精品课件-高等数学定积分在几何上的应用ppt
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高等数学ppt课件：定积分的几何应用
到的旋转体体积为
证 对于任意 x [a, b] ， 用过点 x 且与 x 轴 垂直的平面截该旋转体， 则截面是一个半 径为 f ( x) 的圆盘（见图） ，
因此， A( x) πf 2 ( x) ，故旋转体的体积
V π f 2 ( x)dx
a
b
39-13
推论 6.2.3
将由 y 轴，直线 y c, y d (c d ) 及连续曲线 x ( y )
x [a, a] 且垂直于 x 轴的平面截楔形体的
截面为一直角三角形，其面积为 1 2 1 2 2 2 2 A( x) a x a x tan (a x 2 ) tan 2 2
故由定理 6.2.3，所求体积为
a x 3 a 2a 3 1 2 2 2 tan V A( x)dx tan (a x )dx tan (a x ) 0 a a 3 3 2 a
A
1 2 dA r ( )d ． 2
39-7
例 6.2.4 求双纽线 r 2 a 2 cos 2 所围平 面图形的面积，其中常数 a 0 ．
y o
4
a x
4
解 由对称性，求出第 I 象限内的面积，然后乘以 4 即可．
而双纽线 r 2 a 2 cos 2 在原点处有两条切线，其中位于 π 第 I 象限内部分的切线方程为 (如图)．因此，在第 I 4 π [0, ] ，由定理 6.2.2 可得 象限内， 4
1 2 A r ( )d ． 成曲边扇形的面积为 2 证 运用微元法来证明 .选取θ为积分变量，则
[ , ] ，在 [ , ] 上任取小区间 [ , d ] ，
1.7.1定积分在几何中的应用PPT课件
y sin x
S1 S2
S S1 S2
O
S1
4 cos x dx
0
4 sin x dx
0
S2
2
sin
x
dx
2
cos
x
dx
4
4
x
42
有其他 方法吗？
S1=S2
练习
练习 1：计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围成的图形
的面积.
解: 两曲线的交点
y2 2x
(2,2), (8,4).
S S曲梯形OABC - S曲梯形OABD
y
y2 x
B
C y x2
D
o
Ax
1 xdx 1 x2dx
0
1
S 0 (
0
x - x2 )dx
21 3 x2
x3 1
21
1.
3
0
3 0
3
3
3
归纳
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：
（1）画草图，求出曲线的交点坐标 （2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积 （3）确定被积函数及积分区间 （4）计算定积分，求出面积
)dx
2
b 2
h (
4h 3b2
x
3
)
b
2 0
2 bh 3
1.微积分基本定理---------牛顿－莱布尼茨公式
b
f (x)dx
a
b a
F
'
(
x)dx
F
(
x)
|ba
F
(b)
F
(a)
2.定积分的几何意义：
定积分 b f ( x)dx 的几何意义： a 它是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图象及两条直线
高等数学(第三版)课件：定积分的应用
线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•
高等数学第六章第二节定积分在几何学上的应用课件.ppt
解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
2 2 0
1 y2 dx 1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
的弧长.
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解: ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
o a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a
( 人教A版)定积分在几何中的应用课件 (共36张PPT)
A.b[f(x)－g(x)]dx a
C.b|f(x)－g(x)|dx a
B.b[g(x)－f(x)]dx a
D.b[fx－gx]dx
a
解析：因为 f(x)，g(x)两条曲线上下位置关系不确定，故选 C.
答案：C
2．曲线 y＝x2 与直线 x＋y＝2 围成的图形面积为( )
A．5
9 B.2
C．4 解析：如图，解方程组y＝x2，
t 0，12
1 2
12，1
S′ －
0
＋
S
极小值
所以当t＝12时，S最小，且Smin＝14.
怎样解答与曲边图形有关的综合问题？ 解决与曲边图形有关的综合问题，关键是要正确分析题意，先分清是求曲边 图形面积，还是利用曲边图形面积解决其他问题，再正确作出图形，确定积 分区间和被积函数，然后根据条件，建立等量关系或方程进行求解．
x
∴S＝
2 x2dx＋
x0 x0
[x2－(2x0x－x02)]dx
0
2
＝112x30.
∴112x30＝112，x0＝1. ∴切点为(1,1)，切线方程为 y＝2x－1.
因对图形特征认识不清致误
[典例] 求由抛物线 y2＝8x(y＞0)与直线 x＋y－6＝0 及 y＝0 所围成图形的面积 S.
