定积分在几何学上的应用(比赛课教案).doc

定积分在几何学上的应用 ( 比赛课教案 )
教学题目：
选修 2-2 1.7.1定积分在几何中的应用
教学目标：
一、知识与技能：
1.让学生深刻理解定积分的几何意义以及微
积分的基本定理；
2.通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法
3．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法
二、过程与方法：
1.探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。

三、情感态度与价值观：
探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；
教学重点：
应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的
价值。

教学难点：
如何恰当选择积分变量和确定被积函数。

课型、课时：
新课，一课时
教学工具：
常用教具，多媒体， PPT课件
教学方法：
引导法，探究法，启示法
教学过程
当 f(x) 0 时，积分 b y=f (x)、
f (x)dx 在几何上表示由x
a
a、x b 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积。

y f (x)
O a b x
O a b x
y f (x)
当 f ( x) b f (x)dx 在几何上表示y f ( x)、x a、x b 与 x 轴
0时由积分
a
b
f ( x ) dx c
f ( x ) dx
b
f ( x ) dx 。

所围成的曲边梯形面积的负值 a S a c
类型 1. 求由一条曲线 y=f(x) 和直线 x=a,x=b(a<b) 及 x 轴所围成平
面图形的面积 S
y
y y f (x)
y f (x)
o a b x o a c b x
(1) b
f ( x) dx
S
a
(2) S
b
f ( x)dx
a
(3) c f ( x) dx |
b f (x)dx
c b
S |
c f (x)dx f ( x) dx
a
a
c
由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解
练习 . 求抛物线 y=x 2-1 ，直线 x=2，y=0 所围成的图形的面积。

解：如图：由 x 2-1=0 得到抛物线与 x 轴的交点坐标是 (-1,0) ， (1,0). 所求面积
如图阴影所示：
y
2
( x 2
1
所以：S
1)dx
(x 2 1)dx
b c
1
1
a f ( x ) dx a f ( x )
( x 3
2 ( x 3
1
8
x)
x)
3
1
3
1
3
类型 2 ：由两条曲线 y=f(x) 和 y=g(x) ，直线 x=a,x=b(a<b)
所围成
平面图形的面积 S
x
y
y
f ( x)
y
f ( x )
o
a
b x
y g ( x)
(1)
y g ( x ) (2)
总结：当 x ∈ [ a ，b]有 f(x)>g(x)时，由直线
x ＝ a ，x ＝b(a ≠ b)和曲线 y ＝ f(x)， y ＝ g(x)围
b
g x dx
成的平面图形的面积 f x
.
S ＝ a
不分割型图形面积的求解步骤：
(1)准确求出曲线的交点横坐标；
(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域；
(3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分；
(4)计算得所求面积．。