定积分的几何应用(体积))
定积分的几何应用举例
=x2
解 所围成的图形的面积.
y
x y2
(1,1)
得两曲线交点 (0,0) , (1,1) ,
x y
面积元素 dA ( y y2 )dy , o
x
A
1
(
0
y y2 )dx
2 3 y3 1
3 y2
3
0
1. 3
解题步骤：
1. 根据题意画出平面图形 .
2. 求出边界曲线的交点.
3. 确 定 一 个 积 分 变 量 及 其 变 化 区 间 [a , 4.b写]出.微元(面积元素) dA .
在[ , ]上任取小区间[ , d ]．o x
面积元素 dA 1[( )]2d
2
曲边扇形的面积 A 1[( )]2d . 2
例 6 求双纽线 2 a2 cos 2 所围平面图形的
面积.
解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积
A 4A1
A 4
4
1 a2 cos 2 d
第八节 定积分的几何应用举例
一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长
一、平面图形的面积
1、 直角坐标系情形
y y f (x)
设曲线 y=f (x)(x 0) 与直
线 x = a , x = b (a <b)
及 x 轴所 围曲边梯形的面
oa
积为 A , 则
b
dA f (x)dx,
A f ( x)dx .
立体体积
R
V h
R2 x2dx
1 R2h.
R
2
五、平面曲线的弧长
1、平面曲线弧长的概念
设 A、B 是曲线弧上的两 y
个端点，在弧上插入分点
上课用定积分的应用--简单几何体的体积
两直线y=c与y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋 转一周所成的旋转体的体积为
V d [( y)]2 dy c
【例1】 给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直 角边旋转一周，得到一个圆锥体.求它的体积.
分析 在直角坐标系中，直角边为1的等腰直角三 角形可以看成是由直线y=x，x=1以及x轴所围成的 平面图形. 在区间[0,1]内插入n-1个分点，使
a
ln a a
(5) b sin xdx cos x b (6) b cos xdx sin x b
a
a
a
a
2.定积分的性质：
b
（1）
1dx b a
a
（2） abkf (x)dx k ab f (x)dx
b
b
b
（3） a [ f1(x) f2 (x)]dx a f1(x)dx a f2 (x)dx
0 x0 x1 x2 L xi1 xi L xn 1
把这个三角形分割成n个垂直于x轴的小梯形，设第I 个小梯形的宽是△xi=xi-xi-1，i=1,2，…n，这个小梯形 绕x轴旋转一周就得到一个厚度是△xi的小圆台当△xi 很小时，第i个小圆台近似于底面半径为xi的小圆柱， 因此，第i个小圆台的体积近似为
（1）画出所要旋转的平面图形；
（2）确定积分变量的范围，即确定积分的上、下限；
（3）确定旋转体体积的表达式(用定积分表示)；
（4）求出定积分，即旋转体的体积。
【例2】 如图，求由抛物线y2＝8x(y＞0)与直线x＋y－6＝0 及y＝0所围成的图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积．
[思路探索] 解答本题可先由解析式求出交点坐标． 把组合体分开来求体积．
V
b
定积分的应用——求旋转体的体积
直线 = 、 = 及 轴围成的曲边梯
形绕 轴旋转一周而成的立体的体积.
如图示，取 为积分变量， ∈ , ，相应于 , 上的任一小区间
, + 的窄曲边梯形绕 轴旋转而成的薄片的体积近似等于以 = ()
轴围成的曲边梯形，绕 轴旋转一周而成的旋转体（如图示）的体积为：
B
= ()
= න = න [()]
例1 求抛物线 = 与直线 = 及 轴所围成的平面图形分别绕 轴和
轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
解 （1）如图所示，平面绕 轴旋转
4、利用定积分进行体积计算.
（ 点的纵坐标 ）为底半径、 为高的圆柱体的体积，
= ()
体积微元为
+ 源自 = = [ ]
所求旋转体的体积 为： =
=
[
]
用上述类似地方法可以推出：由连续曲线 = ()、直线 = , = 与
立体. 这直线叫做旋转轴.
旋转体的特点：任何一个垂直于旋转轴的平面，截旋转体所得的截口图形
均为圆.
如圆柱、圆锥、圆台它们都是旋转体.如下图示:
可选取适当的坐标系，使旋转轴为 轴或 轴. 最基本的情形是曲边梯形绕
轴或 轴旋转.
2、旋转体的体积公式
= ()
（1）旋转轴为 轴
定积分的应用
----------------求旋转体的体积
三角函数的定积分计算与旋转体体积应用
三角函数的定积分计算与旋转体体积应用在数学中，三角函数的定积分计算以及与旋转体体积的应用是一项重要的内容。
通过对三角函数的定积分计算，我们可以求解曲线与坐标轴所围成的面积、弧长以及旋转体的体积，具有广泛的实际应用价值。
本文将围绕这一主题展开论述。
一、三角函数的定积分计算三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们在数学和物理等领域中的应用广泛。
在定积分计算中，我们常常需要求解三角函数的不定积分和定积分。
1. 不定积分对于三角函数的不定积分，我们可以运用一些基本的积分公式进行计算。
例如，正弦函数的不定积分公式为：∫sin(x)dx = -cos(x) + C其中，C为常数。
类似地，其他三角函数的不定积分公式可以通过类似的方法推导得到。
2. 定积分对于三角函数的定积分计算，我们常常需要根据具体的问题给出积分上下限，并利用一些定积分的性质进行计算。
以求解曲线 y = sin(x) 与 x 轴所围成的面积为例，我们可以将问题转化为计算以下定积分：∫[a,b]sin(x)dx其中，[a,b]表示积分的区间。
通过运用定积分的性质和三角函数的积分公式，我们可以求解出该定积分的值，从而得到曲线与坐标轴所围成的面积。
二、旋转体的体积应用三角函数的定积分计算不仅在求解曲线面积等几何问题中有应用，还可以用于解决旋转体体积的计算。
1. 单位圆的体积以单位圆为例，我们可以将其沿着 x 轴或 y 轴进行旋转，并通过计算旋转体的体积来求解单位圆的体积。
当单位圆沿 x 轴旋转时，我们可以将其看作是由曲线 y = sin(x) 与 x 轴所围成的旋转体。
对于曲线 y = sin(x) 与 x 轴所围成的旋转体，它的体积可以通过以下定积分进行计算：V = π∫[0,2π]sin^2(x)dx其中，[0,2π]表示旋转的区间。
通过对该定积分进行计算，我们可以得到单位圆的体积，进而应用于相关实际问题中。
2. 一般曲线的体积除了单位圆以外，我们还可以利用三角函数的定积分计算来求解其他曲线的旋转体体积。
§定积分应用之简单旋转体的体积
§定积分应⽤之简单旋转体的体积§3.2定积分应⽤之简单旋转体的体积【学习⽬标】1、利⽤定积分的意义和积分公式，求⼀些简单旋转⼏何体体积。
2、数学模型的建⽴及被积函数的确定。
【问题导学】1、复习求曲边梯形⾯积公式？定积分的⼏何意义？微积分基本定理？2、什么是旋转体？学过哪些旋转体？⼀个平⾯图形绕平⾯内的⼀条定直线旋转⼀周，所成的⽴体图形叫旋转体，这条定直线叫做旋转轴。
如：圆柱、圆锥、圆台、球体、球冠。
3、旋转体的体积（1）计算由区间[a 、b ]上的连续曲线y=f(x)、两直线x=a 与x=b及x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转⼀周所成的旋转体的体积：v=π()b2a f x dx （2）类似地可得，由区间[c,d]上的连续曲线 y=f(x),两直线y=c 与y=d 及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转⼀周所成的旋转体的体积：()d2c v y dy π?=?[]【⾃学检测】1、给定直⾓边为1的等腰直⾓三⾓形，绕⼀条直⾓边旋转⼀周，得到⼀个圆锥体. 利⽤定积分的⽅法求它的体积2、⼀个半径为1的球可以看成由曲线y=1-x 2（半圆）与x 轴所围成的区域绕x 轴旋转⼀周得到的，利⽤定积分的⽅法求球的体积3、求曲线y=e x 、x=0、x=12与x 轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积【当堂训练】4、求 y = x 2 与 y 2 = x 所围图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积5、将第⼀象限内由x 轴和曲线y 2=6x 与直线x=6所围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体的体积等于6、求曲线x 轴、y 轴及直线x=1围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积7、求曲线y=1x、x=1、x=2 与x 轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积8、求曲线x=1与坐标轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得旋转体体积§3.2定积分应⽤之简单旋转体的体积1、3π2、43π3、(1)2e π-4、310π5、108π6、32π7、2π8、2π。
定积分在几何学上的应用
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y2 2x y x4
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
yx4
y2 2x
选 y为积分变量 y[2,4]
dAy4y2dy
4
A dA18.
