《定积分在几何中的应用》教学教案
定积分在几何中的应用 说课稿 教案 教学设计
定积分在几何中的简单应用教学目标：1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 教学重点： 应用定积分解决平面图形的面积； 教学难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数． 教学过程设计（一）、复习引入，激发兴趣。
【教师引入】展示精美的大桥油画，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积 油画图片问：桥拱的面积如何求解呢？ (二)、探究新知，揭示概念【热身训练】练习１．计算dx x ⎰--2224 ２．计算 ⎰-22sin ππdx x【热身训练】练习３．用定积分表示阴影部分面积【学生活动】思考口答【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案.22222214⨯=-⎰-πdx x 0sin =⎰-ππdx xyx ππ图2（三）、分析归纳，抽象概括探究由曲线所围平面图形的面积解答思路ab XA0 yAab曲边梯形（三条直边，一条曲边）ab XA0 y曲边形面积 A=A 1-A 2a b1xyN M Oa b AB CD)(1y f x =)(2y f x =xy N M O abAB CD)(1x f y =)(2x f y =（四）、知识应用，深化理解例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
解：201yxx x y x⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=1200xdx x dx =-⎰⎰，所以⎰120S =x x )dx 32130233x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。
例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =x 轴所围图形的面积S.分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标，直线4y x =-与 x 轴的交点．解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积．解方程组2,4y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得直线4y x =-与曲线2y x =的交点的坐标为（8,4) .直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2488442[2(4)]xdx xdx x dx =+--⎰⎰⎰334828220442222140||(4)|3323x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．课堂练习如图，一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数h ， 宽为常数b ．求证：抛物线拱的面积bh s 32=h b。
定积分在几何中的应用(公开课上课课件)
4 0 8
y 4
2
y x-4
y 2x
S2
S1
2 4
O
8
2 xdx [
8
(
4
0
2 xdx
4
2 xdx) - ( x - 4)dx 0 2 xdx - 4 ( x - 4)dx
4
4 8
2 xdx - ( x - 4)dx]
4
8
8
y 2x
S1
2 4
直线y=x-4与x轴交点为(4,0)
S2
s
8
0
1 2 xdx - 4 (8 - 4) 2
3 2 8 0
8
x
2 2 x | -8 3 2 2 40 16 2 - 8 3 3
四、巩固练习
1.在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有(（4） )
(1) S [ f ( x) - g ( x)]dx
a a a
(5) S f ( x)dx | g ( x)dx | [ f ( x) - g ( x)]dx
a a a
b
b
b
探究 2 ： 观察下列两个平面图形，它们的面积和定
积分有 什么关系？
y
y=f(x) y=f(x)
S
y=g(x)
S1
bX a b a
y=g(x)
S2
0 a
（1 ） y y=f(x)
b
a
(2) S (2 2 x - 2 x 8)dx
0
8
(3) S f ( x)dx f ( x)dx (4) S [ g ( x) - f ( x)]dx a [ f ( x) - g ( x)]dx
定积分在几何中的应用 说课稿 教案 教学设计
定积分在几何中的应用【教学目标】1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【教法指导】本节学习重点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．本节学习难点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【教学过程】 ☆探索新知☆探究点一 求不分割型图形的面积思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可． 例1 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S .因此，所求图形的面积为S ＝S 曲边梯形OABC —S 曲边梯形OABD ＝ʃ10x d x －ʃ10x 2d x ＝23x 32|10－13x 3|10＝23－13＝13. 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤：(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2－4y ＝－x ＋2 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝ʃ2－3(－x ＋2)d x －ʃ2－3(x 2－4)d x＝(2x －12x 2)|2－3－(13x 3－4x )|2－3＝252－(－253)＝1256. 探究点二 分割型图形面积的求解思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？例2 计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S .解 方法一 作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图．解方程组⎩⎨⎧ y ＝2x ，y ＝x －4得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 交点的坐标为(8,4)．直线y ＝x －4与x 轴的交点为(4,0)．因此，所求图形的面积为S ＝S 1＋S 2＝ʃ402x d x ＋[]ʃ 842x d x －ʃ 84x －4d x＝22332x |40＋22332x |84－12(x －4)2|84 ＝403.方法二 把y 看成积分变量，则S ＝ʃ40(y ＋4－12y 2)d y ＝(12y 2＋4y －16y 3)|40 ＝403. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较繁锁，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 解 画出图形，如图所示．得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝ʃ10[x －(－13x )]d x ＋ʃ31[(2－x )－(－13x )]d x ＝ʃ10(x ＋13x )d x ＋ʃ31(2－x ＋13x )d x ＝(23x 32＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|31 ＝23＋16＋(2x －13x 2)|31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136. 探究点三 定积分的综合应用例3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：切点A 的坐标以及在切点A 处的切线方程．解 如图，设切点A (x 0，y 0)，其中x 0≠0，由y ′＝2x ，过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C (x 02，0)，＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 30. ∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112. ∴x 0＝1，从而切点为A (1,1)，切线方程为2x －y －1＝0.反思与感悟 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积 S ＝ʃ10(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 3|10＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －x 2，y ＝kx ，又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.。
定积分在几何学上的应用(比赛课教案)
定积分在几何学上的应用(比赛课教案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN教学题目：选修2-2 1.7.1定积分在几何中的应用教学目标：一、知识与技能：1.让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；2.通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法3．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法二、过程与方法：1. 探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。
三、情感态度与价值观：探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；教学重点：应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。
教学难点：如何恰当选择积分变量和确定被积函数。
课型、课时：新课，一课时教学工具：常用教具，多媒体，PPT课件教学方法：积分⎰ba f (x )dx 在几何上表示 引导法，探究法，启示法 教学过程x =a 、x =b 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积。
当f (x )≤0时由y =f (x )、x =a 、x =b与 x 轴所围成的曲边梯形面积的负值 类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b)及x 轴所围成平面图形的面积SOxab y =f (x )xOaby =f (x )⎰ba f (x )dx =⎰ca f (x )dx +⎰bc f (x )dx 。
=-S xyoabc)(x f y =xyo)(x f y =ab 当f (x )≥0时，积分dx x f ba )(⎰在几何上表示由y =f (x )、由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解练习. 求抛物线y=x 2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。
定积分在几何中的简单运用说课稿
《定积分在几何中的应用》说课稿三津中学毛庆莉大家下午好.我说课的题目是《定积分在几何中的应用》，内容选自于新课程人教A版选修2－2第一章第7节。
我将从教材分析，教法学法分析，教学过程分析这三大方面阐述我对这节课的分析和设计。
一、教材分析1、教材的地位和作用定积分的应用是在学生学习了定积分的概念，计算，几何意义之后，对定积分知识的总结和升华。
通过学习定积分在几何中的简单应用，掌握用定积分手段解决实际问题的基本思想和方法，在学习过程中体会导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值。
这部分内容也是学生在高等学校进一步学习高等数学的基础，是高中数学与高等数学的在教学内容上的衔接。
2、教学目标（以教材为背景，根据课标要求，设计了本节课的教学目标）1、知识与技能目标：通过对本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的思想和方法。
2、过程与方法目标：通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，同时体会到数学研究的基本思路和方法。
3、情感态度与价值观目标：通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养将数学知识运用于生活的意识。
3、教学重点与难点1、重点：应用定积分解决平面图形的面积，在解决问题的过程中体验定积分的价值。
要把握这个重点，要真正掌握有一定的难度，因此，本节课的难点确定为2、难点:如何把平面图形的面积问题化归为定积分问题,如何恰当选择积分变量和确定被积函数。
二、教法，学法分析1教法分析应用型的课题是培养学生观察，分析，发现，概括，推理和探索能力的极好素材，本节课主要采取“教师启发引导与学生自主探究相结合”的教学方法：即学生在老师引导下，观察发现、自主探究、合作交流、由特殊到一般、由感性到理性主动建构新知识，充分体现了教师的主导作用和学生的主体地位.2学法分析“授人以鱼，不如授人以渔”,教是为了不教,一定要让学生自己去发现，去探索。
最新定积分在几何中的简单应用教学设计04344
定积分在几何中的简单应用教学设计04344《定积分在几何中的简单应用》教学设计成师生互动的教学氛围。
六教学过程师生活动设计意图（一）课前准备：复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义.（二）情景引入：展示精美的大桥油画，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积【课件展示】课题：定积分在几何中的简单应用油画图片问：桥拱的面积如何求解呢？答：……【学生活动】本环节安排学生讨论，自主发现解决问题方向——定积分跟面积的关系，（三）新课讲授：【热身训练】练习１．计算«Skip Record If...»２．计算«Skip RecordIf...»【学生活动】思考口答【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案.«Skip Record If...» «Skip Record If...»【热身训练】练习３．用定积分表示阴影部分面积培养学生复习的学习习惯。
激发学生们的求知欲和探索欲，设下悬念，以激发学生的探索激情，为后面作开启性的铺垫。
复习定积分的几何意义yxππy教学过程【教师简单点评】探索到的结论一定可行吗？这就需要通过实践来检验。
【例题实践】例１．计算由曲线«Skip Record If...»与«Skip Record If...»所围图形的面积．【师生活动】探究解法的过程.1.找到图形----画图得到曲边形.2.曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线.3.定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.4.计算定积分.【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程.【课件展示】解答过程解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组«Skip Record If...»得到交点横坐标为«Skip Record If...»及«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»曲边梯形OABC «Skip Record If...»曲边梯形OABD «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»【例题实践】例２．计算由«Skip Record If...»与«Skip Record If...»所围图形的面积.【师生活动】讨论探究解法的过程通过探究，发现并掌握数学学科研究的基本过程与方法巩固了学生的作图能力，在寻找曲边梯形的过程中提高了学生的想象能力。
教学设计5：1.7.1 定积分在几何中的应用
1.7.1定积分在几何中的应用教学目标 1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.2.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．教学知识梳理知识点一定积分在几何中的应用思考怎样利用定积分求不分割型图形的面积？【答案】求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．梳理(1)当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝ʃb a f(x)d x.(2)当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝－ʃb a f(x)d x.(3)当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b (a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的平面图形的面积S＝ʃb a[f(x)－g(x)]d x.(如图)知识点二变速直线运动的路程思考变速直线运动的路程和位移相同吗？【答案】不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念．梳理(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用21()t t t⎰v d t求解．(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用21()t t t⎰v d t求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－21()t t t⎰v d t.做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝ʃb a v(t)d t.知识点三变力做功问题思考恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为W＝Fs，那么变力做功问题怎样解决？【答案】与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F(x)作用下运动，沿与F相同的方向从x ＝a到x＝b(a<b)，可以利用定积分得到W＝ʃb a F(x)d x.梳理如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a 移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为ʃb a F(x)d x.题型探究类型一 利用定积分求面积命题角度1 求不分割型图形的面积例1 由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S ＝________. 【答案】13【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 2，得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此，所求图形的面积为 S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD＝ʃ10x d x －ʃ10x 2d x＝⎪⎪⎪2332x 10－⎪⎪13x 310＝23－13＝13. 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤 (1)根据题意画出图形．(2)找出范围，确定积分上、下限． (3)确定被积函数． (4)将面积用定积分表示．(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成的图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0， 所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点坐标为(－3,5)和(2,0)， 设所求图形面积为S ，根据图形可得，S ＝ʃ2－3(－x ＋2)d x －ʃ2－3(x 2－4)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 22－3－⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－4x 2－3 ＝252－⎝⎛⎭⎫－253＝1256.命题角度2 分割型图形面积的求解例2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成的图形的面积．解 画出图形，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ， 得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝ʃ10⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＋ʃ31⎣⎡⎦⎤2－x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＝ʃ10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝⎛⎭⎫2－23x d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2332x ＋16x 210＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －13x 231 ＝23＋16＋6－13×9－2＋13＝136. 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较烦琐，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2 求由曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 和y ＝x 所围成的图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x ，解出O ，A ，B 三点的横坐标分别是0,1,2.故所求的面积S ＝ʃ10(2x －x )d x ＋ʃ21(2x －x 2)d x＝ ⎪⎪x 2210＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 2－x 3321＝12－0＋⎝⎛⎭⎫4－83－⎝⎛⎭⎫1－13＝76. 类型二 定积分在物理中的应用例3 一点在直线上从时刻t ＝0 s 开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(v 的单位：m/s)运动，求： (1)该点在t ＝4 s 时的位置； (2)该点前4 s 走过的路程．解 (1)在t ＝4 s 时，该点的位移为ʃ40(t 2－4t ＋3)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2＋3t 40＝43，即在t ＝4 s 时，该点与出发点的距离为43m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上，v (t )≥0，在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以走过的路程s ＝ʃ10(t 2－4t ＋3)d t ＋||ʃ31t 2－4t ＋3d t ＋ʃ43(t 2－4t ＋3)d t ＝ʃ10(t 2－4t ＋3)d t －ʃ31(t2－4t ＋3)d t ＋ʃ43(t 2－4t ＋3)d t ＝4(m)，即前4 s 走过的路程为4 m.反思与感悟 (1)求变速直线运动的物体的路程(位移)方法①用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )>0，则运动物体的路程为s ＝ʃb a v (t )d t ；若v (t )<0，则运动物体的路程为s ＝ʃb a |v (t )|d t ＝－ʃb a v (t )d t ；②注意路程与位移的区别． (2)求变力做功的方法步骤①首先要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移；②利用变力做功的公式W ＝ʃb a F (x )d x 计算；③注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．跟踪训练3 一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比．若20 N 的力能使弹簧伸长3 cm ，则把弹簧从平衡位置拉长13 cm(在弹性限度内)时所做的功W 为( ) A.16930 J B ．5 J C.15930 J D ．6 J【答案】A【解析】设拉伸弹簧所用的力为F N ，弹簧伸长的长度为x m ，则F ＝kx . 由题意知20＝0.03k ，得k ＝2 0003，所以F ＝2 0003x .由变力做功公式，得W ＝ʃ0.1302 0003x d x ＝⎪⎪1 000x 230.130＝16930(J)， 故把弹簧从平衡位置拉长13 cm 时所做的功为16930 J.当堂检测1．由曲线y ＝x 2与直线y ＝2x 所围成的平面图形的面积为( ) A.43 B.83 C.163 D.23【答案】A【解析】如图，画出曲线y ＝x 2和直线y ＝2x 的图象， 则所求面积S 为图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，y ＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4. 所以A (2,4)，O (0,0)．所以S ＝ʃ202x d x －ʃ20x 2d x＝x 2⎪⎪⎪⎪20－13x 320＝4－⎝⎛⎭⎫83－0＝43. 2．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m ，则F (x )做的功为( ) A ．925 J B ．850 J C ．825 J D ．800 J【答案】C【解析】依题意F (x )做的功是W ＝ʃ105F (x )d x ＝ʃ105(3x 2－2x ＋5)d x＝(x 3－x 2＋5x )|105＝825(J)．3．由曲线y ＝1x 与直线x ＝1，x ＝2，y ＝1所围成的封闭图形的面积为________．【答案】1－ln 2【解析】因为函数y ＝1x 在[1,2]上的积分为S 2＝ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2，所以围成的封闭图形的面积S 1等于四边形ABCD 的面积减去S 2的面积，即S 1＝1－ln 2. 4．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为________ m.【答案】900【解析】由速度—时间曲线得 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，0≤t ≤10，－35t ＋36，10<t ≤60，所以汽车在1分钟内行驶的路程为ʃ1003t d t ＋ʃ6010 ⎪⎪⎝⎛⎭⎫－35t ＋36d t ＝32t 2100＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫－310t 2＋36t 6010 ＝150＋750＝900 m.5．求由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝2，y ＝0所围成的图形的面积． 解 作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积． 由x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点坐标是(－1,0)和(1,0)， 因此所求图形的面积为S ＝ʃ1－1|x 2－1|d x ＋ʃ21(x 2－1)d x ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －x 331－1＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33－x 21＝⎝⎛⎭⎫1－13－⎝⎛⎭⎫－1＋13＋⎝⎛⎭⎫13×23－2－⎝⎛⎭⎫13－1 ＝83.。
【免费下载】定积分在几何中的简单应用教学设计
设计教师：祁磊
教材版本：人教版高中数学选修 2-2
一． 教学 构思
二． 教学 理念
三． 教材 分析
四． 教学 目标
五． 教学 重点 难点
六． 教学 方法
第一章 第七
《定积分在几何中的简单应用》教学设计
教学年级：高二年级
应用型的课题是培养学生观察、分析、发现、概括、推理和探索能力的极好素材。 本节课通过创设情景、热身训练、问题探究、抽象归纳，巩固练习、应用提升等探究性 活动，培养学生的数学创新精神和实践能力，使学生们掌握定积分解题的规律，体会数 学学科研究的基本过程与方法。
B
M Oa
【学生活动】回忆并口答图 1 的答案；
y f2 (x) N
图1
D
C
bx
bN D
x f1( y)
aM A
O
引导学生由 X 为积分变量的定积分类型来发现以 Y 为积分变 决问题
量的另一种定积分类型。
【得出结论】定积分表示曲边梯形面积的两种类型. 学
【板书】配合学生探究的进展书写推理的过程.
【知识与技能目标】 通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面 图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。
【过程与方法目标】探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体 会到数学研究的基本思路和方法。
【情感、态度与价值观目标】探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生
课题名称：定积分在几何中的简单应 用 授课时间：40 分钟
选修 2-2 节
（一）课前准备：
复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义.
（二）情景引入：
积
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.7.1定积分在几何中的应用
学习目标：
1．体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形面积的思想方法； 2．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 3．理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理。
学习方法：
情境一：展示精美的赵州桥图片，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积
问题1：桥拱与水面之间的切面的面积如何求解呢？
问题2：需要用到哪些知识？（定积分） 问题3：求曲边梯形的思想方法是什么？ 问题4：定积分的几何意义是什么？ 问题5：微积分基本定理是什么？
情境二：利用定积分求平面图形的面积
例1． 计算由两条抛物线2
y x =和2
y x =所围成的图形的面积. 问题1：你能在平面直角坐标系内画出两条抛物线吗？ 问题2：能在图中找出所要求的图形吗？（用阴影部分表示出来） （如右图）
问题3：这个图形以前见过吗？有没有直接的公式求它的面积吗？
问题4：既然没有直接的公式求其面积，那能不能转化成我们学过的曲边梯形的面积来间接求解呢？（可看做两个曲边梯形的面积之差，进而可以用定积分来解决）
解：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==2
2x
y x
y 得到交点横坐标为0=x 或1=x x
y
O A B C
D 2
x y =x
y =2
1
1 -1
-1
4
x
y
O 8
4
2
2
∴ OABD OABC S S S 曲边梯形曲边梯形-=dx x ⎰
=
1
dx x ⎰-1
2
1031
0233132x x -=313132=-= 情境三 学生探究：
例2．计算由直线4y x =-，曲线y =x 轴所围图形的面积S. 分析：模仿例1，先画出草图（左图），并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．
问题1：阴影部分图形是曲边梯形吗？
问题2：不是曲边梯形怎么办？能否构造出曲边梯形来呢？
问题3：如果转化成两部分的面积和，应该怎样作辅助线？（过点（4,0）作x 轴的垂线将阴影部分分为两部分）
问题4：两部分面积用定积分分别应该怎样表示？（注意积分上下限的确定） 问题5：做辅助线时应该注意什么？（尽量将曲边图形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合成的图形.） 规范的解题过程此处略去
思考：1.本题还有没有其它的解决方案？（可以将此阴影部分看做一个曲边梯形和一个三角形的面积之差）
2.上面的解法是将x 看作积分变量，能不能将y 看作积分变量？尝试解决之。
情境四：结合以上两个例题，总结利用定积分求平面图形面积的基本步骤。
解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤： 1．画草图，求出曲线的交点坐标 2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积 3．根据图形特点选择适当的积分变量 4．确定被积函数和积分区间 5．计算定积分，求出面积.
【课堂练习】：
1.计算由4-=x y 与x y 22=所围图形的面积.
2.计算由曲线x y sin =与x y cos =及2
,0π
==x x 所围平面图形的面积．
3.回到本节开始时赵州桥的问题，如图，一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数h ，宽为常数b ．求桥拱的面积。
（思路：先将问题数学化，在用求定积分的方法解决。
） 习题设计：
1. .已知曲线()y f x =在x 轴的下方，则由(),y f x =0,1y x ==-和3x =所围成的曲边梯形的面积S 可表示为( ) （知识点1，易） A ．3
1
()f x dx -⎰ B ．1
3
()f x dx -⎰ C ．13
()f x dx -⎰
D ．3
1
()f x dx -⎰
2若)(x f 与)(x g 是],[b a 上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线b x a x ==,所围图形的面积( )．（知识点1，易）
A ．⎰-b
a dx x g x f )()( B ．
⎰
-b
a
dx x g x f ))()((
C ．
⎰
-b
a
dx x f x g ))()(( D ．
⎰
-b
a
dx x g x f ))()((
3. 已知函数()f x ax b =+，若121
()1f x -=⎰，则()f a 的取值范围是（ ）（知识点3，中） A ．219[
,]212 B ．119
[,]22
C ．219[,]212-
D ．119[,]22- 4. 已知函数bx ax x x f ++=23)(在x=1处有极值-2 （知识点3，中） （1）求常数a 、b ； （2）求曲线y=f(x)与x 轴所包围的面积。
5. 如图所示，直线kx y =分抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值。
（知识点3，难）
h b。