x=b,y=f(X）所围成图形的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a,b]f(x)^2dx。
绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，
V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。
或者是V=2π∫[a，b]y*f(y)dy，也是绕x轴旋转体积。
绕x轴旋转体的侧面积为A=2π∫[a，b]y*(1+y'^2)^0.5dx，其中y'^2是y对x的导数的平方。
若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。
它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。
几何学发展历史悠长，内容丰富。
它和代数、分析、数论等等关系极其密切。
6.2 定积分在几何学上的应用
圆柱
圆锥
圆台
问题：一般地，考虑如图所示的曲边梯形绕 x 轴旋 转一周而形成的空间立体，其体积为多少？
y
y = f (x)
0a
bx
取积分变量为 x， x ∈[a,b] y
y = f (x)
在[a, b]上任取小区间 [ x, x + dx]
o
x x + dx
x
考虑以 d x 为底的窄曲边梯形 绕 x 轴旋转而成的薄片 ∆V 体积的近似值
设曲线弧为 y = f ( x) (a ≤ x ≤ b)，
其中 f ( x)在[a, b]上有一阶连续导数 y = f ( x)
y
取积分变量为 x，x∈ [a, b]
在 [a, b] 上任取小区间[ x, x + dx]，
以对应小切线段的长代替小弧段的长
} dy
dx
∆s ≈ (dx)2 + (dy)2 = 1 + y′2dx o ax x + dx b x
∫1
A= ( 0
y
−
y2 ) d
y
=
2
3
3
y2
−
y3 1
3
=
0
1. 3
例2 计算抛物线 y2 = 2x 与直线 y = x − 4 所围图形 的面积 .
例2 计算抛物线 y2 = 2x 与直线 y = x − 4 所围图形 的面积 .
解：( 一）取 y 为积分变量。
y
∫ s = 4 [ ( y + 4) − y2 ] d y
其体积可以近似看作以 f (x) 为底半径，高为 d x 的 薄圆柱体的体积，即 两个量的乘
∆V ≈ π [ f ( x)]2 dx = dV
定积分在几何中的应用
782020年第 5 期中定积分在几何中的应用杨姜维一、平面图形的面积（一）以为积分变量的情形1.在直角坐标中，设曲线（）与直线及轴所围成的平面图形面积为，则面积元素，面积。
例1：求曲线与直线及轴所围成的平面图形的面积。
解：如图1，面积元素，图形面积=2.设曲线与直线及轴所围成的图形面积为，则面积元素，面积。
3.设由，所围成的平面图形的面积：函数由大减小（上减下），积分从左到右；那么，第一种情况里面的面积公式，也可以看作是，轴即直线。
例2：求直线与抛物线所围成的平面图形的面积。
解：由图2分析可知，交点面积元素，图形面积4.任意由所围成的平面图形（图3）的面积。
例3：求抛物线，与轴及直线在第一象限所围成的平面图形的面积。
解：如图4，由交点面积+（二）以为积分变量的情形1.由曲线、直线及轴围成的平面图形面积：。
2.由曲线、直线及轴围成的平面图形面积：。
3.由曲线直线及轴围成的平面图形面积：若，。
可看作是函数由大减小（右减左），积分从下到上。
例4：计算抛物线与直线所围成的图形的面积。
定积分在几何中的应用，主要体现在求解平面图形的面积和旋转体的体积等，文中主要介绍了求解平面图形面积的几种情形，即分别以为积分变量来讨论；求旋转体体积的两种情况，即曲线分别围绕轴和轴旋转一周所得的立体体积。
JIAO HAI TAN HANG／教海探航解：如图5，由交点为方便计算，选取为积分变量，则有4.任意由曲线直线及轴围成的平面图形面积：。
二、旋转体的体积一个平面图形围绕其所在平面上的一条直线旋转一周而成的立体即为旋转体，常见的旋转体有圆柱体、圆锥、圆台、球体等,这些都有对应的体积公式，面对日常生活中所用到的水杯、花瓶等立体物件，求解体积时可考虑以下情况：（一）曲线绕轴旋转的情形由连续曲线与直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，选为积分变量，该旋转体的体积元素，体积为。
（二）曲线绕轴旋转的情形由曲线、直线及轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得的立体，选为积分变量，该旋转体的体积元素，体积为。
定积分在几何计算中的应用
定积分在几何计算中的应用定积分是高等数学中的一个重要概念，它在几何计算中有着广泛的应用。