2
2
整理ppt
6
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x y
(t) (t)
曲边梯形的面积 A t2(t)(t)d.t t1
（ 其 中 t 1 和 t 2 对 应 曲 线 起 点 与 终 点 的 参 数 值 ）
就得半径为a
的球体的体积
4 3
a3
.
整理ppt
21
2
2
2
例 9 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)绕 x轴旋转
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
a32
2
x3
3
a
x[a,a]
o
ax
旋 转 体 的 体 积
V
aaa32
2
x3
3
dx
32 a3 105
.
整理ppt
22
25
绕 y 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积 2ayC B xx2(y)
可看作平面图OABC与OBC o xx1(y)
A
2a x
分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.
Vy
2ax22(y)dt
0
2ax12(y)dt
0
a2(tsit)n 2asitn dt 2 a2(tsit)n 2asitn dt 0
0
整理ppt
28
例 求曲线 y3x21 与 x 轴围成的封闭图形
定积分在几何学上的应用
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
y y f (x)
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲 边梯形面积为 A , 则
o
a
x
x
dbx
x
dA f (x) dx
b
A a f (x) dx
y y f1(x) y f2 (x)
右图所示图形面积为
b
A a f1(x) f2 (x) dx
A 40 y d x
利用椭圆的参数方程
x y
a cos t b sin t
(0 t 2 )
y b
o xxdxa x
应用定积分换元法得
4
ab
12
2
ab
4ab 2 sin 2 t dt 0
当 a = b 时得圆面积公式
一、平面图形的面积
2. 极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
2
(1
1 y 2 ) 2d y 1 (2 y)2 d y 0
内容小结
1. 平面图形的面积 直角坐标方程
边界方程 极坐标方程
2. 已知平行截面面面积函数的立体体积
旋转体的体积 绕x轴: 绕y轴:
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( ) 2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
A 1 2 ( ) d 2
x
一、平面图形的面积
例 计算阿基米德螺线 到 2 所围图形面积 .
解:
A 2 1 (a )2 d
02
a2 2
13
3
定积分的几何应用
定积分的几何应用定积分是微积分中的重要概念，它有着广泛的应用。
其中之一就是在几何学中的应用。
本文将探讨定积分在几何学中的具体应用，并解释其背后的原理和意义。
一、平面图形的面积通过定积分，我们可以计算出复杂平面图形的面积。
假设有一个曲线方程y=f(x)，该曲线与x轴所围成的图形为A。
我们可以将A分解成无限个极小的矩形条，然后通过求和的方式来逼近A的面积。
具体而言，我们可以将横轴x划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
然后，在每个小区间中，选择一个x值作为代表点，记作xi。
根据代表点xi和函数f(x)的值，我们可以计算出相应小矩形的高度为f(xi)。
由于每个小矩形的宽度Δx非常小，因此在计算总面积时，可以通过求和的方式逼近。
即可以得到如下的定积分表达式：A = ∫[a,b] f(x) dx其中[a,b]表示x的取值范围。
通过对上述定积分进行求解，即可得到图形A的面积。
二、曲线的弧长除了计算平面图形的面积外，定积分还可以用来计算曲线的弧长。
假设有一个曲线L，其方程为y=f(x)。
我们希望计算出曲线L的弧长。
与计算面积类似，我们同样可以将曲线L分解为无限个极小的线段，然后通过求和的方式来逼近曲线L的弧长。
具体而言，我们可以将横轴x划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
然后，在每个小区间中，选择一个x值作为代表点，记作xi。
根据代表点xi和函数f(x)的值，我们可以计算出相应线段的长度为Δs。
同样地，由于每个小线段的长度Δs非常小，因此在计算总弧长时，可以通过求和的方式逼近。
即可以得到如下的定积分表达式：L = ∫[a,b] √(1 + [f'(x)]^2) dx其中[a,b]表示x的取值范围，f'(x)表示函数f(x)的导数。
通过对上述定积分进行求解，即可得到曲线L的弧长。
三、体积与质量除了平面图形的面积和曲线的弧长外，定积分还可以用来计算体积和质量。
当我们需要计算一个曲线绕某个轴旋转一周所形成的立体的体积时，定积分就派上用场了。
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π πa2 (t sin t)2 a sin t d t
注意上下限 !
2 π
π
π
a
2
(t
sin
t)
2
a
sin
t
d
t
0
π a3
2π
(t
sin
t)2
sin
t
dt
0
注: 2 π (t sin t)2 sin t d t 0
2 π (t 2 sin t 2t sin 2 t sin3 t)d t (令 u t π) 0
V 2 1u[4 (u 3)2 ]du 5
令u x3
2 2 (x 3)(4 x2)dx 2
2 2 (3 x)(4 x2 )dx 2
（※）
补充 2. 如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直 线 x a、 x b(0 a b)及 x轴所围成的曲边梯
形绕 x = m (>b) 旋转一周而成的立体，体积为
2
令u t 2
16 π a3 π (2u sin 2u) sin 4 u d u 0
令v u π
2
π
16 π
a3
2
π 2
(2v
π
sin
2v)
cos4 v
偶函数
d
v
奇函数
例 3 求由曲线 y 4 x2及 y 0所围成的图形 绕直线 x 3旋转构成旋转体的体积.
解(一) 取积分变量为y , y [0,4]
c
o
x
例2. 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
Vx
2π a πy2 dx 2
0
π a πy2 dx
0
O
y πa 2πa x
2 π π a2 (1 cos t)2 a(1 cos t) d t 0
2
立体体积 V 1 R (R2 x2 )tandx 2 R3 tan .
2 R
3
思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ?
如何用定积分表示体积 ?
提示:
A( y) 2x y tan
2 tan y R2 y2
V 2 tan
R
y
R2 y2 dy
0
y
R
O
R (x, y)
时, 小圆上的定点的轨迹为内摆线)
大圆半径 R＝a
小圆半径
参数的几何意义
y
t
x
O
点击图片任意处 播放开始或暂停Hale Waihona Puke 类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y)、直线 y c 、y d 及 y 轴所围成
的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体
积为
y
V d [ ( y)]2 dy c
d
x ( y)
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
2 a 3
2
x3
3
x [a, a]
a
o
ax
旋转体的体积
a 2
2
3
a 2
2
3
V
a
a3
x3
dx
2
0
a3
x3
dx
32 a3 . 105
星形线
2
2
2
或 x3 y 3 a 3 (a 0)
星形线是内摆线的一种.(当小圆在圆内沿圆周滚动
体积元素为
P
dV [PM 2 QM 2 ]dy
[(3 4 y)2 (3 4 y)2]dy
dy Q M 3
12 4 ydy,
4
V 120 4 ydy 64.
v
（二）利用坐标平移： P
x u 3
y
v
3u
在uov坐标系下旋转体即为即抛物线v 4 (u 3)2
与v=0所围成的图形绕v轴旋转所得。
1
16.
2. 设
在 x ≥ 0 时为连续的非负函数, 且
形绕直线 x＝t 旋转一周所成旋转体体积 ,证明:
y f (x)
证: 利用柱壳法
t
V (t) 0 2 π (t x) f (x) d x
t
t
O
2 πt0 f (x)d x 2 π 0 x f (x)d x
xt x xdx
V
(t )
2
π
t
0
f
(x)
d
x
2
π
t
f
(t
)
2
π
t
f
(t
)
故 V (t) 2 π f (t)
3. 设平面图形 A 由 x 2 y 2 2x 与 y x 所确定 , 求
图形 A 绕直线 x 2 旋转一周所得旋转体的体积 .
提示：选 x 为积分变量.
y yx
由柱壳法旋转体的体积为
V 2 π
1
(2 x)(
x
三、旋转体的侧面积 (补充)
设平面光滑曲线
求
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素:
dS 2πyds
y f (x)
y
积分后得旋转体的侧面积
S 2 π
b
f (x)
1 f 2 (x) dx
a
Oa x
bx
注：
圆台测面积=（上底半径+下底半径）斜高 S [ f (x) f (x x)]ds
b
V 2 (m x) | f (x) | dx (※)——柱壳法 a
二、平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直 于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可 用定积分来计算.
A( x) 表示过点
x 且垂直于x 轴 o a
的截面面积，
x x dx b
x
绕垂直于坐标轴的直线旋转一周
平行截面面积为已知的立体的体积
旋转体的侧面积 (补充)
思考与练习.
1. 求曲线 xy 4， y 1， x 0所围成的 图形绕 y 轴旋转构成旋转体的体积.
解：
xy 4 y1
交点 (4,1),
y
y1
立体体积
o
x
Vy
1
x2dy
1
1y62 dy
16 y
2x x2 x)dx
0
1 π2 2 π 23
1
y
O x 1 2x
若选 y 为积分变量, 则
V π
1 2 (1
0
1 y2 ) 2dy π
1(2 y)2 dy
0
4. 求曲线 y 3 x2 1 与x 轴围成的封闭图形绕直线
y＝3 旋转得的旋转体体积. (1994 考研)
解: 利用对称性, 在第一象限
A( x)为x 的已知连续函数
dV A( x)dx,
立体体积
V
b
A( x)dx.
a
例 4 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并与底面
交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.
解: 取坐标系如图
底圆方程为
R
o
y
x2 y2 R2
x
R
垂直于x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积 A( x) 1 (R2 x2 )tan ,
π (u 2 2 π u π2 ) sin u 2(u π)sin 2 u
π
sin3 u d u
4 π
π
u sin ud u 4 π
π sin 2 udu
0
0
分部积分
π
2 2 sin2 udu 0
4 π2 8 π 2 sin 2ud u 0
(利用“偶倍奇零”)
4 π2 8 π 1 π 22
y
x 4
2 2, x2 ,
0 x1
1 x 2
y
3B A
故旋转体体积为
C
V
2 π32 2 2
1
π [3
(x2
2)]2
d
x
0
O 1 2x
2 2 π[3 (4 x2 )]2 d x 1
36 π 2 π
12(1x2
x 21) 2
d
x
448 2π
π2
(
x
2
1) 2
d
x
0
15 1
利用对称性
2 π a3 π (1 cos t)3 d t 16 π a3 π sin6 t d t (令 u t )
0
02
2
32 π a3
π 2
sin 6
u
d
u
32
π
a3
5
3
1
π
0
6422
5π2 a3
y
x x2 ( y)
2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
O
πa 2πa x
x x1( y)
2
20 a(t sin t) a(1 cos t)d[a(t sin t)]
2a3
2
(t
sin t)(1
cos t)2 dt
63a3 .
0
注：
2a3 2 (t sin t)(1 cos t)2 dt 0
8 π a3 2 π (t sin t) sin 4 t d t
0
d S 2 π y ds 2 πy dx
原因是 2 π y dx 不是薄片侧面积△S 的线性主部 .
若光滑曲线由参数方程