[解析] 由题意，作出简图(如图)并解方程组y2＝8xy＞0 x＋y－6＝0 得 x＝2， 所以 y2＝8x(y＞0)与直线 x＋y－6＝0 的交点坐标为(2,4)．
0
0
8x)dx. (2)应用定积分求平面图形的面积时，正确分析图形特征，将复杂的面积问题分为
几部分来求解，若更换积分变量应相应的将被积函数及积分界限均改变.
[随堂训练] 1．若 y＝f(x)与 y＝g(x)是[a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线 x
定积分的几何应用课件
电场中的电势
总结词
定积分可计算电场中的电势
详细描述
在静电场中，电势差与电场强度成正比。通过定积分可以计算出 某一点处的电势，即对电场强度进行积分。
公式表示
电势 = ∫E·dl
05
定积分的近似计算
方法
矩形法
总结词
矩形法是一种简单直观的定积分近似计算方法，通过将积分 区间划分为若干个小的矩形，然后求和来逼近定积分。
详细描述
辛普森法则是梯形法的一种改进，它考虑了函数在积分区间的整体变化趋势，将 积分区间分成若干个小的子区间，然后在每个子区间上应用梯形法来逼近定积分 。辛普森法则的精度比矩形法和梯形法更高，但计算量也相对较大。
THANKS
感谢您的观看
3
曲边三角形面积的近似计算
在无法直接计算定积分的情况下，可以使用近似 方法计算曲边三角形的面积，如矩形法、梯形法 等。
任意图形的面积
任意图形面积的计算
01
通过定积分计算任意图形的面积，首先需要找到图形的边界曲
线表达式，然后确定上下限，最后计算定积分。
任意图形面积的几何意义
02
任意图形面积表示的是边界曲线围成的平面区域面积。
详细描述
矩形法的基本思想是将积分区间分成若干个小的矩形，每个 矩形的宽度为小区间的宽度，高度为函数在相应小区间的平 均值。然后，将这些矩形的面积加起来，得到的就是定积分 的近似值。
梯形法
总结词
梯形法是一种基于几何直观的定积分近似计算方法，通过将积分区间划分为若干个小的梯形，然后求 和来逼近定积分。
围绕旋转轴旋转的平面图形被称为 旋转面。
旋转体的体积公式
圆柱的体积公式
V = πr²h，其中r是底面半径，h是高。
高等数学(第二版)上册课件：定积分的几何应用
定积分的几何应用
预备知识：定积分定义的四个步骤，即分割、近似、
求和、取极限；直角坐标与极坐标下常见曲线的图形，
例如椭圆 x2
a2
y2 b2
1，阿基米德螺线
a a 0 等.
5.6.1 定积分的微元法 5.6.2 平面图形的面积 5.6.3 旋转体的体积
5.6.4 平面截面面积已知的立体体积
本节课我们来研究定积分在几何上的应用.首先 来介绍一种分析方法.
围成，其中 f (x) g(x) (a x b) ，我们来求它的面积 A
取 x 为积分变量，它的 .
变化区间为 a,b ，我们 在 a,b 上任取一小区间
.
x, x dx
与这个小区间对应窄边形的面积 A 近似地等于高为
f (x) g(x) ，底为 dx 的窄矩形的面积，从而得到面积微元：
dA f (x) g(x)dx
0
2
(cos
x
sin
x)dx
4
(sin x cos x) 4 (sin x cos x) 2
0
4
.
2( 2 1).
.
2. 极坐标情形
有些平面图形，尤其是旋转曲线所包围的图形，
用极坐标来计算比较简单.
设曲边扇形是由曲线
及射线
所围成的图形. 该图形的面积同样也可以用微元法分析，
其面积元素为
dA 1 2 d
2 以此作定积分，得所求曲边扇形的面积公式为：
A
1 2
2
d
例5.6.4 计算阿基米德螺线 a a 0 上相应于
从 变到 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.
分析：先求任取一小区间 , d 的窄曲边扇形的面积.
解 由上面分析，易得面积元素
预备知识：定积分定义的四个步骤，即分割、近似、
求和、取极限；直角坐标与极坐标下常见曲线的图形，
例如椭圆 x2
a2
y2 b2
1，阿基米德螺线
a a 0 等.
5.6.1 定积分的微元法 5.6.2 平面图形的面积 5.6.3 旋转体的体积
5.6.4 平面截面面积已知的立体体积
本节课我们来研究定积分在几何上的应用.首先 来介绍一种分析方法.
围成，其中 f (x) g(x) (a x b) ，我们来求它的面积 A
取 x 为积分变量，它的 .
变化区间为 a,b ，我们 在 a,b 上任取一小区间
.
x, x dx
与这个小区间对应窄边形的面积 A 近似地等于高为
f (x) g(x) ，底为 dx 的窄矩形的面积，从而得到面积微元：
dA f (x) g(x)dx
0
2
(cos
x
sin
x)dx
4
(sin x cos x) 4 (sin x cos x) 2
0
4
.
