1.7.1_定积分在几何中的应用
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.7.1 定积分在几何中的应用课件 新人教A版选修2-2
排除A；当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时，a f(x)dx是两
面积之差，排除B；无论什么情况C都对，故应选C.
b
【误区警示】曲线f(x)与直线x=a，x=b，y=0围成图形的面积 不能均用 f(x)dx表示，要根据图形位置分不同情况选用适当
a b
的积分值表示.
【补偿训练】过原点的直线l与抛物线y=x2-2ax(a>0)所围成的 图形面积为 9 a3，则直线l的方程为(
【方法技巧】求函数图象围成平面图形面积的方法 (1)画出两个函数的图象，先将两个函数方程联立方程组求解， 得到函数图象的交点的横坐标a，b(a<b)，确定积分区间[a， b]. (2)在公共的积分区间上，由上界函数减去下界函数作为被积
函数，定积分的值就等于两个函数图象围成平面图形的面积，
即S= [f1(x)-f2(x)]dx(其中f1(x)>f2(x)).
(2-x)dx.
1 2
2
(3)正确，曲线y=3-x2与直线y=-1的交点为(-2，-1)，
(2，-1)，所以围成的图形面积为 2［(3-x2)-(-1)］dx=
2
2
(4-x2)dx. (2)√ (3)√
答案：(1)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)如图中阴影部分的面积是____________.
b
1.判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)曲线y=sin x，x∈[ ， ]，与x轴围成的图形的面积为
3 2 2
3 2 2
sin xdx.(
)
1 0
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形面积为 x3dx+
1.7.1zrb定积分的简单应用zrb
y 2x
S1 S S1 2 2
y x4
8
y2 2 x
y2 2 x ( 2,2), (8,4). y x4
S=2S1 +S2 =2
2 0
2
0
8
2xdx+ ( 2x - x+4)dx
2
2
8
= 2 2xdx+ ( 2x - x+4)dx
10 60
答 汽车在这1min 行驶的路程是 1350m.
• 法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出 路程即为如图所示的梯形的面积，即
30 60 s 30 1350 2
2. 变力做功
一物体在恒力 F 单位 : N的作用下做直线运动 ,如 果物体沿着与力 F 相同的方向移动了 s (单位 : m), 则力 F所作的功为 W Fs.
2
x 和 y x 围成图形的面积.
2
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
y = x x= 0 x=1 解方程组 ⇒ 或 2 y = 0 y =1 y = x
y
y
C o O
2 y xx B
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
y x2
S=S曲边梯形OABC -S曲边梯形OABD
A1
A2
y x3 6x
注意各积分区间上被积函数的形式．
定积分在物理中的应用
1、变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0 ， 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
b
s v(t )dt
a
v
v v(t )
定积分在几何中的应用
1．7定积分的简单应用1．7.1 定积分在几何中的应用双基达标限时20分钟1．由y＝1x，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为( )．A．ln 2 B．ln 2－1 C．1＋ln 2 D．2ln 2解析画出曲线y＝1x(x>0)及直线x＝1，x＝2，y＝0，则所求面积S为如图所示阴影部分面积．＝ln 2－ln 1＝ln 2.故选A.答案A2．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有( )．A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④答案 D3．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为( )．A.163B.83C.43D.23解析 画出曲线y ＝x 2和直线y ＝2x ，则所求面积S 为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝x 2，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4.∴A (2,4)，O (0,0)．＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－0＝43.故选C.答案 C4．由曲线y ＝2x 2，及x ＝0，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积为________． 解析 由题意画草图：答案 18 5．直线x ＝π2，x ＝3π2，y ＝0及曲线y ＝cos x 所围成图形的面积________． 解析 由题意画草图：由图形面积为答案 26．求由曲线y ＝x 3及直线y ＝2x 所围成的图形面积． 解 由⎩⎨⎧y ＝x 3，y ＝2x ，解得x 1＝0，x 2＝2，x 3＝－ 2.交点为(－2，－22)，(0,0)，(2，22)． 所求面积S 为：综合提高 限时25分钟7．若y ＝f (x )与y ＝g (x )是[a ，b ]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x ＝a ，x ＝b 所围成的平面区域的面积为( )．解析 当f (x )＞g (x )时，所求面积为；当f (x )≤g (x )时，所求面积为.综上，所求面积为.答案 C8．曲线y ＝x 2＋2x 与直线x ＝－1，x ＝1及x 轴所围图形的面积为( )．A ．2 B.83 C.43D.23＝23＋43＝2.答案 A9．抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为________．解析 由y ′＝－2x ＋4得在点A 、B 处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6， 由⎩⎨⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6，得两直线交点坐标为C (2,2)，∴S ＝S △ABC － (－x 2＋4x －3)d x＝12×2×2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋2x 2－3x ⎪⎪⎪31＝2－43＝23.答案2310．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若f (x )d x ＝2f (a )成立，则a 的值为________．所以2(3a 2＋2a ＋1)＝4， 即3a 2＋2a －1＝0， 解得a ＝－1或a ＝13.答案 －1或1311．直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 值及直线方程． 解 由⎩⎨⎧y ＝kx ，y ＝x －x 2，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝1－k ，y ＝k －k 2.(0<k <1)即⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪1－k0＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪10.∴1－k 36＝112， ∴(1－k )3＝12，k ＝1－342.∴直线方程为y ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－342x . 12．(创新拓展)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈[1，2]，求曲线y ＝f (x )与x 轴、直线x ＝0、x ＝2所围成的图形的面积．（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
高中数学 1.7 1定积分的应用教案 新人教A版选修2-2
2013年高中数学 1.7 1定积分的应用教案新人教A版选修2-2一、主要内容：1．面积：了解定积分的元素法，掌握用两条、三条、四条简单曲线所围平面图形的面积，并能根据图形选用以y作积分变量以简化计算过程；会用参数方程求解常用图形（圆、星形线）的面积，能用极坐标求用极坐标表示的圆、阿基米德螺线的图形的面积2．体积：掌握简单图形分别绕x轴、y轴旋转所得旋转体体积，能在平行截面面积为已知时求立体的体积3．弧长：掌握用参数方程所表示的常用曲线（圆、星形线等）的弧长4．功：会求在变力沿直线所作的功5．习题课2学时二、具体的内容分配如下：习题6－1：定积分的元素法，平面图形的面积, 旋转体体积(1)习题6－2：旋转体体积(2)，平面曲线的弧长，变力沿直线所作的功总习题六：三、习题内容：习题6—1一、填空题1、曲线x e y =，x 轴及直线()ln ,ln 0.x a x b b a ==，围成图形面积 是_____2、由曲线θcos 2a r =所围成图形的面积是 二、选择题1、曲线3x y =与直线1,0==y x 围成的面积是（ ） A ．43 B ．1 C ．34 D ．32 2、由x 轴、曲线2x y =和直线32=x 围成的图形面积被直线k x =分成两个相等的面积，则 k 应为（ ）A ．322- B ．612 C ．1 D ．312-三、求解题1、用定积分计算下列图形的面积 （1）由曲线222,1x y x y =+=围成（2）由曲线21y x=与直线4,==y x y 围成（3）由曲线x y 42=与圆()4122=+-y x 围成2、求星形线｛33cos sin x a ty a t==所围成0.的面积 3、求以下极坐标所表示的图形的面积 （1）心形线()θcos 1-=a r 围成（2）对数螺线a r e θ=对应θ从0到2π的一段与极轴所围成 （3）伯努利双纽线θ2cos 22a r =右边一支（即对应θ从4π-到4π的一段）习题 6—2 一、填空题1、连续曲线()x f y = ()()0≥x f ，直线b x a x ==,()b a 及x 轴所围成图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积是______2、曲线2x y =及直线1=y 所围成图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是_______ 二、选择题1、由曲线2x y =与直线x y =围成平面图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积是（ ）A ．()dx x x ⎰-102π Ｂ．)21d y y π-⎰Ｃ．()⎰-1042dx x x π Ｄ．()dy y y ⎰-102π2、底面为圆422=+y x ，垂直于x 轴的所有截面都是正方形的立体体积为（ ）A. 3121 B. 3210 C. 3242 D. 3185 三、解答题1、求下列旋转体的体积（1）曲线x y sin = ()π≤≤x 0与x 轴所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转（2）曲线x y =与直线2-=x y ，0=y 所围成的图形分别绕x 轴、y轴旋转（3）星形线｛ta y t a x 33sin cos == ()π≤≤t 0绕x 轴旋转2、求底面为园222R y x =+，而垂直于x 轴的所有截面都是等边三角形的立体的体积习题6—3一、求下列弧线段的长度1、星形线｛ta y ta x 33sin cos ==的全长 2、抛物线x y 2= 从()2,1到()4,4的一段二、根据虎克定律，弹簧的倔强系数为k ，把弹簧拉长x 的拉力为kx f =，求将一根弹簧从原长拉伸x 的长度，外力做的功三、在一个半径为R 的半球形容器里盛放着密度为ρ的液体，求为将液体吸出容器至少应做多少功四、水渠的截面为一等腰梯形，上、下底分别为2m 和1m ，深为2m ，水渠上有一闸门，求渠水满时对闸门的压力（水的密度31000m kg=ρ）。
高中数学-定积分在几何中的应用-课件
求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
①如图 1 所示，f(x)>0， bf(x)dx>0. a
∴S＝ bf(x)dx. a
②如图 2 所示，f(x)<0， bf(x)dx<0， a
∴S＝| bf(x)dx|＝－ bf(x)dx.
a
a
2×23x32
|
2 0
＝136，
8
S2＝2 [4－x－(－ 2x)]dx
＝4x－12x2＋2
3
2x32|
8 2
＝338，
于是 S＝136＋338＝18.
方法二：选y作为积分变量，
将曲线方程写为x＝y22及x＝4－y.
则S＝2－44－y－y22dy
＝4y－y22－y63|
2 －4
＝18.
变式训练 1：由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成
解．
由方程组
y2＝2x y＝4－x
解出抛物线和直线的交
点为(2,2)及(8，－4)．
方法一：选 x 作为积分变量，由图可看出 S＝S1＋S2，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y＝ 2x，
在 x 轴下方的方程为 y＝－ 2x，
2
所以 S1＝0 [ 2x－(－ 2x)]dx
＝2
2 1
20x2 dx＝2
❖1．7 定积分的简单应用
❖1.7.1 定积分在几何中的应用
自主学习 新知突破
❖ 1．理解定积分的几何意义．
❖ 2．会通过定积分求由两条或多条曲线 围成的平面图形的面积．
复习回顾
[问题 1]定积分的几何意义．
由三条直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及 一条曲线 y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边 梯形的面积 S＝________.
1.7.1_定积分在几何中的应用课件
如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数， 并且 F ¢ (x ) = f (x ) ，则
ò
b
a
f (x )dx = F (x ) | = F (b) - F (a )
b a
.
探究（一）：曲线y2＝x与y＝x2所围成图
形的面积
y y ＝x 2
B
O
1 x
y 2＝x
(1,1)
探究（一）：曲线y2＝x与y＝x2所围成图
y 4 C y ＝x －4
B
A
y=
2x
O
D 4
8
x
S＝S曲边梯形OABC－S△ABD.
探究（二）：直线y＝x－4与曲线
及x轴所围成图形的面积
y y ＝x －4 C 4
B
A
y=
2x
O
D 4
8
x
S＝S曲边梯形OABC－S△ABD.
S =
ò
8
0
1 2xdx - 创4 2
4
归纳小结
1.定积分在几何中的应用，主要用 于求平面曲边图形的面积.解题时，一般 先要画出草图，再根据图形确定被积函 数以及积分的上、下限. 2.定积分只能用于求曲边梯形的面 积，对于非规则曲边梯形，一般要将其 分割或补形为规则曲边梯形，再利用定 积分的和与差求面积.对于分割或补形中 的多边形的面积，可直接利用相关面积 公式求解.
1.7
1.7.1
定积分的简单应用
定积分在几何中的应用
复习巩固
1.定积分ò f (x )dx 的含义及其几何意 a 义分别是什么 n b b- a f ( xi ) å òa f (x )dx = nlim ? n i= 1
y
y＝f(x)
1.7.1定积分在几何中的应用PPT课件
y sin x
S1 S2
S S1 S2
O
S1
4 cos x dx
0
4 sin x dx
0
S2
2
sin
x
dx
2
cos
x
dx
4
4
x
42
有其他 方法吗？
S1=S2
练习
练习 1：计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围成的图形
的面积.
解: 两曲线的交点
y2 2x
(2,2), (8,4).
S S曲梯形OABC - S曲梯形OABD
y
y2 x
B
C y x2
D
o
Ax
1 xdx 1 x2dx
0
1
S 0 (
0
x - x2 )dx
21 3 x2
x3 1
21
1.
