定积分在几何中的应用
微积分定积分在几何中应用
(二)定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用 (1)求平面图形的面积求平面图形的面积由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a ，x=b 和轴所围成的图形的面积的代数和。
由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。
例如：求曲线2f x =和直线x=l ，x=2及x 轴所围成的图形的面积。
轴所围成的图形的面积。
分析：由定积分的定义和几何意义可知，由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。
和直线，及轴所围成的图形的面积。
所以该曲边梯形的面积为所以该曲边梯形的面积为2233222112173333x f x dx ===-=ò (2)求旋转体的体积求旋转体的体积(I)由连续曲线y=f(x)与直线x=a 、x=b(a<b) 及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2()()b aV f x d x p=ò。
(Ⅱ)由连续曲线y=g(y)与直线y=c 、y=d(c<d)及y 轴围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2()()dcV g y d y p =ò。
(III)由连续曲线y=f(x)( ()0f x ³)与直线x=a 、x=b(0a £ <b)及y 轴围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2()()baV xf x d x p =ò。
例如：例如：求椭圆求椭圆22221x y a b +=所围成的图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周而成的旋转体的体积。
转体的体积。
分析：椭圆绕x 轴旋转时，旋转体可以看作是上半椭圆22()b y a x a x a a=--££，与x 轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，因此椭圆因此椭圆22221x y a b+=所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为轴旋转一周而成的旋转体的体积为 222222222322()()14()33aay aaaa b b v a x dx a x dxaa ba x x aba pp p p ---=-=-=-=òò椭圆绕y 轴旋转时，旋转体可以看作是右半椭圆22,()a x b y b y b b=--££，与y轴所围成的图形绕y 轴旋转一周而成的，因此椭圆22221x y a b+=所围成的图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为一周而成的旋转体的体积为222222222322()()14()33bby b bb b a a v b y dy b y dy b b a b y y a bb p p p p ---=-=-=-=òò(3)求平面曲线的弧长求平面曲线的弧长(I)、设曲线弧由参数方程、设曲线弧由参数方程 (){()()x t t y t j a b f =££=给出其中''(),()t t j f 在[,]a b 上连续，则该曲线弧的长度为'2'2[()][()]()s t t d xbaj f =+ò。
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分的重要概念之一，它在许多实际问题的求解中起着重要作用。
本文将介绍一些定积分的应用，并探讨它们在不同领域中的具体应用情况。
1. 几何学中的应用在几何学中，我们经常需要计算曲线与坐标轴之间的面积。
通过使用定积分，可以轻松解决这个问题。
以求解曲线 y = f(x) 与 x 轴之间的面积为例，我们可以将其划分为无穷多个宽度非常小的矩形，然后将这些矩形的面积相加，最终得到曲线与 x 轴之间的面积。
这个过程可以通过定积分来表示，即∫[a,b] f(x) dx，其中 a 和 b 分别是曲线的起始点和终止点。
2. 物理学中的应用在物理学中，定积分广泛应用于求解各种与物理量有关的问题。
例如，在动力学中，我们可以通过计算物体的位移和速度的定积分来求解物体的加速度。
同样地，在力学中，定积分可以用于计算物体所受的力的功。
这些应用都需要将物理量表示成关于时间的函数，并使用定积分来求解相关问题。
3. 经济学中的应用经济学也是定积分的应用领域之一。
在经济学中，我们经常需要计算一段时间内的总收益或总成本。
通过将这段时间划分为无数个非常小的时间段，然后计算每个时间段内的收益或成本，最后再将这些值相加，我们可以用定积分来表示这段时间内的总收益或总成本。
这种方法在经济学中有着广泛的应用，例如计算企业的总利润等。
4. 概率统计学中的应用在概率统计学中，定积分可以用于求解概率密度函数下的某个区间的概率。
在概率密度函数中，曲线下的面积表示了该事件发生的概率。
通过将概率密度函数在某个区间上的定积分，我们可以得到该区间内事件发生的概率。
这种方法在概率论和数理统计中具有重要的应用，例如计算正态分布下的概率，或者计算随机变量的期望值等。
综上所述，定积分在几何学、物理学、经济学和概率统计学等各个领域都有着重要的应用。
无论是计算面积、求解物理量、计算总收益还是计算概率，定积分都提供了一种有效的数学工具。
通过理解和掌握定积分的应用，我们可以更好地解决实际问题，并深入研究各个领域中的相关理论。
高中数学-定积分在几何中的应用-课件
求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
①如图 1 所示，f(x)>0， bf(x)dx>0. a
∴S＝ bf(x)dx. a
②如图 2 所示，f(x)<0， bf(x)dx<0， a
∴S＝| bf(x)dx|＝－ bf(x)dx.
a
a
2×23x32
|
2 0
＝136，
8
S2＝2 [4－x－(－ 2x)]dx
＝4x－12x2＋2
3
2x32|
8 2
＝338，
于是 S＝136＋338＝18.