2( 2 1).
.
2. 极坐标情形
有些平面图形，尤其是旋转曲线所包围的图形，
用极坐标来计算比较简单.
设曲边扇形是由曲线
及射线
所围成的图形. 该图形的面积同样也可以用微元法分析，
其面积元素为
dA 1 2 d
2 以此作定积分，得所求曲边扇形的面积公式为：
A
1 2
2
d
例5.6.4 计算阿基米德螺线 a a 0 上相应于
从 变到 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.
分析：先求任取一小区间 , d 的窄曲边扇形的面积.
解 由上面分析，易得面积元素
高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
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第二节 定积分在几何上的应用
例3 求由 y=cosx, y=sinx 在区间 [0, ] 上所围成的图 形的面积.
两曲线的交点
y sin x
y
cos
x
( , 4
2) 2
A1
A2
A A1 A2
4 (cos x sin x)dx
0
(sin x cos x)dx
x(t) ye of Information and Technology
y2 2x
y x4
A42y4y22dy1.8
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
问题 若选x为积分变量呢？ 4
SS1 S2
2
[
2x (
2 x )]dx
第二节 定积分在几何上的应用
应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:
1) 选取积分变量, 确定它的变化区间[a,b];
2) 在区间[a, b]上任取一个小区间[x,x+dx], 并在小区
间上找出所求量F的微元 dF = f(x)dx (局部近似值) ;
3) 求定积分 F
b
f (x)dx
a
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ΔA≈ f(x)dx
面积元素
dA
yf(x)
记作dA
o a xxdbxx
(2) 将这些面积元素在[a,b]上“无限累加”得
b
b
Alim f(x)dx f ( x)dx d A
a
a
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第五章 定积分及其应用
b
Aa f(x)dx
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
设函数 y = f(x) 在[a,b]上连续,
(1) 在区间[a,b]上任取小区间[x, x+dx],
相应地小区间上面积的近似值为: y
0
8
[
2x (x 4)]dx
2
S2 S1
24 –2
–4
2
2
2x d x8(2xx4 )d x
0
2
222 3x3 20 222 3x3 28 21 2x28 22 4
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第五章 定积分及其应用
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
例2 求由 y2=2x, y=x-4 所围成的图形的面积
两曲线的交点
y2 2x y x4
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
选 y为积分变量 y[2,4]
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
高等数学定积分在几何上的应 用ppt
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
第二节 定积分在几何上的应用
本节主要内容:
一.定积分的微元法 二.定积分求平面图形的面积 三.定积分求体积 四.平面曲线的弧长
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4
(sin x cos x)
4 (cos x sin x)
0
4
2 2
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
参数方程情形:
设曲边梯形的曲边参数方程为
x
y
x(t) y(t)
,
其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积
公式经过定积分的换元法得到:
A
b
ydx
a
x1 (b)
y(t)dx(t)
x1(b)
y(t) x(t)d;t
x1 (a)
x1(a)
d
A xdy c
y1 (d )
x(t)dy(t)
y1 (c)
y1(d)
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
二.定积分求平面图形的面积
(一)直角坐标系下平面图形面积的计算
1.由曲线y=f(x) 和直线x=a,x=b,y=0所围成曲边梯形
y yf(x)
面积微元: dAf(x)dx 曲边梯形的面积
o a xxdxb x
b
A a f (x)dx
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
2.求由两条曲线 y=f(x) , y=g(x) ( f(x) g(x) ) 及直线 x=a, x=b 所围成平面
面积微元: d A [f(x )g (x )]d x
曲边梯形的面积
b
Aa[f(x)g(x)]dx
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第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
例1 求由 y2=x, y=x2 所围成的图形的面积
两曲线的交点 (0,0), (1,1)
选 x 为积分变量 x[0, 1]
面积微元:
dA( xx2)dx
x y2
A
1
(
xx2)dx
0
2
3
x2
1 x3
1
1.
3 0 30 3
y x2
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
一.定积分的微元法
设曲边梯形由连续曲线 y
yf(x)(f(x)0)
及 x轴，以及两直线 xa,xb所围成 ,
解决步骤:
o a b 1 x 1
2
x i 1
x
i
i
xn1
x
1) 分割 2) 取近似 3) 求和 4) 取极限
曲边梯形的面积
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
3. 求由两条曲线x=(y),x=(y),( (y) (y)) 及直线
y=c,y=d所围成平面
面积微元:
d A [(y) (y)]d y
曲边梯形的面积:
Acd[(y)(y)]dy
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