3
0
3 0
3
3
3
归纳
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：
（1）画草图，求出曲线的交点坐标 （2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积 （3）确定被积函数及积分区间 （4）计算定积分，求出面积
)dx
2
b 2
h (
4h 3b2
x
3
)
b
2 0
2 bh 3
1.微积分基本定理---------牛顿－莱布尼茨公式
b
f (x)dx
a
b a
F
'
(
x)dx
F
(
x)
|ba
F
(b)
F
(a)
2.定积分的几何意义：
定积分 b f ( x)dx 的几何意义： a 它是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图象及两条直线
湖北省巴东一中高二数学教案 选修2-2：1.7定积分的简单应用第1课时
§1.7.1 定积分在几何中的应用【学情分析】：在上一阶段的学习中，已经学习了利用微积分基本定理计算单个被积函数的定积分，并且已经理解定积分可以计算曲线与x轴所围面积。
本节中将继续研究多条曲线围成的封闭图形的面积问题。
学生将进一步经历到由解决简单问题到解决复杂问题的过程，这是一个研究问题的普遍方法。
学生能正确的理解定积分的几何意义，是求面积问题的基础。
但是对各种图形分割的技巧以及选择x－型区域或y－型区域计算是比较陌生的。
突破点是一定要借助图形直观，让学生清楚根据曲线的交点划分图形（分块）以及根据曲线的特点（解出变量x还是y简单）选择x－型区域或y－型区域。
【教学目标】：（1）知识与技能：解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解（3）情感态度与价值观：体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力．【教学重点】：（1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。
（2）数形结合的思想方法【教学难点】：利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题．教学环节教学活动设计意图一、例题1（1）师：我们已经看到，定积分可以用来计算曲边梯形的面积，事实上，利用定积分还可以求比较复杂的平面图形的面积。
（2）例题1 计算由曲线22,y x y x==所围图形的面积S。
1DC BA1y2=xy=x2O xy生：思考，讨论师（引导，总结）：例1是求由两条抛物线所围成的平面图形的面积．第一步，画图并确定图形大致形状、引入课题的面积．师：我们把这个题目提升为一般类型：即求两条曲线所夹面积：若函数()f x 和()g x 在区间[],a b 上连续且在[],a b 上有()()f x g x ≥,那么由y ＝f (x )，y ＝g （x ）,x =a ,x =b 所围成的有界区域面积为b[()()]d aA f x g x x =-⎰＝b()d af x x ⎰－b()d ag x x ⎰－＝A y=g(x)baOxyy=f(x)我们看到，尽管我们的证明的示意图中曲线()y f x =与()y g x =的均在x 轴上方，但是，由1.6的学习我们可以知道，曲线()y f x =或()y g x =在x 轴下方也不影响我们的证明，结论仍然是正确的。
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4. 用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.
16y3)|04
4414214340 26 3
x 1 y2 2
x 4 y
练习
练习 1（例 2 变式题）：
计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围成的图形的面积
解: 两曲线的交点
y2 2x
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
y x4
S2S1S2
x 1 y2
y 2 x y2x4
S1 S1
1.7.1_定积分在几何中的应用
•
•
例题
例 1 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成的
图形的面积.
解：y
x x0及x1
y x2
两曲线的交点 O(0,0) B(1,1)
y
y2 x
B
SS 曲 梯 形 O A B C-S 曲 梯 形 O A B D
C y x2
D
1
xdx 1x2dx
S 2 x 4 y
2
8
20 2xdx2( 2xx4)dx
y2 2x
2232x3 2|0 2(232x3 21 2x24x)|8 213663423618
法 2： s 42[(4y)1 2y2]dy(4y12y216y3)|42 1 8
课堂小结
求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 1. 作图象; 2. 求交点的横坐标,定出积分上、下限;
(0 2 x d x 4 2 x d x ) 4(x 4 )d x
8
8
0 2xdx4(x4)dx
232x3 2|8 0(1 2x24x)|8 4430
法 2： s8 2xdx14(84)
0
2
22 3
3
x2
|80
8
22
40
16 28
3
3
法 3： s4[(4y)1y2]dy
0
2
(4y1y2 2
例 2 计算由曲线 y 2x ，直线 y x 4以及 x 轴所
围点
y
2x
(0,0),(8,4).
y x 4
S2 S1 y x4
直线与x轴交点为(4,0)
4
8
8
S S 1 4 S 2 02 8x d x [42 8 x d x 4 ( x 4 ) d x ]
0
0
2
3
x2
1
x3
1
2
1
1 .
o
Ax
3
或S
1
(
0
3 0
3
x-x2)dx
(
3 2x
3 2
3
x3
)
1
1
.
0
3
33
0
方法小结
求在直角坐标系下平面图形的面积步骤: 1. 作图象; 2. 求交点的横坐标,定出积分上、下限;
3. 确定被积函数，用定积分表示所求的面积， 特别注意分清被积函数的上、下位置;
4. 用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.