定积分的几何应用举例

11
三、体积
1.旋转体的体积
考虑由连续曲线yf(x)、直线xa、ab及x轴所围成的曲 边梯形绕x轴旋转一周而成的立体的体积. •旋转体的体积元素 考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片, 用圆柱体的体积[f(x)]2dx作为切片体积的近似值, 于是体积元素为 dV[f(x)]2dx. •旋转体的体积
j 左 ( y) 1 y 2 , j 右 ( y) y + 4 . 2
(4)计算积分
y2 A ( y + 4 - )dy -2 2 [ 1 y 2 + 4 y - 1 y 3 ]4 - 2 18 . 2 6
4
7
三、体积
1.旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一 周而成的立体. 这直线叫做旋转轴.
V a [ f ( x)]2 dx .
b
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b 旋转体的体积： V a [ f ( x)]2 dx .
2 2 y x 例5 计算由椭圆 2 + 2 1 所成的图形绕x轴旋转而成的 a b 旋转体(旋转椭球体)的体积. 解 旋转椭球体可以看作是由半个椭圆 y b a 2 - x 2 及 x a 轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体.
2
19
旋转椭球体的体积为
2 b V - a y dx - a 2 (a 2 - x 2 )dx a 2 4 b 1 2 3 a 2 [a x - x ]- a ab 2 . 3 3 a a 2 a
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2.平行截面面积为已知的立体的体积
设立体在x轴上的投影区间为[a, b], 立体内垂直于x轴的 截面面积为A(x).
立体的体积元素为 A(x)dx.
立体的体积为 V b A( x)dx . a
A(x)
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平行截面面积为A(x)的立体体积： V A( x)dx . a 例6 设平面图形 D 由曲线 y=2x-x2 与 x 轴所围, 求 D 分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 如图示:
d
5
A [ f 上 ( x) - f下 ( x)]dx
a
b
A [j右 ( x) - j左 ( x)]dx
a
b
例1 计算抛物线y2x与yx2所围成的图形的面积. 解 (1)画图; (2)确定在x轴上的投影区间:[0, 1];
(3) 确定上下曲线 : f 上 ( x) x , f 下 ( x) x 2 . (4)计算积分
b
A( x) (2x - x2 )2 ,
Vx (2 x - x 2 )2 dx
0 2
y
(4 x 2 - 4 x3 + x 4 )dx
0
2
y 2 x - x2
O
4 3 1 5 2 4 [ x - x + x ]0 3 5 16 . 15
15
x
2
x
平行截面面积为A(x)的立体体积： V A( x)dx . a 例6 设平面图形 D 由曲线 y=2x-x2 与 x 轴所围, 求 D 分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 如图示:
1
y
O
2
x
四、平面曲线的弧长
定义: 若在弧AB 上任意作内接折线, 当折线段的最大
边长→0时, 折线的长度趋向于一个确定的极限, 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长, 即
n
ຫໍສະໝຸດ Baidu
y
M i -1
Mi
s lim M i -1M i 0
i 1
并称此曲线弧为可求长的.
o
A M 0
B Mn
x
例8 求摆线xa(q-sinq), ya(1-cosq)的一拱(0q2 )的 长度. 解 弧长元素为
q ds a 2 (1- cosq ) 2 + a 2 sin 2 q dq 2a sin d q . 2 于是所求弧长为
s 0 2a sin q dq 2 q 2 2a[-2 cos ]0 8a. 2
b
A( y) (1 + 1 - y )2 - (1 - 1 - y )2
x 1 1- y
4 1 - y ,
Vy 4 1 - y dy
0
3 8 - [(1 - y ) 2 ]1 0 3 8 . 3
16
y
y 1 - ( x - 1) 2
y 2 x - x2
2
A( x ) a f (t ) dt
x
相应于[x, x+dx]的部分面积 -- 面积元素: dA=f(x)dx 关于 x[a, b]累加得整体面积:
A f ( x)dx
a b
元素法: 1. 相应于[x, x+dx]的部分量(元素): dU=f(x)dx
2. 关于 x[a, b]累加得整体量:
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
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弧长元素(弧微分): ds (dx) 2 + (d y ) 2 (1)曲线弧:
x j (t ) ( t ) y y (t )
2 2
ds d y
dx
y f ( x)
ds j (t ) + (t ) dt
U f ( x)dx
a
3
b
二、平面图形的面积
1.直角坐标情形
设平面图形由上下两条曲线 yf 上 (x) 与 yf 下 (x) 及左右两条直线 xa与xb所围成. 面积元素为 dA=[f上(x)- f下(x)]dx,
平面图形的面积为 A a [ f上 ( x) - f下 ( x)]dx .
b
4
A [ f 上 ( x) - f下 ( x)]dx
a
b
A [j右 ( x) - j左 ( x)]dx
a
b
由左右两条曲线 xj左(y)与 xj右(y) 及上下两条直线 yd与 yc 所围成的平面图形的面积: 面积元素为 dA=[j右(y)-j左(y)]dy, 面积为 A c [j 右 ( y) -j 左 ( y)]dy .
弧长:
s


2 2 j (t ) + (t ) d t
o a
1 + f 2 ( x ) d x
xx+dx b x
(2)曲线弧: y f ( x) (a x b)
弧长:
s
b a
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曲线xj(t)、y(t)(t)的弧长：s


j 2 (t ) + 2 (t ) dt .
第五章
第五节
定积分及其应用
定积分的几何应用举例
主要内容：
一、定积分的元素法； 二、平面图形的面积 ； 三、体积； 四、平面曲线的弧长 .
1
一、 定积分的元素法
设yf(x)0(x[a, b]). 在几何上, 积分上限函数 表示以[a, x]为底的曲边梯形的面积. 微分 dA(x)f(x)dx 表示点 x 处以 dx为宽的小曲边梯形面积的近似值 DAf(x)dx, f(x)dx称为曲边梯形的面 积元素. 以 [a, b] 为底的曲边梯形的面积 A 就是以面积元素 f(x)dx为被积表达式, 以[a, b]为积分区间的定积分.
A ( x - x 2 )dx
0
1
[ 2 3
3 x2
1. - 1 x 3 ]1 3 0 3
6
A [ f 上 ( x) - f下 ( x)]dx
a
b
A [j右 ( x) - j左 ( x)]dx
a
b
例2 计算抛物线y22x与直线yx-4所围成的图形的面积. 解 (1)画图; (2)确定在y轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线: