人教版八年级数学分式综合复习
人教版八年级上册数学 第十五章 分式实际应用题 综合复习练习题(含答案)
人教版八年级上册数学第十五章分式实际应用题综合复习练习题
1．某装修工程，甲、乙两人可以合作完成，若甲、乙两人合作4天后，再由乙独作12天可以完成，已知甲独作每天需要费用580元．乙独作每天需费用280元．但乙单独完成的天数是甲单独完成天数的2倍．
（1）甲、乙两人单独作这项工程各需多少天？
（2）如果工期要求不超过18天完成，应如何安排甲乙两人的工期使这项工程比较省钱？
2．目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现小明步行12 000步与小红步行9 000步消耗的能量相同．若每消耗1千卡能量小明行走的步数比小红多10步，求小红每消耗1千卡能量需要行走多少步？
3．新冠肺炎疫情爆发之后，全国许多省市对湖北各地进行了援助，广州市某医疗队备好医疗防护物资迅速援助武汉．
第一批医疗队员乘坐高铁从广州出发，2.5小时后，第二批医疗队员乘坐飞机从广州出发，两批队员刚好同时到达武汉．已知广州到武汉的飞行距离为800千米，高铁路程为飞行
距离的倍．
（1）求广州到武汉的高铁路程；
（2）若飞机速度与高铁速度之比为5：2，求飞机和高铁的速度．
4．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等．
（1）甲、乙二人每小时各做零件多少个？
（2）甲做几小时与乙做4小时所做机械零件数相等？
5．小明准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少6元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同．（1）求这种笔和本子的单价各是多少？
（2）小明准备用自己的180元压岁钱购买这种笔和本子，计划180元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．。
人教版八年级数学上册《分式》知识点复习及典例解析
人教版八年级数学上册《分式》知识点复习及典例解析《分式》知识点复习及典例解析一、复习目标1.理解并记住分式的乘法法则、除法法则，会进行简单的分式乘除法计算．能解决一些与分式的乘除运算有关的简单的实际问题.2.了解同分母分式的加减法法则，会进行同分母分式的加减运算，理解通分的意义，会通过通分把异分母的分式加减转化为同分母的分式加减.3.能熟练地进行分式的加减乘除混合运算，提高类比的能力和代数化归的能力.4.了解分式方程的概念，掌握解一元一次方程的分式方程的方法，了解产生增根的原因，会检捡一个数是不是分式方程的增根．5.能够列出可化为一元一次方程的分式方程解简单实际问题．二、重点难点重点：分式乘除法、加减法法则的应用. 分式方程的概念，分式方程的解法难点：异分母分式加减法. 解分式方程时，去分母可能会出现增根。
三、知识概要1. 分式的乘除乘法法则：分式乘分式时，分子的积作积的分子，分母的积作积的分母. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子和分母颠倒位置后与被除式相乘. 式子表示：.;bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? 2. 分式的加减（1）分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分.（2）法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减.异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.式子表示：;c b a c b c a ±=±.bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± 3.分式方程的概念分式是一种表示具体情境中数量的模型，分式方程则是表示这些数量关系之间相等关系的模型，分式方程是分母中含有未知数的方程．4.分式方程的解法分式方程是转化为一元一次方程来求解，它是通过去分母实现转化的．主要步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验．因为分式方程可能产生增根，所以解分式方程最后一步“检验”，检查所解整式方程的根到底是不是分式方程的根．5.去分母的技巧解分式方程的基本思路是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母．去分母是解分式方程的第一步，也是关键的一步，当分式方程中分式的分母是一次式时，可直接确定最简公分母，方程两边同乘以最简公分母后实现去分母，当各分式的分母中有二次式时，要先进行因式分解，再确定最简公分母，然后再去分母．6.验根的方法因为解分式方程可能出现增根，所以验根是必要的，验根的方法有两种，一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单，而且可以检查解方程时有无计算错误，另一种是把求得的末知数的值代入最简公分母，看分母的值是否为零，这种方法比较简便，但不能检查解方程过程中出现的计算错误．7.列分式方程解决实际问题的方法步骤（1）、审：分析问题，寻找已知、未知及相相等关系，（2）、设：设恰当的未知数（3）、列：根据相等关系列出分式方程（4）、解：求出所列方程的解（5）、验：首先检验所求的解是不是分式方程的解，然后检验所求的解是否与实际符合（6）、答：写出答案．四、典例解析考点一、分式概念的运用例1．若分式||33x x --的值为零，则x 的值等于。