在几何学中，定积分可以用来计算曲线的长度、曲面的面积、体积等等。
下面我们就来看看定积分在几何计算中的应用。
定积分可以用来计算曲线的长度。
对于一条曲线，我们可以将其分成无数个小段，然后对每个小段的长度进行求和，最终得到整条曲线的长度。
这个过程可以用定积分来表示，即：L = ∫a^b √(1+(dy/dx)^2) dx其中，a和b分别表示曲线的起点和终点，dy/dx表示曲线在每个点的斜率。
这个式子的意义是，将曲线分成无数个小段，每个小段的长度为√(1+(dy/dx)^2) dx，然后对所有小段的长度进行求和，最终得到整条曲线的长度。
定积分可以用来计算曲面的面积。
对于一个曲面，我们可以将其分成无数个小面元，然后对每个小面元的面积进行求和，最终得到整个曲面的面积。
这个过程可以用定积分来表示，即：S = ∫∫D √(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2) dxdy其中，D表示曲面的投影区域，z表示曲面在每个点的高度，∂z/∂x和∂z/∂y分别表示曲面在每个点在x和y方向上的斜率。
这个式子的意义是，将曲面分成无数个小面元，每个小面元的面积为√(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2) dxdy，然后对所有小面元的面积进行求和，最终得到整个曲面的面积。
定积分可以用来计算体积。
对于一个立体图形，我们可以将其分成无数个小体元，然后对每个小体元的体积进行求和，最终得到整个立体图形的体积。
这个过程可以用定积分来表示，即：V = ∫∫∫E dxdydz其中，E表示立体图形的空间区域。
这个式子的意义是，将立体图形分成无数个小体元，每个小体元的体积为dxdydz，然后对所有小体元的体积进行求和，最终得到整个立体图形的体积。
定积分在几何计算中有着广泛的应用，可以用来计算曲线的长度、曲面的面积、体积等等。
这些应用不仅在数学中有着重要的意义，也在实际生活中有着广泛的应用，例如在建筑设计、工程计算等领域中都有着重要的作用。
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分是一种常见的数学工具，用来解决许多几何和物理问题。
它可以在几何学、物理学中解决积分、面积和容积计算题中应用。
首先，定积分在几何学中的简单应用。
比如，如果我们要计算一个几何图形的面积，则可以通过定积分来计算。
它可以计算任意形状的几何图形的面积，比如三角形、椭圆、圆形等。
它的应用范围非常广泛，比如可以用它来计算面积、周长、体积等。
其次，定积分也可以用在物理学中。
比如，如果我们要计算一个物体在多次不同力作用之下移动的路程，可以用定积分来计算。
它可以帮助我们精确地计算物体受力作用前后的距离，也可以帮助我们精确计算弹性作用力等。
最后，定积分也可以应用于物理学的温度问题中。
比如，我们可以通过定积分求出一个物体在单位温差下的热量传递，也可以求出一个物体的总热量。
还可以用它求解温度场、热传导率、热导率等问题。
以上是定积分在几何、物理学中的简单应用。
定积分是一种通用而有效的数学工具，在几何、物理学中都有着广泛的应用，不仅可以用来解决相关的面积、容积计算题，而且还可以用来解决物理热力学、温度等问题。
只要我们掌握它的基本使用方法以及它的一些特性和用途，就可以在几何、物理学中更好地应用它来解决其它问题。
- 1 -。
定积分在几何上的应用-资料
Mn1 BMn
AM0,M1,Mi,
,Mn1,Mn B
oAM0
图6-2-18
x
并 依 次 连 接 相 邻 分 点 得 一 内 接 折 线 ， 当 分 点 的 数 目
无 限 增 加 且 每 个 小 弧 段 都 缩 向 一 点 时 ， n
y
段弧的长度.
解
y
1
x2
,
y
2
3
x2
3
ds 1(x1 2)2dx 1xdx, o a
bx
图6-2-20
所求弧长为
b
2
3
3
sa
1xdx [1(b)2(1a)2].
3
2019/11/8
第六章 定积分的应用
27
x
例 13 计算曲线 y n n sin d 的弧长(0 x n). 0
利用这个公式，可知上例中
2a
Vy20 x|f(x)|dx
2
2 0a ( t sti ) a n ( 1 ct) o d [ a ( t s sti )n ]
2 a 32 (t sit)n 1 ( cto )2 d st63a3. 0
2019/11/8
o
x
A21a2 (1cos)2d
20
图6-2-8
a2 0
(1 2 c o c s2 o )d s
a22 32sin4 1si2n 0
3 2
a2.
2019/11/8
第六章 定积分的应用
12
二、体积
1.旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．