平面几何中几个重要定理的证明

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平面几何中几个重要定理及其证明

一、塞瓦定理

1．塞瓦定理及其证明

定理：在∆ABC 内一点P ，该点与∆ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交∆ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是∆ABC 的顶点，则有

1AD BE CF

DB EC FA

⋅⋅=． 证明：运用面积比可得

ADC

ADP BDP BDC

S S AD DB S S ∆∆∆∆==．

根据等比定理有

ADC ADC ADP APC

ADP BDP BDC BDC BDP BPC

S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-===

-，

所以

APC

BPC

S AD DB S ∆∆=．同理可得

APB

APC

S BE EC S ∆∆=

，

BPC

APB

S CF FA S ∆∆=

．

三式相乘得

1AD BE CF

DB EC FA

⋅⋅=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．

2．塞瓦定理的逆定理及其证明

定理：在∆ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC

的顶点，若

1AD BE CF

DB EC FA

⋅⋅=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点．

证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有

//

1AD BE CF

D B EC FA

⋅⋅=． 因为

1AD BE CF

DB EC FA

⋅⋅=，所以有

A

B

C

D F

P

A

B

C

D E

F

P

D /

2

/

/AD AD DB D B

=．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点

共线．

注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、梅涅劳斯定理

3．梅涅劳斯定理及其证明

定理：一条直线与∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线分别交于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是

∆ABC 的顶点，则有

1AD BE CF

DB EC FA

⨯⨯=． 证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G ．

因为CG // AB ，所以CG CF

AD FA

= ————（1）

因为CG // AB ，所以CG EC

DB BE

= ————（2） 由（1）÷（2）可得DB BE CF

AD EC FA

=⋅，即得

1AD BE CF DB EC FA ⋅⋅=． 注：添加的辅助线CG 是证明的关键“桥梁”，两次运用相似比得出两个比例等式，再

拆去“桥梁”（CG ）使得命题顺利获证．

4．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明

定理：在∆ABC 的边AB 、BC 上各有一点D 、E ，在边AC 的延长线上有一点F ，若

1AD BE CF

DB EC FA

⋅⋅=， 那么，D 、E 、F 三点共线． 证明：设直线EF 交AB 于点D /

，则据梅涅劳斯定理有

/

/

1AD BE CF

D B EC FA

⋅⋅=．

A

B

C

D E

F

D / A

B

C

D E

F

G

3

因为

1AD BE CF DB EC FA

⋅⋅=，所以有/

/

AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，

所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．

注：证明方法与上面的塞瓦定理的逆定理如出一辙，注意分析其相似后面的规律． 三、托勒密定理

5．托勒密定理及其证明 定理：凸四边形ABCD 是某圆的内接四边形，则有

A B ·CD + B C ·AD = A C ·BD ．

证明：设点M 是对角线AC 与BD 的交点，在线段BD

上找一点，使得∠DAE =∠BAM ．

因为∠ADB =∠ACB ，即∠ADE =∠ACB ，所以∆ADE

∽∆ACB ，即得

AD DE

AC BC

=，即

AD BC AC DE ⋅=⋅

————（1）

由于∠DAE =∠BAM ，所以∠DAM =∠BAE ，即∠DAC =∠BAE 。而∠ABD =∠ACD ，即∠ABE =∠ACD ，所以∆ABE ∽∆ACD ．即得

AB BE

AC CD

=，即AB CD AC BE ⋅=⋅ ————（2） 由（1）+（2）得

AD BC AB CD AC DE AC BE AC BD ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅．

所以A B ·CD + B C ·AD = A C ·BD ．

注：巧妙构造三角形，运用三角形之间的相似推得结论．这里的构造具有特点，不容易想到，需要认真分析题目并不断尝试．

6．托勒密定理的逆定理及其证明 定理：如果凸四边形ABCD 满足AB×CD + BC×AD = AC×BD ，那么A 、B 、C 、D 四点共圆．

证法1（同一法）：

在凸四边形ABCD 内取一点E ，使得EAB DAC ∠=∠，EBA DCA ∠=∠，则

EAB ∆∽DAC ∆．

可得AB×CD = BE×AC ———（1）