人教版 八年级上册数学 第十五章 分式实际应用题 综合复习(五)(含答案)
第十五章分式实际应用题综合复习（五）1．第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？2．2020年1月份，为抗击新型冠状病毒，某药店计划购进一批甲、乙两种型号的口罩，已知一袋甲种口罩的进价与一袋乙种口罩的进价和为40元，用90元购进甲种口罩的袋数与用150元购进乙种口罩的袋数相同．（1）求每袋甲种、乙种口罩的进价分别是多少元？（2）该药店计划购进甲、乙两种口罩共480袋，其中甲种口罩的袋数少于乙种口罩袋数的，药店决定此次进货的总资金不超过10000元，求商场共有几种进货方案？3．某商场家电专柜购进一批甲，乙两种电器，甲种电器共用了10 350元，乙种电器共用了9 600元，甲种电器的件数是乙种电器的1.5倍，甲种电器每件的进价比乙种电器每件的进价少90元．（1）甲、乙两种电器各购进多少件？（2）商场购进两种电器后，按进价提高40%后标价销售，很快全部售完，求售完这批电器商场共获利多少元？4．疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某药店用4000元购进若干包次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，请解答下列问题：（1）求购进的第一批医用口罩有多少包？（2）政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？5．列分式方程解应用题：北京第一条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营．截至2019年1月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区．据统计，2019 年地铁每小时客运量是2012年地铁每小时客运量的4倍，2019年客运240万人所用的时间比2012年客运240万人所用的时间少30小时，求2019年地铁每小时的客运量？6．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？7．甲乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等．求甲、乙每小时各做多少个零件？8．列分式方程解应用题某校初二年级的甲、乙两个班的同学以班级为单位分别乘坐大巴车去某基地参加拓展活动，此基地距离该校90千米，甲班的甲车出发10分钟后，乙班的乙车才出发，为了比甲车早到5分钟，乙车的平均速度是甲车的平均速度的1.2倍，求乙车的平均速度．9．潮州旅游文化节开幕前，某凤凰茶叶公司预测今年凤凰茶叶能够畅销，就用32000元购进了一批凤凰茶叶，上市后很快脱销，茶叶公司又用68000元购进第二批凤凰茶叶，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每千克凤凰茶叶进价多了10元．（1）该凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶多少千克？（2）如果这两批茶叶每千克的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每千克售价至少是多少元？10．城都地铁17号线正在建设汇总，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？（2）若甲队参加该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？参考答案1．解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得：﹣＝140，解得：x＝4，经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15×4＝60，答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．2．解：（1）设甲种口罩进价x元/袋，则乙种口罩进价为（40﹣x）元/袋，依题意有＝，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解，则40﹣x＝25．故甲种口罩进价15元/袋，则乙种口罩进价为25元/袋；（2）设购进甲种口罩y袋，则购进乙种口罩（480﹣y）袋，依题意有，解得200≤y＜204．因为y是整数，甲种口罩的袋数少于乙种口罩袋数，所以y取200，201，202，203，共有4种方案．3．解：（1）设乙种电器购进x件，则甲种电器购进1.5x件，根据题意得：，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝45．答：甲种电器购进45件，乙种电器购进30件．（2）（10350+9600）×40%＝7980（元）．答：售完这批电器商场共获利7980元．4．（1）设购进的第一批医用口罩有x包，则＝﹣0.5．解得：x＝2000．经检验x＝2000是原方程的根并符合实际意义．答：购进的第一批医用口罩有2000包；（2）设药店销售该口罩每包的售价是y元，则由题意得：[2000+2000（1+50%）]y﹣4000﹣7500≤3500．解得：y≤3．答：药店销售该口罩每包的最高售价是3元．5．解：设2002年地铁每小时客运量x万人，则2017年地铁每小时客运量4x万人，由题意得，解得x＝6，经检验x＝6是分式方程的解，答：2017年每小时客运量24万人．6．解：（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，根据题意，得＝，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的根，每件甲种商品的进价为：10﹣2＝8．答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．（2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个．由题意得：3y﹣5+y≤95．解得y≤25．答：商场最多购进乙商品25个；（3）由（2）知，（12﹣8）（3y﹣5）+（15﹣10）y＞380，解得：y≥23．∵y为整数，y≤25，∴y＝24或25．∴共有2种方案．方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．7．解：设乙每小时做x个零件，甲每小时做（x+6）个零件，根据题意得：，解得：x＝12，经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，∴x+6＝18．答：乙每小时做12个零件，甲每小时做18个零件．8．解：设甲车的平均速度是x千米/时，则乙车的平均速度是1.2x千米/时，根据题意，得＝+，解得x＝60．经检验，x＝60是原方程的解，此时1.2x＝72．答：乙车的平均速度是72千米/时．9．解：（1）设凤凰茶叶公司公司第一次购x千克茶叶，则第二次购进2x千克茶叶，根据题意得：﹣＝10，解得：x＝200，经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意，∴2x+x＝2×200+200＝600．答：凤凰茶叶公司两次共购进这种凤凰茶叶600千克．（2）设每千克茶叶售价y元，根据题意得：600y﹣32000﹣68000≥（32000+68000）×20%，解得：y≥200．答：每千克茶叶的售价至少是200元．10．解：（1）设乙队单独施工，需要x天才能完成该项工程，∵甲队单独施工30天完成该项工程的，∴甲队单独施工180天完成该项工程，根据题意可得：+15（+）＝1，解得：x＝20，检验得：x＝20是原方程的根，答：乙队单独施工，需要20天才能完成该项工程；（2）设乙队参与施工y天才能完成该项工程，根据题意可得：×36+y×≥1，解得：y≥16，答：乙队至少施工16天才能完成该项工程．。
人教八年级数学上册分式小结复习
深化练习 2
先化简，再求值：(x -1 3 - 3x ) x2 - x ，其中x的值从不等式组 x 1 x 1
2-x≤3 2x-4<1 的整数解中选取.
解：原式 [(x -1)(x 1) 3(1- x)] x(x -1)
x 1
x 1 x 1
x2 -1 3- 3x x 1 x 1 x(x -1)
B
分式的值为0的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的 值为0.
知识梳理
分式的基本性质
基本性质
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的 值不变.
式子表示
A AC ，A A C (C≠0)，其中A，B，C是整式. B BC B BC
注意事项
(1)分子和分母同时做“乘法（或除法）”运算； (2)乘（或除以）的对象必须是同一个不等于0的整式.
知识梳理
用科学记数法表示小于1的正数：小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的 形式，其中1≤a<10，n是正整数.
科学记数法是一种记数方法，不改变此数的性质和大小，用科学记数法 表示一个负数时，不要忘了前面带“-”号，用科学记数法表示一个带有单位的 数时，其表示结果也应带有单位.
重点解析 1
所以x=2，原式=0.
注意：代入原分式的值 必须使原分式有意义.
分式
小结
知识梳理
分 式
分式方程
分式方程的概念 分式方程的解法 含字母的分式方程的解法
列分式方程解 实际问题
列分式方程解决实际问题的一般步骤 检验求得的结果是否满足实际要求
知识梳理
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
知识梳理
分式的乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方.
初中数学人教版八年级上册第15章+《分式》综合复习(三)+新
初中数学人教版八年级上册实用资料一、本课时知识要点1.分式方程(1)定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程。
334212123x xx x+=-=+-⎧⎪⎨⎪⎩整式方程，如有理方程分式方程, 如2. 解分式方程方法3. 列分式方程解应用题(1)步骤:依据实际问题的数量关系→列代数式→依据等量关系→列出分式方程。
(2)与列一元一次方程解应用题的不同之处在于：所列的为分式方程，要检验是否为所列方程的根。
二.分式方程题型分析【题型一】用常规方法解分式方程例1.解下列分式方程。
（1）0132=--xx；（2）114112=---+xxx；【题型二】特殊方法解分式方程例1.解下列方程4441=+++xxxx；【题型三】求待定字母的值 例1.若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围.例2.若分式方程x mx x -=--221无解，求m 的值例3.若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.【自测自结】1．解下列方程：（1）021211=-++-x xx x ； （2）22322=--+x x x ；（3）2123524245--+=--x x x x2．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值.3．如果解关于x 的方程222-=+-x xx k会产生增根，求k 的值.4．若关于x 的分式方程2233xm x x -=--无解，则m 的值为 ．。
第15章 分式 小结与复习 人教版八年级数学上册课件(27张PPT)
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有 的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
约分的基本步骤 (1) 若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大 公约数，并约去相同字母的最低次幂； (2) 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解 因式，然后约去分子、分母所有的公因式．
6. 分式的通分： 通分的定义 解据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成
与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
最简公分母的定义 为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所
有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
二、分式的运算 1. 分式的乘除法则：
2. 分式的乘方法则： 3. 分式的加减法则： (1) 同分母分式的加减法则：
检验：当 x = 0 时，(x + 1)(x - 1)≠0， 所以原方程的解是 x = 0 .
(2) 方程两边同乘最简公分母 x + 1，得 x - 4 = 2x + 2 - 3. 解得 x = -3.
检验：当 x = -3 时， x + 1≠0， 所以原方程的解是 x = -3 .
练一练
解：方程两边同乘最简公分母 (x + 2)(x﹣2)，得
分式方程
去分母 整式方程
解整式方程
x = a 是分式 方程的解
x=a
最简公分 母不为0
检验
最简公 分母为0
x = a 不是 分式方程
的解
3. 分式方程解决实际问题的基本过程： 设：未__知__数___ 解：分__式__方__程_
审
设
列
解
验
答
列：_分__式__方__程__ 检验:1.是__否__是__分__式__方__程__的__解__； 2.___是__否_符__合__题__意__
人教版数学八年级上册分式小结与复习
（1）m , m , 1 x2,
x2 ,
5 , 5x 3y ,
8 a 3 x x 6 3
a2 b2 , x y , 1 b 2 5x 2y a
（2）分式有关的条件问题：
分式 A 有意义的条件
B≠0
B
A
2.⑴已知分分式式 B( 无x1x意)(1x义2的) ，条件当x ≠1且Bx＝≠-02 时，
与
y 9ab2c
（2）a2
a1 2a1
与
6 a2 1
3bcx 与 2ay 18a2b2c 18a2b2c
(a 1)2 与 6(a 1) (a 1)2(a 1) (a 1)2(a 1)
人教版数学八年级上册第十五章第15 章分式 小结与 复习
人教版数学八年级上册第十五章第15 章分式 小结与 复习
强化训练：
⑶约分: 把一个分式的分子与分母的 公因式 约去， 叫做分式的约分.
⑷通分: 把几个异分母的分式化成 同分母的分式， 注 然意 后：再叫约分做分式.分的分式子的、通分分母. 是多项式的，应先分解因式，
注意： 通分的关键是找最简公分母(即各分母所有因式 的最高次幂的积).如果分式的分母是多项式，为便于确
1
一、本章知识结构图
列式
实
分式
际
问 题 列方程
目标
类比分数
性质
分式的基本
性质
类比分数 运算
分式的运算
分式方程
去分母
目标
整式方程
解整 式方 程
实际问 题的解
分式方程的解
检验
整式方程的解
二、回顾与思考分式及其相关概念
（1）分式：如果A、B表示两个整式,并且B中含有
人教版 八年级上册数学 第十五章 分式实际应用题 综合复习(一)(含答案)
第十五章分式实际应用题综合复习（一）1．仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元．（1）第一批仙桃每件进价是多少元？（2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润＝售价﹣进价）2．在防疫新冠状病毒期间，市民对医用口罩的需求越来越大．某药店第一次用3000元购进医用口罩若干个，第二次又用3000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价是第一次进价的1.25倍，购进的数量比第一次少200个﹒（1）求第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为多少个？（2）药店第一次购进口罩后，先以每个4元的价格出售，卖出了a个后购进第二批同款口罩，由于进价提高了，药店将口罩的售价也提升至每个4.5元继续销售卖出了b个后﹒因当地医院医疗物资紧缺，将其已获得口罩销售收入6400元和剩余全部的口罩捐赠给了医院﹒请问药店捐赠口罩至少有多少个？（销售收入＝售价×数量）3．有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天．（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？4．甲、乙两个服装厂加工同种型号的防护服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天．（1）求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？（2）已知甲、乙两厂加工这种防护服每天的费用分别是150元和120元，疫情期间，某医院紧急需要3000套这种防护服，甲厂单独加工一段时间后另有安排，剩下任务只能由乙单独完成．如果总加工费不超过6360元，那么甲厂至少要加工多少天？5．为中华人民共和国成立70周年献礼，某灯具厂计划加工6000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．6．在我市雨污分流工程中，甲、乙两个工程队共同承担茅洲河某段720米河道的清淤任务，已知甲队每天能完成的长度是乙队每天能完成长度的2倍，且甲工程队清理300米河道所用的时间比乙工程队清理200米河道所用的时间少5天．（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少米的清淤任务；（2）若甲队每天清淤费用为2万元，乙队每天清淤费用为0.8万元，要使这次清淤的总费用不超过60万元，则至少应安排乙工程队清淤多少天？7．列分式方程解应用题．为缓解市区至通州沿线的通勤压力，北京市政府利用现有国铁线路富余能力，通过线路及站台改造，开通了“京通号”城际动车组，每班动车组预定运送乘客1200人，为提高运输效率，“京通号”车组对动车车厢进行了改装，使得每节车厢乘坐的人数比改装前多了，运送预定数量的乘客所需要的车厢数比改装前减少了4节，求改装后每节车厢可以搭载的乘客人数．8．八（1）班为了配合学校体育文化月活动的开展，同学们从捐助的班费中拿出一部分钱来购买羽毛球拍和跳绳．已知购买一副羽毛球拍比购买一根跳绳多20元．若用200元购买羽毛球拍和用80元购买跳绳，则购买羽毛球拍的副数是购买跳绳根数的一半．（1）求购买一副羽毛球拍、一根跳绳各需多少元？（2）双11期间，商店老板给予优惠，购买一副羽毛球拍赠送一根跳绳，如果八（1）班需要的跳绳根数比羽毛球拍的副数的2倍还多10，且该班购买羽毛球拍和跳绳的总费用不超过350元，那么八（1）班最多可购买多少副羽毛球拍？9．为防控“新型冠状病毒”，某超市分别用1600元、6000元购进两批防护口罩，第二批防护口罩的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．（1）第一批口罩进货单价多少元？（2）若这两次购买防护口罩过程中所产生其他费用不少于600元，那么该超市购买这两批防护口罩的平均单价至少为多少元？10．2019年12月1日阜阳高铁正式运行，在高铁的建设中，某段轨道的铺设若由甲乙两工程队合做，12天可以完成，共需工程费用27720元，已知乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的1.5倍，且甲队每天的工程费用比乙队多250元．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？请说明理由．参考答案1．解：（1）设第一批仙桃每件进价x元，则，解得x＝180．经检验，x＝180是原方程的根．答：第一批仙桃每件进价为180元；（2）设剩余的仙桃每件售价打y折．可得×0.1y﹣3700≥440，解得y≥6．答：剩余的仙桃每件售价至少打6折．2．解：（1）设第一次购进医用口罩的数量为x个，∴第二次购进医用口罩的数量为（x﹣200）个，∴由题意可知：＝1.25×，解得：x＝1000，经检验，x＝1000是原方程的解，∴x﹣200＝800，答：第一次和第二次分别购进的医用口罩数量为1000和800个．（2）由（1）可知两次购进口罩共1800个，由题意可知：4a+4.5b＝6400，∴a＝1600﹣，∴1800﹣a﹣b＝1800﹣（1600﹣）﹣b＝200+，∵a≤1000，∴1600﹣≤1000，∴b≥533，∵a，b是整数，∴b是8的倍数，∴b的最小值是536，∴1800﹣a﹣b≥267，答：药店捐赠口罩至少有267个3．解：（1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米，依题意，得：﹣＝10，解得：x＝300，经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意，∴2x＝600．答：甲工程队每天完成600米，乙工程队每天完成300米．（2）设甲队先单独工作y天，则甲乙两工程队还需合作＝（﹣y）天，依题意，得：7000（y+﹣y）+5000（﹣y）≤79000，解得：y≥1，∴﹣y≤﹣＝6．答：两工程队最多可以合作施工6天．4．解：（1）设乙厂每天加工x套防护服，则甲厂每天加工1.5x套防护服，根据题意，得﹣＝4．解得x＝50．经检验：x＝50是所列方程的解．则1.5x＝75．答：甲厂每天加工75套防护服，乙厂每天加工50套防护服；（2）设甲厂要加工m天，根据题意，得150m+120×≤6360．解得m≥28．答：甲厂至少要加工28天．5．解：设原计划每天加工x个，根据题意，得，解得：x＝400，经检验，x＝400是原方程的解且符合题意．答：原计划每天加工400个．6．解：（1）设乙工程队每天能完成x米的清淤任务，则甲工程队每天能完成2x米的清淤任务，依题意，得：﹣＝5，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴2x＝20．答：甲工程队每天能完成20米的清淤任务，乙工程队每天能完成10米的清淤任务．（2）设应安排乙工程队清淤m天，则安排甲工程队清淤天，依题意，得：0.8m+2×≤60，解得：m≥60．答：至少应安排乙工程队清淤60天．7．解：设改装前每节车厢乘坐x人，由题意列分式方程得：＝+4，解得：x＝120，经检验知x＝120是原分式方程的解，则改装后每节车厢可以搭载的乘客人数＝120×＝200人，答：改装后每节车厢可以搭载的乘客人数为200人8．解：（1）设购买一副羽毛球拍需要x元，则购买一根跳绳需要（x﹣20）元，依题意，得：＝×，解得：x＝25，经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，∴x﹣20＝5．答：购买一副羽毛球拍需要25元，购买一根跳绳需要5元．（2）设八（1）班购买m副羽毛球拍，则购买（2m+10）根跳绳，依题意，得：25m+5（2m+10﹣m）≤350，解得：m≤10．答：八（1）班最多可购买10副羽毛球拍．9．解：（1）设第一批口罩进货单价为x元，则第二批进货单价为（x+2）元，依题意，得：3×＝，解得：x＝8，经检验，x＝8是原分式方程的解，且符合题意．答：第一批口罩进货单价为8元．（2）购进第一批防护口罩的数量1600÷8＝200（个），购进第二批防护口罩的数量200×3＝600（个）．设该超市购买这两批防护口罩的平均单价为m元，依题意，得：（200+600）m≥1600+6000+600，解得：m≥10.25．答：该超市购买这两批防护口罩的平均单价至少为10.25元．10．解：（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要1.5x天，依题意，得：+＝1，解得：x＝20，经检验，x＝20是原分式方程的解，且符合题意，∴1.5x＝30．答：甲工程队单独完成这项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程需30天；（2）设甲工程队每天的费用是y元，则乙工程队每天的费用是（y﹣250）元，依题意，得：12y+12（y﹣250）＝27720，解得：y＝1280，∴y﹣250＝1030．甲工程队单独完成共需要费用：1280×20＝25600（元），乙工程队单独完成共需要费用：1030×30＝30900（元）．∵25600＜30900，∴甲工程队单独完成需要的费用低，应选甲工程队单独完成．。
人教版八年级数学上册《分式》期末复习课件
4、分式的运算——加减乘除乘方
（1） ab(a2abb2)
a
a
（2）化简求值
(x1 1x2x 22 x1 1)x x 1 2其x 中 2
5、整数指数幂（幂的运算）
（1）(1)2230.12 2 500 12 1 2
（2）
a2b3(3a1b2) 6a3b2
•7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/72021/11/7November 7, 2021
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/72021/11/72021/11/72021/11/7
1、分式
（1） x 2 y 有意义，x、y满足
。
x2y
（2）当x
x 时，分式 3 x 有意义。
（3）若分式 (x1)(x2) 的值为0，
x2 2x1
则x=
。
2、分式的基本性质
（1）x2x2xx2 3x26x23xyxy
（2）
ab
ab
a2b
2a a 2ba2b(b0)
3、分式的约分、通分
A . x2 B .x21C .x21D . x
3.把分式 x (x≠0)中的分子分母的x、y都同时
x2 y2
扩大为原来的2倍，那么分式的值将是原分式的值
（C） A.2倍
B.4倍
C.一半
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.下列各式正确的是（ D ）
D.不变
A abab c c
C abab
初中数学-人教版八年级上册第15章分式复习课件
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解 因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
注意：约分过程中，有时还需运用分式的符号法则使 最后结果形式简捷；约分的依据是分式的基本性质
分子和分母没有公因式,
这样的分式称为最简分 式
约分：
(1)
15m2n
45m2n2
(2)
a
2
a2 ab 2ab
A B
=-
-A B
=
-A -B
=-
A -B
例 3：（2005 湖南湘潭）下列分式中，是最简分式的是（A）
A、
2x x2+1
B
、
.4 2x
C
、
x -1 x2-1
D
、
1-x x-1
（2）不改变分式的值，使它的分子、分母的最高 次项的系数都是正数，则
1 -a -a 2 1+a - a 3
=___a_2_+_a_ -1 a3-a-1
(3)
练习 (1)1 1 x x 1 x2 1
(2) 1 1 m n m n
下列各式成立的是（
（A）
b
c
a
a
c
b
(B)
c c ab ab
D）
(C)
c c ba ab
( D)
c c ba ab
负整数指数幂 与科学记数法
1、某种感冒病毒的直径是0.00000012米，
用科学记数法表示为
。
2、计算： （1） 2-3；
(2)(2a2b3 )2 (a3b1)3
用科学记数法表示：
式乘分式, 用分子的积作为积的分子, 分母的积作为积的分母.
4、分式的除法法则
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分式综合复习
分式是初中数学学习的重要知识点之一，也是中考考查的热点之一，通常以填空题，
选择题，化简题，应用题四种形式之一出现在中考的舞台上，分值3分到8分，属于易得之
分，一定不要丢.
知识回顾
1. 分式B A 有意义的条件是 ，分式B
A 的值为0条件是 ． 2. 分式的分子与分母都乘以（或 ）同一个 的整式，分式的值 ．
特别注意符号的变化．
3. 把分式的分子和分母中的 约去叫做约分．
4.根据分式的 ，将异分母分式化成与原来分式 的同分母分式，这个变化过程称为分
式的通分．
5.方程中只含有分式或 和 ，且分母中 的方程，叫做分式方程．
6.同分母分式的加减运算法则：同分母分式相加减，分母 ，把分子相 ． 即b c a a
±= . 7.异分母分式的加减运算：先 ，化成同分母的分式，然后按照同分母分式加减法的法则进行运算．即b c a d
±= = . 8.分式的乘法：把分子 作为积的分子，把分母 作为积的分母．即
b c a d ⨯= . 9.分式的除法法则：把 的分子和分母颠倒位置后再与 相乘． 即b c a d
÷== = . 10.解分式方程的基本步骤：（１） ；（２） ；（３）移项；（４）合并同类项；（５）
未知数的系数化成“1”；（６） ．
考点解密
考点1 分式有意义的条件
例1 使分式211
x x -+的值为0，这时x = ． 解析: 由分式211
x x -+的值为0，得 2x -1=0且x+1≠0，所以x=1.所以应该填1. 评注：谨记分式的值为0是分式有意义的重要应用之一，确保分母不为0是正确解题的关键.
考点2 分式的化简
例2 化简22222a ab b b a b a b
-+---的结果是（ ） （A ）a a b -.（B ）b a b -.（C ）b a a +.（D ）b a b +.
解析：2
2222b a b ab a -++-b a b -=))(()(2b a b a b a +-+-b a b -=b a b a -+-b a b -=b a b b a --+=b a a -. 所以选A ．
评注：熟练掌握分式基本运算法则是解本题的关键．而灵活运用因式分解和约分是解题
的有效手段.
考点3 分式方程的解
例 3 若关于x 的分式方程11
m x --＝2的解为非负数，则m 的取值范围是 （ ） （A ）m ＞－1 .（B ）m ≥－1.（C ）m ＞－1且m ≠1.（D ）m ≥－1且m ≠1.
解析：由11m x --＝2，去分母得：m ﹣1=2x ﹣2，解得：x=12m +，根据题意，得12
m +≥0，且12
m +≠1，解得 m ≥﹣1且m≠1，所以选D. 评注： 当分式方程的解具有特定的属性时，要熟记从三个方面加以求解即化归后的整
式方程系数不能为0；用方程的解和解的属性，联手建立符合题意的不等式；注意扣除
分式方程的增根．
考点4 分式方程的应用
例4 某市为处理污水，需要铺设一条长为5000m 的管道，为了尽量减少施工对交通所造
成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20m ，结果提前15天完成任务．设原计划每天
铺设管道x m ，则可得方程 ．
解析：设原计划每天铺设管道x m ，则实际每天铺设管道（x+20）m ，由题意得，
5000500020x x -+=15，所以应该填5000500020
x x -+=15. 评注：解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
易错例析
易错点1 ：忽视分式有意义的条件致错
例1先化简224
9x x --÷（1﹣13
x -），再从不等式2x ﹣3＜7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．
错解1：224
9x x --÷（1﹣13x -）=2233()()()()x x x x +-+-÷（33x x --﹣13x -）=2233()()()()
x x x x +-+-÷（23x x --）=2233()()()()x x x x +-+-×32x x --=23
x x ++．因为不等式2x ﹣3＜7，解得：x ＜5， 所以正整数解为1，2，3，4，所以当x=2时，原式=
23x x ++=224235+=+．
错解2：224
9x x --÷（1﹣13x -）=2233()()()()x x x x +-+-÷（33x x --﹣13x -）=2233()()()()x x x x +-+-÷（23x x --）=2233()()()()x x x x +-+-×32x x --=23
x x ++．因为不等式2x ﹣3＜7，解得：x ＜5， 所以正整数解为1，2，3，4，所以当x=3时，原式=
23x x ++=325336+=+． 剖析：前面的化简，解不等式都是正确的，错误原因是在自选x 值求解时，选值不当，忽视分式有意义的条件，要保证分式本身固有的每一个分式有意义，还要保证计算过程中新生成的每一个分式也要有意义，这样选值才能准确. 正解：224
9x x --÷（1﹣13x -）=2233()()()()x x x x +-+-÷（33x x --﹣13x -）=2233()()()()x x x x +-+-÷（23x x --）=2233()()()()x x x x +-+-×32x x --=23
x x ++．因为不等式2x ﹣3＜7，解得：x ＜5， 所以正整数解为1，2，3，4，因为x-3≠0, x+3≠0, x-2≠0,所以x ≠3, x ≠-3, x ≠2, 所以x 只能是1或4，当x=1时，原式=
23x x ++=123134+=+． 易错点2：对分式基本性质理解不准致错
例2把分式2a b a
+中的a,b 都扩大2倍，则分式的值 （ ） （A ）不变.（B ）扩大2倍.（C ）缩小2倍.（D ）扩大4倍 .
错解：选A.
剖析（含正解）：这里明确说的是将a,b 都扩大2倍，不是说将分式的分子，分母同时扩大2倍，所以不符合分式的基本性质，因此就不能用性质来解题，导致错选A.
正解：a,b 都扩大2倍后2
a b a +变形为222222()1(2)42a b a b a b a a a +++==，所以分式的值比原来缩小2倍，因此选择C.
温馨提示
熟记分式有意义的条件，能更好地解决分式值为0的问题，化简求值中的自选数值求值问题，准确理解分式基本性质，能帮助我们正确识别那些不能用性质的问题，谨防似是而非而致错，熟练掌握解分式方程的步骤，有利于正确解分式方程，选择恰当的未知数，找准等量关系，能使分式方程的应用题得以顺利破解，因此，在复习时，一定要在这些知识点的理解，应用条件的甄别上下功夫，做到题目条件审的准，解题方法选的好，问题答案解的对，以确保中考在这一章涉及到的考题不丢分.。