方法二：选y作为积分变量，
将曲线方程写为x＝y22及x＝4－y.
则S＝2－44－y－y22dy
＝4y－y22－y63|
2 －4
＝18.
变式训练 1：由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成
解．
由方程组
y2＝2x y＝4－x
解出抛物线和直线的交
点为(2,2)及(8，－4)．
方法一：选 x 作为积分变量，由图可看出 S＝S1＋S2，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y＝ 2x，
在 x 轴下方的方程为 y＝－ 2x，
2
所以 S1＝0 [ 2x－(－ 2x)]dx
＝2
2 1
20x2 dx＝2
❖1．7 定积分的简单应用
❖1.7.1 定积分在几何中的应用
自主学习 新知突破
❖ 1．理解定积分的几何意义．
❖ 2．会通过定积分求由两条或多条曲线 围成的平面图形的面积．
复习回顾
[问题 1]定积分的几何意义．
由三条直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及 一条曲线 y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边 梯形的面积 S＝________.
定积分在几何学上的应用
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y2 2x y x4
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
yx4
y2 2x
选 y为积分变量 y[2,4]
dAy4y2dy
4
A dA18.
2
2
整理ppt
6
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x y
(t) (t)
曲边梯形的面积 A t2(t)(t)d.t t1
（ 其 中 t 1 和 t 2 对 应 曲 线 起 点 与 终 点 的 参 数 值 ）
就得半径为a
的球体的体积
4 3
a3
.
整理ppt
21
2
2
2
例 9 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)绕 x轴旋转
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
a32
2
x3
3
a
x[a,a]
o
ax
旋 转 体 的 体 积
V
aaa32
2
x3
3
dx
32 a3 105
.
整理ppt
22
25
绕 y 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积 2ayC B xx2(y)
可看作平面图OABC与OBC o xx1(y)
A
2a x
分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy
2ax22(y)dt
0
2ax12(y)dt
0
a2(tsit)n 2asitn dt 2 a2(tsit)n 2asitn dt 0
0
整理ppt
28
例 求曲线 y3x21 与 x 轴围成的封闭图形
定积分的几何应用例题
定积分的几何应用例题定积分，又称定积分法，是一种求取特定函数积分的方法，它是集概率论、统计学和运筹学于一体，是微分几何学中的重要内容。
它在微分几何中一般用来求取曲面积、表面积、空间积分、距离长度等。
下面将介绍几个典型的定积分的几何应用例题，以便读者更好的理解定积分的几何应用。
例题一：求抛物线y=x2的截面积，其中抛物线两端上的y值分别为a和b。
答：这里的抛物线的截面积S=∫a b x2dx。
因此，将原积分变形可得S=(1/3)∫a b (x3+a3-b3)dx，于是，将积分变量替换，此时，S=(1/3)[(b3-a3)/2]。
例题二：求圆柱体的体积，其中圆柱体的底面半径为a，高度为h。
答：首先，将圆柱体拆成无穷多个小圆柱体，那么，圆柱体的体积V=∫0 hπa2dh。
将原积分变形可得V=πa2∫0 hdh=(πa2h2)/2，可见，圆柱体的体积大小取决于高度h和底面半径a的平方乘积。
例题三：求圆锥的表面积，其中圆锥的底面半径为a，高度为h，底面圆心角为2α。
答：此时，圆锥的表面积S=∫0 hΠa2sindαdh，将原积分变形可得S=Πa2∫0 hsindαdh=(2Πahcosα)/2，可以得出，圆锥的表面积大小取决于高度h、底面半径a以及底面圆心角2α因此，定积分在几何学中具有重要意义，可以求出各类几何体的表面积、体积等，解决实际问题。
上面提供了典型的定积分的几何应用例题，可以让读者对定积分的几何应用有一个深入的理解。
定积分的计算方法广泛，不仅可以采用数值积分法，还可以采用把积分分解为若干小段然后求和的方法。
同时，它还可以利用积分变量的变换，把定积分变为求解较为容易的积分，可以较好地解决实际问题。
总之，定积分是一门极其重要的数学科学，在几何学和实际问题中都有重要的应用，使用正确的计算方法，可以较好地解决实际问题。
定积分的几何应用(面积和弧长)
弧线段部分
直线段部分
以 x 为积分变量 , 则要分
两段积分,
故以 y 为积分变量.
解：
2. 求曲线
所围图形的面积.
显然
面积为
同理其他.
又
故在区域
利用元素法解决:
定积分在几何上的应用
定积分在物理上的应用
定积分的应用
定积分的元素法
一、什么问题可以用定积分解决 ?
二 、如何应用定积分解决问题 ?
表示为
一、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 ,
解: 由
得交点
所围图形
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
O
例3. 求椭圆
解: 利用对称性 ,
所围图形的面积 .
有
利用椭圆的参数方程
应用定积分换元法得
当 a = b 时得圆面积公式
一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程
给出时,
按顺时针方向规定起点和终点的参数值
则曲边梯形面积
O
例4. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
O
2. 极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
所求曲边扇形的面积为
O
对应 从 0 变
例5. 计算阿基米德螺线
解:
到 2 所围图形面积 .
O
例6. 计算心形线
所围图形的
面积 .
高中数学选修2-2定积分在几何中的应用课件
的交点为 (0, 0)
取x为积分变量, 则 x [0, 3].
所求的几何图形的面积表示为
A 3 ( x2 3x)dx 0
A 3 ( x2 3x)dx 9.
0
2
= 2
2
3
x2
3
4 0
+
2
2 3
3
x2
8 4
-
1 2
x-4 2
8 4
= 40 3
新知探究
例3
计算由曲线 y = x3 6x 和 y = x2 所围成的图形的面积.
首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求两部分的面积问题.其次，确定被积函数 和积分的上、下限.
新知探究
由图可知，我们需要把所求图形的面积分成两部分 S1和S2 .需要求出曲线 y = x3 - 6x 、曲 线 y = x2 两个交点.
n
i =1 b
F = lim f λ →0 i=1
ξi Δxi =
f
a
x dx
新知探究
平面图形的面积 直角坐标系 设平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两 条直线x=a与x=b所围成.
新知探究
在点x处面积增量的近似值为 [f上(x)-f下(x)]dx, 它也就是面积元素. 因此平面图形的面积为
极坐标方程的情形
设由曲线 r = φθ 及射线 θ = α、θ = β 围成一曲边扇形， 求其面积.这里 φθ 在 α，β 上连续，且 φθ≥0 .
曲边扇形面积元素 dA = 1 [φ(θ)]2 dθ 2
d
r ( )
d
曲边扇形的面积公式 A = β 1[j(θ)]2 dθ. α2
o x
定积分的几何应用
定积分的几何应用定积分是微积分中的重要概念，它有着广泛的应用。
其中之一就是在几何学中的应用。
本文将探讨定积分在几何学中的具体应用，并解释其背后的原理和意义。
一、平面图形的面积通过定积分，我们可以计算出复杂平面图形的面积。
假设有一个曲线方程y=f(x)，该曲线与x轴所围成的图形为A。
我们可以将A分解成无限个极小的矩形条，然后通过求和的方式来逼近A的面积。
具体而言，我们可以将横轴x划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
然后，在每个小区间中，选择一个x值作为代表点，记作xi。
根据代表点xi和函数f(x)的值，我们可以计算出相应小矩形的高度为f(xi)。
由于每个小矩形的宽度Δx非常小，因此在计算总面积时，可以通过求和的方式逼近。
即可以得到如下的定积分表达式：A = ∫[a,b] f(x) dx其中[a,b]表示x的取值范围。
通过对上述定积分进行求解，即可得到图形A的面积。
二、曲线的弧长除了计算平面图形的面积外，定积分还可以用来计算曲线的弧长。
假设有一个曲线L，其方程为y=f(x)。
我们希望计算出曲线L的弧长。
与计算面积类似，我们同样可以将曲线L分解为无限个极小的线段，然后通过求和的方式来逼近曲线L的弧长。
具体而言，我们可以将横轴x划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
然后，在每个小区间中，选择一个x值作为代表点，记作xi。
根据代表点xi和函数f(x)的值，我们可以计算出相应线段的长度为Δs。
同样地，由于每个小线段的长度Δs非常小，因此在计算总弧长时，可以通过求和的方式逼近。
即可以得到如下的定积分表达式：L = ∫[a,b] √(1 + [f'(x)]^2) dx其中[a,b]表示x的取值范围，f'(x)表示函数f(x)的导数。
通过对上述定积分进行求解，即可得到曲线L的弧长。
三、体积与质量除了平面图形的面积和曲线的弧长外，定积分还可以用来计算体积和质量。
当我们需要计算一个曲线绕某个轴旋转一周所形成的立体的体积时，定积分就派上用场了。
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函数 y x 变形为 x y2
x y2
S 2 [( y 2) y2 ]dy 1
B
( y2
2y
y3 )
2
9
2
3 -1 2
A
x y2
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：
1. 作图象; 2. 求交点,定出积分上、下限; 3. 用定积分表示所求的面积; 4. 用微积分基本定理求定积分.
当堂检测
1、求由曲线y＝x3，直线x=2以及x轴所围成图形的面积．
2、求抛物线y x2 -1和y 3围成的图形面积.
3、求由y sin x, y cos x, x 0, x 所围成的图形面积.
2
小结
1．本节课我们做了什么探究活动呢？ 2．定积分解决曲边形面积的步骤有哪些？ 3．这一过程中体会到哪些研究思路及方法呢？
y x2
1
1
S 1 (x2 1)dx 1
( x3 x) 1 = 4
3
3
1
S 2 1(x2 1)dx= 4
0
3
题3 求抛物线 g(x) x2与直线f (x) 4 所围成的
图形的面积。
g(x) x2
S
2
4dx
2 x2dx
-2
-2
f (x) 4
32 3
题4 求抛物线 g(x) x2与直线 f (x) x 2 所围成的
S 2 ( y 2 y2 )dy 0 x y2
x y2
(1 y2 2 y 1 y3 ) 2 10
2
3 03
变更积分元、化繁为简
变式训练
将曲线绕x轴旋转，与直线相交 于两点，求曲线与直线围成的 面积。
y x
y x2
变式训练
A
y x
将曲线绕x轴旋转，与直线相交
于两点，求曲线与直线围成的
图形的面积。
S
2
(x 2)dx
2 x2dx
1
1
9 2
b
b
S a f (x)dx a g(x)dx
b
a [ f (x) g(x)]dx
请用定积分表示下列不同情形的图形面积
b
S a [ f (x) g(x)]dx
y oa
y f (x)
S1
S2
bx
y g(x)
y
oa
bx
y f (x)
定积分在几何中的应用
——求平面图形的面积
情境引入
“废井田，开阡陌” ——承认土地私有，允许土地买卖。
题1 求抛物线y=x2，直线x=2，y=0所围成的 图形的面积。
y x2
S 2 x2dx 0 x3 2 8 30 3
利用定积分几何意义求图形面积
题2 求抛物线 y x2 1 与 x 轴所围成的图形的面积
解方程组：
y
x
y x2
所以直线y=x-2与 y x 交点为(4，2)
直线y=x-4与x轴的交点为(2，0)
因此，所求图形的面积为一个曲边梯形与一三角形面积之差：
4
4
10
S 0 xdx 2 (x 2)dx 3
例题精讲
例题 计算由曲线 y ，x直线
y以 及x x2轴围成图形的面积.
解法2
作业
y g(x)
S
b a
f
(x)dx
b a
g
(
x)dx
b
a [ f (x) g(x)]dx
S
b a
g
(
x)dx
b a
f
(x)dx
b
a [ f (x) g(x)]dx
例题精讲
例题 计算由曲线 y ，x直线
面积.
y以及x 2轴围成图x 形的
解法1 作出y=x-2, y x 的图象如图所示:
S1
面积。
S2 y x 2
B
交点B1, 1
S S1 S2
10
[
1
(
x )dx]
2
(x 2)dx
3
0
1
9 2
变式训练
A
y x
交点B1,1和A4,2
S2 S1
S1 y x 2
B
S 2S1 S2
1
4
20 xdx 1 ( x x 2)dx
9 2
拓展训练
思考：将取y为积分变量，把函
将所求平面图形的面积分割成左右 两个部分。
y x
S2
S1
S S1 S2
2
4
0 xdx 2 [ x (x 2)]dx
y x2
2
3
x2
2
2
3
x2
4 (1 x2 2x 2
23
分割图形求面积
例题精讲
例题 计算由曲线 y ，x直线
解法3
以y 及x x2轴围成图形的面积.